专题 1.9 等边三角形（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)..............................................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:3)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:20)(cid:19)..........................................................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:29)(cid:44)(cid:45)(cid:42)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................................24
知识点1 等边三角形及其性质
+
A
1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 科 A
全
★
号
众
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角注都相公等，并且每一个角都等于60°．
关
，
源
资
拓展：（1）等边三角形是辅轴对称图形，它有三条对称轴；
教
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
知识点2 等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【题型1 根据等边三角形的性质求长度】
(cid:15)(cid:49)1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:38) (cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:45) (cid:63) (cid:63) (cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)
(cid:69)(cid:70)(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)(cid:73) =2(cid:63) =8(cid:63)(cid:74) (cid:29)(cid:33)(cid:37)(cid:50)△ 𝐴 (cid:60)𝐵𝐶 △𝐶𝐷𝐸 𝐴 𝐷 𝐸
𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐸 𝐶𝐸A(cid:75)4 B(cid:75)5 C(cid:75)6 D(cid:75)7
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)C
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:70)(cid:92)(cid:93)(cid:45)(cid:37)(cid:94)(cid:76)(cid:80)(cid:20)(cid:29)(cid:3)
(cid:95)(cid:75)
(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36) (SAS)(cid:63)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:94)(cid:75)
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) (cid:38) △𝐴𝐶𝐷(cid:64)≌(cid:37)△(cid:24)𝐵𝐶(cid:25)𝐸(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
= ∵△=𝐴𝐵6𝐶0°(cid:63)△𝐶𝐷=𝐸 (cid:63) = (cid:63)
∴∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶=𝐷 𝐴𝐶 (cid:63)𝐵(cid:98)𝐶 𝐶𝐷 =𝐶𝐸 (cid:63)
(cid:65)∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷(cid:101)𝐶𝐵 ∠𝐸(cid:43)𝐶𝐷(cid:63)−∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝐸 A +
A
科
全
★
△𝐴𝐶=𝐷 △𝐵𝐶𝐸 众 号
公
= (cid:63) 关 注
𝐴𝐶 =𝐵𝐶 源 ，
资
∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝐸 教 辅
𝐶𝐷 𝐶𝐸 (SAS)(cid:63)
∴△𝐴𝐶=𝐷≌△=𝐵2𝐶(cid:63)𝐸
∴𝐴𝐷=8𝐵(cid:63)𝐸
∵𝐴𝐸 = = =6(cid:63)
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸−=𝐴6𝐷(cid:63) 8−2
(cid:102)∴(cid:103)𝐶𝐸(cid:10)C𝐷(cid:75)𝐸
(cid:15)(cid:104)(cid:105)1-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:106)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:109)·(cid:110)(cid:111)(cid:88)(cid:112)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:25)(cid:33)(cid:113)2(cid:63)(cid:45) (cid:114) (cid:78)(cid:115)(cid:65)(cid:25) (cid:114)
(cid:70)(cid:50)(cid:116)(cid:38) (cid:29)(cid:117)(cid:45)(cid:118)(cid:119)(cid:60)(cid:63)(cid:120) (cid:121) (cid:122)(cid:40)(cid:63)(cid:45) (cid:123)(cid:65)(cid:45)△(cid:124)𝐴𝐵(cid:63)𝐶(cid:74)(cid:26)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:26)(cid:27)𝐷(cid:28)(cid:29)𝐸(cid:128)(cid:33)(cid:101)(cid:113)𝐴(cid:50)𝐵 (cid:60)𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝐶 △𝐵𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐵 𝐹A(cid:75)8 B(cid:75)6 C(cid:75)4 D(cid:75)2
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)B
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:129)(cid:130)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:37)(cid:94)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:75)
(cid:96)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:137) = = (cid:63)(cid:97)(cid:138)(cid:26)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:128)(cid:33)(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:139)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:140)(cid:101)(cid:63)(cid:98)(cid:99)
(cid:94)(cid:76)(cid:75) 𝐵𝐷 𝐹𝐷,𝐵𝐸 𝐹𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) (cid:96)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:137)(cid:10) = = (cid:63)
(cid:26)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:26)(cid:27)∵(cid:28)(cid:29)(cid:128)(cid:33)(cid:101)(cid:113)(cid:10) +𝐵𝐷 +𝐹𝐷,𝐵+𝐸 𝐹+𝐸 = + + + + (cid:63)
+
A
∴ = + (cid:63) = + 𝐴𝐶(cid:63) 𝐷𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵科𝐸 A𝐴𝐷 𝐶𝐸
全
★
号
众
∵(cid:26)𝐴𝐵(cid:125)(cid:126)𝐴(cid:127)𝐷(cid:26)(cid:27)𝐵𝐷(cid:28)(cid:29)𝐵(cid:128)𝐶 (cid:33)(cid:101)𝐵𝐸= 𝐶𝐸+ + =2+公2+2=6(cid:63)
注
关
，
源
∴(cid:102)(cid:103)(cid:10)B(cid:75) 辅 资𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
教
(cid:15)(cid:104)(cid:105)1-2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)·(cid:110)(cid:111)(cid:88)(cid:112)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65) (cid:43)(cid:63)B(cid:113) (cid:25)(cid:70)(cid:67)(cid:45)(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)
(cid:145)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63) = =7(cid:63)(cid:74) (cid:29)(cid:33)(cid:34)(cid:113) (cid:75)△𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐶
∠𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵,𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)14
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:147) =7(cid:63)(cid:148)(cid:149)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:137)(cid:147) = =7(cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:94)(cid:75) 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) 𝐴𝐵 (cid:113)𝐷(cid:24)𝐵(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63) =7(cid:63)
= =7∵(cid:63)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
∴𝐵𝐶 =𝐴𝐵 (cid:63)
∵∠𝐷= ∠𝐷𝐴=𝐵7(cid:63)
∴𝐴𝐵=𝐷𝐵+ =14(cid:63)
∴𝐶𝐷 𝐷𝐵 𝐵𝐶(cid:102)(cid:76)(cid:77)(cid:113) 14(cid:75)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)1-∶3(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:29)(cid:25) (cid:114) (cid:155)(cid:156)(cid:67)(cid:45)D(cid:63)E(cid:63)(cid:71)(cid:72)
(cid:63) (cid:157)(cid:158)(cid:45)F(cid:63)(cid:159) =60°(cid:63)(cid:73) =1(cid:63) =2(cid:63)(cid:74) (cid:33)(cid:34)(cid:113)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:75) 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐶𝐷 𝐵𝐸 ∠𝐸𝐹𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)3
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:137)(cid:147) = (cid:63) = =60°(cid:63)(cid:35)(cid:36) (cid:63)(cid:96)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:137)(cid:147) = (cid:63)(cid:74)(cid:99)(cid:91)(cid:137)(cid:147)(cid:47)(cid:48)𝐴𝐵(cid:75) 𝐶𝐵 ∠𝐴 ∠𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)𝐴(cid:94)𝐸(cid:10) 𝐵𝐷 (cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
= (cid:63) ∵△=𝐴𝐵𝐶 =60°(cid:63)
∴𝐴𝐵 𝐶+𝐵 ∠𝐴 =∠6𝐴0°𝐵(cid:63)𝐶
+
A
∴(cid:160)∠𝐴𝐵𝐸 ∠=𝐶𝐵𝐹 + =60°(cid:63) 科 A
全
★
号
众
∵∠𝐸𝐹=𝐶 ∠𝐶𝐵(cid:63)𝐹 ∠𝐵𝐶𝐹 公
注
关
，
源
∴(cid:65)∠𝐴𝐵𝐸 (cid:101)∠𝐵𝐶𝐹 (cid:43)(cid:63) 辅 资
教
△𝐴=𝐵𝐸 △𝐵𝐶𝐷
= (cid:63)
∠𝐴 =∠𝐷𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷 (ASA)(cid:63)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:63)△𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐸=𝐵𝐷= + = + =1+2=3(cid:63)
∴(cid:102)𝐵(cid:76)𝐶(cid:77)(cid:113)𝐴𝐶(cid:10)3(cid:75)𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐷𝐵 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:45)(cid:161)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:35)(cid:36) (cid:37)(cid:94)(cid:162)(cid:80)(cid:20)(cid:29)(cid:3)
(cid:95)(cid:75) △𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐷
【题型2 根据等边三角形的性质求角度】
(cid:15)(cid:49)2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:106)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:154)·(cid:110)(cid:111)(cid:88)(cid:112)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:166) (cid:101) (cid:64)(cid:37)(cid:167)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:168) =62°(cid:63)
(cid:74) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:37)(cid:50) (cid:60) △𝐴𝐵𝐶 △𝐶𝐷𝐸 ∠𝐸𝐵𝐷
∠𝐴𝐸𝐵A(cid:75)124° B(cid:75)122° C(cid:75)120° D(cid:75)118°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)B
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)(cid:24)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:92)(cid:93)(cid:63)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:37)
(cid:94)(cid:20)(cid:3)(cid:95)(cid:75)(cid:170)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:137) = = = = = =60°(cid:63)(cid:97)(cid:35)(cid:147)
(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:99)𝐶(cid:137)𝐵𝐶,𝐶𝐸= 𝐶𝐷,∠𝐴(cid:63)𝐶(cid:148)𝐵(cid:149)(cid:166)∠𝐸𝐶𝐷 =∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐵𝐴(cid:63)𝐶(cid:171)(cid:172)(cid:99)(cid:137)
△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵(cid:63)𝐶(cid:173)𝐷(cid:149)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)(cid:32)∠(cid:94)𝐷(cid:98)𝐵𝐶(cid:99)(cid:137)∠(cid:75)𝐸𝐴𝐶 ∠𝐷𝐵𝐶 ∠𝐸𝐴𝐶 𝑥
∠(cid:15)𝐴(cid:100)𝐵𝐸(cid:94),∠(cid:19)𝐵(cid:94)𝐴𝐸(cid:10) (cid:101) (cid:64)(cid:37)(cid:167)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
= ∵=△𝐴𝐵𝐶 △=𝐶𝐷𝐸 = = =60°(cid:63)
∴𝐴𝐶 𝐵𝐶,𝐶𝐸 =𝐶𝐷,∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐸(cid:63)𝐶𝐷(cid:98) ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴(cid:63)𝐶 A +
A
科
全
★
(cid:65)∴∠𝐴𝐶𝐵−∠(cid:101)𝐵𝐶𝐸 ∠(cid:43)𝐸𝐶(cid:63)𝐷−∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷 众 号
公
注
关
，
△𝐴𝐶=𝐸 △𝐵𝐶𝐷 源
资
= (cid:63) 教 辅
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷
𝐶𝐸 𝐶𝐷 (SAS)(cid:63)
∴△𝐴𝐶𝐸=≌△𝐵𝐶𝐷(cid:63)
(cid:166)∴∠𝐷𝐵𝐶 =∠𝐸𝐴𝐶 = (cid:63)
∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶 𝑥 = (cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐸 =∠62𝐵°𝐴(cid:63)𝐶−∠𝐸𝐴𝐶 60°−𝑥
∵∠𝐸𝐵𝐷= = (cid:63)
∴∠𝐶𝐵𝐸 =∠𝐸𝐵𝐷−∠𝐷𝐵𝐶= 62°−(𝑥 )= (cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐶−=∠𝐶𝐵𝐸 +60°− 6=2°5−8𝑥°(cid:63) 𝑥−2°
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵𝐴𝐸 ( 𝑥−2°+ 60°−𝑥)= =122°(cid:63)
(cid:102)∴∠(cid:103)𝐴𝐸(cid:10)𝐵B(cid:75)180°− ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐵𝐴𝐸 180°−58°
(cid:15)(cid:104)(cid:105)2-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:163)(cid:176)·(cid:59)(cid:177)(cid:60)(cid:178)(cid:92)(cid:10)(cid:61)(cid:62)(cid:63)D(cid:114)E(cid:78)(cid:115)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:179)(cid:25) (cid:114) (cid:70)(cid:29)(cid:45)(cid:63)
(cid:71)(cid:72) (cid:114) (cid:63) (cid:38) (cid:157)(cid:158)(cid:45)O(cid:63) = (cid:63)(cid:74) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:37)(cid:50) (cid:60) 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐸 ∠𝐵𝑂𝐷A(cid:75)50° B(cid:75)60° C(cid:75)65° D(cid:75)70°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)B
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:180)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:181)(cid:147)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:37)(cid:94)(cid:20)(cid:3)(cid:95)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36) (SAS)(cid:63)(cid:137)(cid:182) = (cid:63)(cid:97)(cid:47)(cid:119)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:180)(cid:27)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:94)(cid:98)(cid:99)(cid:75) △𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐶𝐵𝐸
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
= (cid:63) ∵△=𝐴𝐵𝐶 =60°(cid:63)
(cid:65)∴𝐴𝐶 𝐵(cid:101)𝐶 ∠𝐴 (cid:43)∠𝐴(cid:63)𝐶𝐵
△𝐴=𝐶𝐷 △𝐶𝐵𝐸 A +
A
= (cid:63) 全 科
★
𝐴𝐷= 𝐶𝐸 众 号
公
∠𝐴 ∠𝐵𝐶𝐸 注
关
𝐴𝐶 𝐶𝐵 (SAS)(cid:63) 源 ，
资
辅
教
∴△𝐴𝐶𝐷≌=△𝐶𝐵𝐸(cid:63)
∴∠𝐴𝐶𝐷 =∠𝐶𝐵𝐸 + = + = =60°(cid:63)
(cid:102)∴(cid:103)∠𝐵(cid:10)𝑂B𝐷(cid:75) ∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐵𝐶𝑂 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝑂 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:15)(cid:104)(cid:105)2-2(cid:19)(cid:50)2025·(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:67)(cid:187)(cid:60)(cid:178)(cid:92)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:117)(cid:45) (cid:188)(cid:189)(cid:123)(cid:65) (cid:70)(cid:63) (cid:38) (cid:157)(cid:158)(cid:45)
(cid:75)(cid:178)(cid:92) =140°(cid:63)(cid:74) =(cid:50) (cid:60) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 △𝐸𝐹𝐺 𝐸 𝐴𝐵 𝐹𝐺 𝐶𝐷
𝐻 ∠1 ∠2
A(cid:75)110° B(cid:75)120° C(cid:75)130° D(cid:75)100°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)D
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:129)(cid:130)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:143)(cid:190)(cid:69)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:75)(cid:191) (cid:63)(cid:170)(cid:96)(cid:143)(cid:190)(cid:69)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:137)(cid:182)
= =40°(cid:63)(cid:97)(cid:85)(cid:86) (cid:63)(cid:96)(cid:143)(cid:190)(cid:69)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:137)(cid:182) = =2𝐹0𝐾°(cid:63)∥𝐶(cid:173)𝐷(cid:149)(cid:22)(cid:23)(cid:143)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:94)(cid:75)
∠3 180°−∠1 𝐴𝐵∥𝐹𝐾 ∠5 ∠4(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) (cid:24)(cid:25) (cid:63)
= ∵ =60△°(cid:63)𝐸𝐹𝐺
∴(cid:191)∠𝐸𝐹𝐺 (cid:63)∠𝐹𝐸𝐺
𝐹𝐾∥𝐶𝐷
= =40°(cid:63)
∴∠3=180°−∠1=20°(cid:63)
∴∠4 6(cid:63)0°− ∠3
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷(cid:63)
∴𝐴𝐵∥=𝐹𝐾 =20°(cid:63)
∴∠5=∠4 =100°(cid:63) A +
A
科
全
★
(cid:102)∴∠(cid:103)2(cid:10)D18(cid:75)0°−∠5−60°
众
号
公
注
关
(cid:15)(cid:104)(cid:105)2-3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:118)(cid:192)源(cid:193)(cid:176)， ·(cid:59)(cid:177)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:167)(cid:194)(cid:28) (cid:29)(cid:180)(cid:195)(cid:63)(cid:191)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:63)(cid:71)(cid:72)
资
辅
教
(cid:63)(cid:74) (cid:29)(cid:196)(cid:197)(cid:113)(cid:50) (cid:60) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷𝐸
𝐴𝐸 ∠𝐴𝐸𝐶
A(cid:75)60° B(cid:75)52.5° C(cid:75)45° D(cid:75)37.5°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)C
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:129)(cid:130)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:167)(cid:194)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:96)(cid:167)(cid:194)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:137) = (cid:63) =90°(cid:63)(cid:96)
(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:137) = (cid:63) = =60°(cid:63)(cid:198)(cid:172)(cid:137) = 𝐴(cid:63)𝐷(cid:74) 𝐶𝐷 ∠=𝐴𝐷𝐶 (cid:63)(cid:97)(cid:22)(cid:23)
(cid:26)△(cid:27)𝐶𝐷(cid:28)𝐸(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)(cid:32)(cid:147) 𝐶𝐷=15𝐸°(cid:63)𝐷 (cid:199)∠(cid:172)𝐶𝐷(cid:22)𝐸(cid:23) ∠𝐶𝐸𝐷= (cid:98)𝐴𝐷(cid:99)(cid:137)𝐷(cid:147)𝐸(cid:76)(cid:77)(cid:75)∠𝐷𝐸𝐴 ∠𝐷𝐸𝐴
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) (cid:200)(cid:25)(cid:28) ∠𝐷𝐸𝐴(cid:37)(cid:167)(cid:194)(cid:28)(cid:63) ∠𝐴𝐸𝐶 ∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐷𝐸𝐴
= (cid:63) ∵ =9𝐴0𝐵°𝐶(cid:63)𝐷
∴𝐴𝐷 𝐶(cid:37)𝐷(cid:24)∠(cid:25)𝐴(cid:26)𝐷𝐶(cid:27)(cid:28)(cid:63)
∵△𝐶𝐷𝐸= (cid:63) = =60°(cid:63)
∴𝐶𝐷 =𝐸𝐷(cid:63)∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐶𝐸𝐷
∴𝐴𝐷 𝐷=𝐸 (cid:63)
(cid:65)∴∠𝐷𝐸𝐴 (cid:43)∠𝐷(cid:63)𝐸𝐴 = + =150°(cid:63)
△𝐴𝐷+𝐸 ∠𝐴+𝐷𝐸 ∠𝐴=𝐷1𝐶80°∠(cid:63)𝐶𝐷𝐸
∵∠𝐷𝐸𝐴 +∠1𝐷5𝐸0𝐴°=∠18𝐴0𝐷°𝐸(cid:63)
∴2∠𝐷𝐸𝐴=15°(cid:63)
∴∠𝐷𝐸𝐴= =45°(cid:75)
(cid:102)∴∠(cid:103)𝐴𝐸(cid:10)𝐶C(cid:75)∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐷𝐸𝐴
【题型3 根据等边三角形的性质证明】
(cid:15)(cid:49)3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:201)(cid:202)(cid:80)(cid:203)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:45) (cid:113) (cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:67)(cid:44)(cid:45)(cid:63)(cid:71)(cid:72)
(cid:63)(cid:120)(cid:69)(cid:111) (cid:204)(cid:45) (cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:133)120°(cid:137)(cid:182) (cid:63)(cid:68)(cid:69)△𝐴(cid:38)𝐵𝐶 (cid:157)(cid:158)(cid:45) (cid:63)(cid:209)(cid:45) (cid:191)𝐷 𝐵𝐶 (cid:157) (cid:29)(cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:158)(cid:45) (cid:75)
𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴 𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐹 𝐸 𝐸𝐺∥𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐺
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:210)
(2)(cid:32)(cid:35)(cid:10)∠𝐷=∠𝐵𝐴(cid:75)𝐸
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(𝐵1𝐷)(cid:211)(cid:94)2(cid:79)𝐴𝐹(cid:210)
(2)(cid:211)(cid:94)(cid:79)(cid:75)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:89)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:94)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:75)
(cid:50)1(cid:60)(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:137) =60°(cid:63)(cid:97)(cid:96) + =120°(cid:63) = + =120°(cid:63)(cid:99)
(cid:137) = (cid:75) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸
(cid:50)2∠(cid:60)𝐷(cid:170)(cid:22)∠𝐵(cid:23)𝐴A𝐸AS(cid:35)(cid:36) (cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:137)(cid:182) = (cid:63)(cid:148)(cid:149)(cid:35)(cid:36) (cid:98)(cid:99)(cid:137)(cid:182)(cid:47)(cid:48)(cid:75)
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:50)1(cid:60) △(cid:37)𝐴𝐸(cid:24)𝐺(cid:25)≌(cid:26)△(cid:27)𝐷𝐴(cid:28)𝐵 𝐸𝐺 𝐴𝐵 △𝐹𝐸𝐺≌△𝐹𝐶𝐴
=60°(cid:63)∵△𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐶 + + =180°(cid:63)
∵∠𝐴𝐵+𝐷 ∠𝐷=1∠2𝐵0𝐴°𝐷
∴(cid:96)∠(cid:208)𝐷(cid:133)(cid:29)∠𝐵(cid:30)𝐴(cid:31)𝐷(cid:137) =120°
∠𝐸𝐴𝐷= + =120°
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴(cid:75)𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸
(cid:50)∴2∠(cid:60)𝐷(cid:96)(cid:208)∠𝐵(cid:133)𝐴(cid:29)𝐸(cid:30)(cid:31)(cid:137) = (cid:63)
(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝐴(cid:63)𝐸 𝐴𝐷
∵△𝐴𝐵𝐶= =60°(cid:63) = (cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
∵𝐸𝐺∥=𝐴𝐶 =60°
∴∠𝐺=∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐺 ∠=𝐴𝐵𝐷(cid:63) =
∵∠𝐸𝐴𝐺 ∠𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐸=𝐺≌△(cid:63)𝐷𝐴𝐵=
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐺 𝐴𝐵 𝐸𝐺
∵𝐴𝐶=𝐴𝐵
+
A
∴𝐴𝐶 𝐸=𝐺 科 A
全
★
号
众
∵∠𝐸𝐹𝐺 ∠𝐶𝐹𝐴 公
注
关
，
源
∴△𝐹𝐸=𝐺≌△𝐹𝐶𝐴 辅 资
教
∴𝐴𝐹 =𝐹𝐺+ =
∴𝐴𝐺 =𝐴𝐹 =𝐹𝐺 2𝐴𝐹
∴(cid:15)𝐵(cid:104)𝐷(cid:105)3𝐴-𝐺1(cid:19)(cid:50)22𝐴3𝐹-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:84)(cid:212)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:60) (cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:37) (cid:29)(cid:43)(cid:69)(cid:63)(cid:120) (cid:121) (cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:159)(cid:45) (cid:123)
(cid:65)(cid:45) (cid:124)(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:75)(cid:73) =60°(cid:63) =8(cid:63)(cid:32) (cid:29)(cid:33)𝐶(cid:75)𝐷 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴
𝐸 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)4
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:29)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:104)(cid:217)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:210)(cid:94)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:37)(cid:218)(cid:132)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:137)(cid:147)
(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:137) = (cid:63) = =60°(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:45)D(cid:37) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:63)(cid:137)(cid:147)△𝐵𝐷𝐸
(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:23)(cid:219)(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:137) (cid:29)(cid:33)𝐴(cid:75)𝐷 𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐸𝐷𝐶 𝐴𝐵 △𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) (cid:37) (cid:29)𝐵(cid:43)𝐸(cid:69)(cid:63) =8(cid:63)
∵𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵= = 1 = 1 ×8=4(cid:63)
2 2
∴𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:121) (cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:159)(cid:45)A(cid:123)(cid:65)(cid:45)E(cid:124)(cid:63)
∵△𝐴=𝐵𝐶 (cid:63)𝐶𝐷 = =60°(cid:63)
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐸(cid:63)∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐸𝐷𝐶
∴𝐷𝐸 𝐷=𝐵 =60°(cid:63)
∵∠𝐵𝐷𝐸 (cid:37)1(cid:24)80(cid:25)°−(cid:26)∠(cid:27)𝐴𝐷(cid:28)𝐶(cid:63)−∠𝐸𝐷𝐶
∴△𝐵=𝐷𝐸 =4(cid:75)
∴(cid:15)𝐵(cid:104)𝐸(cid:105)𝐵3-𝐷2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:220)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:200)(cid:221)(cid:139)(cid:64)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:178)(cid:92)(cid:10)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:45) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:174)(cid:67)(cid:45)(cid:63)(cid:168) = (cid:63)
(cid:180)(cid:67)(cid:45) (cid:222)(cid:223) = (cid:63) (cid:143)(cid:78) (cid:75) 𝐸 𝐴𝐵𝐶 𝐸𝐴 𝐸𝐵 △𝐴𝐵𝐶
𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐸 ∠𝐷𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:210) 公
注
关
，
源
(2)(cid:32) △(cid:29)𝐷(cid:34)𝐵𝐸(cid:169)≌(cid:75)△𝐶𝐵𝐸辅 资
教
(cid:15)(cid:76)(cid:77)∠𝐵(cid:19)𝐷(𝐸1)(cid:211)(cid:94)(cid:79)
(2)30°
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:27)(cid:143)(cid:78)(cid:69)(cid:29)(cid:86)(cid:224)(cid:63)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:70)(cid:92)(cid:93)
(cid:45)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:132)(cid:37)(cid:94)(cid:219)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:75)
(cid:50)1(cid:60)(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:47)(cid:119)(cid:20)(cid:229)(cid:99)(cid:137) = (cid:63)(cid:96)(cid:27)(cid:143)(cid:78)(cid:69)(cid:29)(cid:86)(cid:224)(cid:99)(cid:137) = (cid:63)(cid:218)(cid:132)SAS(cid:137)(cid:147)
(cid:210) 𝐵𝐷 𝐵𝐶 ∠𝐷𝐵𝐸 ∠𝐸𝐵𝐶
(cid:50)△2𝐷(cid:60)𝐵(cid:35)𝐸≌(cid:36)△𝐶𝐵𝐸 (SSS)(cid:63)(cid:96)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:47)(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:137) = =30°(cid:63)
(cid:173)(cid:149)(cid:97)(cid:96)(cid:84)△(cid:24)𝐶(cid:26)𝐴(cid:27)𝐸≌(cid:28)△(cid:29)𝐶(cid:30)𝐵𝐸(cid:31)(cid:98)(cid:99)(cid:137)(cid:94)(cid:75) ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐸
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:50)1(cid:60)(cid:35)(cid:36)(cid:10) (cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
= (cid:63) ∵△𝐴𝐵𝐶
∴𝐵𝐶 =𝐴𝐶(cid:63)
∵𝐵𝐷=𝐴𝐶(cid:63)
∴𝐵𝐷(cid:143)(cid:78)𝐵𝐶 (cid:63)
∵𝐵𝐸 ∠𝐷𝐵𝐶= (cid:63)
∴∠𝐷𝐵=𝐸 (cid:63)∠𝐸𝐵𝐶
∵𝐵𝐸 𝐵𝐸 (SAS)(cid:210)
(cid:50)∴△2(cid:60)𝐷(cid:94)𝐵𝐸(cid:10)≌△𝐶𝐵𝐸 (cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
= (cid:63)∵△𝐴𝐵𝐶=60°(cid:63)
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐶(cid:63)∠𝐴𝐶=𝐵 (cid:63)
∵𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐸𝐴 (𝐸S𝐵SS)(cid:63)
∴△𝐶𝐴𝐸=≌△𝐶𝐵(cid:63)𝐸
∴∠𝐴𝐶𝐸 =∠𝐵𝐶𝐸+ =60°(cid:63)
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸=∠3𝐵0°𝐶(cid:63)𝐸
∴∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐸 (cid:63)
∵△𝐷𝐵𝐸=≌△𝐶𝐵𝐸=30°(cid:75)
∴(cid:15)∠(cid:104)𝐵𝐷(cid:105)𝐸3-3∠(cid:19)𝐵(cid:50)𝐶𝐸24-25(cid:220)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:183)(cid:184)(cid:184)(cid:230)·(cid:59)(cid:177)(cid:60)(cid:15)(cid:42)(cid:20)(cid:231)(cid:232)(cid:19)
+
A
(cid:61)(cid:62)1(cid:63)(cid:178)(cid:92) (cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:45) (cid:113)(cid:25) (cid:70)(cid:67)(cid:44)(cid:45)(cid:50)(cid:45) (cid:116)(cid:38)(cid:45) 科(cid:63)(cid:45)A(cid:118)(cid:119)(cid:60)(cid:75)(cid:91) (cid:113)(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:195)(cid:191)
全
★
号
众
(cid:24)(cid:25) (cid:63)△(cid:71)𝐴(cid:72)𝐵𝐶 (cid:75) 𝐷 𝐵𝐶 公 𝐷 𝐵 𝐶 𝐴𝐷
注
关
，
源
△𝐴𝐷𝐸 𝐶𝐸 辅 资
教
(cid:50)1(cid:60)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:210)
(cid:50)2(cid:60)(cid:235)(cid:136)(cid:225)(cid:35)△(cid:36)𝐴𝐵𝐷≌△(cid:38)𝐴𝐶𝐸(cid:29)(cid:236)(cid:237)(cid:3)(cid:238)(cid:210) (cid:69)(cid:111) (cid:114) (cid:114) (cid:140)(cid:239)(cid:29)(cid:169)(cid:240)(cid:3)(cid:238)(cid:75)
(cid:15)(cid:241)(cid:242)(cid:232)(cid:243)(cid:19) ①𝐴𝐵 𝐶𝐸 ② 𝐸𝐶 𝐴𝐶 𝐶𝐷
(cid:50)3(cid:60)(cid:61)(cid:62)2(cid:63)(cid:73)(cid:45) (cid:65)(cid:25) (cid:29)(cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:63)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:116)(cid:104)(cid:63)(cid:248)(cid:249)(cid:44)(cid:45) (cid:29)(cid:228)(cid:44)(cid:236)(cid:237)(cid:116)(cid:66)(cid:63)(cid:235)(cid:136)(cid:50)2(cid:60)(cid:29)(cid:179)(cid:125)(cid:47)
(cid:48)(cid:37)(cid:250)(cid:251)(cid:139)(cid:252)(cid:253)(cid:73)(cid:139)𝐷(cid:252)(cid:63)𝐵(cid:254)𝐶(cid:36)(cid:175)(cid:96)(cid:210)(cid:73)(cid:116)(cid:139)(cid:252)(cid:63)(cid:255)(cid:256)(cid:147)(cid:167)(cid:257)(cid:29)(cid:47)(cid:48)(cid:63)𝐷(cid:225)(cid:254)(cid:36)(cid:175)(cid:96)(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:50)1(cid:60)(cid:211)(cid:94)(cid:79)(cid:210)(cid:50)2(cid:60) (cid:210) = (cid:210)(cid:50)3(cid:60) (cid:139)(cid:252)(cid:210) (cid:116)(cid:139)(cid:252)(cid:63)(cid:131)(cid:113)
= + (cid:63)(cid:211)(cid:94)(cid:79) ①𝐴𝐵∥𝐶𝐸 ②𝐶𝐸 𝐴𝐶−𝐶𝐷 ①𝐴𝐵∥𝐶𝐸 ②
(cid:15)𝐸𝐶(cid:78)(cid:79)𝐴(cid:19)𝐶(cid:80)𝐶(cid:20)𝐷(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:258)(cid:30)(cid:31)(cid:63)
(cid:50)1(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:137)(cid:182) = (cid:63) = (cid:63) = =60°(cid:63)(cid:198)(cid:172)(cid:137)(cid:182) = (cid:63)(cid:22)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐸(cid:23)“SAS”(cid:98)(cid:99)(cid:35)(cid:36)(cid:210)
(cid:50)2(cid:60)(cid:96) (SAS)(cid:137)(cid:182) = =60°(cid:63) = (cid:63)(cid:171)(cid:172) = =60°(cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:137)(cid:182)
(cid:63)(cid:22)(cid:23)△(cid:69)𝐴(cid:111)𝐵𝐷(cid:29)≌(cid:101)△(cid:259)𝐴(cid:99)𝐶𝐸(cid:137) = ∠=𝐵 ∠𝐴𝐶𝐸= 𝐶(cid:210)𝐸 𝐵𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐸 𝐴𝐵∥
𝐶(cid:50)𝐸3(cid:60)(cid:66)(cid:50)1(cid:60)(cid:99)(cid:35) 𝐶𝐸 𝐵𝐷(SA𝐵S𝐶)(cid:63)−𝐶(cid:137)𝐷(cid:182) 𝐴𝐶=−𝐶𝐷 =60°(cid:63) = (cid:63)(cid:171)(cid:172) = =60°(cid:63)
(cid:98)(cid:99)(cid:137)(cid:182) (cid:63)(cid:22)△(cid:23)𝐴𝐵(cid:69)𝐷(cid:111)≌(cid:29)△(cid:101)𝐴𝐶(cid:259)𝐸(cid:137)(cid:182) = ∠=𝐵 ∠+𝐴𝐶𝐸 = +𝐶𝐸(cid:63)(cid:98)𝐵𝐷(cid:99)(cid:94)(cid:76)(cid:75)∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐸
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:50)𝐴𝐵1∥(cid:60)𝐶𝐸(cid:35)(cid:36)(cid:10) (cid:101) 𝐶(cid:37)𝐸(cid:24)(cid:25)𝐵𝐷(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:28)𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐶𝐷
= (cid:63) = (cid:63)∵△𝐴𝐵𝐶= △𝐴𝐷𝐸=60°
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷= 𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
∴(cid:98)∠𝐵𝐴𝐶−∠=𝐷𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶
(cid:65)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:101)∠𝐶𝐴𝐸 (cid:43)
△𝐴𝐵=𝐷 △𝐴𝐶𝐸
=
𝐴𝐵=𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷 𝐴𝐸 (SAS)
+
A
∴(cid:50)△2(cid:60)𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶(cid:210)𝐸 = 科 A
全
★
号
众
(cid:175)(cid:96)(cid:10)①(cid:96)𝐴(cid:50)𝐵∥1𝐶(cid:60)𝐸(cid:137)②𝐶𝐸 𝐴𝐶−𝐶𝐷(.SAS) 公
注
关
，
源
= =60△°(cid:63)𝐴𝐵𝐷≌辅=△𝐴资𝐶𝐸
教
∴∠𝐵 ∠=𝐴𝐶𝐸 =60°𝐶𝐸 𝐵𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐸
∴𝐴𝐵∥=𝐶𝐸 (cid:63) =
∴𝐶𝐸=𝐵𝐷=𝐴𝐶 𝐵𝐶= (cid:210)
(cid:50)∴𝐶3𝐸(cid:60) 𝐵(cid:143)𝐷(cid:190)(cid:139)𝐵𝐶(cid:252)−𝐶𝐷(cid:116)(cid:139)𝐴(cid:252)𝐶−(cid:63)𝐶(cid:131)𝐷(cid:113) = +
(cid:175)(cid:96)(cid:10)① (cid:101)② (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝐸(cid:27)𝐶(cid:28) 𝐴𝐶 𝐶𝐷
=∵△(cid:63)𝐴𝐵𝐶=△𝐴(cid:63)𝐷𝐸 = =60°
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸= +
∴(cid:98)∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐶
(cid:65)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:101)∠𝐶𝐴𝐸 (cid:43)
△𝐴𝐵=𝐷 △𝐴𝐶𝐸
=
𝐴𝐵=𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷 𝐴𝐸(SAS)
∴△𝐴=𝐵𝐷≌△𝐴=𝐶6𝐸0°(cid:63) =
∴∠𝐵 ∠=𝐴𝐶𝐸 =60°𝐶𝐸 𝐵𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐸
∴𝐴𝐵∥=𝐶𝐸 (cid:63) =
∵𝐶𝐸=𝐵𝐷=𝐴𝐶 +𝐵𝐶 = + (cid:75)
【
∴𝐶
题
𝐸
型
𝐵4 𝐷
证明
𝐵𝐶
是等
𝐶
边
𝐷
三角
𝐴𝐶
形】
𝐶𝐷
(cid:15)(cid:49)4(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:163)(cid:176)(cid:260)(cid:154)·(cid:110)(cid:111)(cid:88)(cid:112)(cid:60)(cid:65)(cid:24)(cid:146) (cid:43)(cid:63) = (cid:63)(cid:45) (cid:37) (cid:70)(cid:67)(cid:44)(cid:45)(cid:63)(cid:45) (cid:65)
(cid:29)(cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:63)(cid:168) = (cid:63) (cid:143)(cid:78) (cid:157) (cid:158)(cid:45) (cid:63)(cid:71)△(cid:72)𝐴𝐵𝐶(cid:75) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷 𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐹 ∠𝐶𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐹 𝐹𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(1)(cid:61)(cid:62)1(cid:63)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:210) 源 ，
资
辅
教
(2)(cid:61)(cid:62)2(cid:63)(cid:261) 𝐸𝐹=60𝐶°𝐹(cid:206)(cid:63)(cid:65) (cid:70)(cid:156)(cid:45) (cid:63)(cid:159) = (cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:75)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(1)(cid:211)∠(cid:94)𝐴(cid:79)𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝑀 𝐵𝑀 𝐸𝐹 𝐴𝑀 △𝐴𝐹𝑀
(2)(cid:211)(cid:94)(cid:79)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:94)(cid:20)(cid:29)(cid:3)
(cid:95)(cid:37)(cid:89)(cid:90)(cid:262)(cid:3)(cid:92)(cid:93)(cid:75)
(cid:50)1(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:143)(cid:78)(cid:69)(cid:29)(cid:86)(cid:224)(cid:99)(cid:137) = (cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:229)(cid:99)(cid:263)(cid:147) = (cid:63)(cid:35)(cid:36) (cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:35)(cid:36)(cid:210)
(cid:50)2(cid:60)(cid:96) (cid:63)(cid:47)(cid:119)∠(cid:20)𝐸(cid:229)𝐴𝐹(cid:99)(cid:263)∠(cid:147)𝐶𝐴𝐹 = (cid:63) = 𝐴𝐸 𝐴(cid:63)𝐶(cid:35)(cid:36) △𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸(cid:63)𝐹 (cid:137)(cid:182)
= △(cid:63)𝐴𝐶𝐹≌△=𝐴𝐸𝐹 (cid:63)(cid:35)(cid:36) (cid:37)𝐶(cid:24)𝐹(cid:25)(cid:26)𝐵𝑀(cid:27)(cid:28)∠(cid:63)𝐴(cid:137)𝐶𝐹(cid:182) ∠𝐴𝐵𝑀=60°(cid:63)(cid:263)△(cid:147)𝐴𝐵𝑀≌△=𝐴𝐶𝐹 =60°(cid:63)(cid:47)
𝐴(cid:119)𝑀 =𝐴𝐹 ∠(cid:63)𝐵(cid:98)𝐴𝑀(cid:99)(cid:35)(cid:36)∠𝐶(cid:75)𝐴𝐹 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝑀𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)𝐴(cid:100)𝑀(cid:94)(cid:19)𝐴(cid:50)𝐹1(cid:60)(cid:35)(cid:36)(cid:10) (cid:143)(cid:78) (cid:63)
= ∵𝐴𝐹 ∠𝐶𝐴𝐸
∴∠𝐸𝐴=𝐹 ∠𝐶𝐴𝐹= (cid:63)
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐴𝐵 𝐴𝐸
∴𝐴𝐸 𝐴𝐶=
(cid:65) (cid:101) (cid:43)(cid:63) = (cid:63)
𝐴𝐶 =𝐴𝐸
△𝐴𝐶𝐹 △𝐴𝐸𝐹 ∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐸𝐴𝐹
(SAS) 𝐴𝐹 𝐴𝐹
∴△𝐴𝐶=𝐹≌△(cid:210)𝐴𝐸𝐹
(cid:50)∴2𝐸(cid:60)𝐹(cid:61)(cid:62)𝐶𝐹(cid:63)(cid:65) (cid:70)(cid:264)(cid:156) = (cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)
𝐵𝐸 𝐵𝑀 𝐸𝐹 𝐴𝑀
(cid:63)
= = = =
∵△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹
∴(cid:65)𝐸𝐹 𝐶𝐹(cid:101) 𝐵𝑀,∠𝐸(cid:43)(cid:63)∠𝐴𝐶𝐹 ∠𝐴𝐵𝑀
△𝐴𝐵=𝑀 △𝐴𝐶𝐹
= (cid:63)
𝐴𝐵 =𝐴𝐶
∠𝐴𝐵𝑀 ∠𝐴𝐶𝐹
+
A
𝐵𝑀 𝐶𝐹 (SAS)(cid:63) 科 A
全
★
号
众
∴△𝐴𝐵=𝑀≌△𝐴𝐶𝐹= 公
注
关
，
源
∴𝐴𝑀= 𝐴𝐹,∠𝐵𝐴𝑀=6∠0°𝐶𝐴辅𝐹 资
教
∵𝐴𝐵 𝐴(cid:37)𝐶,(cid:24)∠𝐴(cid:25)𝐵(cid:26)𝐶 (cid:27)(cid:28)(cid:63)
∴△𝐴𝐵𝐶=60°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐶 = + = + = =60°(cid:63)
∴∠𝑀𝐴=𝐹 ∠𝑀𝐴𝐶 ∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝑀𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝑀 ∠𝐵𝐴𝐶
∵𝐴𝑀AMF𝐴(cid:113)𝐹(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)
(cid:15)∴△(cid:104)(cid:105)4-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)(cid:56)(cid:265)(cid:266)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:178)(cid:92)(cid:45) (cid:114) (cid:114) (cid:114) (cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:246)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:63) (cid:38) (cid:157)(cid:158)(cid:45)
(cid:63) = (cid:63) = = (cid:63)(cid:73) =60°(cid:63)(cid:32)(cid:35)(cid:10) 𝐴 𝐹 (cid:37)𝐸(cid:24)(cid:25)𝐵(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75) 𝐶𝐸 𝐷𝐹
𝑀 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐵𝐷,𝐶𝐸 𝐷𝐹 ∠𝐹𝑀𝐸 △𝑀𝐹𝐸
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:211)(cid:100)(cid:94)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:63)(cid:170)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:25)(cid:78)(cid:115)(cid:262)(cid:24)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:84)(cid:24)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:74) = (cid:63)(cid:102) = (cid:63)(cid:97)(cid:47)(cid:119)(cid:39)(cid:67)(cid:125)(cid:27)(cid:37)60°(cid:29)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:191)(cid:76)(cid:75)
∠𝐶𝐸𝐴 ∠𝐷𝐹𝐵 𝐹𝑀 𝑀𝐸(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) = (cid:63) = = (cid:63)
∵𝐴𝐸(cid:63) 𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐵𝐷,𝐶𝐸 𝐷𝐹
∴△𝐴𝐶𝐸=≌△𝐵𝐷(cid:63)𝐹
∴∠𝐶𝐸=𝐴 ∠(cid:63)𝐷𝐹𝐵
∴𝐹𝑀 𝑀=𝐸60°(cid:63)
∵∠𝐹𝑀𝐸 (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)
∴(cid:15)△(cid:104)𝑀(cid:105)𝐹4𝐸-2(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:84)(cid:212)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65) (cid:43)(cid:63) =90°(cid:63) =30°(cid:63) (cid:158)
(cid:63) (cid:29)(cid:143)(cid:78)(cid:69)(cid:78)(cid:115)(cid:157) (cid:63) (cid:158)(cid:45) (cid:63) (cid:63)(cid:32)(cid:35)(cid:10) △𝐴(cid:37)𝐵(cid:24)𝐶(cid:25)(cid:26)∠(cid:27)𝐵(cid:28)𝐴𝐶(cid:75) ∠𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐹 𝐸 △𝐴𝐸𝐹
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:211)(cid:94)(cid:79) +
A
A
科
全
★
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:219)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:114)(cid:68)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)号(cid:91)(cid:258)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:180)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:75)(cid:96)(cid:65) (cid:43)(cid:63)
众
公
注
关
=90°(cid:63) (cid:63)(cid:267)(cid:137) 源= ， =30°(cid:63) =60°(cid:63)(cid:160)(cid:96) (cid:143)(cid:78) (cid:63) △𝐴𝐵𝐶
资
辅
教
∠𝐵𝐴𝐶= 𝐴+𝐷⊥𝐵𝐶(cid:63) ∠𝐵=𝐴𝐷 ∠𝐶+ (cid:63)(cid:98)(cid:99)∠𝐶(cid:35)𝐴(cid:137)𝐷 = 𝐵𝐸(cid:63)(cid:199)(cid:172)∠(cid:35)𝐴(cid:137)𝐵𝐶(cid:10) (cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)
∠(cid:15)𝐴(cid:100)𝐹𝐸(cid:94)(cid:19)∠(cid:35)𝐴(cid:36)𝐵𝐹(cid:10) ∠(cid:65)𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴(cid:43)𝐸𝐹(cid:63) ∠𝐶𝐵𝐸=90∠°𝐶(cid:63) (cid:63)∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐴𝐸𝐹 △𝐴𝐸𝐹
+ ∵=9△0°(cid:63)𝐴𝐵𝐶 +∠𝐵𝐴𝐶=90°(cid:63) 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴=𝐷30°(cid:63) ∠𝐶𝐴=𝐷60∠°(cid:63)𝐶
∴∠𝐵(cid:143)𝐴𝐷(cid:78) ∠𝐶 (cid:63) ∠𝐶𝐴𝐷
∵𝐵𝐸 =∠𝐴𝐵𝐶 (cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸+ (cid:63) = + (cid:63)
∵∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐵𝐹(cid:63)∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐶
∴∠𝐴𝐹=𝐸 (cid:63)∠𝐴𝐸𝐹
∴𝐴𝐹 𝐴=𝐸60°(cid:63)
∵∠𝐶A𝐴E𝐷F(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)
(cid:15)∴△(cid:104)(cid:105)4-3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:55)(cid:56)(cid:268)(cid:176)·(cid:59)(cid:177)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65) (cid:43)(cid:63) = >60°(cid:63)(cid:65) (cid:25)(cid:70)(cid:156)(cid:45)
(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)(cid:159) = (cid:75)(cid:91) (cid:113)(cid:67)(cid:25)(cid:191)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:168)(cid:159)△(cid:45)𝐴𝐵(cid:38)𝐶 (cid:45) (cid:236)𝐴𝐵(cid:158)(cid:68)𝐴(cid:69)𝐶,∠𝐴(cid:29)𝐶𝐵(cid:66)(cid:195)(cid:63) 𝐴=𝐶 (cid:75)
𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 △𝐴𝐷𝐸 𝐸 𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐸𝐴𝐵 2∠𝐵𝐴𝐶(1)(cid:32) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:210)
(2)(cid:45)∠(cid:65)𝐵𝐷𝐸(cid:70)(cid:63)(cid:71)(cid:72) = (cid:63)(cid:255)(cid:85)(cid:269) (cid:37)(cid:250)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:225)(cid:254)(cid:36)(cid:175)(cid:96)(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)𝐹(cid:19)𝐴(1𝐵)40° 𝐷𝐹,𝐷𝐹 𝐵𝐷 △𝐵𝐷𝐹
(2)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:175)(cid:96)(cid:211)(cid:94)(cid:79)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:92)(cid:93)(cid:75)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:132)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)
(cid:31)(cid:37)(cid:94)(cid:76)(cid:80)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:75)
(cid:50)1(cid:60)(cid:218)(cid:132)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:147) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:63)(cid:148)(cid:149)(cid:218)(cid:132)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:147)
= = =80°(cid:63)(cid:171)(cid:172)∠(cid:22)𝐵(cid:23)𝐴𝐶 = (cid:32)(cid:94)(cid:98)(cid:99)(cid:210)
+
A
A
科
∠(cid:50)𝐴2𝐵(cid:60)𝐶(cid:218)(cid:132)∠(cid:24)𝐶 (cid:146)∠(cid:26)𝐵(cid:27)𝐷𝐶(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:147) ∠=𝐵𝐷6𝐸0°(cid:63)1(cid:148)80(cid:149)°−(cid:22)∠(cid:23)𝐵𝐷𝐶−=∠𝐴★𝐷𝐸(cid:35)全(cid:36) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:98)(cid:99)(cid:75)
号
众
公
注
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:50)1(cid:60)(cid:94)(cid:10)(cid:65)(cid:24)(cid:25) ∠𝐴 (cid:43)𝐵𝐷(cid:63) 关 = 𝐷=𝐹60° 𝐵(cid:63)𝐷 △𝐵𝐷𝐹
，
源
资
辅
= (cid:63)教 △𝐴𝐷𝐸 ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸
∵∠𝐸𝐴𝐵=220∠°𝐵 𝐴(cid:63)𝐶
∴∠𝐵𝐴=𝐶 (cid:63)
∵𝐴𝐵 𝐴=𝐶 =80° (cid:63)
∴∠𝐴𝐵=𝐶 ∠ (cid:63)𝐴𝐶𝐵
∵𝐵𝐷 𝐵=𝐶 =80° (cid:63)
∴∠𝐵𝐷𝐶 =∠𝐴𝐶𝐵 =40° (cid:75)
(cid:50)∴2∠(cid:60)𝐵𝐷(cid:94)𝐸(cid:10) 180°− ∠(cid:37)𝐵𝐷(cid:24)𝐶(cid:25)−∠(cid:26)𝐴(cid:27)𝐷𝐸(cid:28)(cid:75) (cid:175)(cid:96)(cid:61)(cid:54)(cid:10)
(cid:96) (cid:50)1(cid:60)(cid:99)△(cid:137)𝐵 𝐷𝐹 = =80° (cid:63)
= ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 =20° (cid:63)
∴∠𝐶𝐵𝐷=8108°0 °(cid:63)−∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐴𝐶𝐵
∵∠𝐴𝐵𝐶 = =60° (cid:63)
∴∠𝐹𝐵=𝐷 ∠ (cid:63)𝐴𝐵𝐶−∠𝐶𝐵𝐷
∵𝐷𝐹 𝐵(cid:37)𝐷(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)
∴△𝐵𝐷𝐹【题型5 与等边三角形有关的折叠问题】
(cid:15)(cid:49)5(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:120)(cid:24)(cid:25) ABC(cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:159)(cid:137)(cid:45)B(cid:145)(cid:189)(cid:123)(cid:65)AC(cid:25)(cid:70)(cid:29)(cid:45)D(cid:124)(cid:63)(cid:40)(cid:270)(cid:113)EF(cid:63)O(cid:113)(cid:40)(cid:270)EF(cid:70)(cid:67)
(cid:44)(cid:45)(cid:63)(cid:73)AD=1(cid:63)AC=3△(cid:63) OCD(cid:128)(cid:33)(cid:29)(cid:173)(cid:197)(cid:271)(cid:37) (cid:75)
△
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)5
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:71)(cid:72)BD(cid:63)OB(cid:63)(cid:96)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:137)EF(cid:37)BD(cid:29)(cid:150)(cid:272)(cid:273)(cid:63)(cid:99)(cid:137)OB=OD(cid:63)(cid:261)(cid:45)B(cid:63)(cid:45)O(cid:63)(cid:45)C
(cid:274)(cid:69)(cid:206)(cid:63) OCD(cid:128)(cid:33)(cid:173)(cid:197)(cid:271)=2+BC=5(cid:75)
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)△(cid:94)(cid:10)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:71)(cid:72)BD(cid:63)OB(cid:63)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:120)(cid:24)(cid:25) ABC(cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:159)(cid:137)(cid:45)B(cid:145)(cid:189)(cid:123)(cid:65)AC(cid:25)(cid:70)(cid:29)(cid:45)D(cid:124)(cid:63)
∵EF(cid:37)B△D(cid:29)(cid:150)(cid:272)(cid:273)(cid:63)
∴OB=OD(cid:63)
∴AD=1(cid:63)AC=3(cid:63)
∵CD=2(cid:63)
∴ OCD(cid:128)(cid:33)=CD+OD+OC=2+BO+OC(cid:63)
∵(cid:261)△(cid:45)B(cid:114)O(cid:114)C(cid:274)(cid:69)(cid:206)(cid:63) OCD(cid:128)(cid:33)(cid:173)(cid:197)(cid:271)=2+BC=5(cid:63)
∴(cid:102)(cid:76)(cid:77)(cid:113)(cid:10)5(cid:75) △
(cid:15)(cid:45)(cid:161)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:122)(cid:40)(cid:104)(cid:217)(cid:63)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:69)(cid:111)(cid:275)(cid:68)(cid:143)(cid:78)(cid:69)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:87)(cid:88)(cid:228)
(cid:132)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:80)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:75)(cid:15)(cid:104)(cid:105)5-1(cid:19)(cid:50)23-24(cid:220)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:70)(cid:186)(cid:276)(cid:184)(cid:277)·(cid:59)(cid:177)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:37)(cid:67)(cid:125)(cid:24)(cid:25) (cid:278)(cid:279)(cid:63)(cid:45)E(cid:65) (cid:25)(cid:70)(cid:63)(cid:45)F(cid:65)
(cid:25)(cid:70)(cid:63)(cid:121)EF(cid:40)(cid:41)(cid:149)(cid:159)(cid:45)A(cid:123)(cid:65) (cid:25)(cid:70)(cid:29)(cid:45)D(cid:236)(cid:237)(cid:63)(cid:73)(cid:219)(cid:206) △=𝐴8𝐵0°𝐶(cid:63)(cid:74) = 𝐴 𝐶 °(cid:75) 𝐴𝐵
𝐵𝐶 ∠𝐵𝐹𝐷 ∠𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)70°/70(cid:34)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:24)(cid:92)(cid:93)(cid:63)(cid:170)(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:92)
=60°(cid:63)(cid:218)(cid:132) =80°(cid:63)(cid:32)(cid:147) (cid:63)(cid:171)(cid:172)(cid:218)(cid:132)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:32)(cid:147) (cid:63)(cid:280)(cid:281)(cid:37) (cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:63)(cid:89)
∠(cid:90)𝐴(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:94)∠𝐵(cid:20)𝐹(cid:29)𝐷 (cid:3)(cid:95)(cid:75) ∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
=60°(cid:63) ∵△𝐴𝐵𝐶
(cid:96)∴(cid:40)∠𝐴(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:92)(cid:10) = (cid:63) = (cid:63) A +
A
科
全
★
(cid:160) =80°(cid:63)∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐷𝐹𝐸 ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐷𝐸𝐹 众 号
公
注
关
，
∵ ∠𝐵 = 𝐹𝐷 = =资50源°(cid:63)
2 辅
18教0°−∠𝐵𝐹𝐷
∴∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐷𝐹𝐸
= = =70°(cid:63)
∴(cid:102)∠(cid:76)𝐷𝐸(cid:77)𝐹(cid:113)(cid:10)∠7𝐴0𝐸°𝐹 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐹𝐸
(cid:15)(cid:104)(cid:105)5-2(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:178)(cid:92)(cid:24)(cid:25) (cid:43)(cid:63)(cid:45)D(cid:63)E(cid:78)(cid:115)(cid:65)(cid:25) (cid:63) (cid:70)(cid:63)(cid:138) (cid:121)(cid:68)(cid:69) (cid:122)(cid:40)(cid:63)(cid:159)(cid:45)B(cid:123)
(cid:65)(cid:45) (cid:124)(cid:63) (cid:63) (cid:78)(cid:115)(cid:157)(cid:25)△𝐴𝐵(cid:158)𝐶(cid:45)F(cid:63)G.(cid:73) =80°𝐴(cid:63)𝐵(cid:74)𝐵𝐶 (cid:29)(cid:34)△(cid:169)𝐵(cid:113)𝐷𝐸 (cid:34)𝐷(cid:75)𝐸
′ ′ ′
𝐵 𝐷𝐵 𝐸𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝐺𝐸𝐶
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)40
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:137)(cid:182) = = =60°(cid:63)(cid:47)(cid:119) =80°(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)
′
(cid:28)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)(cid:63)(cid:150)(cid:117)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:137) = =40∠°(cid:63)𝐴 (cid:22)∠(cid:23)𝐵 ∠𝐶= (cid:137) ∠𝐴𝐷=𝐹 =40°(cid:63)(cid:282)(cid:283)
′ ′ ′
∠𝐴𝐹𝐷 ∠𝐺𝐹𝐵 ∠𝐸𝐺𝐶 ∠𝐹𝐺𝐵 ∠𝐺𝐸𝐶 ∠𝐺𝐹𝐵(cid:98)(cid:99)(cid:75)
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19) (cid:24)(cid:25) (cid:63) (cid:121)(cid:68)(cid:69) (cid:122)(cid:40)(cid:63)(cid:159)(cid:45)B(cid:123)(cid:65)(cid:45) (cid:124)(cid:63)
′
= ∵ = △=𝐴𝐵6𝐶0°(cid:63)△𝐵𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐵
′
∴∠𝐴 ∠=𝐵80°(cid:63)∠𝐶
(cid:22)∵∠(cid:23)𝐴𝐷(cid:26)𝐹(cid:27)(cid:28)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)(cid:63)(cid:150)(cid:117)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:137)
= =40°(cid:63)
′
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐺𝐹𝐵(cid:63)
′
∵∠𝐸𝐺𝐶=∠𝐹𝐺𝐵 =40°(cid:63)
′
∴(cid:102)∠(cid:76)𝐺𝐸(cid:77)𝐶(cid:113)(cid:10)∠4𝐺0𝐹(cid:75)𝐵
(cid:15)(cid:45)(cid:161)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:40)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)(cid:63)(cid:150)(cid:117)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:31)
(cid:37)(cid:94)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:75)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)5-3(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:67)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:278)(cid:279)(cid:43)(cid:156)(cid:26)(cid:25)(cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:63)(cid:91)(cid:284)(cid:69)(cid:113)(cid:40)(cid:270)(cid:40)(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:63)(cid:62)(cid:43)(cid:126)(cid:127)(cid:285)(cid:78)(cid:29)(cid:286)(cid:287)
(cid:37)(cid:288)(cid:125)(cid:62)(cid:28)(cid:286)(cid:287)(cid:29) (cid:75)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
3
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)
8
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:43)(cid:45)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:137)(cid:182) (cid:63) = = 1 (cid:63)(cid:97)(cid:32)(cid:147) = = 1
2 2
𝐴𝐹⊥𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐵𝐷𝐹 𝑆△𝐴𝐷𝐹
= 1 (cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:68)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:289)(cid:25)(cid:43)(cid:69)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:26)(cid:69)(cid:119)(cid:67)(cid:32)(cid:147) = = 1 = 1 (cid:63)(cid:171)
4 2 8
𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐷𝑂 𝑆△𝐹𝐷𝑂 𝑆△𝐴𝐷𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:172)(cid:22)(cid:23) = + (cid:99)(cid:137)(cid:47)(cid:290)(cid:75)
阴影
(cid:15)(cid:100)(cid:94)𝑆(cid:19)(cid:94)(cid:10)(cid:61)𝑆△(cid:62)𝐵𝐷(cid:63)𝐹 F𝑆(cid:78)△𝐹(cid:115)𝐷𝑂(cid:113) (cid:43)(cid:45)(cid:63) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
(cid:63) =
∵
=
1𝐵𝐶
(cid:63)
△𝐴𝐵𝐶
2
∴𝐴𝐹⊥𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶
D(cid:113) (cid:25)(cid:43)(cid:45)(cid:63)
∵ 𝐴𝐵 = = 1 = 1 (cid:63) = = (cid:63)
2 4
∴𝑆△𝐵𝐷𝐹 𝑆△𝐴𝐷𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐷𝐹
E(cid:113) (cid:43)(cid:45)(cid:63)
∵D(cid:63)E𝐴𝐶(cid:3)(cid:158) (cid:150)(cid:272)(cid:63)
∴ 𝐴𝐹(cid:275)(cid:68)(cid:143)(cid:78) (cid:63)
∴𝐴𝐹 = (cid:63)𝐷𝐸
∴𝐴𝑂 = 𝐹𝑂 = 1 = 1 (cid:63)
2 8
∴𝑆△𝐴𝐷𝑂 𝑆△𝐹𝐷𝑂 𝑆△𝐴𝐷𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶
= + = 1 + 1 = 3 (cid:63)
阴影 4 8 8
∴𝑆 𝑆△𝐵𝐷𝐹 𝑆△𝐹𝐷𝑂 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶
3
(cid:102)(cid:76)(cid:77)(cid:113)(cid:10) (cid:75)
8
(cid:15)(cid:45)(cid:161)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:68)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:289)(cid:25)(cid:43)(cid:69)(cid:63)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:286)(cid:287)(cid:63)(cid:94)(cid:20)(cid:29)
(cid:3)(cid:95)(cid:37)(cid:89)(cid:90)(cid:291)(cid:80)(cid:86)(cid:175)(cid:63)(cid:132)(cid:25)(cid:29)(cid:3)(cid:238)(cid:181)(cid:147)(cid:286)(cid:287)(cid:29)(cid:3)(cid:238)(cid:75)
+
A
A
科
全
【题型6 等边三角形中的动点问题】 号 ★
众
公
注
关
(cid:15)(cid:49)6(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:25)(cid:33)(cid:113)源4cm ，(cid:63)(cid:45)Q(cid:37) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:63)(cid:73)(cid:44)(cid:45)P(cid:91)2cm/(cid:292)(cid:29)(cid:293)(cid:34)(cid:171)(cid:45)A(cid:147)(cid:294)(cid:121)
资
辅
教
(cid:194)(cid:233)(cid:228)(cid:44)(cid:166)(cid:228)(cid:44)(cid:206)(cid:239)△(cid:113)𝐴𝐵t𝐶(cid:292)(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)(cid:261) 𝐴(cid:37)𝐶 (cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:206)(cid:63)(cid:74)t(cid:29)(cid:271)(cid:113) (cid:292)(cid:75) 𝐴→𝐵→𝐴
𝑃𝑄 △𝐴𝑃𝑄
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)1(cid:295)3/3(cid:295)1
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:219)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:219)(cid:20)(cid:296)(cid:158)(cid:44)(cid:45)(cid:42)(cid:20)(cid:63)(cid:297)(cid:34)(cid:298)(cid:43)(cid:63)(cid:4)(cid:229)(cid:89)(cid:90)(cid:78)(cid:241)(cid:299)(cid:48)(cid:135)(cid:136)(cid:38)
(cid:169)(cid:28)(cid:47)(cid:119)(cid:135)(cid:136)(cid:29)(cid:131)(cid:132)(cid:75)
(cid:96)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:25)(cid:33)(cid:113)4cm(cid:63)(cid:45) (cid:37) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:63)(cid:99)(cid:32)(cid:137) (cid:29)(cid:33)(cid:63)(cid:148)(cid:149) =60°(cid:63)(cid:99)(cid:137) (cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
(cid:78)(cid:79) △𝐴𝐵(cid:113)𝐶(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:98)(cid:99)(cid:32)𝑄(cid:137)(cid:76)𝐴𝐶(cid:77)(cid:75) 𝐴𝑄 ∠𝐴 △𝐴𝑃𝑄
(cid:15)(cid:100)(cid:94)△(cid:19)𝐴𝑃(cid:94)𝑄(cid:10) (cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:25)(cid:33)(cid:113)4cm(cid:63)(cid:45) (cid:37) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:63)
= 1 = ∵ 2cm(cid:63) △𝐴𝐵 = 𝐶 60°(cid:63) 𝑄 𝐴𝐶
2
∴𝐴𝑄 𝐴𝐶 ∠𝐴
(cid:261) (cid:37)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:206)(cid:63)(cid:99)(cid:137)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
∴ △=𝐴𝑃𝑄= (cid:63) 𝐴𝑃𝑄
∴𝐴𝑃 𝐴𝑄 𝑃𝑄=2(cid:63)
∵𝐴𝑄=2(cid:63)
∴(cid:44)𝐴𝑃(cid:45) (cid:29)(cid:293)(cid:34)(cid:113)2cm/(cid:292)(cid:63)
∵(cid:261) (cid:171)𝑃 (cid:206)(cid:63) =2÷2=1(cid:63)(cid:261) (cid:171) (cid:206)(cid:63) =(4+2)÷2=3(cid:75)
∴(cid:102)(cid:76)𝑃(cid:77)(cid:113)𝐴→(cid:10)𝐵1(cid:295)3𝑡(cid:75) 𝑃 𝐵→𝐴 𝑡
(cid:15)(cid:104)(cid:105)6-1(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:152)(cid:56)(cid:107)(cid:58)·(cid:110)(cid:111)(cid:88)(cid:112)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65) (cid:43)(cid:63) = = =6(cid:300)(cid:301)(cid:63)
(cid:45) (cid:171)(cid:45) (cid:302)(cid:303)(cid:91)1(cid:300)(cid:301)/(cid:292)(cid:29)(cid:293)(cid:34)(cid:233)(cid:45) (cid:228)(cid:44)(cid:63)(cid:45) (cid:171)(cid:45) (cid:302)(cid:303)(cid:91)△2𝐴(cid:300)𝐵(cid:301)𝐶 (cid:292)(cid:29)∠(cid:293)𝐴(cid:34)(cid:233)90(cid:45)°,∠𝐵(cid:228)(cid:44)3(cid:63)0(cid:179)°,𝐴(cid:45)𝐶(cid:66)(cid:206)(cid:228)(cid:44)(cid:63)
(cid:261)(cid:228)𝐷 (cid:44)(cid:206)𝐴(cid:239)(cid:113) (cid:292)(cid:206)(cid:63) (cid:37)(cid:24)(cid:25)𝐶 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)𝐸 𝐶 𝐵
△𝐷𝐸𝐶
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)2
+
A
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:129)(cid:130)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:166)(cid:228)(cid:44)(cid:206)(cid:239)(cid:113)t(cid:292)(cid:63)(cid:74) 科= Acm(cid:63) = cm(cid:63)(cid:74) =( )
全
★
号
众
cm(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:137)(cid:182) = (cid:63)(cid:74) 公= (cid:63)(cid:94)(cid:194)(cid:304)(cid:98)(cid:99)𝐴(cid:137)𝐷(cid:182)(cid:76)𝑡(cid:77)(cid:75)𝐶𝐸 2𝑡 𝐶𝐷 6−𝑡
注
关
，
源
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10)(cid:166)(cid:228)(cid:44)(cid:206)(cid:239)辅(cid:113)t(cid:292)资(cid:63)𝐶𝐸 𝐶𝐷 6−𝑡 2𝑡
教
(cid:96)(cid:20)(cid:229)(cid:137)(cid:63) = cm(cid:63) = cm(cid:63)(cid:74) = =( )cm
(cid:37)(cid:24)𝐴𝐷(cid:25)(cid:26)𝑡(cid:27)(cid:28)(cid:63)𝐶𝐸 2𝑡 𝐶𝐷 𝐴𝐶−𝐴𝐷 6−𝑡
∵△𝐷=𝐸𝐶 (cid:63)
∴𝐶𝐸 =𝐶𝐷(cid:63)
(cid:94)∴6(cid:137)−𝑡 =22𝑡(cid:63)
(cid:261)(cid:228)𝑡(cid:44)(cid:206)(cid:239)(cid:113)2(cid:292)(cid:206)(cid:63) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)
∴(cid:102)(cid:76)(cid:77)(cid:113)(cid:10)2(cid:75) △𝐷𝐸𝐶
(cid:15)(cid:104)(cid:105)6-2(cid:19)(cid:50)23-24(cid:220)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:152)(cid:16)(cid:305)(cid:154)·(cid:110)(cid:111)(cid:88)(cid:112)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:29)(cid:25)(cid:33)(cid:113)2cm(cid:63)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309) (cid:171)(cid:45)A
(cid:91)1cm/(cid:292)(cid:29)(cid:293)(cid:34)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:228)(cid:44)(cid:63)(cid:66)(cid:206)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309) (cid:171)(cid:45)A𝐴(cid:91)𝐵𝐶5cm/(cid:292)(cid:29)(cid:293)(cid:34)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑃(cid:29)(cid:25)
(cid:310)(cid:206)(cid:207)(cid:228)(cid:44)(cid:63)(cid:74)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309) (cid:101) (cid:311)2023(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:65) (cid:75) 𝑄
𝑃 𝑄(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:124)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)𝐴(cid:22)𝐶(cid:23)(cid:20)(cid:229)(cid:99)(cid:137)(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309) (cid:101) (cid:311)1(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:124)(cid:63)(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309) (cid:101) (cid:311)2(cid:312)(cid:262)(cid:313)
(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65)(cid:45)C(cid:124)(cid:63)(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃(cid:101)𝑄(cid:311)3(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65)𝐴𝐶(cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:124)(cid:63)(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃(cid:101)𝑄(cid:311)4(cid:312)(cid:262)
(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65)(cid:45)B(cid:124)(cid:63)(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃 (cid:101)𝑄 (cid:311)5(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65)𝐵𝐶 (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:124)(cid:63)(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃 (cid:101)𝑄 (cid:311)6(cid:312)
(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65)(cid:45)A(cid:124)(cid:63)(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)𝑃(cid:309) 𝑄(cid:101) (cid:311)7(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)𝐴(cid:65)𝐵 (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:124)(cid:63)……(cid:63)(cid:96)(cid:219)𝑃 (cid:99)𝑄(cid:137)(cid:314)(cid:315)(cid:125)
(cid:67)(cid:316)(cid:317)(cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:94)(cid:75) 𝑃 𝑄 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:229)(cid:137)(cid:10)(cid:314)(cid:239)(cid:318)1(cid:292)(cid:63)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309) (cid:101) (cid:262)(cid:313)(cid:63)
(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309) (cid:101) (cid:311)1(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65) (cid:29)(cid:43)(cid:45)𝑃(cid:124)(cid:63)𝑄
(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃(cid:101)𝑄(cid:311)2(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65)𝐴(cid:45)𝐶C(cid:124)(cid:63)
A
+
A
科
全
★
(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃(cid:101)𝑄(cid:311)3(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:124)(cid:63)
众
号
公
注
关
(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃(cid:101)𝑄(cid:311)4(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)源(cid:313)(cid:45)，(cid:65)𝐵(cid:45)𝐶B(cid:124)(cid:63)
资
辅
教
(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃(cid:101)𝑄(cid:311)5(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:124)(cid:63)
(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃(cid:101)𝑄(cid:311)6(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65)𝐴(cid:45)𝐵A(cid:124)(cid:63)
(cid:261)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)𝑃(cid:101)𝑄(cid:311)7(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:206)(cid:63)(cid:262)(cid:313)(cid:45)(cid:65) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:124)(cid:63)
……(cid:63) 𝑃 𝑄 𝐴𝐶
(cid:314)(cid:315)(cid:125)(cid:67)(cid:316)(cid:317)(cid:63)
∴2023÷6= (cid:63)
∵(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309) (cid:101)33(cid:311)7⋯21023(cid:312)(cid:262)(cid:313)(cid:65) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:124)(cid:75)
∴(cid:102)(cid:76)(cid:77)(cid:113)(cid:10)𝑃AC(cid:29)𝑄 (cid:43)(cid:45)(cid:124) 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:104)(cid:105)6-3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:151)(cid:152)(cid:319)(cid:154)·(cid:59)(cid:177)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:24)(cid:25) (cid:43)(cid:63)(cid:45) (cid:37) (cid:25)(cid:70)(cid:67)(cid:45)(cid:50)(cid:45) (cid:116)(cid:38)(cid:320)(cid:45)
(cid:118)(cid:119)(cid:60)(cid:75)(cid:191)(cid:45) (cid:3)(cid:158)(cid:68)(cid:69) (cid:29)(cid:150)(cid:272)(cid:45) (cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)(cid:65)(cid:321)(cid:69) (cid:70)△(cid:156)𝐴(cid:67)𝐵(cid:45)𝐶 (cid:63)(cid:159)𝐷 𝐵𝐶=60°(cid:63) (cid:38) 𝐷(cid:322)(cid:65)(cid:68)(cid:69)
(cid:157)(cid:158)(cid:45) (cid:75) 𝐷 𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐸 𝐷𝐴 𝐹 ∠𝐸𝐹𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐶
𝐺(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:210)
(2)(cid:73) =∠2𝐶(cid:63)𝐴𝐷(cid:32) ∠(cid:29)𝐴𝐻(cid:33)𝐺(cid:210)
(3)(cid:261)𝐴𝐷(cid:65) (cid:25)(cid:70)(cid:228)𝐸𝐺(cid:44)(cid:206)(cid:63)(cid:85)(cid:269) (cid:63) (cid:63) (cid:286)(cid:287)(cid:140)(cid:239)(cid:29)(cid:169)(cid:240)(cid:3)(cid:238)(cid:63)(cid:225)(cid:254)(cid:36)(cid:175)(cid:96)(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)𝐷(cid:19)𝐵(1𝐶)(cid:35)(cid:36)(cid:211)(cid:94)(cid:79)(cid:210) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷 △𝐴𝐸𝐺
(2) (cid:29)(cid:33)(cid:113)2(cid:210)
(3)𝐸𝐺 =2 + (cid:63)(cid:175)(cid:96)(cid:211)(cid:94)(cid:79)(cid:210)
(cid:15)(cid:78)𝑆△(cid:79)𝐴𝐵(cid:19)𝐶 (cid:80)(cid:20)𝑆(cid:81)△𝐴(cid:82)𝐵𝐷(cid:83)(cid:84)𝑆△(cid:24)𝐴(cid:26)𝐸𝐺(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:273)(cid:150)(cid:272)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)
(cid:24)(cid:92)(cid:93)(cid:63)(cid:89)(cid:90)(cid:92)(cid:93)(cid:45)(cid:29)(cid:131)(cid:132)(cid:258)(cid:167)(cid:257)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:69)(cid:63)(cid:327)(cid:328)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:94)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:75)
(cid:50)1(cid:60)(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:178)(cid:92)(cid:99)(cid:137) = =60°(cid:63)(cid:171)(cid:172) + A=+ + (cid:63)(cid:171)(cid:172)
A
科
全
★
(cid:137)(cid:147) = (cid:210) ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐸𝐹𝐷 众 号 ∠𝐻𝐴𝐹 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐻𝐴𝐹 ∠𝐴𝐻𝐺
公
注
关
(cid:50)2(cid:60)∠(cid:166)𝐶𝐴𝐷 ∠=𝐴𝐻𝐺 = (cid:63)(cid:171)(cid:172)源(cid:137)(cid:147)， = + =60°+ (cid:63)
资
辅
教
=∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼 (cid:63)(cid:171)(cid:172)(cid:137)∠𝐸(cid:147)𝐴𝐺 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐸 𝛼
∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷 60°−=𝛼 ( )=60°+ (cid:63)(cid:198)(cid:172)(cid:137)(cid:147) = (cid:63)(cid:198)(cid:67)(cid:329)(cid:137)(cid:147)(cid:47)(cid:290)(cid:210)
(cid:50)∠𝐴3𝐺(cid:60)𝐹(cid:65) 18(cid:70)0°(cid:264)−∠(cid:156)𝐴𝐹𝐺−=∠𝐹𝐴(cid:63)𝐺 (cid:166)180°−6=0°− 60°=−𝛼(cid:63)(cid:99)(cid:35)(cid:137) 𝛼 ∠𝐸𝐴(cid:63)𝐺(cid:171)(cid:172)∠(cid:137)𝐴𝐺(cid:147)𝐹
=𝐵𝐶 =𝐶(cid:63)𝑄 𝐵=𝐷 (cid:63)∠(cid:99)𝐵𝐴(cid:35)𝐸(cid:137) ∠𝐵𝐴𝐷= 𝑥 = △𝐴𝐵(cid:63)𝐷≌(cid:171)△(cid:172)𝐴(cid:137)𝐶(cid:147)𝑄 (cid:63)(cid:198)(cid:67)(cid:329)(cid:137)(cid:147)
∠(cid:47)𝐶(cid:290)𝐴𝑄(cid:75) ∠𝐵𝐴𝐷 𝑥 𝐴𝐷 𝐴𝑄 ∠𝐴𝐸𝐺 ∠𝐷𝐴𝑄 60°−2𝑥 △𝐸𝐴𝐺≌△𝐴𝐷𝑄
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:50)1(cid:60)(cid:35)(cid:36): (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
=60°(cid:63) ∵△𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐶 =60°(cid:63)
∵∠𝐸𝐹𝐷= (cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐶 +∠𝐸𝐹𝐷= + (cid:63)
∴∠𝐻𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐷(cid:210)∠𝐻𝐴𝐹 ∠𝐴𝐻𝐺
∴(cid:50)∠2𝐶(cid:60)𝐴𝐷(cid:94)(cid:10)∠(cid:45)𝐴𝐻𝐺(cid:3)(cid:158)(cid:68)(cid:69) (cid:29)(cid:150)(cid:272)(cid:45) (cid:63)
= ∵=2𝐷(cid:63) =𝐴𝐵 (cid:63) 𝐸
∴𝐴𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷(cid:166) = = (cid:63)
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ 𝛼 =60°+ (cid:63) = = (cid:63)
∴∠𝐸𝐴𝐺= ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐸 = 𝛼 ∠𝐹𝐴𝐺 ( ∠𝐵𝐴𝐶)−=∠𝐵6𝐴0𝐷°+ 6(cid:63)0°−𝛼
∴∠𝐴𝐺𝐹 =180°−(cid:63)∠𝐴𝐹𝐺−∠𝐹𝐴𝐺 180°−60°− 60°−𝛼 𝛼
∴∠𝐸𝐴=𝐺 ∠=𝐴2𝐺(cid:63)𝐹
∴𝐸𝐺(cid:29)(cid:33)𝐴𝐸(cid:113)2(cid:210)
∴(cid:50)𝐸3𝐺(cid:60)(cid:94)(cid:10) =2 + (cid:63)(cid:175)(cid:96)(cid:61)(cid:54)(cid:63)
(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65) 𝑆△(cid:70)𝐴𝐵(cid:264)𝐶(cid:156) 𝑆△=𝐴𝐵𝐷 (cid:63)𝑆(cid:166)△𝐴𝐸𝐺 = = (cid:63)
𝐵𝐶 𝐶𝑄 𝐵𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 𝑥
= (cid:63) = (cid:63) A +
A
科
全
★
∵𝐴𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶(SA∠S)𝐶(cid:63) 众 号
公
注
关
∴△𝐴𝐵𝐷=≌△𝐴𝐶𝑄(cid:63) = 源= (cid:63)， = (cid:63)
资
辅
教
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 =𝑆△𝐴𝐶𝑄 (cid:63)∠𝐶𝐴𝑄 ∠𝐵𝐴𝐷 𝑥 𝐴𝐷 𝐴𝑄
∴(cid:66)∠(cid:50)𝐷𝐴2(cid:60)𝑄 (cid:175)6(cid:137)0°−2𝑥 = =60°+ (cid:63)
= ∠𝐸𝐴𝐺(60°∠+𝐴𝐺𝐹)= 𝑥(cid:63)
∴∠𝐴𝐸𝐺=180°−(cid:63)2 𝛼 60°−2𝑥
∴∠𝐴𝐸=𝐺 ∠=𝐷𝐴𝑄= (cid:63)
∵𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐸𝐺 (S𝐴A𝑄S)(cid:63)
∴△𝐸𝐴𝐺=≌△𝐴𝐷𝑄(cid:63)
∴𝑆△𝐴𝐸𝐺 = 𝑆△𝐴𝐷𝑄 + + =2 + (cid:75)
∴ 【 𝑆 题 △𝐴 型 𝐵𝐶 7 𝑆 等 △𝐵 边 𝐴𝐷 三角 𝑆 形 △𝐴 中 𝐶𝑄 的多 𝑆△ 结 𝐴𝐷 论 𝑄 问题 𝑆 】 △𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐸𝐺
(cid:15)(cid:49)7(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:330)(cid:331)(cid:152)(cid:332)(cid:333)(cid:334)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:178)(cid:92)(cid:24)(cid:25) (cid:63) =2(cid:63)(cid:45)D(cid:65) (cid:70)(cid:63)(cid:45)F(cid:65)
(cid:29)(cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:63) = (cid:63) (cid:158)E(cid:63) (cid:158)G(cid:63) (cid:157) (cid:158)△(cid:45)𝐴P𝐵(cid:63)𝐶(cid:74)𝐴(cid:91)𝐵(cid:54)(cid:47)(cid:48)(cid:10) 𝐴𝐵= (cid:210) 𝐴𝐶
(cid:210)𝐵𝐷 𝐶𝐹 𝐷=𝐸6⊥0°𝐵(cid:210)𝐶 =𝐹𝐺1(cid:43)⊥(cid:63)𝐵𝐶(cid:67)(cid:86)(cid:167)(cid:257)𝐷𝐹(cid:29)(cid:37)𝐵(cid:50)𝐶(cid:335)(cid:335)(cid:60) ①𝐵𝐸 𝐶𝐺 ②
△𝐸𝐷𝑃≌𝐺𝐹𝑃 ③∠𝐸𝐷𝑃 ④𝐸𝑃A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)①D③ ②④ ①②③ ①②④
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:94)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:37)(cid:35)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)(cid:24)(cid:75)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:91)(cid:137)(cid:147) (cid:63)(cid:137) = = (cid:63)(cid:99)(cid:132)AAS(cid:137) (cid:63)(cid:137)(cid:147)
= (cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:140)(cid:239)(cid:29)(cid:3)(cid:238)(cid:98)(cid:99)△(cid:137)𝐵𝐷𝐸≌=△1(cid:63)𝐶𝐹(cid:336)𝐺(cid:70)(cid:63)(cid:98)𝐵𝐸(cid:99)(cid:137)𝐶(cid:75)𝐺,𝐷𝐸 𝐹𝐺 △𝐸𝐷𝑃≌△𝐺𝐹𝑃
(cid:15)𝑃𝐸(cid:100)(cid:94)𝑃(cid:19)𝐺(cid:94)(cid:10) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)𝐸𝑃
= = ∵△(cid:63)𝐴𝐵𝐶= = =60°(cid:75)
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐶 𝐵𝐶(cid:63)∠𝐴 ∠𝐵(cid:63) ∠𝐴𝐶𝐵 (cid:63)
∵∠𝐴𝐶𝐵 =∠𝐺𝐶𝐹 =𝐷𝐸⊥𝐵𝐶=9𝐹0𝐺°(cid:75)⊥𝐵𝐶 A +
A
科
全
★
(cid:65)∴∠𝐷𝐸𝐵 (cid:101)∠𝐹𝐺𝐶 ∠(cid:43)𝐷(cid:63)𝐸𝑃
众
号
公
注
关
，
△𝐷𝐸=𝐵 △𝐹𝐺𝐶 源
资
= (cid:63) 教 辅
∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐹𝐺𝐶
∠𝐵 ∠𝐺𝐶𝐹
𝐵𝐷 𝐶𝐹 AAS)(cid:63)
∴△𝐷=𝐸𝐵≌(cid:63)△𝐹𝐺=𝐶( (cid:63)(cid:102) (cid:167)(cid:257)(cid:210)
(cid:65)∴𝐵𝐸 𝐶𝐺(cid:101)𝐷𝐸 𝐹(cid:43)𝐺(cid:63) ①
△𝐷𝐸=𝑃 △𝐹𝐺𝑃
= (cid:63)
∠𝐷𝐸𝑃=∠𝐹𝐺𝑃
∠𝐷𝑃𝐸 ∠𝐹𝑃𝐺
𝐷𝐸 𝐹𝐺 AAS)(cid:63)(cid:102) (cid:167)(cid:257)(cid:210)
∴△𝐷=𝐸𝑃≌(cid:63)△𝐹𝐺𝑃( ②
∴𝐸𝑃 (cid:116)𝑃(cid:67)𝐺(cid:86)(cid:24)(cid:158)60°(cid:63)(cid:261) (cid:206)(cid:63) =60°(cid:63)(cid:102) (cid:337)(cid:338)(cid:210)
∠𝐸𝐷𝑃= + (cid:63) 𝑃𝐷⊥𝐴𝐵 ∠𝐸𝐷𝑃 ③
∵𝑃𝐺=𝑃𝐶+𝐶𝐺(cid:75)
∴𝑃𝐸+ 𝑃𝐶+ 𝐵𝐸=2(cid:63)
∵𝑃𝐸=𝑃1𝐶(cid:75)(cid:102)𝐵𝐸(cid:167)(cid:257)(cid:75)
∴𝑃𝐸 ④(cid:167)(cid:257)(cid:29)(cid:39) (cid:63)
(cid:102)(cid:103)(cid:10)D(cid:75)①②④
(cid:15)(cid:104)(cid:105)7-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:152)(cid:56)(cid:339)(cid:154)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:178)(cid:92)(cid:63)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63) = (cid:63) (cid:158)
(cid:63) (cid:157) (cid:158)(cid:45) (cid:63)(cid:54)(cid:340)(cid:254)(cid:341)(cid:10) = (cid:63) = (cid:63)△𝐴𝐵𝐶= (cid:63) =𝐴𝐸 +𝐶𝐷 (cid:63)𝐵𝑄(cid:244)⊥(cid:43)𝐴(cid:167)𝐷(cid:257)
(cid:29)𝑄 (cid:37)𝐵(cid:50)𝐸 (cid:60)𝐴𝐷 𝑃 ①∠𝐴𝑃𝐸 ∠𝐶 ②𝐵𝑄 𝐴𝑄 ③𝐵𝑃 2𝑃𝑄 ④𝐵𝐴 𝐴𝐸 𝐵𝐷
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)①C②③ ①②④ ①③④ ①②③④
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:94)(cid:20)(cid:3)(cid:95)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:35)
(cid:36) (cid:63)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:342)(cid:125)(cid:85)(cid:269)(cid:98)(cid:99)(cid:75)
+
A
(cid:15)(cid:100)△(cid:94)𝐴𝐵(cid:19)𝐸(cid:94)≅(cid:10)△𝐶𝐴𝐷 (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63) 科 A
全
★
号
众
= (cid:63) ∵△𝐴=𝐵𝐶 =60°(cid:63) 公
注
关
，
源
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶(cid:63)∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐴𝐶辅𝐵 资
教
∵𝐴𝐸 𝐶𝐷 (cid:63)
∴△𝐴𝐵𝐸=≅△𝐶𝐴𝐷(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶+ = + = =60°(cid:63)
∴∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐴(cid:63)𝐵𝐸 (cid:167)∠𝐵(cid:257)𝐴(cid:210)𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐶 ①=60°(cid:63)
∴∠𝐴𝑃𝐸 (cid:63)∠𝐵𝑃𝑄
∵𝐵𝑄⊥𝐴=𝐷90°(cid:63) =30°(cid:63)
∴∠𝐵𝑄=𝑃 (cid:63) ∠(cid:167)𝑃(cid:257)𝐵𝑄(cid:210)
∴𝐵𝑃 =2𝑃𝑄(cid:63) ③= (cid:63)
∵𝐴𝐵=𝐵𝐶+𝐴𝐸(cid:63)𝐶𝐷(cid:167)(cid:257)(cid:210)
∴(cid:343)𝐵(cid:39)𝐴(cid:261)𝐴𝐸 𝐵=𝐷45④°(cid:206)(cid:63) = (cid:63) (cid:116)(cid:67)(cid:86)(cid:167)(cid:257)(cid:210)
(cid:102)(cid:103)(cid:10)∠C𝐵(cid:75)𝐴𝑄 𝐵𝑄 𝐴𝑄 ②
(cid:15)(cid:104)(cid:105)7-2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:164)(cid:344)(cid:186)(cid:345)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:150)(cid:158) (cid:63)(cid:73)(cid:346)(cid:65)(cid:45) (cid:78)(cid:115)(cid:65) (cid:70)(cid:63)
△𝐴𝐵𝐶 𝐷, 𝐸, 𝐹 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶(cid:159)(cid:137) = = = (cid:63)(cid:74)(cid:272) (cid:113) (cid:29)“(cid:347)(cid:321)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:75)(cid:54)(cid:340)(cid:3)(cid:158)“(cid:347)(cid:321)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:29)(cid:254)(cid:341)(cid:43)(cid:63)
(cid:73)∠1 ∠2(cid:29), ∠“3(cid:347)(cid:321)∠(cid:26)4(cid:27), ∠(cid:28)5”(cid:346)∠(cid:65)6(cid:63)(cid:74) △𝐷𝐸(cid:348)𝐹(cid:113)(cid:349)△(cid:27)𝐴𝐵(cid:26)𝐶(cid:27)(cid:28)(cid:210) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)“(cid:347)(cid:321)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:348)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)①(cid:210) △(cid:68)𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)“(cid:347)(cid:321)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:348)(cid:113)△(cid:68)𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:210) (cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)②(cid:28)(cid:29)“(cid:347)(cid:321)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:348)(cid:113)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:167)(cid:257)
(cid:29)(cid:37) ③ (cid:75) ④
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:80)①(cid:20)②(cid:129)④(cid:130)(cid:81)(cid:82)(cid:83)“(cid:347)(cid:321)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:63)(cid:296)(cid:158)(cid:277)(cid:86)(cid:224)(cid:42)(cid:20)(cid:63)(cid:251)(cid:350)(cid:258)(cid:182)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)(cid:63)(cid:24)(cid:146)(cid:258)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:351)(cid:352)(cid:20)(cid:229)(cid:63)(cid:119)(cid:175)(cid:218)(cid:132)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)(cid:37)(cid:94)(cid:162)(cid:42)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:95)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:347)(cid:321)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:86)(cid:224)(cid:258)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:174)(cid:27)(cid:101)(cid:86)(cid:175)(cid:32)(cid:147) = = (cid:63) = = (cid:63) = = (cid:63)(cid:97)(cid:342)(cid:125)(cid:85)(cid:269)(cid:98)(cid:99)(cid:75)
(cid:15)(cid:100)(cid:94)(cid:19)(cid:94)(cid:10) = = =∠1 (cid:63)∠2 ∠𝐶 ∠3 ∠4 ∠𝐵 ∠5 ∠A6+∠𝐴
A
科
全
★
= = ∵∠1 ∠2,∠3 ∠4,∠5 ∠6 众 号
公
注
关
，
∴∠3=∠4=180°−∠𝐴−∠1 源
资
辅
教
∴∠5+ ∠6+ 180=°−1∠80𝐵°−∠1
∵∠4 ∠5 ∠𝐶+ + =180°
∴180=°−∠𝐵=−∠1 180°−∠𝐴−∠1 ∠𝐶
∴∠𝐶= ∠1= ∠2 =
∴∠3=∠4=180°−∠𝐴−∠𝐶 =∠𝐵
∴∠5+ ∠6+ 180°−=∠𝐵1−80∠°𝐶 ∠𝐴
∵∠5 ∠=6 ∠𝐷𝐸𝐹
∴(cid:261)∠𝐷𝐸𝐹901°(cid:206)80(cid:63)°−2∠𝐴 = 0°(cid:63)
∠(cid:353)𝐴(cid:27)≥(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:295)(cid:68)∠𝐷(cid:27)𝐸(cid:26)𝐹 (cid:27)1(cid:28)8(cid:116)0°(cid:346)−2(cid:65)∠𝐴(cid:347)≤(cid:321)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
∴(cid:343)(cid:39)(cid:349)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:346)(cid:65)(cid:347)(cid:321)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
(cid:102)∴ (cid:167)(cid:257)(cid:63)(cid:354)(cid:119)(cid:20)(cid:229)(cid:210)
(cid:261)① (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:206)(cid:63) = = = = = =60°(cid:63)
△𝐴𝐵𝐶= = =∠6𝐶0° ∠1 ∠2 60°,∠𝐵 ∠3 ∠4
∴∠𝐷𝐸𝐹 ∠𝐸𝐷𝐹 ∠𝐷𝐹𝐸(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
(cid:102)∴△𝐷(cid:167)𝐸𝐹(cid:257)(cid:63)(cid:354)(cid:119)(cid:20)(cid:229)(cid:210)
(cid:261)② =90°(cid:206)(cid:63) = =0°(cid:63)
∠(cid:68)𝐴(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:346)∠𝐷(cid:65)𝐸(cid:347)𝐹 (cid:321)1(cid:26)8(cid:27)0°−(cid:28)2∠𝐴
(cid:102)∴ (cid:337)(cid:338)(cid:63)(cid:116)(cid:354)(cid:119)(cid:20)(cid:229)(cid:210)
(cid:261)③ (cid:37)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:206)(cid:63)(cid:355)(cid:166) = = (cid:63)
△𝐴=𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶,∠𝐵 ∠𝐶
∵∠5=∠6
∴∠2=∠4
∴∠1 =∠3
∴𝐴𝐷 =𝐴𝐹
∴𝐵𝐷 𝐶𝐹 AAS)
∴△𝐸𝐷=𝐵≌△𝐸𝐹𝐶(
+
A
∴𝐷(cid:24)𝐸(cid:146)(cid:26)𝐸(cid:27)𝐹 (cid:28)(cid:29)“(cid:347)(cid:321)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:348)(cid:113)(cid:24)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63) 科 A
全
★
号
众
(cid:102)∴ (cid:167)(cid:257)(cid:63)(cid:354)(cid:119)(cid:20)(cid:229)(cid:210) 公
注
关
，
源
(cid:102)④(cid:103)(cid:10) (cid:75) 辅 资
教
(cid:15)(cid:104)(cid:105)①7-3②(cid:19)(cid:50)④24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:109)·(cid:110)(cid:111)(cid:88)(cid:112)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:45) (cid:114) (cid:114) (cid:356)(cid:312)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:246)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:63) (cid:38)
(cid:65)(cid:68)(cid:69) (cid:29)(cid:66)(cid:195)(cid:168)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:357)(cid:147)(cid:54)(cid:286)(cid:200)(cid:125)(cid:47)(cid:48)(cid:10) 𝐵 𝐶 𝐸 (cid:63) =△60𝐴°(cid:63)𝐵𝐶 △𝐶𝐷𝐸
=𝐵𝐸 (cid:63) = (cid:75)(cid:70)(cid:358)(cid:47)(cid:48)(cid:43)(cid:63)(cid:322)(cid:39)(cid:167)(cid:257)(cid:47)(cid:48)(cid:29)(cid:359)①(cid:9)△(cid:37)𝐴 𝐶 𝐸 ≌△(cid:75)𝐵𝐶𝐷 ②∠𝐴𝑂𝐵
③𝐷𝐸 𝐷𝐺 ④𝐵𝐺 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:19)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)①(cid:22)(cid:23)②④ (cid:38) (cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:99)(cid:137) = = = =60°(cid:63)(cid:198)(cid:172)(cid:137)(cid:182)
= △(cid:63)𝐴(cid:98)𝐵(cid:99)𝐶(cid:35)(cid:36)△𝐶𝐷(cid:210)𝐸(cid:22)(cid:23) (S𝐴A𝐶S)(cid:99)𝐵(cid:137)𝐶,𝐶𝐷 =𝐶𝐸,∠𝐴𝐶𝐵(cid:63)(cid:218)∠(cid:132)𝐷(cid:26)𝐶𝐸(cid:27)(cid:28)(cid:180)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:137)
∠𝐴𝐶𝐸 =∠𝐵𝐶𝐷 + =① + △𝐴𝐶𝐸=≌△𝐵𝐶𝐷=60°(cid:63)(cid:98)(cid:99)∠(cid:35)𝐴𝐸(cid:36)𝐶 (cid:210)∠𝐵(cid:22)𝐷(cid:23)𝐶(cid:246)(cid:247)(cid:99)(cid:35)(cid:36) =60°(cid:63)(cid:218)
(cid:132)∠𝐴(cid:150)𝑂𝐵(cid:117)(cid:27)∠(cid:262)𝑂(cid:24)𝐵𝐶(cid:101)(cid:26)∠(cid:27)𝐴𝐸(cid:28)𝐶(cid:180)(cid:27)∠(cid:99)𝑂𝐵(cid:137)𝐶 ∠𝐵𝐷=𝐶 ∠𝐷𝐶+𝐸 >60°(cid:63)(cid:98)(cid:99)②(cid:35)(cid:36) (cid:210)(cid:22)(cid:23)(cid:246)(cid:247)(cid:35)∠(cid:36)𝐴𝐶𝐷
(ASA)(cid:63)(cid:99)(cid:137) ∠=𝐴𝐺𝐵(cid:63)(cid:98)∠(cid:99)𝐺𝐵(cid:35)𝐶(cid:36)∠𝐴(cid:75)𝐶𝐵 ③
(cid:15)△(cid:100)𝐹𝐶(cid:94)𝐸(cid:19)≌△𝐺𝐶𝐷 (cid:38) (cid:64)𝐷(cid:37)𝐺(cid:24)(cid:25)𝐸𝐹(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63) ④
∵△𝐴𝐵𝐶 △𝐶𝐷𝐸= = = =60°
∴𝐴𝐶 𝐵+𝐶,𝐶𝐷 𝐶=𝐸,∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷𝐶𝐸(cid:63)(cid:98) =
∴∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷 (S∠A𝐷S𝐶)(cid:63)𝐸 (cid:102)∠𝐴𝐶(cid:167)𝐷(cid:257)(cid:210)∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(SAS) ①
∵△𝐴𝐶𝐸=≌△𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐴𝐸𝐶 =∠𝐵𝐷𝐶 + = + = =60°(cid:63)(cid:102) (cid:167)(cid:257)(cid:210)
∴∠𝐴𝑂𝐵 (cid:38)∠𝑂𝐵𝐶 (cid:64)∠(cid:37)𝐴𝐸(cid:24)𝐶(cid:25)(cid:26)∠𝑂(cid:27)𝐵(cid:28)𝐶(cid:63)∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐷𝐶𝐸 ②
∵△𝐴=𝐵𝐶 △𝐶𝐷𝐸= =60°
∴𝐶𝐷 𝐷=𝐸6,∠0𝐴°𝐶𝐵 ∠𝐷𝐶𝐸
∴∠𝐴𝐶𝐷= + >60°
∵∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐺𝐵𝐶 >∠6𝐴0°𝐶𝐵
∴∠𝐷𝐺𝐶 ∠(cid:63)𝐴(cid:98)𝐺𝐵 ≠(cid:63)∠(cid:102)𝐴𝐶𝐷(cid:337)(cid:338)(cid:210)
∴𝐷𝐺≠𝐷(cid:38)𝐶 𝐷𝐸(cid:64)≠(cid:37)𝐷𝐺(cid:24)(cid:25)(cid:26)③(cid:27)(cid:28)(cid:63)
+
A
∵△𝐴=𝐵𝐶 △𝐶𝐷𝐸= =60° 科 A
全
★
号
众
∴𝐶𝐷 𝐶=𝐸,6∠0𝐴°𝐶𝐵 ∠𝐷𝐶𝐸 公
注
关
，
源
∴(cid:96)∠𝐴𝐶(cid:137)𝐷(cid:10) 辅(SA资S)
教
① = △𝐴𝐶𝐸(cid:63)≌△𝐵=𝐶𝐷
∴∠𝐴𝐸𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 (𝐵A𝐷SA) 𝐴𝐸
∴△𝐹=𝐶𝐸≌△𝐺𝐶𝐷
∴𝐷𝐺 𝐸𝐹= (cid:63)(cid:98) = (cid:63)(cid:102) (cid:167)(cid:257)(cid:210)
(cid:102)∴𝐵(cid:76)𝐷−(cid:77)𝐷(cid:113)𝐺(cid:10) 𝐴𝐸−𝐸𝐹(cid:75) 𝐵𝐺 𝐴𝐹 ④
(cid:15)(cid:45)(cid:161)(cid:19)(cid:80)①(cid:20)(cid:81)②(cid:82)④(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:84)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:86)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:180)(cid:27)(cid:24)(cid:63)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:132)(cid:322)(cid:11)(cid:92)(cid:93)(cid:37)
(cid:94)(cid:20)(cid:3)(cid:95)(cid:75)
