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第 05 讲 等边三角形
课程标准 学习目标
1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。
①等边三角形的概念与性质
2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等
②等边三角形的判定
边三角形。
③含30°角的直角三角形
3. 掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。
知识点01 等边三角形的概念与性质
1. 等边三角形的概念：
三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。
2. 等边三角形的性质：如图
①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 6 0 °。
②等边三角形三条边都存在 三线合一 。
③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。
【即学即练1】
1．如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．9
【分析】由等边三角形的性质得到 CD＝ AC＝2，由三角形外角的性质得到∠CDE＝∠E，因此CE＝
CD＝2，即可求出BE＝BC+CE＝6．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，
∴CD＝ AC，
∵AC＝AB＝4，
∴CD＝2，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴∠CDE＝∠E，
∴CE＝CD＝2，
∵BC＝AB＝4，
∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若
∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．105° C．100° D．95°
【分析】根据等边三角形性质得∠A＝60°，再根据三角形外角定理得∠AEF＝∠1﹣∠A＝80°，则
∠DEB＝∠AEF＝80°，然后根据平行线的性质得∠DEB+∠2＝180°，据此可得∠2的度数．
【解答】解：如图所示：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠1是△AEF的一个外角，∠1＝140°，
∴∠1＝∠A+∠AEF，
∴∠AEF＝∠1﹣∠A＝140°﹣∠A＝140°﹣60°＝80°，
∴∠DEB＝∠AEF＝80°，
∵直线m∥n，
∴∠DEB+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠DEB＝180°﹣80°＝100°．
故选：C．
【即学即练3】
3．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD＝∠C，AB＝BC，
在△ABD与△BCE中， ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°，
∴∠APE＝∠ABE+∠BAD＝60°，
∴∠APE＝60°．
故选：C．知识点02 等边三角形的判定
1. 等边三角形的判定：
①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。
②判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形。或有两个角是 60 ° 的三角形是等边三
角形。
③判定定理2：有一个角是 60 ° 的等腰三角形是等边三角形。
【即学即练1】
4．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据等边三角形的判定判断．
【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．
所以都正确．
故选：D．
【即学即练2】
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE
是等边三角形．
【分析】根据角平分线的性质及平行的性质求得△ACE的各个角均为60度，从而得出△ACE是等边三
角形．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120°
∴∠1＝∠2＝ ＝60°
∵AE∥DC
∴∠3＝∠2＝60°，∠E＝∠1＝60°
∴∠3＝∠4＝∠E＝60°
∴△ACE是等边三角形．【即学即练3】
6．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形
状，并说明理由．
【分析】因为AB＝BC，∠ABC＝120°，可求得∠A＝∠BCA＝30°，由BE⊥AC，可得∠CBE＝60°，再
由BC＝CE可证明其为等边三角形．
【解答】解：△CEB是等边三角形．
证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC，
∴∠CBE＝∠ABE＝60°．
又∵DE＝DB，BE⊥AC，
∴CB＝CE．
∴△CEB是等边三角形．
知识点02 含30°角的直角三角形的性质
1. 含30°角的直角三角形的性质：
30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。
证明如下：
如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60 ° 。
∵AD⊥BC
∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30 °
BD＝CD＝ BC
∴BD＝ AB。
【即学即练1】
7．如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一
边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（ ）A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜
边的一半即可得出结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AD，CD＝3cm，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2×3＝6cm．
故选：B．
题型01 利用等边三角形的性质求线段
【典例1】如图所示，将边长为3个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形
ABFD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据平移的性质易得AD＝BE＝2，那么四边形ABFD的周长即可求得．
【解答】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD＝BE＝2，各等边三角形的边长均为3．
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BE+FE+DF＝13．
故选：A．
【变式1】已知等边三角形ABC的周长为12，D是AB的中点，过点D作BC边的平行线交AC于E点，则
DE的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【分析】证明出△ADE是等边三角形，并求出AD的长即可解决问题．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，△ABC的周长为12，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝CA＝4，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠B＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD＝ AB＝2，
∴DE＝2，
故选：C．
【变式2】如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的
长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角形的性质得到AE
＝ AD＝2，于是得到结论．
【解答】解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，
∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AED＝∠CFE＝90°，
∴AE＝ AD＝2，
∴CE＝8﹣2＝6，
∴CF＝ CE＝3，∴BF＝5，
故选：C．
【变式3】如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，
当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 2 ．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质
求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝ AC即可．
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝ AC，
∵AC＝4，
∴DE＝ ．
故答案为：2．【变式4】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．
若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 2 ．
【分析】过D点作DM∥AB于M，如图，利用∠C＝60°，证明△MDE≌△CDF，ME＝CF，再根据ME
＝AE﹣AM解答即可．
【解答】解：过D点作DM∥AB于M，
∴∠A＝DME＝60°，∠MDC＝∠B＝60°，∠C＝60°，
∴△DMC是等边三角形，
∴DM＝DC，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠MDE+∠EDC＝60°，∠FDC+EDC＝60°，
∴∠MDE＝∠FDC，
∵DE＝DF，DM＝DC，
∴△MDE≌△CDF（SAS），
∴ME＝CF，
∵BD＝1，AE＝3．
∴MA＝BD＝1，
ME＝AE﹣AM＝3﹣1＝2．
∴CF＝2．
故答案为：2．
题型02 利用等边三角形的性质求角【典例 1】如图，在等边三角形 ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则
∠ACE等于（ ）
A．18° B．20° C．30° D．15°
【分析】根据等边三角形的性质可得AD垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线的性质可得∠ECB＝
∠EBC，进一步即可求出∠ACE的度数．
【解答】解：在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴AD垂直平分线段BC，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠ACE＝15°，
故选：D．
【变式1】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为
（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
【分析】先根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC可得∠CAD＝30°，再由AD＝AE可知∠ADE＝∠AED，
根据三角形内角和定理即可求出∠AED的度数，故可得出∠DEC的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝30°．
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝ ＝75°，
∴∠DEC＝105°．
故选：A．
【变式2】如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹
角为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】延长AD与BC交于点E，根据等边三角形和等腰直角三角形性质得∠ABC＝∠BAC＝60°，
∠CAD＝45°，进而得∠BAD＝105°，然后根据三角形内角和定理求出∠E即可．
【解答】解：延长AD与BC交于点E，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
又∵△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，
∴∠CAD＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+45°＝105°，
∴∠E＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝180°﹣（60°+105°）＝15°．
即直线BC与直线AD的夹角为15°．
故选：B．
【变式3】如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（ ）
A．120° B．135° C．240° D．270°
【分析】根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：∵等边三角形的各个内角都是60°，
根据三角形的外角的性质，得∠1＝60°+180°﹣∠2，
∴∠1+∠2＝240°，
故选：C．【变式4】一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝
80°，则∠1+∠2＝ 130 ° ．
【分析】由等边三角形和直角三角形可得∠1+ ＝120°，∠2+ ＝90°，且∠3＝ + ＝80°，可求得
∠1+∠2．
α β α β
【解答】解：如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+ ＝120°，∠2+ ＝90°，
∴∠1+∠2+ + ＝90°+120°＝210°，
α β
且∠3＝ + ，
α β
∴ + ＝80°，
α β
∴∠1+∠2＝210°﹣80°＝130°，
α β
故答案为：130°．
题型03 等边三角形与平行线
【典例1】如图，△ABC是等边三角形，AD∥CE，∠BAD＝10°，则∠BCE的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【分析】根据等边三角形的性质可得∠BAC＝∠ACB＝60°，即∠DAC＝70°，再根据平行线的性质可得
∠ECA＝110°，最后根据角的和差即可解得．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝70°，
∵AD∥CE，
∴∠ECA＝180°﹣∠DAC＝110°，∴∠BCE＝∠ECA﹣∠BCA＝50°．
故选：A．
【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（ ）
A．142° B．128° C．98° D．92°
【分析】设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，先由对顶角的性质得∠ADE＝∠1＝38°，再由等边
三角形的性质得∠A＝60°，然后由三角形的外角定理可求出∠AEF＝98°，最后再根据直线a∥b可得∠2
的度数．
【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示：
∵∠1＝38°，
∴∠ADE＝∠1＝38°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠AEF为△ADE的一个外角，
∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠AEF＝98°．
故选：C．
【变式2】如图，直线l∥m，等边△ABC的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若∠CAD＝27°，则
∠CBE的度数是（ ）A．27° B．33° C．63° D．73°
【分析】根据平行线的性质及等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵l∥m，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
即∠CAD+∠CAB+∠ABC+∠CBE＝180°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝60°，
又∵∠CAD＝27°，
∴∠CBE＝180°﹣27°﹣60°﹣60°＝33°，
故选：B．
【变式3】如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
【分析】过C作CM∥直线l，根据等边三角形性质求出∠ACB＝60°，根据平行线的性质求出∠1＝
∠MCB，∠2＝∠ACM，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
过C作CM∥直线l，
∵直线l∥直线m，
∴直线l∥直线m∥CM，
∵∠ACB＝60°，∠1＝20°，
∴∠1＝∠MCB＝20°，
∴∠2＝∠ACM＝∠ACB﹣∠MCB＝60°﹣20°＝40°，
故选：C．
题型04 等边三角形的判定与性质
【典例1】下列说法中，正确的个数是（ ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；
【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．
故选：D．
【变式1】证明题：如图：△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AB、CA的延长线上，且BE＝
AF＝CD．求证：△DEF是等边三角形．
【分析】证明△AEF≌△CFD≌△BDE即可．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠EAF＝∠EBD＝120°，
∵BE＝AF，
∴BE+AB＝FA+AC，即AE＝CF，
在△BDE和△AEF中，
，
∴△AEF≌△BDE（SAS），
∴EF＝ED，
同理可得△AEF≌△CFD，
∴EF＝FD，
∴EF＝ED＝FD，
∴△DEF为等边三角形．
【变式 2】如图，在△ADB 中，∠ADB＝60°，DC 平分∠ADB，交 AB于点 C，且 DC⊥AB，过 C 作
CE∥DA交DB于点E，连接AE．
（1）求证：△ADB是等边三角形．（2）求证：AE⊥DB．
【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；
（2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再
由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．
【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝30°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCB＝∠DCA＝90°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形；
（2）∵CE∥DA，
∴∠BEC＝∠ADB＝60，
∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴CE＝BE＝CB，
∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°，
∴BC＝ BD，
∴CE＝ BD，
∴E是BD的中点，
∴AE是边BD的中线，
∵△ADB是等边三角形，
∴AE⊥BD．
【变式3】已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，
BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，
结论得证；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由 ASA 得出
△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵ ，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵ ，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
【变式 4】如图，点 O 是等边△ABC 内一点，D 是△ABC 外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，
△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
α
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α
α【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝ ＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求
三角形的形状；
α
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨
即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC， ＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝ ＝150°，
α
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
α
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝ ，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣ ﹣60°＝190°﹣ ，
α
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝ ﹣60°，
α α
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣ ）﹣（ ﹣60°）＝50°．
α
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣ ＝ ﹣60°，
α α
∴ ＝125°．
α α
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣ ＝50°，
α
∴ ＝140°．
α
③当∠ADO＝∠OAD时，
α
﹣60°＝50°，
∴ ＝110°．
α
α综上所述：当 ＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
α
题型04 含30°角的直角三角形的计算
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点
E，DE＝2，则CE的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连接AE，先求出∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，再根据线段垂直平分线的性质得，BE＝
AE，由此得∠B＝∠DAE＝30°，进而利用直角三角形的性质得 AE＝2DE＝4，然后求出∠CAE＝90°，
再利用直角三角形的性质即可求出CE的长．
【解答】解：连接AE，如图：
在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°，
∵点D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝2，
∴AE＝2DE＝4，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CAE中，∠C＝30°，AE＝4，
∴CE＝2AE＝8．
故选：B．
【变式1】在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据∠ACB为直角，∠A＝30°，求出∠B的度数，再根据 CD⊥AB于D，求出∠DCB＝
30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
【解答】解：∵∠ACB为直角，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB＝90°﹣∠B＝30°
∴AB＝2BC，BC＝2BD，
∴AB＝4BD＝4．
故选：A．
【变式2】如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水
平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM＝30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，
则CM＝h，∠CMB＝90°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBM＝30°，
∴ ，
故选：B．
【变式3】已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30°
【分析】根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，
如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是 30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角
形的底角．【解答】解：如图①：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝ AC
∴∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝ ＝75°；
如图②：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝ AC，
∴∠CAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
这个三角形的底角为：75°或15°．
故选：A．
【变式4】如图，点P是∠AOB平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，若∠AOB＝30°，OC＝
4，求点P到OA的距离PD．
【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的性质可得∠AOP＝∠POB，PD＝PE，再根据平行线证出PC
＝CO＝4，再根据直角三角形的性质可得PE＝ PC＝2，进而得到PD＝2．
【解答】解：过P作PE⊥OB，
∵PC∥OA，
∴∠PCB＝∠AOB＝30°，∠AOP＝∠OPC，∵点P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠AOP＝∠POB，PD＝PE，
∴∠POB＝∠OPC，
∴CO＝PC，
∵OC＝4，
∴PC＝4，
∵∠PCB＝30°，
∴PE＝ PC＝2，
∴PD＝2．
1．在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝60°
B．AC＝BC
C．∠B的补角等于∠C的补角
D．AB边上的高也是AB边上的中线
【分析】根据选项结合已知逐个判断即可得到答案；
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
当∠A＝60°时，△ABC是等边三角形，故A不符合题意，
当AC＝BC时，△ABC是等边三角形，故B不符合题意，
当∠B的补角等于∠C的补角时，即∠B＝∠C，△ABC不一定是等边三角形，故C符合题意，
当AB边上的高也是AB边上的中线时，得到CA＝CB，△ABC是等边三角形，故D不符合题意．
故选：C．
2．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD
的度数是（ ）A．45° B．39° C．29° D．21°
【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出 AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，
∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：如图，过点A作AF∥l，
∵直线l∥m，
∴AF∥m，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AF∥l，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝21°，
∴∠BAF＝21°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，
∵AF∥m，
∴∠ACD＝∠CAF＝39°，
故选：B．
3．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．上述三种情形都有可能
【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是 60°的等腰三角形是等边
三角形，即可作出判断．
【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故选：C．
4．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于
（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由等边三角形的性质可求解∠BAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和
定理可得∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的角平分线，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠BAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDB＝90°﹣75°＝15°，
故选：A．
5．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度
数为（ ）
A．120° B．110° C．108° D．106°
【分析】根据等边三角形性质及AB∥CD得∠EFD＝∠NEM＝60°，由此可得∠CFE的度数．
【解答】解：∵△EMN为等边三角形，
∴∠NEM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠NEM＝60°，
∴∠CFE＝180°﹣∠EFD＝120°．
故选：A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（ ）A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD＝3DC，BD＝ AC，BC
＝4DC，AC＝2DC．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC，
∴B不符合要求；
∴BC＝4DC，
∴C不符合要求；
∴BD＝3DC，
∴A符合要求；
∵AC＝2DC，BC＝4DC
∴BD＝ AC，
∴D不符合要求；
故选：A．
7．如图，直线l ∥l ，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l ，l 之间，点A，D分别在l ，l 上，点B，
1 2 1 2 1 2
C，E，F在同一直线上．若∠ ＝53°，则∠ 的度数为（ ）
α β
A．50° B．52° C．54° D．56°
【分析】延长AC交l 于H，由平行线性质得∠CHD＝180°﹣∠ ＝127°，由等腰直角三角形性质得
2
∠ACB＝∠ECH＝45°，再由等边三角形性质得∠DEF＝∠EDF＝60°，则∠CED＝180°﹣∠DEF＝
α
120°，再由四边形内角和等于360°得∠EDH＝68°，由此可得∠ 的度数．
【解答】解：延长AC交l 于H，如图所示：
2 β∵l ∥l ，∠ ＝53°，
1 2
∴∠CHD+∠ ＝180°，
α
∠CHD＝180°﹣∠ ＝180°﹣53°＝127°，
α
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，
α
∴∠ACB＝∠ECH＝45°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝∠EDF＝60°，
∴∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，
在四边形CEDH中，∠ECH+∠CHD+∠CED+∠EDH＝360°，
即45°+127°+120°+∠EDH＝360°，
∴∠EDH＝68°，
∴∠ ＝180°﹣∠EDF﹣∠EDH＝180°﹣60°﹣68°＝52°．
故选：B．
β
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝24，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝15，则AD的长
为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据垂直定义可得∠BEC＝90°，再利用直角三角形的两个锐角
互余可得∠BCE＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BE＝12，从而可得DE＝3，最后利
用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵BC＝24，∴ ，
∵BD＝15，
∴DE＝BD﹣BE＝15﹣12＝3，
∵CA＝CD，
∴AD＝2DE＝6，
故选：A．
9．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运
动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．
点M、N运动（ ）s后，可得到等边△AMN．
A．1 B．0.5 C．4 D．2
【分析】设点M、N运动x s后，可得到等边△AMN，求出AM＝x cm，AN＝（12﹣2x）cm，由等边三
角形的性质得到∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，得到x＝12﹣2x，求出x＝4，即可
得到答案．
【解答】解：设点M、N运动x s后，可得到等边△AMN，
∴AM＝x cm，AN＝AB﹣BN＝（12﹣2x）cm，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴AM＝AN时，△AMN是等边三角形，
∴x＝12﹣2x，
∴x＝4，
∴点M、N运动4s后，可得到等边△AMN．
故选：C．
10．如图，已知∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线 ON上，点B ，B ，B ，…在射线 OM上，
1 2 3 1 2 3
△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形，若OA ＝2，则△A B A 的边长为（ ）
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
A．16 B．32 C．64 D．128【分析】由等边三角形的性质得到∠B A A ＝60°，A B ＝A A ，再由三角形外角的性质求出∠A B O＝
1 1 2 1 1 1 2 1 1
30°，则 A B ＝A A ＝OA ，同理得 A B ＝A A ＝OA ＝2OA ，A B ＝A A ＝22•OA ，A B ＝A A ＝
1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 3 3 4 1 4 4 4 5
23•OA ，由此得出规律A B ＝A A ＝2n﹣1•OA ＝2n，即可求解．
1 n n n n+1 1
【解答】解：∵△A B A 为等边三角形，
1 1 2
∴∠B A A ＝60°，A B ＝A A ，
1 1 2 1 1 1 2
∴∠A B O＝∠B A A ﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
1 1 1 1 2
∴∠A B O＝∠MON，
1 1
∴A B ＝OA ，
1 1 1
∴A B ＝A A ＝OA ，
1 1 1 2 1
同理可得A B ＝A A ＝OA ＝2OA ，
2 2 2 3 2 1
∴A B ＝A A ＝OA ＝2OA ＝22•OA ，
3 3 3 4 3 2 1
A B ＝A A ＝OA ＝2OA ＝23•OA ，
4 4 4 5 4 3 1
…
∴A B ＝A A ＝2n﹣1•OA ＝2n，
n n n n+1 1
∴△A B A 的边长：A B ＝26＝64，
6 6 7 6 6
故选：C．
11．如图，△ABC是正三角形，若l ∥l ，则∠2﹣∠1＝ 120 ° ．
1 2
【分析】延长AB，l ，交于点D，根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据两直线平行，内错角
2
相等可得∠1＝∠BDE，利用三角形的外角性质求出∠2﹣∠1＝∠DBC，再即可求解．
【解答】解：如图，延长AB，l ，交于点D，
2
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝120°，∵l ∥l ，
1 2
∴∠1＝∠BDE，
∴∠2﹣∠1＝∠2﹣∠BDE＝∠DBC＝120°，
故答案为：120°．
12．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F．过点F作FE⊥BC
于点E，则EC的长为 ．
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得 AF，CF，CE，再由等边三
角形ABC的边长为4，得出EC的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BC＝4，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝4，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴ ，
∵D是AB的中点，
∴AD＝2，
∴AF＝1，
∴CF＝3，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB
＝5.4，CE＝3，则BE＝ 7. 8 ． ．
【分析】过点C作CP⊥AB于P，根据∠ABC＝60°得∠BAC+∠BCA＝120°，再根据等边三角形性质得
AC＝CD，∠ACD＝60°，则∠DCE+∠BCA＝120°，由此得∠BAC＝∠DCE，据此可依据“AAS”判定△APC和△CED全等，从而得AP＝CE＝3，则BP＝AB﹣AP＝2.4，进而在根据直角三角形性质得BC＝
2BP＝4.8，据此可得BE的长．
【解答】解：过点C作CP⊥AB于P，如图所示：
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵△ACD为等边三角形，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∵∠DCE+∠BCA＝180°﹣∠ACD＝120°，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵CP⊥AB，DE⊥BC，
∴∠APC＝∠CED＝90°，
在△APC和△CED中，
，
∴△APC≌△CED（AAS），
∴AP＝CE＝3，
∴BP＝AB﹣AP＝5.4﹣3＝2.4，
在Rt△BCP中，∠ABC＝60°，
∴∠BCP＝30°，
∴BC＝2BP＝2×2.4＝4.8，
∴BE＝BC+CE＝4.8+3＝7.8．
14．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s
的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表
示移动的时间，当t＝ 6 s时，△POQ是等边三角形．
【分析】有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，根据等边三角形的判定方法可知，当点 P运动到
射线OB上且OQ＝OP时△POQ是等边三角形．【解答】解：点P、Q运动的是t s，由题意得：
t＝2t﹣6，
解得t＝6，
即当P、Q运动的是6s时，△POQ是等边三角形．
故答案为：6．
15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD
与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有
①②④⑤ ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确．
④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确；
②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．
③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出OP＝OQ，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
16．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝2，求BC的长．
【分析】（1）DE是边AB上的垂直平分线推AE＝BE，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角
相等，最后得出角的度数；
（2）利用角平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵DE是边AB上的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE＝30°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝30°+30°＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°；
（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴EC＝ED＝2，
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE＝90°．
在△BDE 中，
∵∠BDE＝90°．∠B＝30°．
∴BE＝2DE＝4．
∴BC＝BE+EC＝4+2＝617．如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA
＝CQ时，连接PQ交边AC于点D．
（1）求证：D为PQ中点；
（2）DE的长为 2 ？
【分析】（1）过点P作PF∥BC，交AC于F，先证明△APF为等边三角形得PA＝PF＝CQ，进而再证
明△DPF和△DQC全等得PD＝QD，据此即可得出结论；
（2）由（1）可知△DPF≌△DQC，△APF为等边三角形，则 DF＝DC，AE＝FE，由此得 DE＝
CD+AE，据此可得DE的长．
【解答】（1）证明：过点P作PF∥BC，交AC于F，如图所示：
∵△ABC为等边三角形且边长且为4，
∴AC＝4，∠A＝∠B＝60°，
∵PF∥BC，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠DPF＝∠Q，
∴△APF为等边三角形，
∴PA＝PF，
∵PA＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△DPF和△DQC中，
，
∴△DPF≌△DQC（AAS），
∴PD＝QD，
即点D为PQ中点；
（2）解：由（1）可知：△DPF≌△DQC，△APF为等边三角形，
∴DF＝DC，
∵△APF为等边三角形，PE⊥AC，
∴AE＝FE，∴DE＝DF+EF＝CD+AE＝ AC＝2．
故答案为：2．
18．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r ，r ，
1 2
腰上的高为h，连接AP，则S△ABP +S△ACP ＝S△ABC ，即： AB•r
1
+ AC•r
2
＝ AB•h，∴r
1
+r
2
＝h（定值），
即PE+PF为定值．
（1）深入探究
将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，
PF⊥AC，PM﹣ ⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明；
（2）理解与应用
当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间
又有怎样的关系，并说明理由．
【分析】（1）连接PA、PB、PC，利用S△ABP +S△BCP +S△ACP ＝S△ABC 计算即可；
（2）连接PA、PB、PC，利用S△ABP +S△ACP ﹣S△BCP ＝S△ABC 计算即可．
【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下：
连接PA、PB、PC，则S△ABP +S△BCP +S△ACP ＝S△ABC ，
∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC＝BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣ ⊥BC，BG⊥AC，
∴ ，∴ ，
∴PE+PF+PM＝BG；
（2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下：
连接PA、PB、PC，则S△ABP +S△ACP ﹣S△BCP ＝S△ABC ，
∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC＝BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣ ⊥BC，BG⊥AC，
∴ ，
∴ ，
∴PE+PF﹣PM＝BG．
19．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边
运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时
M、N运动的时间．
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程
比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A
等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出
CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16
秒．20．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE
的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出 AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝
∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED
＝∠ADC+∠CDE+∠BED
＝∠ADC+60°+∠BED
＝∠CED+60°
＝60°+60°
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝ AD，BN＝ BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
