文档内容
第 05 讲 等边三角形
课程标准 学习目标
1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。
①等边三角形的概念与性质
2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等
②等边三角形的判定
边三角形。
③含30°角的直角三角形
3. 掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。
知识点01 等边三角形的概念与性质
1. 等边三角形的概念：
三条边都 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 。
2. 等边三角形的性质：如图
①等边三角形的三条边都 ，三个角也 ，且三个角都等于 °。
②等边三角形三条边都存在 。
③等边三角形是一个 图形，它有 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。
【即学即练1】
1．如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．9
【即学即练2】
2．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若
∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．105° C．100° D．95°
【即学即练3】
3．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
知识点02 等边三角形的判定
1. 等边三角形的判定：
①定义判定：三条边都 的三角形是等边三角形。
②判定定理1：三个角 的三角形是等边三角形。或有两个角是 的三角形是等边三
角形。
③判定定理2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。
【即学即练1】
4．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【即学即练2】
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE
是等边三角形．
【即学即练3】
6．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形
状，并说明理由．
知识点02 含30°角的直角三角形的性质
1. 含30°角的直角三角形的性质：
30°角所对的直角边等于斜边的 。
证明如下：
如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 。
∵AD⊥BC
∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝
BD＝CD＝ BC
∴BD＝ AB。
【即学即练1】
7．如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm
题型01 利用等边三角形的性质求线段
【典例1】如图所示，将边长为3个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形
ABFD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式1】已知等边三角形ABC的周长为12，D是AB的中点，过点D作BC边的平行线交AC于E点，则
DE的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式2】如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的
长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，
当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
【变式4】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 ．
题型02 利用等边三角形的性质求角
【典例 1】如图，在等边三角形 ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则
∠ACE等于（ ）
A．18° B．20° C．30° D．15°
【变式1】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为
（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
【变式2】如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹
角为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【变式3】如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（ ）
A．120° B．135° C．240° D．270°
【变式4】一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝
80°，则∠1+∠2＝ ．题型03 等边三角形与平行线
【典例1】如图，△ABC是等边三角形，AD∥CE，∠BAD＝10°，则∠BCE的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（ ）
A．142° B．128° C．98° D．92°
【变式2】如图，直线l∥m，等边△ABC的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若∠CAD＝27°，则
∠CBE的度数是（ ）
A．27° B．33° C．63° D．73°
【变式3】如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
题型04 等边三角形的判定与性质【典例1】下列说法中，正确的个数是（ ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】证明题：如图：△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AB、CA的延长线上，且BE＝
AF＝CD．求证：△DEF是等边三角形．
【变式 2】如图，在△ADB 中，∠ADB＝60°，DC 平分∠ADB，交 AB于点 C，且 DC⊥AB，过 C 作
CE∥DA交DB于点E，连接AE．
（1）求证：△ADB是等边三角形．
（2）求证：AE⊥DB．
【变式3】已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，
BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．【变式 4】如图，点 O 是等边△ABC 内一点，D 是△ABC 外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，
△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
α
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α
α
题型04 含30°角的直角三角形的计算
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点
E，DE＝2，则CE的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式1】在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水
平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
【变式3】已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30°
【变式4】如图，点P是∠AOB平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，若∠AOB＝30°，OC＝
4，求点P到OA的距离PD．
1．在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝60°
B．AC＝BC
C．∠B的补角等于∠C的补角
D．AB边上的高也是AB边上的中线
2．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD
的度数是（ ）A．45° B．39° C．29° D．21°
3．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．上述三种情形都有可能
4．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于
（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度
数为（ ）
A．120° B．110° C．108° D．106°
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（ ）
A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC
7．如图，直线l ∥l ，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l ，l 之间，点A，D分别在l ，l 上，点B，
1 2 1 2 1 2
C，E，F在同一直线上．若∠ ＝53°，则∠ 的度数为（ ）
α βA．50° B．52° C．54° D．56°
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝24，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝15，则AD的长
为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运
动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．
点M、N运动（ ）s后，可得到等边△AMN．
A．1 B．0.5 C．4 D．2
10．如图，已知∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线 ON上，点B ，B ，B ，…在射线 OM上，
1 2 3 1 2 3
△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形，若OA ＝2，则△A B A 的边长为（ ）
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
A．16 B．32 C．64 D．128
11．如图，△ABC是正三角形，若l ∥l ，则∠2﹣∠1＝ ．
1 2
12．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F．过点F作FE⊥BC
于点E，则EC的长为 ．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB
＝5.4，CE＝3，则BE＝ ．
14．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s
的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表
示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等边三角形．
15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD
与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有
．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
16．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝2，求BC的长．17．如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA
＝CQ时，连接PQ交边AC于点D．
（1）求证：D为PQ中点；
（2）DE的长为 ？
18．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r ，r ，
1 2
腰上的高为h，连接AP，则S△ABP +S△ACP ＝S△ABC ，即： AB•r
1
+ AC•r
2
＝ AB•h，∴r
1
+r
2
＝h（定值），
即PE+PF为定值．
（1）深入探究
将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，
PF⊥AC，PM﹣ ⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明；
（2）理解与应用
当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间
又有怎样的关系，并说明理由．19．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边
运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三
角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．20．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE
的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
