文档内容
2022-2023 学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
题型导航
三 角 形 题型1
与三角形的高有关的计算问题
的
高
题型2
三角形中线有关求长度问题
中线
与
题型3
三角形中线有关求面积问题
角
平
题型4
分 三角形的角平分线
线
题型5
高、中线、角平分线的应用
题型变式
【题型1】与三角形的高有关的计算问题
1．（2022·内蒙古包头·七年级期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点
E的左侧，已知 ， ， ， （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积及高求得底边BC的值，再利用中线的性质即可求得结果．
【详解】
解：由题意得，
，
，
又 为△ABC的中线，
，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．
【变式1-1】
2．（2022·重庆巴蜀中学七年级期中）如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、
CE=5、AB=12，则AC=（ ）
A．10 B． C． D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式即可求得．【详解】
解：△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，
∴S ABC= AB•CE= AC•BD，
△
∴AC= =10，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，熟知三角形面积公式是解题的关键．
【题型2】三角形中线有关求长度问题
1．（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）如图，在 中， ，AD为BC边上的中线，
则 与 的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中线的定义得到BD=CD，再根据三角形周长公式分别表示出两个三角形的周长，然后作差即可．
【详解】
解：∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AD+AC+CD，
∴△ABD的周长- ACD的周长=AB+BD+AD-AD-AC-CD=AB-AC=3，
故选B． △
【点睛】
本题主要考查了三角形中线的定义，熟知三角形中线的定义是解题的关键．【变式2-1】
2．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图， 中， 是 边上的中线， ， ，
那么 和 的周长的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用中线的性质可知： ，即由此可知 和 的周长的差为 ，代入即可求值．
【详解】
解：∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∴ 和 的周长的差为：
cm，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形中线的性质，灵活运用中线的性质是解题的关键．
【题型3】三角形中线有关求面积问题
1．（2022·江苏常州·七年级期末）如图，AD是△ABC的中线，点E在线段AD上，且 ．若
△DEC的面积是1，则△ABD的面积是（ ）A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 可得 ，根据AD是△ABC的中线，可得 ，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
DEC的面积是1，
△
，
AD是△ABC的中线，
．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·安徽芜湖·八年级期末）如图，△ABC的面积是24，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE
的中点，则△AFG的面积是（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据点E是AD的中点，可知 ， ，再根据点D是BC的中点，可得
，即可得
，然后根据点F，G是BE，CE的中点，得
， ，可知FG是△CBE的中位线，可得 ，即可
得出答案．
【详解】
∵点E是AD的中点，
∴ ， ．
∵点D是BC的中点，
∴ ，
∴ ．
∵点F，G是BE，CE的中点，
∴ ， ，
∴FG是△CBE的中位线，∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积和中线的关系，三角形中位线的定义和性质等，将一个三角形的面积转化为
求三个小三角形的面积是解题的关键．
【题型4】三角形的角平分线
1．（2021·河北沧州·八年级期中）如图，已知 ，则 是三角形 的（ ）
A．角平分线 B．中线 C．高 D．垂直平分线
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意直接根据角平分线的概念和三角形的角平分线的概念进行分析判断选择即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，AH是线段，
∴AH必为三角形ABC的角平分线．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形的角平分线性质，注意掌握三角形的角平分线和角平分线的联系和区别：三角形的角平分
线是线段，角平分线是射线．
【变式4-1】
2．（2022·四川·成都市第十八中学校七年级阶段练习）如图，∠AOB是平角，OD平分∠BOC，OE平分
∠AOC，那么∠AOE的余角有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用角平分线的定义得到相等的角，由平角的定义，可知∠EOC与∠COD互余，∠AOE与∠BOD互余．
而∠AOE＝∠EOC，故可知∠AOE的余角有两个．
【详解】
解：∵OD平分 ，OE平分
又 是平角
即
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平角的定义，平分线的定义，余角的定义，解题关键是理解“如果两个角的和等于 ，
那么这两个角互为余角”，只与和有关，与位置无关．
【题型5】高、中线、角平分线的应用
1．（2022·全国·八年级）如图，AD，BE，CF依次是 ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的
是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
【答案】C
【解析】【分析】
根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个
角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三
角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形
一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．
求解即可．
【详解】
解：A、BE是 ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是 AB△C的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角△形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是 ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．
故选：C．△
【点睛】
本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．
【变式5-1】
2．（2021·重庆江津·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的
中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的有（ ）个①△ABE
的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中线条件及三角形面积公式可对①作出判断；根据同角的余角相等及角平分线的性质可对②判断；由
垂直的条件、角平分线的条件可对③判断；根据已知条件无法对④作出判断．
【详解】
∵BE是AC边的中线∴AE=CE
∵∠BAC=90°
∴ ，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积
故①正确；
∵AD是BC边上的高
∴∠FAG+∠ABC=90°
∵∠BAC＝90°
∴∠ABC+∠ACB=90°
∴∠FAG=∠ACB
∵CF是∠ACB的角平分线
∴∠FCB= ∠ACB=∠ACF
∴
故②错误；
∵∠AFG+∠ACF=∠DGC+∠FCB=90°，∠AGF=∠DGC
∴∠AFG=∠AGF
∴AF=AG
故③正确；
根据已知条件无法证明BH=CH
故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形的中线、高线、角平分线，灵活运用三角形的中线、高线、角平分线的性质是解题的
关键．
专项训练
一．选择题1．（2022·福建·泉州五中七年级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下
列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【详解】
解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF=CF，
∴S =2S ，D说法正确，不符合题意；
△ABC △ABF
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，已知G为直角△ABC的重心， ，且 ，
，则△AGD的面积是（ ）A．9cm2 B．12cm2 C．18cm2 D．20cm2
【答案】A
【解析】
【分析】
由于G为直角△ABC的重心，所以BG＝2GD，AD＝DC，根据三角形的面积公式可以推出
，而△ABC的面积根据已知条件可以求出，那么△AGD的面积即可求
得．
【详解】
解：∵G为直角△ABC的重心，
∴BG＝2GD，AD＝DC，
∴ ，
而 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的重心的性质，解题的关键是根据G为直角△ABC的重心，得出BG＝2GD，AD＝
DC．
3．（2022·全国·七年级）如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角
平分线；②BO是△ABD的中线．其中（ ）A．①、②都正确 B．①、②都不正确
C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角
形的中线．
【详解】
解：AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，角平分线的定义，理解定义是解题的关键．
4．（2021·山东济南·七年级期末）如图，AD是 ABC的中线，CE是 ACD的中线，DF是 CDE的中线，
若S△DEF=2，则S△ABC等于 △ △ △
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可．
【详解】
∵DF是 CDE的中线，
∴S△
CDE
=△2S△
DEF
，
∵CE是 ACD的中线，
∴S△
ACD
=△2S△
CDE
=4S△
DEF
，
∵AD是 ABC的中线，
∴S△
ABC
=△2S△
ACD
=8S△
DEF
，
∵△DEF的面积是2，
∴S△ =2×8=16．
ABC
故选A
【点睛】
本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，∠B-∠A＝10°，D是AB上一点，将
ACD沿CD翻折后得到 CED，边CE交AB于点F．若 DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为
（ ）
A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25°
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理可求解∠A=40°，设∠ACD=x°，则∠CDF=40°+x，∠ADC=180°-40°-x=140°-x，由折
叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，可分三种情况：当∠DFE=∠E=40°时；当∠FDE=∠E=40°时；当
∠DFE=∠FDE时，根据∠ADC=∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵∠B-∠A=10°，
∴∠A=40°，∠B=50°，
设∠ACD=x°，则∠CDF=40°+x，∠ADC=180°-40°-x=140°-x，
由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，
当∠DFE=∠E=40°时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，
∴∠FDE=180°-40°-40°=100°，
∴140°-x=100°+40°+x，
解得x=0（不存在）；
当∠FDE=∠E=40°时，
∴140°-x=40°+40°+x，
解得x=30°，
即∠ACD=30°；
当∠DFE=∠FDE时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，
∴∠FDE= ＝70°，
∴140°-x=70°+40°+x，
解得x=15，
即∠ACD=15°，
综上，∠ACD=15°或30°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC=∠CDE分三种
情况列方程是解题的关键．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图， ， 的角平分线交于点 ，若 ， ，
则 的度数（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P
＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝
∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝
∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．
法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋ ∠ACD＝∠A＋
∠ABD，代入计算即可．
【详解】
解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，
∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，
∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，
∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，
∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A−∠D
∵∠A＝48°，∠D＝10°，
∴∠P＝19°．
法二：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，
∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，
∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，
整理得∠ACD−∠ABD＝58°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P＋ ∠ACD＝∠A＋ ∠ABD，
即∠P＝48°− （∠ACD−∠ABD）＝19°．
故选A.
【点睛】
本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理
解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
二、填空题
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线， EF BC 于点
F．若 ，BD 4 ，则 EF 长为___________．【答案】3
【解析】
【分析】
因为S ABD= S ABC，S BDE= S ABD；所以S BDE= S ABC，再根据三角形的面积公式求得即可．
△ △ △ △ △ △
【详解】
解：∵AD是△ABC的中线，S ABC=24，
△
∴S ABD= S ABC=12，
△ △
同理，BE是△ABD的中线， ，
∵S BDE= BD•EF，
△
∴ BD•EF=6，
即
∴EF=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解
题的关键．
8．（2021·全国·八年级专题练习）如图，D，E，F分别是 的边 ， ， 上的中点，连接 ，
， 交于点G， ， 的面积为6，设 的面积为 ， 的面积为 ，则
=______．【答案】
【解析】
【分析】
根据同高三角形的面积比就是相应底的比进行推导即可求得答案．
【详解】
解：∵ 是 的中点
∴
∵
∴
∵
∴ ，
∵ 、 分别是 、 的中点
∴ ，
∴ ，
∵设 的面积为 ， 的面积为
∴ ．
故答案是：
【点睛】
本题考查了与三角形中线有关的三角形面积问题，涉及到了三角形中线的性质、三角形的面积公式、同高
三角形面积之比等于相应底的比等，难度不大．
9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若四边形AEFD的面积为
6，则△CBF的面积为_________．【答案】6
【解析】
【分析】
由中线的性质可知，四边形AEFD的面积与三角形DFC的面积之和为三角形ABC面积的一半，同理三角
形DFC与三角形BFC的面积之和也为三角形ABC面积的一半，即三角形BFC的面积等于四边形AEFD的
面积．
【详解】
解： △ABC的中线BD、CE相交于点F，
故答案为：６．
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质，能够准确地找到所求图形面积与已知图形面积之间的联系是快速解决本题
的关键．
10．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC，∠A=80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG
平分∠CBF，CG平分外角∠BCF，则∠G=______°．
【答案】115
【解析】【分析】
由三角形外角的性质即三角形的内角和定理可求解∠DBC+∠ECB=260°，再利用角平分线的定义可求解
∠FBC+∠FCB=130°，即可得∠GBC+∠GCB=65°，再利用三角形内角和定理可求解．
【详解】
解：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵∠ACB+∠A+∠ABC=180°，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+180°=80°+180°=260°，
∵BF平分外角∠DBC，CF平分外角∠ECB，
∴∠FBC= ∠DBC，∠FCB= ∠ECB，
∴∠FBC+∠FCB= （∠DBC+∠ECB）=130°，
∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，
∴∠GBC= ∠FBC，∠GCB= ∠FCB，
∴∠GBC+∠GCB= （∠FBC+∠FCB）=65°，
∴∠G=180°-（∠GBC-∠GCB）=180°-65°=115°．
故答案为：115．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠FBC+∠FCB=130°是解
题的关键．
11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长
线交AC于点F．已知 ， （a，b为不小于2的整数），则 的值是____________．【答案】
【解析】
【分析】
利用同高的三角形面积之比等于底边之比进行三角形的面积转化即可完成求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了同高的三角形面积的转化，解题关键是理解同高的三角形面积之比等于对应的底边之比即可．
12．（2022·全国·八年级课时练习）如图， 中，点 ， 分别在 ， 上， 与 交于点 ，若 ， ， ，则 的面积 ______．
【答案】7.5．
【解析】
【分析】
观察三角形之间的关系，利用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比，利用已知比例关系进行转
化求解．
【详解】
如下图所示，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ,
∴ ,
,
∴ ,,
设 ， ，
∴ ，
，
由 ， 可得，
，
解得 ，
∴ ， ，
．
故答案为：7.5．
【点睛】
本题考查的是等高同高三角形，应用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比进行求解是本题的关
键．
三、解答题
13．（2021·云南昭通·八年级期中）如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝
9cm．
（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．
【答案】（1）27；（2）4.5
【解析】
【分析】
（1）根据三角形面积公式进行求解即可；
（2）利用面积法进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得： ．
（2）∵ ，
∴ ．
解得 ．
【点睛】
本题主要考查了与三角形高有关的面积求解，解题的关键在于能够熟练掌握三角形面积公式．
14．（2022·全国·八年级课时练习）如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长
为15cm，求BC边的长．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中线定义可得AB，AC，根据△ABC周长公式即可求解．
【详解】
∵BD和CE是△ABC的中线，
∴ ， ，
∵△ABC周长为15cm，即 ，
∴ ．【点睛】
本题考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出AB和AC的长．
15．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 中， 、 分别是 的高和角平分线，
．
(1)若 ，求 的度数；
(2)试用 、 的代数式表示 的度数_________．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出
∠DCE．
（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．
(1)
解： ，
，
是 的平分线，
．
是高线，
，
，
．(2)
解： ，
，
是 的平分线，
．
是高线，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．
16．（2022·全国·八年级课时练习）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容．
请根据教材提示，结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】
（1）如图②，在△ 中，∠ ＝60°， 平分∠ ， 平分∠ ，求∠ 的度数．
（2）如图③，将△ 的∠ 折叠，使点 落在△ 外的点 处，折痕为 ．若∠ ＝ ，∠
＝ ，∠ ＝ ，则 、 、 满足的等量关系为 （用 、 、 的代数式表示）．【答案】教材呈现：见解析；（1）120°；（2）
【解析】
【分析】
【教材呈现】
利用两直线平行，同位角相等，内错角相等，把三角形三个内角转化成一个平角，从而得证．
【结论应用】
（1）利用角平分线的性质得出两个底角之和，从而求出∠P度数．
（2）根据四边形BCFD内角和为360°，分别表示出各角得出等式即可．
【详解】
解：教材呈现：
∵CD∥BA，
∴∠1＝∠ACD．
∵∠3+∠ACD+∠DCE＝180°， ，
∴ ．
结论应用：
（1）∵BP平分 ，CP平分 ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
在△ABC中， ，
又四边形BCDF内角和为360°，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，翻折等知识，根据翻折前后对应角相等时
解题的关键．
