文档文本内容
专题 13.2 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
题型归纳
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:41)(cid:42)(cid:19)....................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:43)(cid:44)(cid:28)(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:38)(cid:25)(cid:40)(cid:19)..........................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:50)(cid:42)(cid:51)(cid:38)(cid:52)(cid:19)..........................................................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:19)......................................................................................................................19
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:55)(cid:56)(cid:19)......................................................................................................................22
举一反三
知识点1 三角形的中线 全
科AA+
★
号
众
公
注
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:7)(cid:14)，(cid:19)关(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:7)(cid:20)(cid:8)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:4)(cid:24)(cid:7)(cid:20)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:11)(cid:14)(cid:8)(cid:4)(cid:5)
源
资
辅
教
(cid:6)(cid:4)(cid:24)(cid:7)(cid:20)(cid:19)(cid:26)(cid:14)(cid:22)(cid:23)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:28)(cid:29).(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:30)(cid:31).
知识点2 三角形的角平分线
(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:11)(cid:12)(cid:5)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:20)(cid:34)(cid:35)(cid:12)(cid:5)(cid:19)(cid:17)(cid:18)(cid:25)(cid:26)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:35)(cid:12)(cid:5)(cid:19)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:26)(cid:14)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5)(cid:32)(cid:33)(cid:20).(cid:36)
(cid:37)(cid:11)(cid:12)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:38)(cid:39)(cid:4)(cid:24)(cid:5)(cid:32)(cid:33)(cid:20)(cid:8)(cid:4)(cid:24)(cid:5)(cid:32)(cid:33)(cid:20)(cid:26)(cid:27)(cid:11)(cid:14)(cid:8)(cid:40)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:30)(cid:31).
知识点3 三角形的高
1.(cid:41)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:42)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:18)(cid:43)(cid:3)(cid:44)(cid:20)(cid:45)(cid:46)(cid:20)(cid:8)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:49).
2.(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:4)(cid:24)(cid:49)(cid:19)(cid:50)(cid:51)
(cid:52)(cid:53) (cid:54)(cid:5)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:44)(cid:5)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:55)(cid:5)(cid:4)(cid:5)(cid:6)
(cid:56)(cid:57)
(cid:49)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:30)(cid:31)(cid:19)(cid:58)(cid:59) 3 1 1(cid:49)(cid:81)(cid:48)(cid:66)(cid:111)(cid:25)(cid:26) (cid:25)(cid:26) (cid:25)(cid:26) (cid:107)(cid:25)(cid:26)
(cid:49)(cid:43)(cid:3)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:66)(cid:111)(cid:25)(cid:26) (cid:25)(cid:26) (cid:25)(cid:26) (cid:25)(cid:26)
(cid:4)(cid:24)(cid:49)(cid:43)(cid:3)(cid:44)(cid:20)(cid:19)(cid:26)(cid:14)(cid:19)(cid:112)(cid:113) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:30)(cid:31) (cid:44)(cid:5)(cid:13)(cid:14) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:114)(cid:31)
【题型1 中线、
角平分线、高概念辨析】
(cid:15)(cid:57)1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:60)(cid:56)(cid:8)(cid:3) (cid:7)(cid:8)(cid:61)(cid:27)(cid:49)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:19)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:68)(cid:69)
△𝐴𝐵𝐶
A(cid:69)(cid:20)(cid:21) (cid:66) (cid:18)(cid:70)(cid:19)(cid:49) B(cid:69)(cid:20)(cid:21) (cid:66) (cid:18)(cid:70)(cid:19)(cid:49)
C(cid:69)(cid:20)(cid:21)𝐴𝐷(cid:66)𝐴𝐵(cid:18)(cid:70)(cid:19)(cid:49) D(cid:69)(cid:20)(cid:21)𝐵𝐸(cid:66)𝐴𝐶(cid:18)(cid:70)(cid:19)(cid:49) 科AA+
全
★
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)B 𝐶𝐹 𝐴𝐶 𝐶众𝐹 号 𝐵𝐶
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5)(cid:32)资(cid:33)(cid:20)(cid:76)(cid:7)(cid:20)(cid:76)(cid:49)(cid:19)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:41)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:42)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:18)(cid:80)(cid:46)(cid:20)(cid:8)(cid:46)(cid:47)
辅
教
(cid:34)(cid:13)(cid:14)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:49)(cid:8)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:72)(cid:8)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:66)(cid:88)(cid:72)(cid:19)(cid:61)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:93)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:46)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:49)(cid:17)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:33)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:63)(cid:105)(cid:88)(cid:90)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:88)(cid:79) (cid:27)(cid:14) (cid:8)
(cid:7)(cid:8) ∵𝐴(cid:66)𝐷⊥(cid:18)𝐵𝐶(cid:70)(cid:19)(cid:49)𝐷(cid:8)(cid:106)A(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:72)(cid:37)(cid:8)
∴△𝐴𝐵𝐶 (cid:8)(cid:20)𝐴𝐷(cid:21) 𝐵𝐶(cid:66) (cid:18)(cid:70)(cid:19)(cid:49)(cid:8)B(cid:95)(cid:96)(cid:108)(cid:109)(cid:72)(cid:37)(cid:110)
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶(cid:27)(cid:14) (cid:8)𝐵𝐸 𝐴𝐶
∵𝐶𝐹(cid:66)⊥𝐴𝐵(cid:18)(cid:70)(cid:19)𝐹(cid:49)(cid:8)(cid:106)C(cid:95)(cid:96)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:72)(cid:37)(cid:8)D(cid:95)(cid:96)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:72)(cid:37)(cid:90)
(cid:106)∴(cid:95)𝐶𝐹(cid:79)B𝐴(cid:90)𝐵
(cid:15)(cid:74)(cid:75)1-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)·(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:68)(cid:62)(cid:84)(cid:85)(cid:51)(cid:22)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:37)(cid:89)(cid:58)(cid:90)(cid:90)(cid:68)
A(cid:69)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:89)(cid:23)(cid:81)(cid:86)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:91)(cid:23)
B(cid:69)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:92)(cid:28)(cid:22)(cid:86)(cid:93)(cid:94)(cid:54)(cid:95)(cid:92)(cid:96)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:97)(cid:98)
C(cid:69)(cid:99)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:92)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:96)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:98)
D(cid:69)(cid:96)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:86)(cid:101)(cid:102)(cid:95)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:22)(cid:105)(cid:37)(cid:110)(cid:23)(cid:111)(cid:112)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:53)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:23)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:89)(cid:117)(cid:73)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:86)(cid:44)(cid:120)(cid:27)
(cid:32)(cid:121)(cid:122)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10)A(cid:69)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:123)(cid:89)(cid:23)(cid:81)(cid:86)(cid:124)(cid:120)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)
B(cid:69)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:92)(cid:28)(cid:22)(cid:86)(cid:93)(cid:94)(cid:54)(cid:95)(cid:92)(cid:96)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:97)(cid:98)(cid:86)(cid:124)(cid:132)(cid:125)(cid:126)(cid:128)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)
C(cid:69)(cid:99)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:92)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:123)(cid:96)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:97)(cid:98)(cid:86)(cid:124)(cid:120)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)
D(cid:69)(cid:96)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:86)(cid:101)(cid:102)(cid:95)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:22)(cid:105)(cid:37)(cid:23)(cid:81)(cid:111)(cid:133)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86)(cid:124)(cid:120)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:69)
(cid:124)(cid:125)(cid:10)B(cid:69)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)1-2(cid:19)(cid:58)2025·(cid:134)(cid:135)(cid:39)(cid:136)·(cid:137)(cid:138)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:141)(cid:44)(cid:62)(cid:84)(cid:140)(cid:36)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:37)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:122)(cid:147)(cid:148)(cid:118) (cid:89) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)
(cid:37)(cid:89)(cid:58) (cid:68) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:69) B(cid:69)
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
C(cid:69) D(cid:69)
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:106)(cid:150)(cid:142)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:96)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:140)(cid:36)(cid:86)(cid:141)(cid:44) (cid:89) (cid:37)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:23)(cid:86)(cid:122)(cid:156)(cid:157) (cid:89) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)(cid:158)(cid:141)(cid:44)(cid:150)(cid:142)(cid:122)(cid:159)(cid:160) (cid:53) (cid:89)(cid:108)(cid:161)(cid:105)(cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:38)(cid:157)(cid:70)𝐴𝐷(cid:71)(cid:69)△𝐴𝐵𝐶
′
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10)(cid:162)𝐴𝐷(cid:140)(cid:36)∠(cid:122)𝐵𝐴(cid:159)𝐶(cid:86)(cid:163) (cid:89) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)(cid:141)(cid:44)𝐶(cid:142)(cid:143)𝐶(cid:3)(cid:164)(cid:122)(cid:165) = (cid:86)(cid:125)(cid:126)(cid:22)(cid:128)(cid:129)(cid:166)
′
(cid:95)(cid:92)(cid:167)(cid:168)(cid:54)B(cid:69) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:124)(cid:125)(cid:10)B(cid:69)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)1-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:96) (cid:22)(cid:86) =90°(cid:86)(cid:173) (cid:86) (cid:86) (cid:27)(cid:174)(cid:89)
(cid:37)(cid:28)(cid:23)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:106)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)(cid:173) (cid:53) (cid:175)(cid:176)(cid:153)(cid:105) (cid:86)(cid:62)(cid:84)(cid:177)(cid:49)(cid:127)(cid:95)(cid:118)(cid:87)(cid:88)(cid:37)(cid:89)(cid:58) (cid:68)
△𝐴𝐵𝐶．．．∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐹 △𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝐵𝐹 𝐺A(cid:69) = B(cid:69) = C(cid:69) = D(cid:69) <
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)∠𝐵D𝐴𝐷 ∠𝐶 ∠𝐴𝐺𝐹 ∠𝐴𝐹𝐺 𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐶−𝐴𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:106)(cid:28)(cid:86)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:86)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:118)(cid:117)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:165)
(cid:157) (cid:86)(cid:165)(cid:157) + =90°(cid:86)(cid:158)(cid:177)(cid:129) =90°(cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:148)(cid:178)(cid:125)(cid:126)A(cid:131)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:148)(cid:178)
(cid:125)(cid:126)𝐴𝐷B⊥(cid:131)𝐵(cid:33)𝐶(cid:34)(cid:22)(cid:23)∠(cid:118)𝐴(cid:119)𝐵𝐶(cid:165)(cid:157)∠𝐵𝐴𝐷= (cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:148)(cid:178)(cid:125)∠𝐵(cid:126)𝐴𝐶C(cid:131)(cid:179)(cid:51)(cid:165)(cid:157)(cid:125)(cid:126)D(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10)A(cid:24) (cid:89) 𝐵𝐸 (cid:37)𝐶(cid:28)𝐸(cid:23)(cid:86)
(cid:86) ∵𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°(cid:86)
∴∠𝐴𝐷𝐶+ + =180°(cid:86)
∵∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐶𝐴𝐷 =∠9𝐴0°𝐷(cid:86)𝐶
∴∠𝐴𝐶𝐷=∠90𝐴°𝐷(cid:86)𝐶
∵∠𝐵𝐴𝐶 + =90°(cid:86)
∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴(cid:86)𝐷
∴(cid:177)∠𝐵(cid:49)𝐴𝐷A(cid:87)∠(cid:88)𝐶(cid:86)(cid:124)(cid:180)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)
科AA+
全
★
号
∴B(cid:24) (cid:89) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86) 公 众
注
关
，
源
资
∵𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶(cid:86) 辅
教
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹 =90°(cid:86)
∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵= + (cid:86)
∴∠𝐴𝐵𝐹 =∠𝐴𝐹𝐵(cid:86)∠𝐷𝐵𝐺 ∠𝐵𝐺𝐷
∴∠𝐵𝐺𝐷=∠𝐴𝐺𝐹(cid:86)
∵∠𝐵𝐺𝐷= ∠𝐴𝐺𝐹(cid:86)
∴(cid:177)∠𝐴(cid:49)𝐺𝐹B(cid:87)∠(cid:88)𝐴𝐹(cid:86)𝐺(cid:124)(cid:180)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)
C∴(cid:24) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86)
∵=𝐴𝐸 (cid:86)△𝐴𝐵𝐶
∴𝐵1𝐸 𝐶𝐸 = 1 (cid:86)
2 2
∴ 𝐵𝐸⋅𝐴𝐷 𝐶𝐸⋅𝐴𝐷
(cid:121) = (cid:86)
(cid:177)𝑆△(cid:49)𝐴𝐵C𝐸(cid:87)(cid:88)𝑆△(cid:86)𝐴𝐸(cid:124)𝐶 (cid:180)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)
∴D(cid:24) < (cid:86)(cid:181)(cid:127)(cid:95)(cid:118)(cid:182)(cid:153) (cid:86)
(cid:124)(cid:125)∵(cid:126)𝐴𝐶D−(cid:183)𝐴𝐸(cid:184)(cid:86)𝐶(cid:128)𝐸(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:86) 𝐷𝐸(cid:124)(cid:125)(cid:10)D(cid:69)
【题型2 利用三角形的中线求长度】
(cid:15)(cid:57)2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:185)(cid:186)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:96) (cid:22)(cid:86) = (cid:109)(cid:76)(cid:37)(cid:22)(cid:23) (cid:187) (cid:37)(cid:188)(cid:39)(cid:27)(cid:189)24(cid:106)
12(cid:37)(cid:190)(cid:98)(cid:27)(cid:86)(cid:191) (cid:37)(cid:39)(cid:89)(cid:58) (cid:68) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐴𝐵 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:69)16 𝐴𝐵 B(cid:69)8 C(cid:69)16(cid:192)8 D(cid:69)8(cid:192)4
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)A
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:95)(cid:195)(cid:95)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:37)(cid:199)(cid:34)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:24)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:109)(cid:3)(cid:164)(cid:50)(cid:159)(cid:200)(cid:105)(cid:86)(cid:201)(cid:202)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)
(cid:203)(cid:204)(cid:89)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:69)
(cid:205) = = (cid:86) = (cid:86)(cid:191) = = 1 (cid:86)(cid:158)(cid:27) + =24(cid:173) + =12(cid:106) + =12(cid:173)
2
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑥 𝐵𝐶 𝑦 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝑥 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐶
+ =24(cid:190)(cid:206)(cid:145)(cid:146)(cid:27)(cid:174)(cid:84)(cid:157)(cid:95)(cid:195)(cid:95)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:38)(cid:73)(cid:207)(cid:208)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:109)(cid:3)(cid:164)(cid:148)(cid:178)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:70)(cid:69)
𝐵 (cid:15) 𝐷 (cid:72)(cid:73) 𝐵 (cid:19) 𝐶 (cid:73)(cid:10)(cid:205) = = (cid:86) = (cid:191) = = 1 (cid:86)
2
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑥 𝐵𝐶 𝑦 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝑥
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
1
+ =24 =16
(cid:209) + =24(cid:173) + =12(cid:210)(cid:86)(cid:121) 1 2 + =12 (cid:86)(cid:73)(cid:165)(cid:10) =4 (cid:86)
2𝑥 𝑥 𝑥
𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝑥 𝑦 𝑦
= =16(cid:86) =4(cid:86)
∴𝐴16𝐵+4𝐴𝐶 16(cid:86) 𝐵𝐶
∵(cid:211)(cid:212)(cid:189)(cid:35)≥(cid:25)(cid:36)(cid:86)(cid:121) =16(cid:128)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)
∴ 𝐴𝐵 1
+ =12 =8
(cid:209) + =12(cid:173) + =24(cid:210)(cid:86)(cid:121) 1 2 + =24 (cid:86)(cid:73)(cid:165)(cid:10) =20 (cid:131)
2𝑥 𝑥 𝑥
𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝑥 𝑦 𝑦
= =8(cid:86) =20(cid:86)
∴𝐴8𝐵+8=𝐴𝐶16<20𝐵(cid:86)𝐶
∵(cid:35)(cid:109)(cid:127)(cid:211)(cid:212)(cid:189)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:86)(cid:121) =8(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)
∴(cid:213)(cid:76)(cid:86) (cid:37)(cid:39)(cid:89)16(cid:69) 𝐴𝐵
(cid:124)(cid:125)A(cid:69)𝐴𝐵
(cid:15)(cid:74)(cid:75)2-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:169)(cid:170)(cid:215)(cid:216)·(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86)(cid:163)
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐷=9cm(cid:86)(cid:191) = (cid:69)
𝐶𝐸 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)12
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:141)(cid:44) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86)(cid:165)(cid:217) = = 1 (cid:86) = 1 (cid:86)(cid:158)(cid:141)(cid:44)
2 2
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐷
= + = 3 (cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:165)(cid:217)(cid:70)(cid:71)(cid:69)
4
𝐶𝐸 𝐷𝐸 𝐶𝐷 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86)
= =
1∵𝐴𝐷
(cid:86)
△
=
𝐴𝐵1𝐶
(cid:86)
𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐷
2 2
∴𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐷
= + = 1 + 1 = 3 (cid:69)
4 2 4
∴𝐶𝐸
=
𝐷
9c
𝐸
m(cid:86)
𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐶 科AA+
全
★
号
众
∵𝐶𝐸 4 公
=9× =12cm 注
关
3 ，
源
资
辅
∴𝐵𝐶 教
(cid:124)(cid:70)(cid:71)(cid:218)(cid:10)12(cid:69)
(cid:15)(cid:105)(cid:219)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:89)(cid:220)(cid:82)(cid:201)(cid:202)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:175)(cid:3)(cid:159)(cid:200)(cid:69)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)2-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)·(cid:67)(cid:225)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86) (cid:22)(cid:86) = =8(cid:86) (cid:218) (cid:109)(cid:76)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86)
(cid:163) (cid:37)(cid:188)(cid:39)(cid:218)22(cid:86)(cid:191) (cid:37)(cid:188)(cid:39)(cid:89) (cid:69) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 10,𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)24
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:37)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:95)(cid:109)(cid:37)(cid:22)(cid:105)(cid:53)(cid:120)(cid:109)(cid:226)(cid:108)(cid:104)(cid:105)(cid:37)(cid:101)(cid:23)(cid:111)(cid:133)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:141)(cid:44)
(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:165)(cid:217) = (cid:86)(cid:158)(cid:141)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:188)(cid:39)(cid:7)(cid:75)(cid:227)(cid:228)(cid:121)(cid:122)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10) (cid:218) (cid:109)𝐵(cid:76)𝐷(cid:37)(cid:22)𝐷(cid:23)𝐶(cid:86)
= (cid:86) ∵𝐴𝐷 𝐵𝐶
∴𝐵𝐷 𝐷(cid:37)𝐶(cid:188)(cid:39)(cid:218)22(cid:86)
∵△𝐴𝐶𝐷+ + =22(cid:86)
∴𝐴𝐶+𝐴𝐷+𝐶𝐷 =22(cid:86)
∴𝐴𝐶=𝐴8𝐷(cid:86) 𝐵𝐷
∵𝐴𝐶 + =14(cid:86)
∴𝐴𝐷=𝐵10𝐷(cid:86)
∵𝐴𝐵 (cid:37)(cid:188)(cid:39)= + + =10+14=24(cid:86)
∴(cid:124)△(cid:70)𝐴(cid:71)𝐵(cid:218)𝐷(cid:10)24(cid:69) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:74)(cid:75)2-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:229)(cid:170)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140) (cid:89)(cid:95)(cid:230)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:231)(cid:232) (cid:86)(cid:233) (cid:108)(cid:142)(cid:234)(cid:105)C(cid:53)(cid:105)B(cid:185)(cid:129)(cid:86)
(cid:139)(cid:140) (cid:226)(cid:235)(cid:86)(cid:142)(cid:236)(cid:53) (cid:37)(cid:176)(cid:105)(cid:237)(cid:218)D(cid:69) ① 𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
② 𝐵𝐶
科AA+
全
(1)(cid:238)(cid:96)(cid:140) (cid:22)(cid:239)(cid:157) (cid:109) (cid:76)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:131) 号 ★
众
公
注
关
，
(2)(cid:163) =②10cm(cid:86) △𝐴=𝐵1𝐶5cm𝐵(cid:86)𝐶(cid:38) 源 (cid:53) (cid:37)(cid:188)(cid:39)(cid:240)(cid:69)
资
辅
教
(cid:15)(cid:70)(cid:71)𝐴𝐵(cid:19)(1)(cid:241)(cid:73)(cid:32)𝐴𝐶 △𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷
(2)5cm
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:37)(cid:89)(cid:150)(cid:142)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:162)(cid:150)(cid:142)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:165)(cid:217) = (cid:89)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:69)
(cid:58)1(cid:68)(cid:162)(cid:150)(cid:142)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:122)(cid:159) = (cid:86)(cid:242)(cid:144)(cid:101)(cid:102) (cid:121)(cid:122)(cid:131) 𝐵𝐷 𝐷𝐶
(cid:58)2(cid:68)(cid:162) = (cid:122)(cid:159) 𝐵𝐷 (cid:53)𝐷𝐶 (cid:37)(cid:188)(cid:39)𝐴(cid:240)𝐷(cid:50)(cid:153) (cid:53) (cid:37)(cid:240)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)𝐵(cid:58)𝐷1(cid:68)𝐷(cid:73)𝐶(cid:10)(cid:101)(cid:102)△𝐴𝐵(cid:86)𝐷(cid:139)(cid:140)△(cid:226)𝐴𝐶(cid:235)𝐷(cid:86)(cid:109) (cid:76)(cid:37)(cid:22)𝐴(cid:23)𝐵 𝐴(cid:218)𝐶(cid:226)(cid:38)(cid:131)
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷
(cid:58)2(cid:68)(cid:73)(cid:10) (cid:188)(cid:39)(cid:50)(cid:153) + + (cid:86) (cid:188)(cid:39)(cid:50)(cid:153) + + (cid:86)
(cid:162)(cid:20)(cid:130)(cid:165)(cid:86)∵△𝐴=𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷
(cid:53) 𝐵𝐷 (cid:37)𝐶𝐷(cid:188)(cid:39)(cid:240)(cid:50)(cid:153)( + + ) ( + + )
△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐷 − 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷= = =5(cm)
𝐴𝐶A−C𝐴D𝐵(cid:53) 1A5B−D1(cid:37)0 (cid:188)(cid:39)(cid:240)5cm(cid:69)
【 ∴△ 题型3 利 △ 用三角形的中线求面积】
(cid:15)(cid:57)3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:247)(cid:159) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:218)36(cid:86)(cid:105) (cid:27)(cid:174)(cid:96)(cid:109) (cid:86) (cid:76)(cid:86)(cid:173)
= (cid:86) = (cid:86) (cid:53) (cid:175)(cid:176)(cid:153)(cid:105)F(cid:86)(cid:163) (cid:37)△(cid:41)𝐴(cid:42)𝐵𝐶(cid:218)3(cid:86)(cid:191)(cid:140)(cid:22)(cid:248)(cid:249)𝐷(cid:98),𝐸(cid:27)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:218)𝐵𝐶(cid:58) 𝐴 (cid:68)𝐶
𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐸 2𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 △𝐴𝐸𝐹
A(cid:69)7 B(cid:69)8 C(cid:69)9 D(cid:69)10
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)C
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:37)(cid:227)(cid:228)(cid:86)(cid:106)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:112)(cid:157)(cid:87)(cid:88)(cid:37)(cid:250)(cid:251)(cid:23)(cid:89)(cid:73)(cid:120)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:69)(cid:101)
(cid:102) (cid:86)(cid:162) (cid:53) (cid:50)(cid:28)(cid:86) = (cid:86)(cid:122)(cid:165)(cid:217) =2 (cid:69)(cid:252)(cid:253)(cid:218) (cid:53) (cid:50)(cid:254)(cid:50)(cid:28)(cid:86)
(cid:124) 𝐶 (cid:122) 𝐹 (cid:165) △𝐴 = 𝐸𝐹 △𝐶 = 𝐸𝐹1 = 𝐶𝐸 18(cid:86) 2 (cid:255) 𝐴𝐸 (cid:256) = 𝑆△𝐶𝐸𝐹 ★= 𝑆△ 9 𝐴 全(cid:86) 𝐸𝐹 (cid:252)
科AA
(cid:53) △
+
𝐴𝐵𝐷 (cid:50) △ (cid:254) 𝐴𝐶 (cid:50) 𝐷 (cid:28)(cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:165)
号
2 众
公
注
𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶 ， 关 𝑆△𝐶𝐹𝐷 18−3−6 △𝐵𝐹𝐷 △𝐶𝐹𝐷
(cid:157)(cid:248)(cid:249)(cid:98)(cid:27)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:69) 源
资
辅
教
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:101)(cid:102) (cid:86)
𝐶𝐹
= (cid:86) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:218)3
∵ 𝐶𝐸 2=𝐴𝐸2 △𝐴=𝐸𝐹6(cid:86)
∴ 𝑆△𝐶𝐸=𝐹 (cid:86)𝑆△𝐴𝐸𝐹 (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:218)36(cid:86)
∵ 𝐵𝐷 𝐶
=
𝐷 △𝐴
=
𝐵𝐶1
=18(cid:86)
2
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶
= =9(cid:86)
∴ 𝑆△𝐶𝐹𝐷 (cid:53)18−3−6(cid:50)(cid:254)(cid:50)(cid:28)(cid:86)
∵ △𝐵𝐹𝐷= △𝐶𝐹𝐷=9(cid:86)
∴(cid:140)𝑆(cid:22)△𝐵(cid:248)𝐹𝐷(cid:249)(cid:98)𝑆△(cid:27)𝐶𝐹(cid:37)𝐷(cid:41)(cid:42)(cid:218)9(cid:86)
(cid:124)∴(cid:125)(cid:10)C(cid:69)(cid:15)(cid:74)(cid:75)3-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:257)(cid:216)(cid:258)(cid:56)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:226)(cid:235)(cid:86) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:69)
𝐴𝑀 △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝑁 △𝐴𝐶𝑀
(1)(cid:96) (cid:22)(cid:112) (cid:109)(cid:76)(cid:37)(cid:28)(cid:131)
(2)(cid:163)△𝐶𝑀𝑁(cid:37)(cid:41)(cid:42)𝐶𝑀(cid:218)36(cid:86) =6(cid:86)(cid:191)(cid:105) (cid:217) (cid:109)(cid:37)(cid:259)(cid:260)(cid:89)(cid:261)(cid:94)(cid:262)
(cid:15)(cid:70)(cid:71)△(cid:19)𝐴(𝐵1𝐶)(cid:241)(cid:73)(cid:32) 𝐶𝑀 𝑁 𝐵𝐶
(2)3
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:112)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:86)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:10)
(cid:58)1(cid:68)(cid:141)(cid:44)(cid:263)(cid:110)(cid:23)(cid:100)(cid:95)(cid:105)(cid:112)(cid:247)(cid:159)(cid:110)(cid:23)(cid:37)(cid:264)(cid:23)(cid:37)(cid:197)(cid:51)(cid:112)(cid:140)(cid:121)(cid:122)(cid:131)
(cid:58)2(cid:68)(cid:265)(cid:266)(cid:141)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:187)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:27)(cid:189)(cid:175)(cid:50)(cid:37)(cid:190)(cid:98)(cid:27)(cid:122)(cid:165)(cid:157) = 1 = 1 ×36(cid:86)(cid:158)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
4 4
𝑆△𝐶𝑀𝑁 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:75)(cid:267)(cid:256)(cid:165)(cid:217)(cid:105) (cid:217) (cid:109)(cid:37)(cid:259)(cid:260)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:58)1(cid:68)(cid:73)(cid:10)(cid:139)(cid:140)(cid:226)(cid:235)𝑁(cid:86)𝐵𝐶(cid:218) (cid:109)(cid:76)(cid:37)(cid:28)(cid:131) 全
科AA+
★
号
众
公
注
𝑁𝐺 𝐶𝑀 关
，
源
资
辅
教
(cid:58)2(cid:68)(cid:73)(cid:10) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86) (cid:89) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:86)
= ∵1𝐴𝑀 (cid:86) △𝐴𝐵𝐶 = 1 𝐶𝑁 (cid:86) △𝐴𝐶𝑀
2 2
∴𝑆△𝐴𝐶𝑀 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐶𝑀𝑁 𝑆△𝐴𝐶𝑀
= 1 (cid:86)
4
∴𝑆△𝐶𝑀𝑁 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:218)36(cid:86) =6(cid:86)
∵△𝐴𝐵𝐶 = 1 = 𝐶1𝑀 × = 1 ×36(cid:86)
2 2 4
∴𝑆△𝐶𝑀𝑁 𝐶𝑀⋅𝑁𝐺 6𝑁𝐺
(cid:73)(cid:165) =3(cid:86)
(cid:121)(cid:105)𝑁𝐺(cid:217) (cid:109)(cid:37)(cid:259)(cid:260)(cid:218)3(cid:69)
(cid:15)(cid:74)𝑁(cid:75)3𝐵-2𝐶(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:268)(cid:269)(cid:244)(cid:270)(cid:270)(cid:271)(cid:272)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:218)S(cid:86)(cid:112) (cid:37)(cid:22)(cid:23) (cid:86)(cid:273)
(cid:37)(cid:22)(cid:105) (cid:86)(cid:101)(cid:102) (cid:165)(cid:217)(cid:274)(cid:95)(cid:103) (cid:131)(cid:112) (cid:37)(cid:22)△(cid:23)𝐴𝐵𝐶 (cid:86)(cid:273) (cid:37)(cid:22)(cid:105)△𝐴(cid:86)𝐵𝐶(cid:101)(cid:102) 𝐴𝐶(cid:165)1(cid:217)(cid:274)
𝐴(cid:95)𝐵(cid:103) 𝐴1 …(cid:131)(cid:185)𝐴1(cid:275)𝐶1(cid:166)(cid:276)(cid:37)(cid:277)(cid:112)(cid:86)△(cid:191)𝐴(cid:274)1𝐵2𝐶0124(cid:103)△𝐴1𝐵𝐶1 (cid:37)𝐴1(cid:41)𝐶(cid:42)2 (cid:218) 𝐴 1 𝐵 (cid:69)𝐴2 𝐴2𝐶2
△𝐴2𝐵𝐶2 △𝐴2024𝐵𝐶20241
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)
4
2024
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)𝑆(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:220)(cid:82)(cid:201)(cid:202)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:89)(cid:3)(cid:116)(cid:69)(cid:162)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)
(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:165)(cid:10) (cid:37)(cid:41)(cid:42)= 1 (cid:86)(cid:278)(cid:117)(cid:22)(cid:23) (cid:165)(cid:10) (cid:37)(cid:41)(cid:42)= 1 × 1 = 1 (cid:86)……(cid:185)
2 2 2 4
△𝐴𝐵𝐶1 𝑆 𝐴1𝐶1 △𝐴1𝐵𝐶1 𝑆 𝑆
(cid:275)(cid:166)(cid:276)(cid:37)(cid:263)(cid:198)(cid:86)(cid:122)(cid:165)(cid:177)(cid:49)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:218) (cid:86) (cid:109)(cid:22)(cid:23) (cid:86)
(cid:37)(cid:41)
∵
(cid:42)
△
=
𝐴𝐵1𝐶
(cid:86)
𝑆 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶1
2
∴△𝐴𝐵𝐶1 𝑆
(cid:273) (cid:37)(cid:22)(cid:105) (cid:86)
∵ 𝐴𝐵 (cid:37) 𝐴 (cid:41) 1 (cid:42)= 1
2
× 1
2
= 1
4
(cid:86) 科AA+
全
★
∴ △𝐴1𝐵𝐶1 𝑆 𝑆 众 号
(cid:278)(cid:117)(cid:165) (cid:37)(cid:41)(cid:42)= 1 × 1 = 1 = 1 (cid:86) 注 公
关
4 4 16 4，
源
资
△2𝐵𝐶2 教 辅 𝑆 𝑆 2 𝑆
…
1
(cid:191)2024(cid:103)(cid:35)(cid:25)(cid:36) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:218) (cid:131)
4
2024
△𝐴2024𝐵𝐶2024 𝑆
1
(cid:124)(cid:70)(cid:71)(cid:218)(cid:10) (cid:69)
4
2024
(cid:15)(cid:74)(cid:75)3-3(cid:19)(cid:58)2 𝑆 4-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:15)(cid:283)(cid:20)(cid:284)(cid:285)(cid:19)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:187)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:27)(cid:189)(cid:41)(cid:42)(cid:175)(cid:50)(cid:37)(cid:190)(cid:98)(cid:27)(cid:69)
(cid:247)(cid:159)(cid:10)(cid:139)(cid:140)1(cid:86)(cid:96) (cid:22)(cid:86)(cid:105)D(cid:89)(cid:109) (cid:76)(cid:37)(cid:22)(cid:105)(cid:86)(cid:101)(cid:102) (cid:69)(cid:38)(cid:55)(cid:10) = (cid:69)
(cid:55)(cid:56)(cid:10)(cid:263)(cid:105)A(cid:112) △𝐴𝐵𝐶(cid:153)E(cid:86) 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:105)D(cid:89)(cid:109) (cid:76)(cid:37)𝐴𝐸(cid:22)⊥(cid:105)𝐵(cid:86)𝐶
∵ = (cid:86)𝐵𝐶
∴𝐵𝐷 𝐶 = 𝐷1 (cid:86) = 1 (cid:86)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷⋅𝐴𝐸
= (cid:69)
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷(cid:15)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:19)
(cid:58)1(cid:68)(cid:139)(cid:140)2(cid:86)(cid:96) (cid:22)(cid:86)(cid:105)D(cid:89) (cid:109)(cid:76)(cid:37)(cid:22)(cid:105)(cid:86)(cid:163) =6(cid:86)(cid:191) =_____(cid:131)
(cid:58)2(cid:68)(cid:139)(cid:140)3(cid:86)(cid:96) △𝐴𝐵𝐶 (cid:22)(cid:86)(cid:105)D(cid:89) 𝐵𝐶 (cid:109)(cid:76)(cid:37)(cid:105)(cid:86)(cid:173) 𝑆△ = 𝐴𝐵𝐶 (cid:86)(cid:38) 𝑆△ (cid:37) 𝐴𝐵𝐷 (cid:52)(cid:131)
𝑆△𝐴𝐵𝐷
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐷 2𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:283)(cid:20)(cid:73)(cid:290)(cid:19)
(cid:58)3(cid:68)(cid:285)(cid:96)(cid:54)(cid:95)(cid:291)(cid:63)(cid:109)(cid:36)(cid:292)(cid:293) (cid:86)(cid:139)(cid:140)4(cid:86)(cid:294)(cid:24)(cid:295)(cid:190)(cid:16)(cid:194)(cid:296)(cid:27)(cid:166)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:86)(cid:238)(cid:297)(cid:263)(cid:112)(cid:140)(cid:296)(cid:27)(cid:63)(cid:109)(cid:36) (cid:37)
(cid:41)(cid:42)(cid:69) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:58)(cid:194)(cid:38)(cid:10)(cid:34)(cid:127)(cid:298)(cid:263)(cid:35)(cid:92)(cid:37)(cid:23)(cid:81)(cid:239)(cid:157)(cid:26)(cid:27)(cid:197)(cid:51)(cid:86)(cid:207)(cid:108)(cid:112)(cid:51)(cid:267)(cid:299)(cid:85)(cid:56)(cid:86)(cid:122)(cid:33)(cid:34)(cid:300)(cid:301)(cid:40)(cid:37)(cid:110)(cid:302)(cid:69)(cid:68)
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
1
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)(cid:58)1(cid:68)3(cid:131)(cid:58)2(cid:68) = (cid:86)(cid:117)(cid:162)(cid:241)(cid:73)(cid:32)(cid:131)(cid:58)3(cid:68)(cid:241)(cid:73)(cid:32)(cid:69)
3
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:10)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:131)
(cid:58)1(cid:68)(cid:141)(cid:44) = 1 (cid:121)(cid:122)(cid:38)(cid:73)(cid:131)
2
(cid:58)2(cid:68)(cid:273) 𝑆 (cid:22) △𝐴 (cid:105) 𝐵𝐷 E(cid:86)(cid:101) 𝑆△ (cid:102) 𝐴𝐵𝐶 (cid:86)(cid:191) = = (cid:86)(cid:255)(cid:256)(cid:165) = = (cid:86)(cid:162)(cid:120)(cid:122)(cid:38)(cid:165)(cid:177)(cid:303)(cid:131)
(cid:58)3(cid:68)(cid:101)(cid:102)𝐶𝐷 (cid:86)(cid:273) (cid:22)(cid:105)𝐴𝐸E(cid:86)(cid:101)𝐶(cid:102)𝐸 (cid:86)𝐷𝐸 (cid:86)𝐵(cid:191)𝐷 = 𝑆△𝐴𝐶𝐸 (cid:86) 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐷(cid:86)(cid:255)(cid:256)(cid:296)(cid:27)(cid:149)(cid:63)(cid:109)(cid:36) (cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)𝐴(cid:10)𝐷(cid:58)1(cid:68)𝐴𝐷(cid:105)D(cid:89) (cid:109)(cid:76)𝐴(cid:37)𝐸 (cid:22)𝐶(cid:105)𝐸(cid:86) 𝑆△𝐴𝐷𝐸 𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝑆△𝐶𝐷𝐸 𝑆△𝐶𝐵𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷
= (cid:86) ∵ 𝐵𝐶
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 = 𝑆1 △𝐴𝐶𝐷 = 1 ×6=3(cid:131)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:124)(cid:70)(cid:71)(cid:218)(cid:10)3(cid:131)
(cid:58)2(cid:68)(cid:273) (cid:22)(cid:105)E(cid:86)(cid:101)(cid:102) (cid:86)(cid:191) = (cid:86)
=𝐶𝐷 (cid:131) 𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐷𝐸
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝑆△𝐴𝐷𝐸= (cid:86)
∵𝐶𝐷 =2𝐵𝐷= (cid:86)
∴𝐷𝐸 𝐵=𝐷 𝐶𝐸(cid:86)
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= (cid:86)
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸 1𝑆△𝐴𝐷𝐸 𝑆△𝐴𝐵𝐷
= (cid:131)
3
𝑆△𝐴𝐵𝐷
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:58)3(cid:68)(cid:101)(cid:102) (cid:86)(cid:273) (cid:22)(cid:105)E(cid:86)(cid:101)(cid:102) (cid:86) (cid:86)
(cid:191) =𝐴𝐷 (cid:86)𝐴𝐷 = (cid:86)𝐴𝐸 𝐶𝐸
𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐵𝐸(cid:86)
科AA+
全
(cid:121)∴𝑆△𝐴𝐷𝐸 𝑆△𝐶=𝐷𝐸 𝑆△𝐴𝐵𝐸 (cid:86)𝑆△𝐶𝐵𝐸
号
★
四边形 四边形 众
公
注
关
(cid:63)𝑆(cid:109)(cid:36)𝐴𝐷𝐶𝐸 (cid:304)𝑆(cid:26)(cid:296)(cid:27)𝐴𝐵(cid:69)𝐶𝐸 源 ，
资
辅
教
∴ 𝐴𝐵𝐶𝐷
【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】
(cid:15)(cid:57)4(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:118)·(cid:67)(cid:225)(cid:68)(cid:54)(cid:95)(cid:160)(cid:20)(cid:308)“(cid:96) (cid:22)(cid:86) (cid:89)(cid:109) (cid:76)(cid:37)(cid:28)(cid:86) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:53)
(cid:109) (cid:176)(cid:153)(cid:105)F(cid:69)(cid:163) =50°(cid:86) =20°(cid:86)(cid:38) (cid:37)(cid:40)△(cid:309)𝐴(cid:69)𝐵𝐶”(cid:108)(cid:153)(cid:310)𝐴𝐷(cid:70)(cid:71)(cid:69)𝐵(cid:294)𝐶(cid:70)(cid:10) ∠𝐴=𝐵𝐶110°(cid:69)(cid:295)(cid:70)(cid:10)
𝐴𝐶 =95°(cid:69)(cid:311)(cid:70)∠(cid:10)𝐴𝐵𝐶 =13∠5𝐶°(cid:69)𝐴𝐷(cid:191)(cid:87)(cid:88)(cid:37)(cid:89)(cid:58)∠𝐵 𝐹 (cid:68)𝐴 ∠𝐵𝐹𝐴
∠𝐵𝐹A𝐴(cid:69)(cid:294)(cid:106)(cid:295) ∠B𝐵(cid:69)𝐹𝐴(cid:295)(cid:106)(cid:311) C(cid:69)(cid:294)(cid:106)(cid:311) D(cid:69)(cid:168)(cid:54)(cid:295)
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:86)(cid:28)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:147)(cid:312)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:220)(cid:82)(cid:201)(cid:202)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:121)(cid:122)(cid:165)(cid:217)
(cid:70)(cid:71)(cid:69)(cid:141)(cid:44)(cid:20)(cid:130)(cid:239)(cid:157)(cid:140)(cid:36)(cid:267)(cid:299)(cid:227)(cid:228)(cid:121)(cid:122)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10) =50°(cid:86)
①∵ ∠𝐴𝐵𝐶(cid:89)(cid:109) (cid:76)(cid:37)(cid:28)(cid:86) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:53)(cid:109) (cid:176)(cid:153)(cid:105)F(cid:86)
𝐴𝐷 𝐵=𝐶 =2∠5𝐴°𝐵𝐶 𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐹=90∠°𝐶𝐵𝐹
∠𝐴 𝐷𝐶 =20°
∵ ∠𝐶=𝐴7𝐷0°
∴∠𝐶 = + =25°+70°=95°(cid:86)(cid:295)(cid:278)(cid:11)(cid:87)(cid:88)(cid:86)
∴∠𝐵𝐹𝐴 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐶
=50°(cid:86)
②(cid:89)∵ (cid:109)∠𝐴𝐵(cid:76)𝐶 (cid:37)(cid:28)(cid:86) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:53)(cid:109) (cid:176)(cid:153)(cid:105)F(cid:86)
𝐴𝐷 𝐵=𝐶 =2∠5𝐴°𝐵𝐶 𝐴𝐶 全
科AA+
★
号
众
公
注
∴∠𝐴𝐵𝐹=90∠°𝐶𝐵𝐹 关
，
源
资
辅
教
∠𝐴 𝐷𝐶 =20°
∵ ∠𝐶𝐴𝐷=70°
∴∠𝐴𝐶𝐷=110°
∴∠𝐴𝐶𝐵 = + =25°+110°=135°(cid:86)(cid:311)(cid:278)(cid:11)(cid:87)(cid:88)(cid:69)
∴∠𝐵𝐹𝐴 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:124)(cid:125)B(cid:69)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)4-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:316)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:159)AD(cid:89) ABC(cid:37)(cid:28)(cid:86) BAD(cid:317)70°(cid:86) CAD(cid:317)20°(cid:86)(cid:38) BAC
(cid:37)(cid:40)(cid:309)(cid:69) △ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)90°(cid:192)50°(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:27)(cid:28)AD(cid:96) ABC(cid:37)(cid:97)(cid:98)(cid:106)(cid:100)(cid:98)(cid:190)(cid:206)(cid:145)(cid:146)(cid:48)(cid:49)(cid:38)(cid:73)(cid:121)(cid:122)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:209)(cid:28)AD(cid:96)△ABC(cid:37)(cid:97)(cid:98)(cid:210)(cid:86)(cid:139)(cid:140)1(cid:86)
BAD(cid:317)70°(cid:86) CAD△(cid:317)20°(cid:86)
∵∠BAC= BAD+∠ CAD=70°+20°=90°(cid:131)
∴(cid:209)∠(cid:28)AD∠(cid:96) ABC∠(cid:37)(cid:100)(cid:98)(cid:210)(cid:86)(cid:139)(cid:140)2(cid:86)
BAC= BA△D- CAD=70°﹣20°=50°(cid:86)
∠(cid:213)(cid:76)(cid:86)∠BAC(cid:37)∠(cid:40)(cid:309)(cid:218)90°(cid:192)50°(cid:69)
∠
(cid:15)(cid:105)(cid:219)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:86)(cid:27)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:96)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:98)(cid:318)(cid:89)(cid:97)(cid:98)(cid:210)(cid:73)(cid:70)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:69)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)4-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:306)(cid:319)·(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:68)(cid:96) (cid:22)(cid:86) =35°(cid:86) (cid:89) (cid:109)(cid:76)(cid:37)(cid:28)(cid:173) = (cid:86)
(cid:191) (cid:37)(cid:40)(cid:309)(cid:89) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵
科A𝐴𝐷A+
𝐵𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵
全
★
号
(cid:15)∠(cid:70)𝐵(cid:71)𝐶𝐴(cid:19)55°(cid:192)125° 公 众
注
关
，
源
资
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:120)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:97)辅(cid:25)(cid:106)(cid:86)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:37)(cid:320)(cid:119).(cid:141)(cid:44)(cid:20)(cid:130)(cid:27)(cid:190)(cid:206)(cid:145)(cid:146)(cid:10)(cid:28) (cid:96) (cid:97)(cid:98)(cid:106)(cid:28)
教
(cid:96) (cid:100)(cid:98)(cid:86)(cid:242)(cid:144)(cid:141)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:86)(cid:177)(cid:129)(cid:25)(cid:37)(cid:106)(cid:240)(cid:38)(cid:73)(cid:121)(cid:122)(cid:69) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:72)△(cid:73)𝐴𝐵(cid:19)𝐶(cid:73)(cid:10)(cid:139)(cid:140)(cid:226)(cid:235)(cid:86)(cid:209)(cid:28) (cid:96) (cid:97)(cid:98)(cid:210)(cid:86)
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:89) (cid:109)(cid:76)(cid:37)(cid:28)(cid:86)
∵𝐴𝐷 𝐵𝐶(cid:86)
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°= (cid:86)
∴∠𝐴𝐷=𝐵35°(cid:86) ∠𝐴=𝐷𝐶 =35°(cid:86)
∵∠𝐵 = ∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐵55°(cid:69)
∴(cid:139)∠(cid:140)𝐵𝐶(cid:226)𝐴(cid:235)(cid:86)90(cid:209)°−(cid:28)∠𝐶𝐴(cid:96)𝐷 (cid:100)(cid:98)(cid:210)(cid:86)
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶(cid:89) (cid:109)(cid:76)(cid:37)(cid:28)(cid:86)
∵𝐴𝐷 𝐵𝐶(cid:86)
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°(cid:86)
∴∠𝐴𝐷=𝐵35°(cid:86)
∵∠𝐵 = =55°(cid:86)
∴∠𝐵𝐴𝐷= 180=°−3∠5𝐵°(cid:86)−∠𝐴𝐷𝐵
∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵 = =20°(cid:86)
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷 5=5°−35° =125°.
(cid:213)∴∠(cid:76)𝐵𝐶(cid:226)𝐴(cid:321)(cid:86)180°−∠=𝐵−5∠5𝐵°(cid:192)𝐴𝐶125°1(cid:69)80°−35°−20°
(cid:124)(cid:70)(cid:71)(cid:218)(cid:10)∠55𝐵°𝐶(cid:192)𝐴125°(cid:69)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)4-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:63)(cid:64)(cid:216)(cid:322)·(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:68)(cid:247)(cid:159)(cid:10)
(cid:24)全(cid:89)科AA
(cid:37)
+
(cid:28)(cid:86)(cid:110)(cid:23) (cid:24) (cid:175)(cid:176)(cid:226)(cid:189)
★
号
众
公
注
(cid:37)(cid:25)(cid:22)(cid:54)(cid:95)(cid:103)(cid:25)(cid:218)56°(cid:86)(cid:191) (cid:37)(cid:40)(cid:309)(cid:218) 关 (cid:69)(cid:58)(cid:323)𝐵(cid:235)𝐷(cid:10)𝐶(cid:63)𝐸(cid:109)(cid:36)△(cid:97)𝐴(cid:25)𝐵𝐶(cid:106)(cid:218)360°(cid:68)𝐵𝐷 𝐶𝐸
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)56°(cid:192)124° ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:28)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:24)(cid:63)(cid:109)(cid:36)(cid:37)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:50)(cid:159)(cid:200)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:27)(cid:47)(cid:207)(cid:239)(cid:157)(cid:140)(cid:36)(cid:89)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:131)
(cid:27)(cid:190)(cid:206)(cid:145)(cid:146)(cid:10) (cid:218)(cid:324)(cid:25)(cid:53) (cid:218)(cid:99)(cid:25)(cid:86)(cid:27)(cid:174)(cid:239)(cid:157)(cid:140)(cid:36)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:63)(cid:109)(cid:36)(cid:37)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:38)(cid:73)(cid:121)(cid:122)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10)∠(cid:209)𝐴 (cid:218)(cid:324)(cid:25)∠(cid:210)𝐵(cid:86)𝐴𝐶(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:205)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:190)(cid:92)(cid:28) (cid:176)(cid:153)(cid:105)O(cid:86)
(cid:191) =56°(cid:86)∠𝐴 = =90°(cid:86) 𝐵𝐷,𝐶𝐸
∠𝐷𝑂𝐶=124°(cid:86)∠𝐴𝐸𝐶 ∠𝐴𝐷𝐵
∴∠𝐷𝑂=𝐸 =56°(cid:131)
∴∠𝐴 360°−90°−90°−124°
(cid:209) (cid:218)(cid:99)(cid:25)(cid:210)(cid:86)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:205)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:190)(cid:92)(cid:28) (cid:226)(cid:96)(cid:37)(cid:110)(cid:23)(cid:176)(cid:153)(cid:105)O(cid:86)
(cid:191)∠𝐵𝐴𝐶 =56°(cid:86) = =90°(cid:86) 𝐵𝐷,𝐶𝐸
∠𝐷𝑂𝐶 ∠𝐴𝐸𝑂 ∠𝐴𝐷𝑂= = =124°(cid:131)
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸 360°−90°−90°−56°
(cid:124)(cid:70)(cid:71)(cid:218)(cid:10)56°(cid:192)124°(cid:69)
【题型5 等积法求值】
(cid:15)(cid:57)5(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:63)(cid:64)(cid:325)(cid:326)·(cid:67)(cid:225)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:110)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36) (cid:22)(cid:86) =90°(cid:86) =10(cid:86) =8(cid:86)
=6(cid:86)(cid:105)D(cid:89)(cid:109) (cid:76)(cid:95)(cid:327)(cid:105)(cid:86)(cid:112)(cid:110)(cid:23) (cid:328)(cid:263)(cid:105)C(cid:24)(cid:105)D(cid:86)𝐴(cid:27)𝐵(cid:174)𝐶(cid:263)(cid:105)∠A𝐴(cid:86)𝐶𝐵B(cid:112) (cid:53)𝐴𝐵(cid:264)(cid:110)(cid:86) 𝐴𝐶(cid:53) (cid:264)
(cid:110)𝐵𝐶(cid:86)(cid:264)(cid:329)(cid:27)(cid:174)(cid:218)(cid:105)F𝐴(cid:86)𝐵E(cid:69)(cid:205)(cid:23)(cid:81) (cid:86) 𝑀(cid:37)𝑁(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:174)(cid:218) (cid:86) (cid:86)(cid:191) + (cid:37)(cid:330)(cid:331)𝐴(cid:52)𝐹 (cid:218)𝑀 𝑁 (cid:69)𝐵𝐸 𝑀𝑁
𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝑑1 𝑑2 𝑑1 𝑑2
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)10
×
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:120)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:37)(cid:38)(cid:73)(cid:86)(cid:264)(cid:23)(cid:81)(cid:330)(cid:332)(cid:86)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:89)(cid:165)(cid:157) + = (cid:86)(cid:88)(cid:118) + (cid:273)
𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:330)(cid:331)(cid:52)(cid:210)(cid:86) (cid:273)(cid:330)(cid:182)(cid:52)(cid:86)(cid:207)(cid:201)(cid:202)(cid:264)(cid:23)(cid:81)(cid:330)(cid:332)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:69) 𝑑1 𝑑2 𝐶𝐷 𝑑1 𝑑2
(cid:141)(cid:44) = 𝐶𝐷 + (cid:86)(cid:121) 1 × = 1 × + 1 × (cid:165)(cid:217) + = × (cid:86)(cid:191) + (cid:37)(cid:330)(cid:331)
2 2 2
𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:52)(cid:333)𝑆(cid:89) △𝐴𝐵𝐶 (cid:37)(cid:330)𝑆(cid:182) △𝐴 (cid:52) 𝐶𝐷 (cid:86)(cid:162)𝑆△ (cid:264) 𝐵𝐶 (cid:23) 𝐷 (cid:81)(cid:330)(cid:332)𝐴(cid:122)𝐶 (cid:165)𝐵(cid:209)𝐶 𝐶𝐷 (cid:210)𝐴(cid:86)𝐹 (cid:330)𝐶𝐷(cid:182)(cid:86)𝐵(cid:121)𝐸(cid:122)(cid:38)𝑑(cid:73) 1 (cid:69)𝑑2 𝐶𝐷 𝑑1 𝑑2
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19) 𝐶𝐷 (cid:73)(cid:10)(cid:162)(cid:20)(cid:130)(cid:122)(cid:165)(cid:10) = 𝐶 + 𝐷⊥𝐴𝐵 (cid:86)(cid:121) 𝐶1𝐷 × = 1 × + 1 ×
2 2 2
(cid:334)(cid:335)(cid:122)(cid:165)(cid:10) ×( + )= 𝑆△𝐴𝐵𝐶 × 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐹 𝐶𝐷 𝐵𝐸
𝐶𝐷 ×𝑑1 𝑑2 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:73)(cid:165) + = (cid:86)
𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:191) 𝑑 + 1 𝑑(cid:273) 2 (cid:330)(cid:331)(cid:52)𝐶𝐷(cid:210)(cid:86) (cid:273)(cid:330)(cid:182)(cid:52)(cid:86)
(cid:162)𝑑(cid:264)1(cid:23)(cid:81)𝑑2(cid:330)(cid:332)(cid:122)(cid:165)(cid:209) 𝐶𝐷 (cid:210)(cid:86) (cid:330)(cid:182)(cid:86)
(cid:162) = 1 × 𝐶 = 𝐷1⊥𝐴𝐵 × (cid:122) 𝐶𝐷 (cid:165)(cid:86) = ×
2 2
𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵×
+ (cid:37)(cid:330)(cid:331)(cid:52)(cid:218) = =10(cid:69)
×
𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐵𝐶
∴𝑑1 𝑑2 𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:124)(cid:70)(cid:71)(cid:218)(cid:10)10(cid:69)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)5-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:169)(cid:170)(cid:170)(cid:279)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86) (cid:86)(cid:264)(cid:329)(cid:218) (cid:86) =15(cid:86) =20(cid:86)
=25(cid:69) (cid:89)(cid:23)(cid:81) (cid:76)(cid:37)(cid:336)(cid:130)(cid:95)(cid:105)(cid:86)(cid:101)(cid:102) (cid:86) (cid:37)(cid:39)
𝐴
(cid:127)
．𝐶
(cid:122)
⊥．
(cid:211)
𝐵．𝐶
(cid:89)(cid:58) (cid:68)
𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝑃 𝐴𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐶
A(cid:69)11 B(cid:69)12 C(cid:69)13 D(cid:69)16
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)A
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:264)(cid:23)(cid:81)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:37)(cid:50)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:86)(cid:220)(cid:82)(cid:201)(cid:202)(cid:147)(cid:76)(cid:159)(cid:200)(cid:105)(cid:89)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:69)(cid:141)(cid:44)(cid:264)(cid:23)
(cid:81)(cid:330)(cid:332)(cid:122)(cid:159)(cid:86)(cid:209) (cid:210)(cid:86) (cid:273)(cid:165)(cid:330)(cid:182)(cid:52)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:50)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:38)(cid:157) (cid:37)(cid:330)(cid:182)(cid:52)(cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:255)(cid:125)(cid:126)(cid:22)(cid:337)(cid:157)(cid:70)(cid:71)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10)(cid:112)𝑃𝐶⊥𝐴𝐵(cid:153)(cid:105)𝑃𝐶(cid:86) 𝑃𝐶
科AA+
全
★
号
(cid:139)(cid:140)(cid:86) 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐷 公 众
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:86)(cid:264)(cid:329)(cid:218) (cid:86) =15(cid:86) =20(cid:86) =25(cid:86)
∵ 𝐴𝐶⊥𝐵
=
𝐶1
=
𝐶1 𝐴𝐶
(cid:86)(cid:121)
𝐵
1
𝐶
5×20=
𝐴
2
𝐵
5× (cid:86)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷 𝐶𝐷
=12(cid:86)
∴𝐶 𝐷(cid:89)(cid:23)(cid:81) (cid:76)(cid:37)(cid:336)(cid:130)(cid:95)(cid:105)(cid:86)(cid:101)(cid:102) (cid:86)
∵(cid:209)𝑃(cid:105) (cid:53)(cid:105)𝐴𝐵(cid:185)(cid:143)(cid:210)(cid:273)(cid:165)(cid:330)(cid:182)(cid:52)(cid:86)(cid:330)𝑃𝐶(cid:182)(cid:52)(cid:218)12(cid:86)
∴ (cid:37)𝑃(cid:39)(cid:127)(cid:122)𝐷(cid:211)(cid:89)11(cid:86)
(cid:124)∴(cid:125)𝑃𝐶(cid:10)A(cid:69)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)5-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:189)(cid:123)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:96) (cid:22)(cid:86) =90°( < )(cid:86)(cid:105)D(cid:86)P(cid:27)(cid:174)
(cid:96)(cid:109) (cid:86) (cid:76)(cid:86)(cid:173) = (cid:86) (cid:86) (cid:86)(cid:264)(cid:329)(cid:27)(cid:174)△(cid:218)𝐴𝐵(cid:105)𝐶E(cid:69)F∠(cid:69)𝐶(cid:163) ∠=𝐴24∠(cid:86)𝐴𝐵𝐶=8(cid:86)(cid:191) +
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝑃 𝐴𝑃 𝐷𝐸⊥𝐵𝑃 𝐷𝐹⊥𝐴𝑃 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹(cid:37)(cid:52) (cid:69)
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)6
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:69)(cid:141)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:75)(cid:165)(cid:157) = 1 (cid:86)(cid:158)(cid:141)(cid:44) =
2
𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃⋅𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐴𝐷𝑃
+ (cid:86)(cid:165)(cid:157) = 1 ( + )(cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:165)(cid:157) + = =6(cid:69)
2
𝑆△𝐵𝐷𝑃 𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10) =90°(cid:86) =24(cid:86) =8(cid:86)
= 1 ∵∠𝐶 (cid:86) 𝑆 = △𝐴 1 𝐵𝐶 (cid:86) 𝐴𝐶
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃⋅𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶
24= 1 ×8 (cid:86)
2
∴
=6(cid:86)
⋅𝐵𝐶 科AA+
全
★
号
∴𝐵𝐶 (cid:86) (cid:86) 公 众
注
关
，
源
资
∵𝐷𝐸⊥𝐵 = 𝑃 𝐷𝐹⊥ + 𝐴𝑃 教= 1辅 + 1 (cid:86)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐴𝐷𝑃 𝑆△𝐵𝐷𝑃 𝐴𝑃⋅𝐷𝐹 𝐵𝑃⋅𝐷𝐸
= (cid:86)
∵𝐵𝑃 𝐴 = 𝑃1 + 1 = 1 ( + )(cid:86)
2 2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃⋅𝐷𝐹 𝐴𝑃⋅𝐷𝐸 𝐴𝑃 𝐷𝐸 𝐷𝐹
1 ( + )= 1 (cid:86)(cid:191) + = =6(cid:86)
2 2
∴ 𝐴𝑃 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝑃⋅𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐵𝐶
(cid:124)(cid:70)(cid:71)(cid:218)(cid:10)6(cid:69)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)5-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:229)(cid:170)(cid:216)(cid:314)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:96) (cid:22)(cid:86) = (cid:86)D(cid:218) (cid:22)(cid:105)(cid:86)(cid:263)(cid:105)D(cid:112)
(cid:86) =3(cid:86)E(cid:218) (cid:76)(cid:95)(cid:105)(cid:86)(cid:263)(cid:105)E(cid:112) (cid:86)△𝐴𝐵𝐶 (cid:86) 𝐴𝐵=4𝐴.2𝐶(cid:86)(cid:191) 𝐵=𝐶 (cid:69)
𝐷𝑃⊥𝐴𝐵 𝐷𝑃 𝐵𝐶 𝐸𝑀⊥𝐴𝐵 𝐸𝑁⊥𝐴𝐶 𝐸𝑀 𝐸𝑁
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)1.8(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:53)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:227)(cid:228)(cid:86)(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:209)(cid:37)(cid:250)(cid:251)(cid:23)(cid:86)(cid:141)(cid:44)(cid:20)(cid:130)(cid:165)(cid:157) = +
= 1 + 1 (cid:89)(cid:73)(cid:120)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:69)(cid:101)(cid:102) (cid:86) (cid:86)(cid:141)(cid:44)D(cid:218) (cid:22)(cid:105)(cid:86)(cid:165)(cid:157)
𝑆△𝐴𝐵𝐶
=
𝑆△𝐴𝐵𝐹
= 1
2 2 2
𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝐴𝐵⋅𝐷𝐹 𝐴𝐶⋅𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:86)(cid:255)(cid:256)(cid:165)(cid:157) = + =2 = (cid:86)(cid:141)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:165)(cid:157) = +
𝐴𝐵⋅𝐷𝑃 = 1 + 𝑆△ 1 𝐴𝐵𝐶 𝑆 (cid:86) △𝐴 (cid:255) 𝐵𝐷 (cid:256)(cid:165) 𝑆△ (cid:157) 𝐴𝐶𝐷 𝑆△ = 𝐴𝐵 1 𝐷 𝐴𝐵⋅ + 𝐷𝑃1 (cid:86)(cid:341)(cid:342)(cid:309)(cid:44)(cid:227)(cid:228) 𝑆 (cid:121) △𝐴 (cid:122) 𝐵𝐶 (cid:69) 𝑆△𝐴𝐵𝐸
2 2 2 2
𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀 𝐴𝐶⋅𝐸𝑁 𝐴𝐵⋅𝐷𝑃 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀 𝐴𝐵⋅𝐸𝑁
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:101)(cid:102) (cid:86) (cid:86)
𝐴𝐷 𝐴𝐸
(cid:86) D(cid:218) (cid:22)(cid:105)(cid:86)
= = 1∵ 𝐵𝐶(cid:86)
2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐵⋅𝐷𝑃
= + =2 = (cid:86)
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 (cid:86)𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△(cid:86)𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵⋅𝐷𝑃
科AA+
全
∵𝐸𝑀⊥𝐴𝐵 = 𝐸𝑁⊥ + 𝐴𝐶 = 1 + 1 (cid:86) 众 号 ★
公
2 2 注
关
，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝐴𝐵资⋅𝐸𝑀 源 𝐴𝐶⋅𝐸𝑁
= 1 + 1 教 辅 (cid:86)
2 2
∴𝐴𝐵⋅𝐷𝑃 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀 𝐴𝐵⋅𝐸𝑁
=3(cid:86) =4.2(cid:86)
∵𝐷𝑃 = 1 × 𝐸 4 𝑀 .2× + 1 (cid:86)
2 2
∴3𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵⋅𝐸𝑁
(cid:73)(cid:165)(cid:10) =1.8(cid:69)
(cid:124)(cid:70)(cid:71)𝐸(cid:218)𝑁(cid:10)1.8(cid:69)
【题型6 与角平分线有关的求值】
(cid:15)(cid:57)6(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:244)(cid:343)(cid:343)(cid:344)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86) = = = (cid:86)(cid:191) (cid:89) (cid:37)(cid:58) (cid:68)
∠1 ∠2 ∠3 ∠4 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:69)(cid:28)(cid:23) B(cid:69)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23) C(cid:69)(cid:22)(cid:23) D(cid:69)(cid:147)(cid:76)(cid:123)(cid:127)(cid:89)(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:180)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)(cid:141)(cid:44)(cid:20)(cid:130)(cid:165)(cid:157) = (cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:70)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10) = = = (cid:86) ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
+ = ∵∠+1 ∠(cid:86)2 ∠3 ∠4
∴∠1 ∠=2 ∠3 (cid:86)∠ 4
∴∠𝐵𝐴(cid:89)𝐷 ∠𝐶𝐴(cid:37)𝐷(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:69)
∴(cid:124)𝐴(cid:125)𝐷(cid:10)B△(cid:69)𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:74)(cid:75)6-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:189)(cid:123)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140) (cid:22)(cid:86)(cid:247)(cid:159) =60°(cid:86) (cid:26)(cid:27) (cid:86)(cid:191)
(cid:37)(cid:40)(cid:309)(cid:89)(cid:58) (cid:68) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝑀 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝐶𝑀
A(cid:69)15° B(cid:69)30° C(cid:69)35° D(cid:69)45°
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)B
全
科AA+
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)关(cid:86)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:310)(cid:22)(cid:95)(cid:103)(cid:97)(cid:25)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:53)(cid:107)(cid:37)(cid:108)(cid:109)(cid:175)(cid:176)(cid:86)(cid:166)(cid:103)(cid:25)(cid:37)
，
源
资
辅
教
(cid:104)(cid:105)(cid:53)(cid:176)(cid:105)(cid:345)(cid:346)(cid:37)(cid:23)(cid:81)(cid:111)(cid:133)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:69)
(cid:141)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:38)(cid:73)(cid:121)(cid:122)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10) =60°(cid:86) (cid:26)(cid:27) (cid:86)
1 ∵∠𝐴𝐶𝐵1 𝐶𝑀 ∠𝐴𝐶𝐵
= = ×60°=30°(cid:69)
2 2
∴(cid:124)∠(cid:125)𝐵𝐶(cid:10)𝑀B(cid:69) ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:15)(cid:74)(cid:75)6-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:185)(cid:186)(cid:347)(cid:348)·(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:68)(cid:349)(cid:350)(cid:62)(cid:84)(cid:55)(cid:56)(cid:263)(cid:198)(cid:22)(cid:37)(cid:156)(cid:117)(cid:141)(cid:44)(cid:10)(cid:247)(cid:159)(cid:10)(cid:139)(cid:140)(cid:226)(cid:235)(cid:86)
(cid:86) (cid:175)(cid:176)(cid:153) (cid:86) (cid:26)(cid:27) (cid:53) (cid:175)(cid:176)(cid:153) (cid:86) (cid:26)(cid:27) (cid:53) (cid:175)(cid:176)(cid:153) (cid:86) = (cid:69)
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐷𝐹 ∠𝐶𝐷𝑂 𝐴𝐶 𝐹 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝑂 𝐴𝐶 𝐸 ∠𝐴 ∠𝐶
(cid:38)(cid:55)(cid:10) = (cid:69)
(cid:55)(cid:56)(cid:10)∠1 =∠2 (cid:58) (cid:68)(cid:86)
∵∠(cid:58)𝐴 ∠ 𝐶 (cid:68)(cid:86)
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:58) (cid:68)(cid:86)
∴∠𝐴(cid:86)𝐵𝑂 (cid:27)∠(cid:174)𝐶𝐷(cid:89)𝑂 (cid:106) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)
∵𝐵𝐸 𝐷=𝐹 (cid:86)∠𝐴𝐵𝑂 =∠𝐶𝐷𝑂(cid:86)(cid:58) (cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝑂= 2∠(cid:58)2 ∠ 𝐶 𝐷 𝑂(cid:68)(cid:86)2∠1
(cid:121)∴2∠2= 2∠(cid:69)1
(cid:15)∠(cid:70)2(cid:71)(cid:19)∠(cid:247)1(cid:159)(cid:131)(cid:97)(cid:183)(cid:25)(cid:175)(cid:50)(cid:86)(cid:190)(cid:110)(cid:23)(cid:26)(cid:299)(cid:131)(cid:190)(cid:110)(cid:23)(cid:26)(cid:299)(cid:86)(cid:97)(cid:183)(cid:25)(cid:175)(cid:50)(cid:131)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:131)(cid:50)(cid:351)(cid:341)(cid:352)
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:26)(cid:299)(cid:23)(cid:37)(cid:148)(cid:118)(cid:106)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:86)(cid:162) = (cid:122)(cid:165) (cid:86)(cid:121)(cid:165)
= (cid:86)(cid:158)(cid:141)(cid:44)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:121)(cid:122)(cid:38)(cid:55)(cid:86)(cid:201)(cid:202)(cid:26)(cid:299)(cid:23)(cid:37)∠(cid:148)𝐴(cid:118)(cid:106)∠𝐶(cid:151)(cid:152)(cid:89)𝐴𝐵(cid:73)∥(cid:20)𝐶(cid:37)𝐷(cid:3)(cid:116)(cid:69)
(cid:15)∠𝐴(cid:72)𝐵𝑂(cid:73)(cid:19)∠(cid:55)𝐶(cid:56)𝐷𝑂(cid:10) = (cid:58)(cid:247)(cid:159)(cid:68)(cid:86)
(cid:58)(cid:97)(cid:183)(cid:25)∵∠(cid:175)𝐴(cid:50)(cid:86)∠(cid:190)𝐶(cid:110)(cid:23)(cid:26)(cid:299)(cid:68)(cid:86)
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:58)(cid:190)(cid:110)(cid:23)(cid:26)(cid:299)(cid:86)(cid:97)(cid:183)(cid:25)(cid:175)(cid:50)(cid:68)(cid:86)
∴∠𝐴(cid:86)𝐵𝑂 (cid:27)∠(cid:174)𝐶𝐷(cid:89)𝑂 (cid:106) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)
∵𝐵𝐸 𝐷=𝐹 (cid:86)∠𝐴𝐵𝑂 =∠𝐶𝐷𝑂(cid:86)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝑂= 2∠(cid:58)2(cid:50)∠(cid:351)𝐶(cid:341)𝐷𝑂(cid:352)(cid:68)2(cid:86)∠1
科AA+
全
★
号
∴(cid:121)2∠2= 2∠(cid:86)1 公 众
注
关
，
源
资
(cid:124)∠(cid:70)2(cid:71)(cid:218)∠(cid:10)1(cid:247)(cid:159)(cid:131)(cid:97)(cid:183)(cid:25)(cid:175)(cid:50)辅(cid:86)(cid:190)(cid:110)(cid:23)(cid:26)(cid:299)(cid:131)(cid:190)(cid:110)(cid:23)(cid:26)(cid:299)(cid:86)(cid:97)(cid:183)(cid:25)(cid:175)(cid:50)(cid:131)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:131)(cid:50)(cid:351)(cid:341)(cid:352)(cid:69)
教
(cid:15)(cid:74)(cid:75)6-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:185)(cid:186)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:96) ABC(cid:22)(cid:86)(cid:105)O(cid:218) (cid:106) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:176)(cid:105)(cid:86)(cid:101)
(cid:102) (cid:86)(cid:112) AOB(cid:37)(cid:95)(cid:92)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)AD(cid:69)(cid:163) △= (cid:86)(cid:191) + ∠(cid:37)AB(cid:40)C(cid:309)(cid:218)∠A(cid:58)C B (cid:68)
OA, OB, OC △ ∠BAC α ∠1 ∠2
A(cid:69)90°+ 3 B(cid:69)120°+ 1 C(cid:69)160° D(cid:69) 1
4 2 4
𝛼 𝛼 180°− 𝛼
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)A
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:118)(cid:117)(cid:86)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:159)(cid:200)(cid:86)(cid:141)(cid:44)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:118)(cid:119)(cid:122)(cid:165) =90°+
∠2
(cid:86) = (cid:86)(cid:255)(cid:256)(cid:122)(cid:38)(cid:157) + (cid:69)
2 4
𝛼 𝛼
∠1 ∠1 ∠2
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:10) + + = = (cid:86)
+ ∵∠=𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴(cid:86)𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 180°,∠𝐵𝐴𝐶 𝛼
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 180°−𝛼(cid:89) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86) (cid:89) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)
∵𝐵𝑂 ∠
=
𝐴𝐵1𝐶 𝐶
=
𝑂1 ∠𝐴𝐶
(cid:86)
𝐵
2 2
∴∠𝐶𝐵𝑂 ∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐵𝐶𝑂 ∠𝐴𝐶𝐵
+ = 1 + 1 = 1 ( + )= 1 ( )= (cid:86)
2 2 2 2 2
𝛼
∴∠𝐶𝐵𝑂 ∠𝐵𝐶𝑂 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 180°−𝛼 90°−
+ + =180°(cid:86)
∵∠𝑂𝐶𝐵 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠2
= ( + )= =90°+ (cid:86)
2 2
𝛼 𝛼
∴∠2(cid:89)180°−(cid:106)∠(cid:26)𝑂(cid:27)𝐶𝐵(cid:23)(cid:86)∠𝑂𝐵𝐶 180°− 90°−
∵𝐴𝑂 ∠ = 𝐵𝐴1𝐶 = 1 (cid:86)
2 2
∴∠𝐵𝐴𝑂 ∠𝐵𝐴𝐶 𝛼
(cid:89) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)
∵𝐴𝐷 = ∠1𝐵𝐴𝑂 = 1 × 1 = 1 (cid:86)
2 2 2 4
∴∠1 ∠𝐵𝐴𝑂 𝛼 𝛼
1 1 3
+ = +90°+ =90°+ ,
4 2 4
∴∠1 ∠2 𝛼 𝛼 𝛼
(cid:124)(cid:125)(cid:10)A(cid:69)
【题型7 与角平分线有关的证明】
科AA+
全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:57)7(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:221)(cid:222)(cid:269)(cid:353)·(cid:67)(cid:225)(cid:68)关(cid:139)(cid:140)(cid:86) (cid:22)(cid:86) (cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86) (cid:86)(cid:264)(cid:329)(cid:218) (cid:69)
，
源
资
辅
教
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸⊥𝐴𝐷 𝐸
(1)(cid:247)(cid:159) =70°(cid:86) =30°(cid:86)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:309)(cid:131)
(2)(cid:163) ∠𝐴𝐵=𝐶 (cid:86)(cid:38)∠(cid:55)𝐶(cid:10) =∠𝐴𝐷(cid:69)𝐵
(cid:15)(cid:70)(cid:71)∠𝐴(cid:19)𝐵(𝐶1)703°∠𝐶 ∠𝐷𝐵𝐸 ∠𝐶
(2)(cid:241)(cid:73)(cid:32)
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:86)(cid:220)(cid:82)(cid:201)(cid:202)(cid:147)(cid:76)(cid:159)(cid:200)(cid:105)(cid:207)(cid:354)(cid:355)(cid:208)(cid:34)(cid:89)(cid:73)(cid:120)(cid:20)(cid:37)(cid:3)
(cid:116)(cid:69)
(cid:58)1(cid:68)(cid:162)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:165)(cid:157) =80°(cid:86)(cid:162)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:165)(cid:157) =40°(cid:86)(cid:330)(cid:144)(cid:158)(cid:162)
= + (cid:86)(cid:267)(cid:299)∠(cid:227)𝐵𝐴(cid:228)𝐶(cid:121)(cid:122)(cid:165)(cid:157)(cid:70)(cid:71)(cid:131) ∠𝐷𝐴𝐶
(cid:58)∠𝐴2𝐷(cid:68)𝐵(cid:205) ∠𝐷=𝐴𝐶(cid:86)(cid:191)∠𝐶 = (cid:86)(cid:162)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:165)(cid:157) = (cid:86)(cid:158)(cid:162)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:165)(cid:157)
=
∠1𝐶 𝑥
=
∠𝐴𝐵𝐶
(cid:86)
3
(cid:227)
𝑥
(cid:228)(cid:157) =
∠𝐵
=
𝐴𝐶
(cid:86)
180°−4
=
𝑥
= (cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:165)(cid:55)(cid:69)
2
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 90°−2𝑥 ∠𝐴𝐵𝐸 90°−∠𝐵𝐴𝐸 2𝑥 ∠𝐷𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐴𝐵𝐸 𝑥(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:58)1(cid:68)(cid:73)(cid:10) =70°(cid:86) =30°(cid:86)
= ∵∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶 =80°(cid:86)
∴∠𝐵𝐴(cid:89)𝐶(cid:25)(cid:26)1(cid:27)80(cid:23)°−(cid:86)∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶 180°−70°−30°
∵𝐴𝐷 = 1 = 1 ×80°=40°(cid:86)
2 2
∴∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
= + =40°+30°=70°(cid:131)
(cid:58)∴2∠(cid:68)𝐴𝐷(cid:55)𝐵(cid:56)(cid:10)∠(cid:205)𝐷𝐴𝐶 =∠𝐶(cid:86)(cid:191) = (cid:86)
= ∠𝐶 𝑥 ∠𝐴=𝐵𝐶 3𝑥 (cid:86)
∴∠𝐵𝐴(cid:89)𝐶(cid:25)(cid:26)1(cid:27)80(cid:23)°−(cid:86)∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶 180°−4𝑥
∵𝐴𝐷 = 1 = (cid:86)
2
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 90°−2𝑥
(cid:252) (cid:86)
∵𝐵𝐸⊥=𝐴9𝐷0°(cid:86)
∴∠𝐴𝐸𝐵= = (cid:86)
∴∠𝐴𝐵𝐸 =90°−∠𝐵𝐴𝐸 2=𝑥 = (cid:86)
科AA+
全
∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐴(cid:69)𝐵𝐷−∠𝐴𝐵𝐸 3𝑥−2𝑥 𝑥 号 ★
众
公
注
关
，
(cid:15)∴(cid:74)∠𝐷(cid:75)𝐵𝐸7-1(cid:19)∠(cid:58)𝐶 24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:305)(cid:306)(cid:307)源(cid:118)·(cid:67)(cid:225)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:86)(cid:96) (cid:22)(cid:86) =46°(cid:86) =54°(cid:86) (cid:26)(cid:27)
资
辅
教
(cid:176) (cid:153)(cid:105) (cid:86)(cid:105) (cid:89)(cid:109) (cid:76)(cid:95)(cid:105)(cid:86)(cid:163) =40°(cid:86)(cid:38)(cid:55)(cid:10)△𝐴𝐵𝐶 (cid:69)∠𝐵 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐵
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)(cid:241)(cid:73)(cid:32)
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:24)(cid:26)(cid:299)(cid:23)(cid:37)(cid:148)(cid:118)(cid:86)(cid:162)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:97)(cid:25)(cid:106)(cid:165)(cid:157) =80°(cid:86)
(cid:162)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:165)(cid:157) = 1 =40°(cid:86)(cid:255)(cid:256)(cid:165)(cid:157) = =40°(cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:165)(cid:55)(cid:69) ∠𝐵𝐴𝐶
2
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:55)(cid:56)(cid:10) (cid:96) (cid:22)(cid:86) =46°(cid:86) =54°(cid:86)
= ∵ △𝐴𝐵𝐶=80°(cid:69)∠𝐵 ∠𝐶
∴∠𝐵𝐴(cid:26)𝐶(cid:27) 180°(cid:86)−46°−54°
∵𝐴𝐷
=
∠1𝐵𝐴𝐶
=40°(cid:69)
2
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
= =40°(cid:69)
∵∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷(cid:69)
∴(cid:15)𝐷(cid:74)𝐸(cid:75)∥𝐴7𝐵-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:356)(cid:344)(cid:357)(cid:216)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:96) (cid:22)(cid:86) =90°(cid:86) (cid:153) (cid:86) (cid:89) (cid:37)(cid:26)
(cid:27)(cid:23)(cid:86)(cid:176) (cid:153) (cid:86)(cid:176) (cid:153) (cid:86)(cid:38)(cid:55)(cid:10) = △(cid:69)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷 𝐶𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵
𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐴𝐹𝐸
(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)(cid:55)(cid:56)(cid:241)(cid:73)(cid:32)
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:114)(cid:115)(cid:149)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)(cid:358)(cid:25)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:162) =90°(cid:86) (cid:122)(cid:165) + =90°(cid:86)
+ =90°(cid:86)(cid:267)(cid:256)(cid:162)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:106)(cid:358)(cid:25)(cid:151)(cid:152)∠𝐵(cid:122)𝐴(cid:165)𝐶 =𝐴𝐷⊥𝐵(cid:86)𝐶(cid:158)(cid:141)(cid:44)∠𝐴(cid:108)𝐶𝐹(cid:104)(cid:25)∠(cid:175)𝐴(cid:50)𝐹𝐸(cid:121)(cid:122)(cid:38)(cid:55)(cid:86)
(cid:201)∠𝐵(cid:202)𝐶𝐹(cid:147)(cid:76)∠(cid:159)𝐶𝐸(cid:200)𝐷(cid:105)(cid:89)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:69) ∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐶𝐸𝐷
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:55)(cid:56)(cid:10) =90°(cid:86)
+ ∵=∠9𝐵0𝐴°𝐶(cid:86)
∴∠𝐴𝐶𝐹 (cid:86)∠𝐴𝐹𝐸
∵𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°(cid:86) 全
科AA+
★
号
众
公
注
∴∠𝐴𝐷𝐶+ =90°(cid:86) 关
，
源
资
辅
教
∴∠𝐵(cid:89)𝐶𝐹 ∠𝐶(cid:37)𝐸𝐷(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:86)
∵𝐶𝐹 ∠=𝐴𝐶𝐵 (cid:86)
∴∠𝐴𝐶𝐹 =∠𝐵𝐶𝐹(cid:86)
∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐶𝐸𝐷(cid:86)
∵∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝐷(cid:69)
∴(cid:15)∠(cid:74)𝐴𝐸(cid:75)𝐹7-3∠(cid:19)𝐴(cid:58)𝐹𝐸24-25(cid:214)(cid:60)(cid:61)(cid:76)·(cid:268)(cid:269)(cid:244)(cid:271)(cid:272)(cid:359)·(cid:67)(cid:22)(cid:68)(cid:15)(cid:360)(cid:159)(cid:19)(cid:58)1(cid:68)(cid:139)(cid:140)①(cid:86) (cid:86) =40°(cid:86)
=130°(cid:86)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:309)(cid:69)(cid:182)(cid:361)(cid:204)(cid:217)(cid:149)(cid:147)(cid:62)(cid:197)(cid:51)(cid:86)(cid:238)(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:189)(cid:156)(cid:117)(cid:263)(cid:198)(cid:69)𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ∠𝐴𝐸𝑃
(cid:73)∠𝑃(cid:10)𝐹𝐷(cid:139)(cid:140)①(cid:86)(cid:263)(cid:105)∠𝐸(cid:112)𝑃𝐹 (cid:69)
(cid:15)(cid:288)(cid:289)(cid:19)(cid:58)2(cid:68)(cid:139)(cid:140)𝑃②(cid:86)𝑃𝑀∥𝐴𝐵 (cid:86) =50°(cid:86) =120°(cid:86)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:309)(cid:131)
(cid:15)(cid:199)(cid:34)(cid:19)(cid:58)3(cid:68)(cid:139)(cid:140)③(cid:86)𝐴(cid:96)𝐵(cid:58)∥𝐶2𝐷(cid:68)(cid:92)∠(cid:167)𝐴𝐸(cid:62)𝑃(cid:86) (cid:37)∠𝑃(cid:26)𝐹(cid:27)𝐶(cid:23)(cid:106) (cid:37)∠(cid:26)𝐸𝑃(cid:27)𝐹(cid:23)(cid:176)(cid:153)(cid:105) (cid:86)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:309)(cid:69)
∠𝑃𝐸𝐴 ∠𝑃𝐹𝐶 𝐺 ∠𝐺(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:19)(cid:58)1(cid:68)90°(cid:86)(cid:263)(cid:198)(cid:241)(cid:73)(cid:32)(cid:131)(cid:58)2(cid:68)70°(cid:131)(cid:58)3(cid:68)35°
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:114)(cid:115)(cid:26)(cid:299)(cid:23)(cid:37)(cid:148)(cid:118)(cid:106)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:26)(cid:299)(cid:7)(cid:117)(cid:312)(cid:156)(cid:49)(cid:86)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:220)(cid:82)(cid:201)(cid:202)(cid:26)(cid:299)(cid:23)(cid:37)(cid:148)(cid:118)
(cid:106)(cid:151)(cid:152)(cid:89)(cid:73)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:69)
(cid:58)1(cid:68)(cid:141)(cid:44)(cid:26)(cid:299)(cid:23)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:53)(cid:148)(cid:118)(cid:267)(cid:299)(cid:55)(cid:56)(cid:121)(cid:122)(cid:131)
(cid:58)2(cid:68)(cid:263)(cid:105) (cid:112) (cid:86)(cid:141)(cid:44)(cid:26)(cid:299)(cid:37)(cid:151)(cid:152)(cid:267)(cid:299)(cid:227)(cid:228)(cid:121)(cid:122)(cid:131)
(cid:58)3(cid:68)(cid:96)(cid:58)𝑃2(cid:68)(cid:92)𝑃𝑀(cid:167)∥(cid:62)𝐴𝐵(cid:86)(cid:141)(cid:44) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:106) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:176)(cid:153)(cid:105) (cid:86)(cid:121)(cid:122)(cid:38)(cid:157)(cid:70)(cid:71)(cid:69)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:73)(cid:58)1(cid:68)(cid:139)(cid:140)①(cid:86)(cid:263)∠𝑃(cid:105)𝐸𝐴(cid:112) (cid:86)∠𝑃𝐹𝐶 𝐺
= =40°(cid:86) 𝑃 𝑃𝑀∥𝐴𝐵
∴∠1 ∠𝐴𝐸𝑃 全
科AA+
★
号
众
公
注
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷 (cid:86) 关
，
源
资
辅
教
∴𝑃𝑀+∥𝐶𝐷 =180°(cid:86)
∴∠2 ∠=𝑃𝐹1𝐷30°(cid:86)
∵∠𝑃𝐹=𝐷 =50°(cid:86)
∴∠2+ 180=°−4103°0+°50°=90°(cid:86)
(cid:121)∴∠1 ∠=290°(cid:131)
(cid:58)2∠(cid:68)𝐸𝑃(cid:263)𝐹(cid:105) (cid:112) (cid:86)
=𝑃 𝑃𝑀∥=𝐴𝐵50°(cid:86)
∴∠𝑀𝑃𝐸 (cid:86)∠𝐴𝐸𝑃
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷(cid:86)
∴𝑃𝑀∥𝐶𝐷= =120°(cid:86)
∴∠𝑃𝐹𝐶 =∠𝑀𝑃𝐹 = =70°(cid:131)
∴∠𝐸𝑃𝐹 ∠𝑀𝑃𝐹−∠𝑀𝑃𝐸 120°−50°(cid:58)3(cid:68) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:106) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:176)(cid:153)(cid:105) (cid:86)
∵ ∠𝑃1𝐸𝐴 ∠𝑃𝐹𝐶 𝐺
= =25°(cid:86)
2
∴∠𝐴𝐸𝐺 ∠𝐴𝐸𝑃
1
= =60°(cid:86)
2
∠(cid:263)𝐺(cid:105)𝐹𝐶(cid:112) ∠𝑃𝐹𝐶(cid:86)
𝐺 𝐺=𝑀∥𝐴𝐵 =25°(cid:86)
∴∠𝑀𝐺𝐸(cid:86)∠𝐴𝐸𝐺
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷(cid:86)
∴𝐺𝑀∥𝐶𝐷= =60°(cid:86)
∴∠=𝐺𝐹𝐶 ∠𝑀𝐺𝐹 = =35°(cid:69)
科AA+
全
∠𝐺 ∠𝑀𝐺𝐹−∠𝑀𝐺𝐸 60°−25° 号 ★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
