文档内容
第十三章 三角形
13．3 等腰三角形
13．3．2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
学习目标：1．探索等边三角形的性质和判定．
2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
重点：等边三角形的性质和判定．
难点：运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
自主学习
一、知识链接
1．三条边都_________的三角形叫做等边三角形．
2．等腰三角形：
图形 定义 性质 判定
等
两____相等 两____相等
腰 有_______相等 等边对_______ 等角对____
三 的三角形叫做等 三线合一：_______、
角 腰三角形 _______、_______
形
轴对称图形
二、新知预习
类比学习一：等边三角形的性质
性质 等腰三角形 等边三角形
边 两条边相等 ______条边都相等
______角相等，且都是
角 两个底角相等
______
______上的中线、高和
底边上的中线、高和顶角的平分线
三线合一 这一边所对的角的平分
互相重合
线互相重合
对称轴 1条 ______条
要点归纳：等边三角形的三个内角都__________，并且每一个角都等于________．
类比学习二：等边三角形的判定
判定 等腰三角形 等边三角形
______条边相等的三角形 ______条边都相等的三角形是等
边
是等腰三角形 边三角形
______个角相等的三角形 ______个角都相等的三角形是等
角
是等腰三角形 边三角形
要点归纳：_______个角都相等的三角形是等边三角形．
三、自学自测
1．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
2．已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3 cm，则△ABC的周长为______cm．
3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=______度．
四、我的疑惑
_______________________________________________________________________________
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课堂探究
一、要点探究
探究点1：等边三角形的性质
问题1：等边三角形的三个内角之间有什么关系？
结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
已知：AB=AC=BC，
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
问题2：等边三角形有“三线合一”的性质吗? 等边三角形有几条对称轴？
结论：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”．
知识要点：
图形 等腰三角形 等边三角形
性质
典例精析
例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，
DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三
角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解．
变式训练：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．
求证：BD=DE．
例2：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝
CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质
判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等．
探究点2：等边三角形的判定
类比探究：
图形 等腰三角形 等边三角形
判定
要点归纳：等边三角形的判定方法：
辨一辨：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形．
典例精析
例3：如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形．想一想：本题还有其他证法吗？
变式1：若点D、E 分别在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
变式2：若点D、E 分别在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
变式3：上题中，若将条件DE∥BC改为BD=CE，△ADE还是等边三角形吗?试说明理由．
例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，
问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是
证明三角形三个内角相等(或两个内角等于 60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证
明有一个内角等于60°．
针对训练
如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．
二、课堂小结
当堂检测
1．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
2．如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，过点O作DE∥BC，则这个图形中的
等腰三角形共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
A
A
D E D E
O
B C
B C
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18 cm，EC =2 cm，
则△ADE的周长是__________cm．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E
是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．6．如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大
小．
拓展提升：
7．图①、图② 中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
（2）如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的
结论．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．相等
2．两边 边 等角 顶角平分线 底边上的中线 底边上的高 边 等边
二、新知预习
类比学习一 三 三个 60° 一边 3
要点归纳 相等 60°
类比学习二 两 两 三 三
要点归纳 三
三、自学自测
1．C 2．9 3．60
课堂探究
一、要点探究
探究点1：等边三角形的性质
问题1 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C (等边对等角)．
同理∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°．
要点归纳
图形 等腰三角形 等边三角形
两条边相等 三条边都相等
两个底角相等 三个角都相等，且都是60º
底边上的中线、高和顶角 每一边上的中线、高和这一
性质
的平分线互相重合 边所对的角的平分线互相重
合
1条对称轴 3条对称轴
典例精析
例1 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°．
∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°．
变式训练 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．
例2 解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC．
又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°．
探究点2：等边三角形的判定
类比探究：图形 等腰三角形 等边三角形
从边看：两条边相等的三 三条边都相等的三角形是
角形是等腰三角形 等边三角形
判定
从角看：两个角相等的三 三个角都相等的三角形是
角形是等腰三角形 等边三角形
要点归纳 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
辨一辨：（1）不是 （2）是 （3）是 （4）不一定是 （5）是 （6）是
典例精析
例3 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A= ∠B= ∠C．
∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．
∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．
变式1 证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵DE∥BC，∴∠ABC =∠ADE，∠ACB =∠AED．
∴∠A =∠ADE =∠AED．∴△ADE 是等边三角形．
变式2 证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵DE∥BC，∴∠B =∠D，∠C =∠E．
∴∠EAD =∠BAC =∠D =∠E．∴△ADE 是等边三角形．
变式3 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=AC．
∵AD=AE，∴AB－BD= AC－CE，即AD= AE．
又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形．
例4 解：△APQ为等边三角形．证明如下：
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC=60°．
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°. ∴△APQ是等边三角形．
针对训练
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=FE，∴△DEF是等边三角形．
当堂检测
1．B 2．D 3．B 4．12
5．证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°．
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°－90°－30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．
6．解：∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形．∴ AO=BO，CO=DO，
∠AOB=∠COD=60°．
∵ A 、 O 、 D 三 点 共 线 ， ∴ ∠ DOB=∠ COA=120° ． ∴ △ COA≌ △ DOB(SAS) ．
∴∠DBO=∠CAO．
设OB与EA相交于点F，∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°．
拓展提升：
7．解：（1）AN＝BM．理由如下：
∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°．
∴∠ACN＝∠MCB．∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM．
（2）△CEF是等边三角形．证明如下：
∵∠ACE＝∠FCB=60°，∴∠ECF=60°．∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB．
∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF．∴△CEF是等边三角形．
