文档文本内容
专题 13.2 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
题型归纳
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)....................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:41)(cid:42)(cid:19)....................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:43)(cid:44)(cid:28)(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:38)(cid:25)(cid:40)(cid:19)............................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:50)(cid:42)(cid:51)(cid:38)(cid:52)(cid:19)............................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:19)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:55)(cid:56)(cid:19)........................................................................................................................8
举一反三
知识点1 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角
形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部.
知识点2 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任
意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部.
知识点3 三角形的高
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
2.三角形的三条高的特性
名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
教辅资源，关注公众号 全科AA+
高在三角形内部的数量 3 1 1高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部
【题型1 中线、
角平分线、高概念辨析】
(cid:15)(cid:57)1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)如图，在 中，关于高的说法正确的是（ ）
△𝐴𝐵𝐶
A(cid:69)线段 是 边上的高 B(cid:69)线段 是 边上的高
C(cid:69)线段𝐴𝐷是𝐴𝐵边上的高 D(cid:69)线段𝐵𝐸是𝐴𝐶边上的高
(cid:15)(cid:70)(cid:71)1-1(cid:19)𝐶(cid:58)𝐹24𝐴-2𝐶5(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)·(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:68)(cid:62)𝐶(cid:80)𝐹(cid:81)𝐵(cid:51)𝐶(cid:22)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:37)(cid:85)(cid:58)(cid:86)(cid:86)(cid:68)
A(cid:69)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:85)(cid:23)(cid:77)(cid:82)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:85)(cid:87)(cid:23)
B(cid:69)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:88)(cid:28)(cid:22)(cid:82)(cid:89)(cid:90)(cid:54)(cid:91)(cid:88)(cid:92)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:93)(cid:94)
C(cid:69)(cid:95)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:88)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:92)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:94)
D(cid:69)(cid:92)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:82)(cid:97)(cid:98)(cid:91)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:22)(cid:101)(cid:37)(cid:106)(cid:23)(cid:107)(cid:108)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)
(cid:15)(cid:70)(cid:71)1-2(cid:19)(cid:58)2025·(cid:109)(cid:110)(cid:39)(cid:111)·(cid:112)(cid:113)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:116)(cid:44)(cid:62)(cid:80)(cid:115)(cid:36)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:82)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125) (cid:85) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)
(cid:37)(cid:85)(cid:58) (cid:68) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:69) B(cid:69)
C(cid:69) D(cid:69)
(cid:15)(cid:70)(cid:71)1-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:92) (cid:22)(cid:82) =90°(cid:82)(cid:130) (cid:82) (cid:82) (cid:27)(cid:131)(cid:85)
(cid:37)(cid:28)(cid:23)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:82)(cid:130) (cid:53) (cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:101) (cid:82)(cid:62)(cid:80)(cid:135)(cid:49)(cid:136)(cid:91)(cid:125)(cid:83)(cid:84)(cid:37)(cid:85)(cid:58) (cid:68)
△𝐴𝐵𝐶．．．∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐹 △𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝐵𝐹 𝐺A(cid:69) = B(cid:69) = C(cid:69) = D(cid:69) <
【题型
∠2 𝐵 𝐴
利
𝐷
用三
∠
角
𝐶
形的中
∠
线
𝐴
求
𝐺𝐹
长度
∠
】
𝐴𝐹
教
𝐺
辅资源，
𝑆△
关
𝐴𝐵
注
𝐸
公众
𝑆△
号
𝐴𝐸𝐶
全科AA
𝐴
+
𝐶−𝐴𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:57)2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:137)(cid:138)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:92) (cid:22)(cid:82) = (cid:105)(cid:72)(cid:37)(cid:22)(cid:23) (cid:139) (cid:37)(cid:140)(cid:39)(cid:27)(cid:141)24(cid:102)
12(cid:37)(cid:142)(cid:94)(cid:27)(cid:82)(cid:143) (cid:37)(cid:39)(cid:85)(cid:58) (cid:68) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐴𝐵 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:69)16 𝐴𝐵 B(cid:69)8 C(cid:69)16(cid:144)8 D(cid:69)8(cid:144)4
(cid:15)(cid:70)(cid:71)2-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:126)(cid:127)(cid:146)(cid:147)·(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82) (cid:85) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:82) (cid:85) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:82)(cid:148)
=9cm(cid:82)(cid:143) = (cid:69) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐷
𝐶𝐸 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:70)(cid:71)2-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:67)(cid:153)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82) (cid:22)(cid:82) = =8(cid:82) (cid:154) (cid:105)(cid:72)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:82)
(cid:148) (cid:37)(cid:140)(cid:39)(cid:154)22(cid:82)(cid:143) (cid:37)(cid:140)(cid:39)(cid:85) (cid:69) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 10,𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:70)(cid:71)2-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:155)(cid:127)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115) (cid:85)(cid:91)(cid:156)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:157)(cid:158) (cid:82)(cid:159) (cid:104)(cid:117)(cid:160)(cid:101)C(cid:53)(cid:101)B(cid:137)(cid:161)(cid:82)
(cid:114)(cid:115) (cid:162)(cid:163)(cid:82)(cid:117)(cid:164)(cid:53) (cid:37)(cid:133)(cid:101)(cid:165)(cid:154)D(cid:69) ① 𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
② 𝐵𝐶
(1)(cid:166)(cid:92)(cid:115) (cid:22)(cid:167)(cid:168) (cid:105) (cid:72)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:169)
② △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶(2)(cid:148) =10cm(cid:82) =15cm(cid:82)(cid:38) (cid:53) (cid:37)(cid:140)(cid:39)(cid:170)(cid:69)
【题型
𝐴𝐵3
利用三角
𝐴
形
𝐶
的中线求面积
△
】
𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:57)3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:175)(cid:176) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:154)36(cid:82)(cid:101) (cid:27)(cid:131)(cid:92)(cid:105) (cid:82) (cid:72)(cid:82)(cid:130)
= (cid:82) = (cid:82) (cid:53) (cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:101)F(cid:82)(cid:148) (cid:37)△(cid:41)𝐴(cid:42)𝐵𝐶(cid:154)3(cid:82)(cid:143)(cid:115)(cid:22)(cid:177)(cid:178)𝐷(cid:94),𝐸(cid:27)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:154)𝐵𝐶(cid:58) 𝐴 (cid:68)𝐶
𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐸 2𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 △𝐴𝐸𝐹
A(cid:69)7 B(cid:69)8 C(cid:69)9 D(cid:69)10
(cid:15)(cid:70)(cid:71)3-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:179)(cid:147)(cid:180)(cid:56)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:162)(cid:163)(cid:82) (cid:85) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:82) (cid:85) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:69)
𝐴𝑀 △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝑁 △𝐴𝐶𝑀
(1)(cid:92) (cid:22)(cid:108) (cid:105)(cid:72)(cid:37)(cid:28)(cid:169)
(2)(cid:148)△𝐶𝑀𝑁(cid:37)(cid:41)(cid:42)𝐶𝑀(cid:154)36(cid:82) =6(cid:82)(cid:143)(cid:101) (cid:181) (cid:105)(cid:37)(cid:182)(cid:183)(cid:85)(cid:184)(cid:90)(cid:185)
(cid:15)(cid:70)(cid:71)△3𝐴-𝐵2(cid:19)𝐶(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)𝐶(cid:72)𝑀·(cid:186)(cid:187)(cid:172)(cid:188)(cid:188)𝑁(cid:189)(cid:190)𝐵𝐶·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:154)S(cid:82)(cid:108) (cid:37)(cid:22)(cid:23) (cid:82)(cid:191)
(cid:37)(cid:22)(cid:101) (cid:82)(cid:97)(cid:98) (cid:192)(cid:181)(cid:193)(cid:91)(cid:99) (cid:169)(cid:108) (cid:37)(cid:22)△(cid:23)𝐴𝐵𝐶 (cid:82)(cid:191) (cid:37)(cid:22)(cid:101)△𝐴(cid:82)𝐵𝐶(cid:97)(cid:98) 𝐴𝐶(cid:192)1(cid:181)(cid:193)
𝐴(cid:91)𝐵(cid:99) 𝐴1 …(cid:169)(cid:137)𝐴1(cid:194)𝐶1(cid:195)(cid:196)(cid:37)(cid:197)(cid:108)(cid:82)△(cid:143)𝐴(cid:193)1𝐵2𝐶0124(cid:99)△𝐴1𝐵𝐶1 (cid:37)𝐴1(cid:41)𝐶(cid:42)2 (cid:154) 𝐴 1 𝐵 (cid:69)𝐴2 𝐴2𝐶2
△𝐴2𝐵𝐶2 △𝐴2024𝐵𝐶2024
(cid:15)(cid:70)(cid:71)3-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:15)(cid:202)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:19)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:139)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:27)(cid:141)(cid:41)(cid:42)(cid:132)(cid:50)(cid:37)(cid:142)(cid:94)(cid:27)(cid:69)
(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:114)(cid:115)1(cid:82)(cid:92) (cid:22)(cid:82)(cid:101)D(cid:85)(cid:105) (cid:72)(cid:37)(cid:22)(cid:101)(cid:82)(cid:97)(cid:98) (cid:69)(cid:38)(cid:55)(cid:10) = (cid:69)
(cid:55)(cid:56)(cid:10)(cid:205)(cid:101)A(cid:108) △𝐴𝐵𝐶(cid:134)E(cid:82) 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:101)D(cid:85)(cid:105) (cid:72)(cid:37)𝐴𝐸(cid:22)⊥(cid:101)𝐵(cid:82)𝐶
∵ = (cid:82)𝐵𝐶
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷= 1 (cid:82) = 1 (cid:82)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷⋅𝐴𝐸
= (cid:69)
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:19)
(cid:58)1(cid:68)(cid:114)(cid:115)2(cid:82)(cid:92) (cid:22)(cid:82)(cid:101)D(cid:85) (cid:105)(cid:72)(cid:37)(cid:22)(cid:101)(cid:82)(cid:148) =6(cid:82)(cid:143) =_____(cid:169)
(cid:58)2(cid:68)(cid:114)(cid:115)3(cid:82)(cid:92) △𝐴𝐵𝐶 (cid:22)(cid:82)(cid:101)D(cid:85) 𝐵𝐶 (cid:105)(cid:72)(cid:37)(cid:101)(cid:82)(cid:130) 𝑆△ = 𝐴𝐵𝐶 (cid:82)(cid:38) 𝑆△ (cid:37) 𝐴𝐵𝐷 (cid:52)(cid:169)
𝑆△𝐴𝐵𝐷
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐷 2𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:202)(cid:20)(cid:210)(cid:211)(cid:19)
(cid:58)3(cid:68)(cid:204)(cid:92)(cid:54)(cid:91)(cid:212)(cid:63)(cid:105)(cid:36)(cid:213)(cid:214) (cid:82)(cid:114)(cid:115)4(cid:82)(cid:215)(cid:24)(cid:216)(cid:142)(cid:16)(cid:217)(cid:218)(cid:27)(cid:195)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:82)(cid:166)(cid:219)(cid:205)(cid:108)(cid:115)(cid:218)(cid:27)(cid:63)(cid:105)(cid:36) (cid:37)
(cid:41)(cid:42)(cid:69) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:58)(cid:217)(cid:38)(cid:10)(cid:34)(cid:136)(cid:220)(cid:205)(cid:35)(cid:88)(cid:37)(cid:23)(cid:77)(cid:167)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:51)(cid:82)(cid:222)(cid:104)(cid:108)(cid:51)(cid:223)(cid:224)(cid:81)(cid:56)(cid:82)(cid:122)(cid:33)(cid:34)(cid:225)(cid:226)(cid:40)(cid:37)(cid:106)(cid:227)(cid:69)(cid:68)
【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】
(cid:15)(cid:57)4(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:125)·(cid:67)(cid:153)(cid:68)(cid:54)(cid:91)(cid:231)(cid:20)(cid:232)“(cid:92) (cid:22)(cid:82) (cid:85)(cid:105) (cid:72)(cid:37)(cid:28)(cid:82) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:53)
(cid:105) (cid:133)(cid:134)(cid:101)F(cid:69)(cid:148) =50°(cid:82) =20°(cid:82)(cid:38) (cid:37)(cid:40)△(cid:233)𝐴(cid:69)𝐵𝐶”(cid:104)(cid:134)(cid:234)𝐴𝐷(cid:235)(cid:236)(cid:69)𝐵(cid:215)𝐶(cid:235)(cid:10) ∠𝐴=𝐵𝐶110°(cid:69)(cid:216)(cid:235)(cid:10)
𝐴𝐶 =95°(cid:69)(cid:237)(cid:235)∠(cid:10)𝐴𝐵𝐶 =13∠5𝐶°(cid:69)𝐴𝐷(cid:143)(cid:83)(cid:84)(cid:37)(cid:85)(cid:58)∠𝐵 𝐹 (cid:68)𝐴 ∠𝐵𝐹𝐴
∠𝐵𝐹A𝐴(cid:69)(cid:215)(cid:102)(cid:216) ∠B𝐵(cid:69)𝐹𝐴(cid:216)(cid:102)(cid:237) C(cid:69)(cid:215)(cid:102)(cid:237) D(cid:69)(cid:238)(cid:54)(cid:216)
(cid:15)(cid:70)(cid:71)4-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:242)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:175)(cid:176)AD(cid:85) ABC(cid:37)(cid:28)(cid:82) BAD(cid:243)70°(cid:82) CAD(cid:243)20°(cid:82)(cid:38) BAC
(cid:37)(cid:40)(cid:233)(cid:69) △ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:70)(cid:71)4-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:229)(cid:244)·(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:68)(cid:92) (cid:22)(cid:82) =35°(cid:82) (cid:85) (cid:105)(cid:72)(cid:37)(cid:28)(cid:130) = (cid:82)
(cid:143) (cid:37)(cid:40)(cid:233)(cid:85) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵
(cid:15)∠(cid:70)𝐵(cid:71)𝐶𝐴4-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:63)(cid:64)(cid:147)(cid:245)·(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:68)(cid:175)(cid:176)(cid:10) (cid:24) (cid:85) (cid:37)(cid:28)(cid:82)(cid:106)(cid:23) (cid:24) (cid:132)(cid:133)(cid:162)(cid:141)
𝐵𝐷 𝐶𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸(cid:37)(cid:25)(cid:22)(cid:54)(cid:91)(cid:99)(cid:25)(cid:154)56°(cid:82)(cid:143) (cid:37)(cid:40)(cid:233)(cid:154) (cid:69)(cid:58)(cid:246)(cid:163)(cid:10)(cid:63)(cid:105)(cid:36)(cid:93)(cid:25)(cid:102)(cid:154)360°(cid:68)
【题型5 等积法求值】 ∠ 教 𝐵𝐴 辅 𝐶 资源，关注公众号 全科AA+
(cid:15)(cid:57)5(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:63)(cid:64)(cid:247)(cid:248)·(cid:67)(cid:153)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:106)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36) (cid:22)(cid:82) =90°(cid:82) =10(cid:82) =8(cid:82)
=6(cid:82)(cid:101)D(cid:85)(cid:105) (cid:72)(cid:91)(cid:249)(cid:101)(cid:82)(cid:108)(cid:106)(cid:23) (cid:250)(cid:205)(cid:101)C(cid:24)(cid:101)D(cid:82)𝐴(cid:27)𝐵(cid:131)𝐶(cid:205)(cid:101)∠A𝐴(cid:82)𝐶𝐵B(cid:108) (cid:53)𝐴𝐵(cid:251)(cid:106)(cid:82) 𝐴𝐶(cid:53) (cid:251)
(cid:106)𝐵𝐶(cid:82)(cid:251)(cid:252)(cid:27)(cid:131)(cid:154)(cid:101)F𝐴(cid:82)𝐵E(cid:69)(cid:253)(cid:23)(cid:77) (cid:82) 𝑀(cid:37)𝑁(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:131)(cid:154) (cid:82) (cid:82)(cid:143) + (cid:37)(cid:254)(cid:255)𝐴(cid:52)𝐹 (cid:154)𝑀 𝑁 (cid:69)𝐵𝐸 𝑀𝑁
𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝑑1 𝑑2 𝑑1 𝑑2
(cid:15)(cid:70)(cid:71)5-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:126)(cid:127)(cid:127)(cid:198)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82) (cid:82)(cid:251)(cid:252)(cid:154) (cid:82) =15(cid:82) =20(cid:82)
=25(cid:69) (cid:85)(cid:23)(cid:77) (cid:72)(cid:37)(cid:256)(cid:257)(cid:91)(cid:101)(cid:82)(cid:97)(cid:98) (cid:82) (cid:37)(cid:39)
𝐴
(cid:136)
．𝐶
(cid:122)
⊥．
(cid:258)
𝐵．𝐶
(cid:85)(cid:58) (cid:68)
𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝑃 𝐴𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐶
A(cid:69)11 B(cid:69)12 C(cid:69)13 D(cid:69)16
(cid:15)(cid:70)(cid:71)5-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:259)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:92) (cid:22)(cid:82) =90°( < )(cid:82)(cid:101)D(cid:82)P(cid:27)(cid:131)
(cid:92)(cid:105) (cid:82) (cid:72)(cid:82)(cid:130) = (cid:82) (cid:82) (cid:82)(cid:251)(cid:252)(cid:27)(cid:131)△(cid:154)𝐴𝐵(cid:101)𝐶E(cid:69)F∠(cid:69)𝐶(cid:148) ∠=𝐴24∠(cid:82)𝐴𝐵𝐶=8(cid:82)(cid:143) +
(cid:37)(cid:52)𝐴 𝐵 𝐴𝐶(cid:69) 𝐵𝑃 𝐴𝑃 𝐷𝐸⊥𝐵𝑃 𝐷𝐹⊥𝐴𝑃 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:70)(cid:71)5-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:155)(cid:127)(cid:147)(cid:240)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:92) (cid:22)(cid:82) = (cid:82)D(cid:154) (cid:22)(cid:101)(cid:82)(cid:205)(cid:101)D(cid:108)
(cid:82) =3(cid:82)E(cid:154) (cid:72)(cid:91)(cid:101)(cid:82)(cid:205)(cid:101)E(cid:108) (cid:82)△𝐴𝐵𝐶 (cid:82) 𝐴𝐵=4𝐴.2𝐶(cid:82)(cid:143) 𝐵=𝐶 (cid:69)
𝐷𝑃⊥𝐴𝐵 𝐷𝑃 𝐵𝐶 𝐸𝑀⊥𝐴𝐵 𝐸𝑁⊥𝐴𝐶 𝐸𝑀 𝐸𝑁【题型6 与角平分线有关的求值】
(cid:15)(cid:57)6(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:172)(cid:260)(cid:260)(cid:261)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82) = = = (cid:82)(cid:143) (cid:85) (cid:37)(cid:58) (cid:68)
∠1 ∠2 ∠3 ∠4 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:69)(cid:28)(cid:23) B(cid:69)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23) C(cid:69)(cid:22)(cid:23) D(cid:69)(cid:123)(cid:72)(cid:259)(cid:136)(cid:85)
(cid:15)(cid:70)(cid:71)6-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:259)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115) (cid:22)(cid:82)(cid:175)(cid:176) =60°(cid:82) (cid:26)(cid:27) (cid:82)(cid:143)
(cid:37)(cid:40)(cid:233)(cid:85)(cid:58) (cid:68) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝑀 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝐶𝑀
A(cid:69)15° B(cid:69)30° C(cid:69)35° D(cid:69)45°
(cid:15)(cid:70)(cid:71)6-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:137)(cid:138)(cid:262)(cid:263)·(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:68)(cid:264)(cid:265)(cid:62)(cid:80)(cid:55)(cid:56)(cid:205)(cid:266)(cid:22)(cid:37)(cid:267)(cid:268)(cid:116)(cid:44)(cid:10)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:114)(cid:115)(cid:162)(cid:163)(cid:82)
(cid:82) (cid:132)(cid:133)(cid:134) (cid:82) (cid:26)(cid:27) (cid:53) (cid:132)(cid:133)(cid:134) (cid:82) (cid:26)(cid:27) (cid:53) (cid:132)(cid:133)(cid:134) (cid:82) = (cid:69)
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐷𝐹 ∠𝐶𝐷𝑂 𝐴𝐶 𝐹 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝑂 𝐴𝐶 𝐸 ∠𝐴 ∠𝐶
(cid:38)(cid:55)(cid:10) = (cid:69)
(cid:55)(cid:56)(cid:10)∠1 =∠2 (cid:58) (cid:68)(cid:82)
∵∠(cid:58)𝐴 ∠ 𝐶 (cid:68)(cid:82)
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:58) (cid:68)(cid:82)
∴∠𝐴(cid:82)𝐵𝑂 (cid:27)∠(cid:131)𝐶𝐷(cid:85)𝑂 (cid:102) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:82)
∵𝐵𝐸 𝐷𝐹 ∠𝐴𝐵𝑂 ∠𝐶𝐷𝑂= (cid:82) = (cid:82)(cid:58) (cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝑂= 2∠(cid:58)2 ∠ 𝐶 𝐷 𝑂(cid:68)(cid:82)2∠1
(cid:269)∴2∠2= 2∠(cid:69)1
(cid:15)∠(cid:70)2(cid:71)6∠-31(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:137)(cid:138)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:92) ABC(cid:22)(cid:82)(cid:101)O(cid:154) (cid:102) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:133)(cid:101)(cid:82)(cid:97)
(cid:98) (cid:82)(cid:108) AOB(cid:37)(cid:91)(cid:88)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)AD(cid:69)(cid:148) △= (cid:82)(cid:143) + ∠(cid:37)AB(cid:40)C(cid:233)(cid:154)∠A(cid:58)C B (cid:68)
OA, OB, OC △ ∠BAC α ∠1 ∠2
A(cid:69)90°+ 3 B(cid:69)120°+ 1 C(cid:69)160° D(cid:69) 1
4 2 4
𝛼 𝛼 180°− 𝛼
【题型7 与角平分线有关的证明】
教辅资源，关注公众号 全科AA+
(cid:15)(cid:57)7(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:149)(cid:150)(cid:187)(cid:270)·(cid:67)(cid:153)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82) (cid:22)(cid:82) (cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:82) (cid:82)(cid:251)(cid:252)(cid:154) (cid:69)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸⊥𝐴𝐷 𝐸
(1)(cid:175)(cid:176) =70°(cid:82) =30°(cid:82)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:233)(cid:169)
(2)(cid:148) ∠𝐴𝐵=𝐶 (cid:82)(cid:38)∠(cid:55)𝐶(cid:10) =∠𝐴𝐷(cid:69)𝐵
(cid:15)(cid:70)(cid:71)∠𝐴7𝐵-1𝐶(cid:19)(cid:58)3∠24𝐶-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)∠(cid:72)𝐷·𝐵(cid:228)𝐸(cid:229)(cid:230)∠𝐶(cid:125)·(cid:67)(cid:153)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:92) (cid:22)(cid:82) =46°(cid:82) =54°(cid:82) (cid:26)(cid:27)
(cid:133) (cid:134)(cid:101) (cid:82)(cid:101) (cid:85)(cid:105) (cid:72)(cid:91)(cid:101)(cid:82)(cid:148) =40°(cid:82)(cid:38)(cid:55)(cid:10)△𝐴𝐵𝐶 (cid:69)∠𝐵 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐵
(cid:15)(cid:70)(cid:71)7-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:271)(cid:261)(cid:272)(cid:147)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:92) (cid:22)(cid:82) =90°(cid:82) (cid:134) (cid:82) (cid:85) (cid:37)(cid:26)
(cid:27)(cid:23)(cid:82)(cid:133) (cid:134) (cid:82)(cid:133) (cid:134) (cid:82)(cid:38)(cid:55)(cid:10) = △(cid:69)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷 𝐶𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵
𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐴𝐹𝐸(cid:15)(cid:70)(cid:71)7-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:72)·(cid:186)(cid:187)(cid:172)(cid:189)(cid:190)(cid:273)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:15)(cid:274)(cid:176)(cid:19)(cid:58)1(cid:68)(cid:114)(cid:115)①(cid:82) (cid:82) =40°(cid:82)
=130°(cid:82)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:233)(cid:69)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:181)(cid:278)(cid:123)(cid:62)(cid:221)(cid:51)(cid:82)(cid:166)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:141)(cid:267)(cid:268)(cid:205)(cid:266)(cid:69)𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ∠𝐴𝐸𝑃
∠(cid:210)𝑃(cid:10)𝐹𝐷(cid:114)(cid:115)①(cid:82)(cid:205)(cid:101)∠𝐸(cid:108)𝑃𝐹 (cid:69)
(cid:15)(cid:208)(cid:209)(cid:19)(cid:58)2(cid:68)(cid:114)(cid:115)𝑃②(cid:82)𝑃𝑀∥𝐴𝐵 (cid:82) =50°(cid:82) =120°(cid:82)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:233)(cid:169)
(cid:15)(cid:282)(cid:34)(cid:19)(cid:58)3(cid:68)(cid:114)(cid:115)③(cid:82)𝐴(cid:92)𝐵(cid:58)∥𝐶2𝐷(cid:68)(cid:88)∠(cid:283)𝐴𝐸(cid:62)𝑃(cid:82) (cid:37)∠𝑃(cid:26)𝐹(cid:27)𝐶(cid:23)(cid:102) (cid:37)∠(cid:26)𝐸𝑃(cid:27)𝐹(cid:23)(cid:133)(cid:134)(cid:101) (cid:82)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:233)(cid:69)
∠𝑃𝐸𝐴 ∠𝑃𝐹𝐶 𝐺 ∠𝐺
