文档文本内容
专题 1.2 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)....................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:41)(cid:42)(cid:19)....................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:43)(cid:44)(cid:28)(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:38)(cid:25)(cid:40)(cid:19)............................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:50)(cid:42)(cid:51)(cid:38)(cid:52)(cid:19)............................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:19)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:55)(cid:56)(cid:19)........................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:57)(cid:58)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:19)....................................................................................................................9
+
A
A
科
知识点1 三角形的中线 ★ 全
号
众
公
注
定义：在三角形中，连接一个顶点和它
，
对边关中点的线段叫做三角形的中线. 三角形的三条中线相交于一点.
源
资
辅
交点在三角形内部. 教
知识点2 三角形的角平分线
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平
分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部.
知识点3 三角形的高
1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
2.三角形的三条高的特性
名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
高在三角形内部的数量 3 1 1高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部
【题型1 中线、
角平分线、高概念辨析】
(cid:15)(cid:60)1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)如图，在 中，关于高的说法正确的是（ ）
△𝐴𝐵𝐶
A(cid:72)线段 是 边上的高 B(cid:72)线段 是 边上的高
+
C(cid:72)线段𝐴𝐷是𝐴𝐵边上的高 D(cid:72)线段𝐵𝐸是𝐴𝐶边上的高 A A
科
全
★
号
(cid:15)(cid:73)(cid:74)1-1(cid:19)𝐶(cid:61)𝐹24𝐴-2𝐶5(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:71)
公
(cid:65)𝐶(cid:83)众𝐹(cid:84)𝐵(cid:51)𝐶(cid:22)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:37)(cid:88)(cid:61)(cid:89)(cid:89)(cid:71)
注
关
，
A(cid:72)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:88)(cid:23)资(cid:80)(cid:85)源(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:88)(cid:90)(cid:23)
辅
教
B(cid:72)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:91)(cid:28)(cid:22)(cid:85)(cid:92)(cid:93)(cid:54)(cid:94)(cid:91)(cid:95)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:97)
C(cid:72)(cid:98)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:91)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:95)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:99)(cid:97)
D(cid:72)(cid:95)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:85)(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:59)(cid:22)(cid:104)(cid:37)(cid:108)(cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)1-2(cid:19)(cid:61)2025·(cid:111)(cid:112)(cid:39)(cid:113)·(cid:114)(cid:115)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:118)(cid:44)(cid:65)(cid:83)(cid:117)(cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:37)(cid:122)(cid:123)(cid:85)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127) (cid:88) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)
(cid:37)(cid:88)(cid:61) (cid:71) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:72) B(cid:72)
C(cid:72) D(cid:72)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)1-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85) =90°(cid:85)(cid:132) (cid:85) (cid:85) (cid:27)(cid:133)(cid:88)
(cid:37)(cid:28)(cid:23)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:105)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:85)(cid:132) (cid:53) (cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:104) (cid:85)(cid:65)(cid:83)(cid:137)(cid:49)(cid:138)(cid:94)(cid:127)(cid:86)(cid:87)(cid:37)(cid:88)(cid:61) (cid:71)
△𝐴𝐵𝐶．．．∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐹 △𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝐵𝐹 𝐺A(cid:72) = B(cid:72) = C(cid:72) = D(cid:72) <
【题型
∠2 𝐵 𝐴
利
𝐷
用三
∠
角
𝐶
形的中
∠
线
𝐴
求
𝐺𝐹
长度
∠
】
𝐴𝐹𝐺 𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐶−𝐴𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:60)2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:139)(cid:140)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:95) (cid:22)(cid:85) = (cid:59)(cid:75)(cid:37)(cid:22)(cid:23) (cid:141) (cid:37)(cid:142)(cid:39)(cid:27)(cid:143)24(cid:105)
12(cid:37)(cid:144)(cid:97)(cid:27)(cid:85)(cid:145) (cid:37)(cid:39)(cid:88)(cid:61) (cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐴𝐵 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:72)16 𝐴𝐵 B(cid:72)8 C(cid:72)16(cid:146)8 D(cid:72)8(cid:146)4
(cid:15)(cid:73)(cid:74)2-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:128)(cid:129)(cid:148)(cid:149)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85) (cid:88) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:85) (cid:88) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:85)(cid:150)
=9cm(cid:85)(cid:145) = (cid:72) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐷
𝐶𝐸 𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:73)(cid:74)2-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:70)(cid:155)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85) (cid:22)(cid:85) = =8(cid:85) (cid:156) (cid:59)(cid:75)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:85)
(cid:150) (cid:37)(cid:142)(cid:39)(cid:156)22(cid:85)(cid:145) (cid:37)(cid:142)(cid:39)(cid:88) (cid:72) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 10,𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:73)(cid:74)2-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:157)(cid:129)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117) (cid:88)(cid:94)(cid:158)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:159)(cid:160) (cid:85)(cid:161) (cid:107)(cid:119)(cid:162)(cid:104)C(cid:53)(cid:104)B(cid:139)(cid:163)(cid:85)
(cid:116)(cid:117) (cid:164)(cid:165)(cid:85)(cid:119)(cid:166)(cid:53) (cid:37)(cid:135)(cid:104)(cid:167)(cid:156)D(cid:72) ① 𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
② 𝐵𝐶
(1)(cid:168)(cid:95)(cid:117) (cid:22)(cid:169)(cid:170) (cid:59) (cid:75)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:171)
② △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶(2)(cid:150) =10cm(cid:85) =15cm(cid:85)(cid:38) (cid:53) (cid:37)(cid:142)(cid:39)(cid:172)(cid:72)
【题型
𝐴𝐵3
利用三角
𝐴
形
𝐶
的中线求面积
△
】
𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:60)3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:177)(cid:178) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:156)36(cid:85)(cid:104) (cid:27)(cid:133)(cid:95)(cid:59) (cid:85) (cid:75)(cid:85)(cid:132)
= (cid:85) = (cid:85) (cid:53) (cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:104)F(cid:85)(cid:150) (cid:37)△(cid:41)𝐴(cid:42)𝐵𝐶(cid:156)3(cid:85)(cid:145)(cid:117)(cid:22)(cid:179)(cid:180)𝐷(cid:97),𝐸(cid:27)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:156)𝐵𝐶(cid:61) 𝐴 (cid:71)𝐶
𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐸 2𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 △𝐴𝐸𝐹
A(cid:72)7 B(cid:72)8 C(cid:72)9 D(cid:72)10
(cid:15)(cid:73)(cid:74)3-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:181)(cid:149)(cid:182)(cid:56)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:164)(cid:165)(cid:85) (cid:88) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:85) (cid:88) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:72)
𝐴𝑀 △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝑁 △𝐴𝐶𝑀
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(1)(cid:95) (cid:22)(cid:110) (cid:59)(cid:75)(cid:37)(cid:28)(cid:171) 关
，
源
资
辅
(2)(cid:150)△𝐶𝑀𝑁(cid:37)(cid:41)(cid:42)𝐶𝑀(cid:156)教36(cid:85) =6(cid:85)(cid:145)(cid:104) (cid:183) (cid:59)(cid:37)(cid:184)(cid:185)(cid:88)(cid:186)(cid:93)(cid:187)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)△3𝐴-𝐵2(cid:19)𝐶(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)𝐶(cid:75)𝑀·(cid:188)(cid:189)(cid:174)(cid:190)(cid:190)𝑁(cid:191)(cid:192)𝐵𝐶·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:156)S(cid:85)(cid:110) (cid:37)(cid:22)(cid:23) (cid:85)(cid:193)
(cid:37)(cid:22)(cid:104) (cid:85)(cid:100)(cid:101) (cid:194)(cid:183)(cid:195)(cid:94)(cid:102) (cid:171)(cid:110) (cid:37)(cid:22)△(cid:23)𝐴𝐵𝐶 (cid:85)(cid:193) (cid:37)(cid:22)(cid:104)△𝐴(cid:85)𝐵𝐶(cid:100)(cid:101) 𝐴𝐶(cid:194)1(cid:183)(cid:195)
𝐴(cid:94)𝐵(cid:102) 𝐴1 …(cid:171)(cid:139)𝐴1(cid:196)𝐶1(cid:197)(cid:198)(cid:37)(cid:199)(cid:110)(cid:85)△(cid:145)𝐴(cid:195)1𝐵2𝐶0124(cid:102)△𝐴1𝐵𝐶1 (cid:37)𝐴1(cid:41)𝐶(cid:42)2 (cid:156) 𝐴 1 𝐵 (cid:72)𝐴2 𝐴2𝐶2
△𝐴2𝐵𝐶2 △𝐴2024𝐵𝐶2024
(cid:15)(cid:73)(cid:74)3-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:203)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:15)(cid:204)(cid:20)(cid:205)(cid:206)(cid:19)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:141)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:27)(cid:143)(cid:41)(cid:42)(cid:134)(cid:50)(cid:37)(cid:144)(cid:97)(cid:27)(cid:72)
(cid:177)(cid:178)(cid:10)(cid:116)(cid:117)1(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85)(cid:104)D(cid:88)(cid:59) (cid:75)(cid:37)(cid:22)(cid:104)(cid:85)(cid:100)(cid:101) (cid:72)(cid:38)(cid:55)(cid:10) = (cid:72)
(cid:55)(cid:56)(cid:10)(cid:207)(cid:104)A(cid:110) △𝐴𝐵𝐶(cid:136)E(cid:85) 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:104)D(cid:88)(cid:59) (cid:75)(cid:37)𝐴𝐸(cid:22)⊥(cid:104)𝐵(cid:85)𝐶
∵ = (cid:85)𝐵𝐶
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷= 1 (cid:85) = 1 (cid:85)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷⋅𝐴𝐸
= (cid:72)
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:208)(cid:209)(cid:57)(cid:58)(cid:19)
(cid:61)1(cid:71)(cid:116)(cid:117)2(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85)(cid:104)D(cid:88) (cid:59)(cid:75)(cid:37)(cid:22)(cid:104)(cid:85)(cid:150) =6(cid:85)(cid:145) =_____(cid:171)
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐷
(cid:61)2(cid:71)(cid:116)(cid:117)3(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85)(cid:104)D(cid:88) (cid:59)(cid:75)(cid:37)(cid:104)(cid:85)(cid:132) = (cid:85)(cid:38) (cid:37)(cid:52)(cid:171)
𝑆△𝐴𝐵𝐷
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐷 2𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:204)(cid:20)(cid:210)(cid:211)(cid:19)
(cid:61)3(cid:71)(cid:206)(cid:95)(cid:54)(cid:94)(cid:212)(cid:66)(cid:59)(cid:36)(cid:213)(cid:214) (cid:85)(cid:116)(cid:117)4(cid:85)(cid:215)(cid:24)(cid:216)(cid:144)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:27)(cid:197)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:85)(cid:168)(cid:220)(cid:207)(cid:110)(cid:117)(cid:219)(cid:27)(cid:66)(cid:59)(cid:36) (cid:37)
(cid:41)(cid:42)(cid:72) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
+
A
A
科
(cid:61)(cid:218)(cid:38)(cid:10)(cid:34)(cid:138)(cid:221)(cid:207)(cid:35)(cid:91)(cid:37)(cid:23)(cid:80)(cid:169)(cid:170)(cid:26)(cid:27)(cid:222)(cid:51)(cid:85)(cid:223)(cid:107)(cid:110)(cid:51)(cid:224)(cid:225)(cid:84)(cid:56)(cid:85)(cid:124)全(cid:33)(cid:34)(cid:226)(cid:227)(cid:40)(cid:37)(cid:108)(cid:228)(cid:72)(cid:71)
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】
(cid:15)(cid:60)4(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:127)·(cid:70)(cid:155)(cid:71)(cid:54)(cid:94)(cid:232)(cid:20)(cid:233)“(cid:95) (cid:22)(cid:85) (cid:88)(cid:59) (cid:75)(cid:37)(cid:28)(cid:85) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:53)
(cid:59) (cid:135)(cid:136)(cid:104)F(cid:72)(cid:150) =50°(cid:85) =20°(cid:85)(cid:38) (cid:37)(cid:40)△(cid:234)𝐴(cid:72)𝐵𝐶”(cid:107)(cid:136)(cid:235)𝐴𝐷(cid:236)(cid:237)(cid:72)𝐵(cid:215)𝐶(cid:236)(cid:10) ∠𝐴=𝐵𝐶110°(cid:72)(cid:216)(cid:236)(cid:10)
𝐴𝐶 =95°(cid:72)(cid:238)(cid:236)∠(cid:10)𝐴𝐵𝐶 =13∠5𝐶°(cid:72)𝐴𝐷(cid:145)(cid:86)(cid:87)(cid:37)(cid:88)(cid:61)∠𝐵 𝐹 (cid:71)𝐴 ∠𝐵𝐹𝐴
∠𝐵𝐹A𝐴(cid:72)(cid:215)(cid:105)(cid:216) ∠B𝐵(cid:72)𝐹𝐴(cid:216)(cid:105)(cid:238) C(cid:72)(cid:215)(cid:105)(cid:238) D(cid:72)(cid:239)(cid:54)(cid:216)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)4-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:243)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:177)(cid:178)AD(cid:88) ABC(cid:37)(cid:28)(cid:85) BAD(cid:244)70°(cid:85) CAD(cid:244)20°(cid:85)(cid:38) BAC
(cid:37)(cid:40)(cid:234)(cid:72) △ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:73)(cid:74)4-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:230)(cid:245)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:95) (cid:22)(cid:85) =35°(cid:85) (cid:88) (cid:59)(cid:75)(cid:37)(cid:28)(cid:132) = (cid:85)
(cid:145) (cid:37)(cid:40)(cid:234)(cid:88) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵
(cid:15)∠(cid:73)𝐵(cid:74)𝐶𝐴4-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:66)(cid:67)(cid:149)(cid:246)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:177)(cid:178)(cid:10) (cid:24) (cid:88) (cid:37)(cid:28)(cid:85)(cid:108)(cid:23) (cid:24) (cid:134)(cid:135)(cid:164)(cid:143)
𝐵𝐷 𝐶𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸(cid:37)(cid:25)(cid:22)(cid:54)(cid:94)(cid:102)(cid:25)(cid:156)56°(cid:85)(cid:145) (cid:37)(cid:40)(cid:234)(cid:156) (cid:72)(cid:61)(cid:247)(cid:165)(cid:10)(cid:66)(cid:59)(cid:36)(cid:96)(cid:25)(cid:105)(cid:156)360°(cid:71)
【题型5 等积法求值】 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:60)5(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:66)(cid:67)(cid:248)(cid:249)·(cid:70)(cid:155)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:108)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36) (cid:22)(cid:85) =90°(cid:85) =10(cid:85) =8(cid:85)
=6(cid:85)(cid:104)D(cid:88)(cid:59) (cid:75)(cid:94)(cid:250)(cid:104)(cid:85)(cid:110)(cid:108)(cid:23) (cid:251)(cid:207)(cid:104)C(cid:24)(cid:104)D(cid:85)𝐴(cid:27)𝐵(cid:133)𝐶(cid:207)(cid:104)∠A𝐴(cid:85)𝐶𝐵B(cid:110) (cid:53)𝐴𝐵(cid:252)(cid:108)(cid:85) 𝐴𝐶(cid:53) (cid:252)
(cid:108)𝐵𝐶(cid:85)(cid:252)(cid:253)(cid:27)(cid:133)(cid:156)(cid:104)F𝐴(cid:85)𝐵E(cid:72)(cid:254)(cid:23)(cid:80) (cid:85) 𝑀(cid:37)𝑁(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:133)(cid:156) (cid:85) (cid:85)(cid:145) + (cid:37)(cid:255)(cid:256)𝐴(cid:52)𝐹 (cid:156)𝑀 𝑁 (cid:72)𝐵𝐸 𝑀𝑁
𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝑑1 𝑑2 𝑑1 𝑑2
(cid:15)(cid:73)(cid:74)5-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:128)(cid:129)(cid:129)(cid:200)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85) (cid:85)(cid:252)(cid:253)(cid:156) (cid:85) =15(cid:85) =20(cid:85)
=25(cid:72) (cid:88)(cid:23)(cid:80) (cid:75)(cid:37)(cid:257)(cid:258)(cid:94)(cid:104)(cid:85)(cid:100)(cid:101) (cid:85) (cid:37)(cid:39)
𝐴
(cid:138)
．𝐶
(cid:124)
⊥．
(cid:259)
𝐵．𝐶
(cid:88)(cid:61) (cid:71)
𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝑃 𝐴𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐶 +
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:72)11 B(cid:72)12 C(cid:72)13 D(cid:72)16
(cid:15)(cid:73)(cid:74)5-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:66)(cid:67)(cid:143)(cid:260)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85) =90°( < )(cid:85)(cid:104)D(cid:85)P(cid:27)(cid:133)
(cid:95)(cid:59) (cid:85) (cid:75)(cid:85)(cid:132) = (cid:85) (cid:85) (cid:85)(cid:252)(cid:253)(cid:27)(cid:133)△(cid:156)𝐴𝐵(cid:104)𝐶E(cid:72)F∠(cid:72)𝐶(cid:150) ∠=𝐴24∠(cid:85)𝐴𝐵𝐶=8(cid:85)(cid:145) +
(cid:37)(cid:52)𝐴 𝐵 𝐴𝐶(cid:72) 𝐵𝑃 𝐴𝑃 𝐷𝐸⊥𝐵𝑃 𝐷𝐹⊥𝐴𝑃 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:73)(cid:74)5-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:157)(cid:129)(cid:149)(cid:241)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85) = (cid:85)D(cid:156) (cid:22)(cid:104)(cid:85)(cid:207)(cid:104)D(cid:110)
(cid:85) =3(cid:85)E(cid:156) (cid:75)(cid:94)(cid:104)(cid:85)(cid:207)(cid:104)E(cid:110) (cid:85)△𝐴𝐵𝐶 (cid:85) 𝐴𝐵=4𝐴.2𝐶(cid:85)(cid:145) 𝐵=𝐶 (cid:72)
𝐷𝑃⊥𝐴𝐵 𝐷𝑃 𝐵𝐶 𝐸𝑀⊥𝐴𝐵 𝐸𝑁⊥𝐴𝐶 𝐸𝑀 𝐸𝑁【题型6 与角平分线有关的求值】
(cid:15)(cid:60)6(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:174)(cid:16)(cid:16)(cid:261)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85) (cid:26)(cid:27) (cid:85) (cid:136)(cid:104) (cid:72) (cid:37)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23) (cid:164)(cid:95)(cid:108)(cid:23)(cid:53)(cid:90)(cid:23) (cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:104) (cid:85)(cid:150) =△𝐴𝐵𝐶(cid:85)(cid:132) 𝐴𝐸=20∠°(cid:85)𝐵𝐴(cid:145)𝐶 𝐴𝐷⊥(cid:37)𝐵(cid:40)𝐶(cid:234)(cid:156)(𝐷(cid:89)(cid:89)∠)𝐴𝐵𝐷
𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐺 ∠𝐴𝐵𝐶 3∠𝐶 ∠𝐺 ∠𝐷𝐹𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
A(cid:72)50° B(cid:72)55° C(cid:72)60公° D(cid:72)65°
注
关
，
源
(cid:15)(cid:73)(cid:74)6-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)辅(cid:64)(cid:65)资·(cid:66)(cid:67)(cid:143)(cid:260)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85)(cid:177)(cid:178) =60°(cid:85)(cid:104)O(cid:156) (cid:96)(cid:94)(cid:104)(cid:85)
教
(cid:132) =140°(cid:85)(cid:235)(cid:22) (cid:26)(cid:27) (cid:85) (cid:26)(cid:27) (cid:85)△𝐴(cid:26)𝐵𝐶(cid:27) (cid:85)∠𝐴 (cid:26)(cid:27) △𝐴𝐵(cid:26)𝐶 (cid:27)
∠𝐵(cid:85)𝑂𝐶 (cid:26)(cid:27) 𝐵𝑂1 (cid:85)…∠(cid:85)𝐴(cid:125)𝐵𝑂(cid:262)(cid:47)𝐶𝑂(cid:263)1(cid:85)(cid:145)∠𝐴𝐶𝑂 =𝐵𝑂 2 ∠ 𝐴(cid:85)𝐵𝑂1 𝐶𝑂2 = ∠ 𝐴 𝐶 𝑂 1 ,⋯ , 𝐵 𝑂𝑛 ∠(cid:72)𝐴𝐵
𝑂𝑛−1 𝐶𝑂𝑛 ∠𝐴𝐶𝑂𝑛−1,⋯ ∠𝐵𝑂1𝐶 ∠𝐵𝑂2025𝐶
(cid:15)(cid:73)(cid:74)6-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:139)(cid:140)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85)(cid:104) (cid:156) (cid:105) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:135)(cid:104)(cid:85)(cid:100)
(cid:101) (cid:85)(cid:110) (cid:37)(cid:94)(cid:91)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23) (cid:72)(cid:150) △𝐴=𝐵𝐶(cid:85)(cid:145) 𝑂+ ∠𝐴(cid:37)𝐵(cid:40)𝐶 (cid:234)∠(cid:156)𝐴(cid:61)𝐶𝐵 (cid:71)
𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶 △𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝛼 ∠1 ∠2A(cid:72)90°+ 3 B(cid:72)120°+ 1 C(cid:72)160° D(cid:72) 1
4 2 4
𝛼 𝛼 180°− 𝛼
(cid:15)(cid:73)(cid:74)6-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:66)(cid:67)(cid:248)(cid:249)·(cid:70)(cid:155)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85) (cid:85) (cid:85) (cid:26)(cid:27) (cid:135) (cid:136)(cid:104) (cid:85)(cid:104)
(cid:88)(cid:90)(cid:23) (cid:75)(cid:257)(cid:94)(cid:104)(cid:85)(cid:100)(cid:137) (cid:24) (cid:85)(cid:150) = (cid:85)𝑀𝑁∥𝑃𝑄 𝐴𝐵∥=𝐶𝐷60°(cid:85)𝐶𝐸(cid:145) ∠𝐷(cid:37)𝐶𝑁(cid:256)(cid:264)𝑃(cid:156)𝑄(cid:61) 𝐸 (cid:71) 𝐹
𝐴𝐵 𝐶𝐹 𝐷𝐹 ∠𝐵𝐹𝐷 ∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹−∠𝐷𝐹𝐶 ∠𝐷𝐹𝐶
A(cid:72)60° B(cid:72)15° C(cid:72)60°(cid:146)15° D(cid:72)15°(cid:146)70°
【题型7 与角平分线有关的证明】
(cid:15)(cid:60)7(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:151)(cid:152)(cid:189)(cid:265)·(cid:70)(cid:155)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85) (cid:22)(cid:85) (cid:88)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:85) (cid:85)(cid:252)(cid:253)(cid:156) (cid:72)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸⊥𝐴𝐷 𝐸
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(1)(cid:177)(cid:178) =70°(cid:85) =30°(cid:85)(cid:38)源 ，(cid:37)(cid:40)(cid:234)(cid:171)
资
辅
教
(2)(cid:150) ∠𝐴𝐵=𝐶 (cid:85)(cid:38)∠(cid:55)𝐶(cid:10) =∠𝐴𝐷(cid:72)𝐵
(cid:15)(cid:73)(cid:74)∠𝐴7𝐵-1𝐶(cid:19)(cid:61)3∠24𝐶-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)∠(cid:75)𝐷·𝐵(cid:229)𝐸(cid:230)(cid:231)∠𝐶(cid:127)·(cid:70)(cid:155)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85) =46°(cid:85) =54°(cid:85) (cid:26)(cid:27)
(cid:135) (cid:136)(cid:104) (cid:85)(cid:104) (cid:88)(cid:59) (cid:75)(cid:94)(cid:104)(cid:85)(cid:150) =40°(cid:85)(cid:38)(cid:55)(cid:10)△𝐴𝐵𝐶 (cid:72)∠𝐵 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐵
(cid:15)(cid:73)(cid:74)7-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:266)(cid:261)(cid:267)(cid:149)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:95) (cid:22)(cid:85) =90°(cid:85) (cid:136) (cid:85) (cid:88) (cid:37)(cid:26)
(cid:27)(cid:23)(cid:85)(cid:135) (cid:136) (cid:85)(cid:135) (cid:136) (cid:85)(cid:38)(cid:55)(cid:10) = △(cid:72)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷 𝐶𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵
𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐴𝐹𝐸
(cid:15)(cid:73)(cid:74)7-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:188)(cid:189)(cid:174)(cid:191)(cid:192)(cid:268)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:177)(cid:178)(cid:10)(cid:116)(cid:117)(cid:85) (cid:85)(cid:108)(cid:23) (cid:27)(cid:133)(cid:135) (cid:85) (cid:136)(cid:104)G(cid:85)
𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐷H(cid:85)(cid:104)P(cid:156)(cid:108)(cid:23) (cid:75)(cid:37)(cid:104)(cid:85)(cid:100)(cid:101) (cid:85) (cid:72)
𝐸𝐹 𝐴𝑃 𝐶𝑃
(1)(cid:116)(cid:117)1(cid:85)(cid:104)P(cid:95)(cid:23)(cid:80) (cid:75)(cid:269)(cid:85)(cid:168)(cid:270)(cid:108)(cid:101)(cid:271)(cid:170) (cid:85) (cid:85) (cid:37)(cid:234)(cid:272)(cid:3)(cid:273)(cid:171)
(2)(cid:116)(cid:117)2(cid:85)(cid:104)P(cid:95) (cid:37)𝐺(cid:274)𝐻(cid:39)(cid:23)(cid:75)(cid:269)(cid:85)(cid:100)(cid:101) (cid:135)∠𝐵(cid:136)𝐴𝑃(cid:104)Q∠(cid:85)𝐷𝐶(cid:100)𝑃(cid:101)∠𝐴(cid:85)𝑃𝐶 (cid:85)(cid:150) + = (cid:85)(cid:38)(cid:55)(cid:10)
(cid:171) 𝐻𝐺 𝐶𝑃 𝐴𝐵 𝐻𝑄 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝑃𝐻𝑄 ∠𝐶𝑄𝐻
𝐴(3𝐶)(cid:95)∥𝐸(cid:61)𝐹2(cid:71)(cid:37)(cid:91)(cid:275)(cid:65)(cid:85)(cid:116)(cid:117)3(cid:85) (cid:26)(cid:27) (cid:85) (cid:26)(cid:27) (cid:85) (cid:53) (cid:135)(cid:104)K(cid:85)(cid:100)(cid:101) (cid:85)(cid:150)
= + (cid:85) 𝐶𝐾 = ∠𝐴𝐶𝑃(cid:85)𝐺𝐾 +∠𝐴𝐺𝑃 =𝐺𝐾159𝐶°(cid:85)𝐾(cid:38) (cid:37)(cid:256)(cid:264)𝐴𝐾(cid:72)
∠ 【 𝑃 题 𝑄𝐻 型8 4 ∠ 探 𝑃 究 𝐶𝐾 三角 2 形 ∠𝑃 的 𝐻 边 𝑄 、 ∠ 角 𝐶 、 𝐾𝐺 线】 ∠𝐶𝐻𝑄 ∠𝐴𝐾𝐶 ∠𝐾𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
+
A
A
科
(cid:15)(cid:60)8(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:173)(cid:174)(cid:276)(cid:261)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)1(cid:85) (cid:85)
★
(cid:26)全(cid:27) (cid:135) (cid:136)(cid:104) (cid:85)(cid:132)
号
众
公
注
关 =𝐴𝐶∥𝐵𝐷 𝐴𝐻 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐻
，
源
资
辅
教 ∠𝐴𝐵𝐷 𝑚∠𝐴𝐸𝐵
(1)(cid:150) =20°(cid:85)(cid:132) =3(cid:85)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:234)(cid:72)
(2)(cid:207)∠(cid:104)𝐴𝐸(cid:110)𝐵 (cid:37)(cid:25)(cid:26)𝑚(cid:27)(cid:23)(cid:85)(cid:25)∠(cid:26)𝐴(cid:27)𝑂𝐵(cid:23)(cid:164)(cid:95)(cid:37)(cid:108)(cid:23)(cid:53) (cid:164)(cid:95)(cid:108)(cid:23)(cid:135)(cid:136)(cid:104) (cid:72)
(cid:116)(cid:117)𝐵2(cid:85)∠(cid:150)𝐸𝐵𝐹=2(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:37)(cid:234)(cid:272)(cid:3)(cid:273)(cid:223)𝐴(cid:84)𝐻(cid:56)(cid:277)(cid:278)(cid:72) 𝐺
①(cid:150) (cid:156)(cid:108)(cid:23)𝑚(cid:75)(cid:37)(cid:94)(cid:102)(cid:250)∠(cid:104)𝐵𝐺(cid:61)𝐻 (cid:138)∠(cid:53)𝐴𝐸𝐵(cid:139)(cid:163)(cid:71)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:37)(cid:234)(cid:272)(cid:3)(cid:273)(cid:61)(cid:168)(cid:108)(cid:101)(cid:271)(cid:170)(cid:236)(cid:237)(cid:71)
(cid:15)②(cid:73)(cid:74)𝐸 8-1(cid:19)(cid:61)𝐴2𝐶4-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:279)(cid:280)𝐸 (cid:281)(cid:200)𝐴·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:95)∠𝐵𝐺𝐻 (cid:22)∠𝐴(cid:85)A𝐸E𝐵(cid:88) (cid:37)(cid:28)(cid:85) =38°(cid:85) =62°(cid:85)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵(cid:15)(cid:57)(cid:58)(cid:282)(cid:206)(cid:19)
(cid:61)1(cid:71)(cid:116)(cid:117)1(cid:85)(cid:150)AD(cid:88) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:85)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:234)(cid:171)
(cid:15)(cid:283)(cid:284)(cid:208)(cid:209)(cid:19) ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
(cid:61)2(cid:71)(cid:116)(cid:117)2(cid:85)(cid:274)(cid:39)AC(cid:183)(cid:104)F(cid:85) (cid:105) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:135)(cid:136)(cid:104)G(cid:85)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:234)(cid:72)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)8-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:174)∠(cid:16)𝐶𝐴(cid:16)𝐸(cid:261)∠·(cid:70)𝐵𝐶(cid:22)𝐹(cid:71)(cid:116)(cid:117) (cid:85)(cid:285)(cid:66)(cid:59)(cid:36) ∠𝐺 (cid:36)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:85)(cid:197)(cid:198)(cid:37)(cid:66)(cid:59)(cid:36)(cid:289)(cid:156)“(cid:288)
(cid:36)”(cid:72) ① 𝐴𝐵𝐷𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:116)(cid:117) (cid:85)(cid:95)(cid:288)(cid:36) (cid:22)(cid:85)(cid:150) =80°(cid:85) =130°(cid:85) =30°(cid:85)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:234)(cid:171)
(2)(cid:116)(cid:117)①(cid:85)(cid:95)(cid:288)(cid:36)𝐴𝐵𝐷𝐶(cid:22)(cid:85) ∠𝐴(cid:105) (cid:37)∠(cid:25)𝐵𝐷(cid:26)𝐶(cid:27)(cid:23) (cid:85)∠𝐶(cid:135)(cid:136)(cid:104)E(cid:85)(cid:132)∠𝐵 > (cid:85)(cid:290)(cid:57)(cid:58) (cid:85) (cid:85)
(cid:291)(cid:292)(cid:37)(cid:234)②(cid:272)(cid:3)(cid:273)(cid:85)(cid:223)𝐴𝐵(cid:84)𝐷(cid:56)𝐶(cid:277)(cid:278)∠(cid:72)𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐸 𝐷𝐸 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐸
(cid:15)(cid:73)(cid:74)8-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:147)(cid:63)(cid:64)(cid:75)·(cid:157)(cid:280)(cid:293)(cid:294)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:234)(cid:11)(cid:295)(cid:17)(cid:296)(cid:22)(cid:57)(cid:58)(cid:297)“(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:59)(cid:53)(cid:25)(cid:291)(cid:292)(cid:37)(cid:138)(cid:50)(cid:3)(cid:273)”.
(cid:116)(cid:117)1(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85)(cid:116)(cid:298) > (cid:85)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:124)(cid:125)(cid:161) (cid:119)(cid:120)(cid:85)(cid:162)(cid:59) (cid:303)(cid:95) (cid:75)(cid:85)(cid:104)C(cid:303)(cid:95) (cid:75)(cid:37)D
(cid:104)(cid:85)(cid:119)(cid:23)(cid:135)△𝐴(cid:136)𝐵𝐶(cid:104)E(cid:85)(cid:145) 𝐴𝐵= 𝐴𝐶 (cid:72) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐵
> 𝐵𝐶(cid:61)(cid:304)(cid:94)(cid:304)(cid:156)(cid:305)∠𝐶(cid:300)(cid:271)∠(cid:170)𝐴(cid:277)𝐷𝐸(cid:278)(cid:71)(cid:85)
∵∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵> (cid:72)
(cid:61)∴∠1𝐶(cid:71)(cid:116)∠(cid:117)𝐵 2(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85)(cid:116)(cid:298) > (cid:85)(cid:259)(cid:306)(cid:55)(cid:56) > ?
(cid:307)(cid:11)(cid:264)(cid:308)(cid:247)(cid:309)(cid:297)(cid:94)△(cid:310)𝐴(cid:222)𝐵𝐶(cid:51)(cid:10)(cid:161) ∠𝐴𝐶(cid:119)𝐵(cid:120)(cid:85)∠𝐵(cid:162)(cid:104)B(cid:303)(cid:95)(cid:104)𝐴𝐵C(cid:75)𝐴(cid:85)𝐶(cid:119)(cid:23)(cid:135) (cid:136)(cid:104)F(cid:85)(cid:135) (cid:136)(cid:104)G(cid:85)(cid:311)(cid:312)(cid:34)(cid:35)
(cid:25)(cid:36)(cid:35)(cid:59)(cid:3)(cid:273)(cid:313)(cid:124)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:168)(cid:270)(cid:314)△(cid:315)𝐴𝐵(cid:264)𝐶(cid:308)(cid:37)(cid:222)(cid:51)(cid:316)(cid:143)(cid:55)(cid:56)(cid:171) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:61)2(cid:71)(cid:116)(cid:117)3(cid:85)(cid:95) (cid:22)(cid:85) = (cid:85)(cid:314)(cid:315)(cid:117)1(cid:37)(cid:222)(cid:74)(cid:224)(cid:225)(cid:119)(cid:120)(cid:85)(cid:194)(cid:183)(cid:119)(cid:166) (cid:85)(cid:207)(cid:104)E(cid:110) (cid:37)(cid:26)(cid:225)(cid:23)(cid:135)
(cid:136)(cid:104)M(cid:85)(cid:150) △=𝐴𝐵11𝐶0°(cid:85)𝐷(cid:38)𝐸 𝐷𝐵(cid:37)(cid:40)(cid:234)(cid:72) 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
∠𝐵𝐸𝐴 ∠𝐷𝐸𝑀
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
