文档内容
2012年贵州省铜仁地区中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（4分）某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：
年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18
人数 3 6 4 4 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，15.5 C．15，16 D．16，15
4．（4分）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路
的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果
每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是
（ ）
A．5（x+21﹣1）＝6（x﹣1） B．5（x+21）＝6（x﹣1）
C．5（x+21﹣1）＝6x D．5（x+21）＝6x
5．（4分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数 的图象过点A，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
6．（4分）小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为
第1页（共27页）9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为（ ）
A．270 cm2 B．540 cm2 C．135 cm2 D．216 cm2
7．（4分）π如图，在△ABC中，∠πABC和∠ACB的平分线π交于点E，过点E作MπN∥BC交AB
于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（4分）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（
）
A．∠E＝2∠K
B．BC＝2HI
C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF ＝2S六边形GHIJKL
9．（4分）从权威部门获悉，中国海洋面积是299.7万平方公里，约为陆地面积的三分之一，
299.7万平方公里用科学记数法表示为（ ）平方公里（保留两位有效数字）
A．3×106 B．0.3×107 C．3.0×106 D．2.99×106
10．（4分）如图，第 个图形中一共有1个平行四边形，第 个图形中一共有5个平行四边
形，第 个图形中①一共有11个平行四边形，…则第 个②图形中平行四边形的个数是（
） ③ ⑩
第2页（共27页）A．54 B．110 C．19 D．109
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）|﹣2012|＝ ．
12．（4分）当x 时，二次根式 有意义．
13．（4分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．
14．（4分）已知圆O 和圆O 外切，圆心距为10cm，圆O 的半径为3cm，则圆O 的半径为
1 2 1 2
．
15．（4分）照如图所示的操作步骤，若输入x的值为5，则输出的值为 ．
16．（4分）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没
有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为 ．
17．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是 ．
18．（4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的
边交于A、B两点，则线段AB的最小值 ．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（1）化简： ；
第3页（共27页）（2）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的
两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、
C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、
求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
20．（10分）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，BE＝DF．
求证：△ADE≌△CBF．
21．（10分）某区对参加2010年中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出
频数分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：
视力 频数（人） 频率
4.0≤x＜4.3 20 0.1
4.3≤x＜4.6 40 0.2
4.6≤x＜4.9 70 0.35
4.9≤x＜5.2 a 0.3
5.2≤x＜5.5 10 b
第4页（共27页）（1）在频数分布表中，a的值为 ，b的值为 ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情
况应在什么范围？
（3）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，则视力正常的人数占被统计人数的百分比是
；并根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
22．（10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角 的邻边与对边的比叫做角 的余切，记
α α
作ctan ，即ctan ＝ ＝ ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
α α
（1）ctan30°＝ ；
（2）如图，已知tanA＝ ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
第5页（共27页）23．（12分）如图，已知 O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD， O的切线BF与弦AD
的延长线相交于点F⊙． ⊙
（1）求证：CD∥BF；
（2）若 O的半径为5，cos∠BCD＝ ，求线段AD的长．
⊙
24．（12分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若
购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品
6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这
100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问
的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
第6页（共27页）25．（14分）如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过
A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求
出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形
APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
第7页（共27页）2012 年贵州省铜仁地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的定义得出，两数相加等于0，即是互为相反数，得出答案即可．
【解答】解：∵2+（﹣2）＝0，
∴2的相反数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义解决问题是考查重点，同学们
应重点掌握．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解： 是轴对称图形，也是中心对称图形；
是轴对称图①形，不是中心对称图形；
②是轴对称图形，也是中心对称图形；
③是轴对称图形，也是中心对称图形．
④故选：B．
【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（4分）某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：
年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18
人数 3 6 4 4 1
第8页（共27页）则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，15.5 C．15，16 D．16，15
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【专题】1：常规题型．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平
均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共6人，
所以众数是15，
18名队员中，按照年龄从大到小排列，
第9名队员的年龄是15岁，第10名队员的年龄是16岁，
所以，中位数是 ＝15.5．
故选：B．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，
一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和
偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找
中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数．
4．（4分）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路
的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果
每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是
（ ）
A．5（x+21﹣1）＝6（x﹣1） B．5（x+21）＝6（x﹣1）
C．5（x+21﹣1）＝6x D．5（x+21）＝6x
【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设原有树苗x棵，根据首、尾两端均栽上树，每间隔5米栽一棵，则缺少21棵，可知
这一段公路长为5（x+21﹣1）；若每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，可知这一段公路长又
可以表示为6（x﹣1），根据公路的长度不变列出方程即可．
【解答】解：设原有树苗x棵，由题意得
5（x+21﹣1）＝6（x﹣1）．
故选：A．
第9页（共27页）【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题是根据公路的长度不变列出的方程．
“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方
程的一种基本方法．
5．（4分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数 的图象过点A，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【专题】31：数形结合．
【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴
的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积即可解答．
【解答】解：因为图象在第二象限，
所以k＜0，
根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|＝2×2＝4，
所以k＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原
点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S＝ |k|．
6．（4分）小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为
9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为（ ）
A．270 cm2 B．540 cm2 C．135 cm2 D．216 cm2
【考点】πMP：圆锥的计算． π π π
【专题】11：计算题．
【分析】圆锥的侧面积＝ ×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：圆锥形礼帽π的侧面积＝ ×9×30＝270 cm2．
故选：A． π π
第10页（共27页）【点评】考查圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB
于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，利用两
直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，然后即可求
得结论．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝9
∴MN＝9，
故选：D．
【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键
是证明△BME△CNE是等腰三角形．
8．（4分）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（
）
第11页（共27页）A．∠E＝2∠K
B．BC＝2HI
C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF ＝2S六边形GHIJKL
【考点】S6：相似多边形的性质．
【专题】2B：探究型．
【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E＝∠K，故本选项错误；
B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC＝2HI，故本选项正确；
C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长＝六边
形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF ＝4S六边形GHIJKL ，
故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即两个相似多边形的对应角相等，周长的比等
于相似比，面积的比等于相似比的平方．
9．（4分）从权威部门获悉，中国海洋面积是299.7万平方公里，约为陆地面积的三分之一，
299.7万平方公里用科学记数法表示为（ ）平方公里（保留两位有效数字）
A．3×106 B．0.3×107 C．3.0×106 D．2.99×106
【考点】1L：科学记数法与有效数字．
【专题】16：压轴题．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于299.7万有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：299.7万＝2.997×106≈3.0×106．
第12页（共27页）故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字
的确定方法．
10．（4分）如图，第 个图形中一共有1个平行四边形，第 个图形中一共有5个平行四边
形，第 个图形中①一共有11个平行四边形，…则第 个②图形中平行四边形的个数是（
） ③ ⑩
A．54 B．110 C．19 D．109
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】得到第n个图形在1的基础上如何增加2的倍数个平行四边形即可．
【解答】解：第 个图形中有1个平行四边形；
第 个图形中有①1+4＝5个平行四边形；
第②个图形中有1+4+6＝11个平行四边形；
第③个图形中有1+4+6+8＝19个平行四边形；
…④
第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；
第 个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）＝109个平行四边形；
故⑩选：D．
【点评】考查图形的变化规律；得到第n个图形中平行四边形的个数在第 个图形中平行
四边形的个数1的基础上增加多少个2是解决本题的关键． ①
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）|﹣2012|＝ 201 2 ．
【考点】15：绝对值．
【专题】2C：存在型．
【分析】根据绝对值的性质进行解答即可．
【解答】解：∵﹣2012＜0，
∴|﹣2012|＝2012．
第13页（共27页）故答案为：2012．
【点评】本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；零的绝对值是零．
12．（4分）当x ＞ 0 时，二次根式 有意义．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【专题】1：常规题型．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得， ＞0，
解得x＞0．
故答案为：＞0．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．（4分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 9 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角
和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的
题目，需要熟练掌握．
14．（4分）已知圆O 和圆O 外切，圆心距为10cm，圆O 的半径为3cm，则圆O 的半径为
1 2 1 2
7 cm ．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
【分析】由圆O 和圆O 外切，圆心距为10cm，圆O 的半径为3cm，利用两圆位置关系与
1 2 1
圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得圆O 的半径．
2
【解答】解：∵圆O 和圆O 外切，圆心距为10cm，圆O 的半径为3cm，
1 2 1
∴圆O 的半径为：10﹣3＝7（cm）．
2
故答案为：7cm．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距
d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
15．（4分）照如图所示的操作步骤，若输入x的值为5，则输出的值为 9 7 ．
第14页（共27页）【考点】33：代数式求值．
【专题】27：图表型．
【分析】根据题目所给程序依次计算即可．
【解答】解：（x+5）2﹣3＝（5+5）2﹣3＝100﹣3＝97，
故答案为97．
【点评】本题考查了代数式求值，弄清运算程序是解题的关键．
16．（4分）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没
有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为 ．
【考点】X4：概率公式．
【专题】11：计算题．
【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的
比值就是其发生的概率．本题球的总①数为6+9+3＝18，黑②球的数目为3．
【解答】解：根据题意可得：一袋中装有红球6个，白球9个，黑球3个，共18个，
任意摸出1个，摸到黑球的概率是＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
17．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是 x ＝ 3 ， x ＝﹣ 1 ．
1 2
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据方程的解x x ＝﹣3，x +x ＝2可将方程进行分解，得出两式相乘的形式，再根
1 2 1 2
据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：原方程可化为：（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
第15页（共27页）配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因
式分解法．
18．（4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的
边交于A、B两点，则线段AB的最小值 ．
【考点】J4：垂线段最短；KD：全等三角形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线；
LE：正方形的性质．
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】证△COA≌△DOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB＝ OA，得出要使AB最
小，只要OA取最小值即可，当OA⊥CD时，OA最小，求出OA的值即可．
【解答】解：
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵在△COA和△DOB中
，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA＝OB，
第16页（共27页）∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝ ＝ OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD＝OF，
∴CA＝DA，
∴OA＝ CF＝1，
即AB＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，垂线段最短等知
识点的应用，关键是求出AB＝ OA和得出OA⊥CD时OA最小，题目具有一定的代表
性，有一定的难度．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（1）化简： ；
（2）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的
两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、
C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、
求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
【考点】6C：分式的混合运算；N4：作图—应用与设计作图．
【专题】13：作图题．
【分析】（1）把括号内的分式通分并进行同分母分式的加减运算，再把分式的除法运算转
化为乘法运算，然后约分即可得解；
第17页（共27页）（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，连接AB并作AB的垂直平分
线，然后以点C为圆心，以AB长度的一半为半径画弧，与垂直平分线相交于一点，即为所
求的点M的位置．
【解答】（1）解：（ ﹣ ）÷ ，
＝ × ，
＝ × ，
＝﹣1；
（2）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，在矩形中标出点M的位置．
【点评】本题考查了应用与设计作图，主要利用了线段垂直平分线的作法，是基本作图，需
熟练掌握，还考查了分式的混合运算，分式的混合运算，通常都把除法运算转化为乘法运
算进行计算．
20．（10分）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，BE＝DF．
求证：△ADE≌△CBF．
【考点】KB：全等三角形的判定．
【专题】14：证明题．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠AED＝∠CFB，进而得出DE＝BF，利用SAS得出即
可．
【解答】证明：∵AE∥CF
∴∠AED＝∠CFB，
第18页（共27页）∵DF＝BE，
∴DF+EF＝BE+EF，
即DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是
解题关键．
21．（10分）某区对参加2010年中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出
频数分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：
视力 频数（人） 频率
4.0≤x＜4.3 20 0.1
4.3≤x＜4.6 40 0.2
4.6≤x＜4.9 70 0.35
4.9≤x＜5.2 a 0.3
5.2≤x＜5.5 10 b
（1）在频数分布表中，a的值为 6 0 ，b的值为 0.0 5 ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情
况应在什么范围？
（3）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，则视力正常的人数占被统计人数的百分比是
35% ；并根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；W4：中位
数．
第19页（共27页）【专题】16：压轴题；27：图表型．
【分析】（1）首先根据表格的已知数据求出所抽取的总人数，然后即可求出a，再根据所有
频率之和为1即可求出b，最后根据表格中的所有数据就可以补全右边的图形；
（2）由于知道总人数为200人，根据中位数的定义知道中位数在4.6≤x＜4.9这个小组，所
以甲同学的视力情况的范围也可以求出；
（3）首先根据表格信息求出视力在4.9以上（含4.9）的人数，除以总人数即可求出视力正
常的人数占被统计人数的百分比，然后根据样本估计总体的思想就可以求出全区初中毕
业生中视力正常的学生的人数．
【解答】解：（1）∵20÷0.1＝200，
∴a＝200﹣20﹣40﹣70﹣10＝60，
b＝10÷200＝0.05；
补全直方图如图所示．
故填：60；0.05．
（2）∵根据中位数的定义知道中位数在4.6≤x＜4.9，
∴甲同学的视力情况范围：4.6≤x＜4.9；
（3）视力正常的人数占被统计人数的百分比是： ，
∴估计全区初中毕业生中视力正常的学生有35%×5000＝1750人．
故填35%．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位
数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是
第20页（共27页）中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在
中位数的，但中位数不一定是这组数据中的数．
22．（10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角 的邻边与对边的比叫做角 的余切，记
α α
作ctan ，即ctan ＝ ＝ ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
α α
（1）ctan30°＝ ；
（2）如图，已知tanA＝ ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．
【专题】16：压轴题；23：新定义．
【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的
定义进行解答即可；
（2）由于tanA＝ ，所以可设BC＝3x，AC＝4x，则AB＝5x，再根据锐角三角函数的定义进
行解答即可．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中， ＝30°，
α
∴BC＝ AB，
∴AC＝ ＝ ＝ AB，
∴ctan30°＝ ＝ ．
故答案为： ；
（2）∵tanA＝ ，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴ctanA＝ ＝ ＝ ．
第21页（共27页）【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定
义是解答此题的关键．
23．（12分）如图，已知 O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD， O的切线BF与弦AD
的延长线相交于点F⊙． ⊙
（1）求证：CD∥BF；
（2）若 O的半径为5，cos∠BCD＝ ，求线段AD的长．
⊙
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）由BF是 O的切线，AB是 O的直径，根据切线的性质，即可得BF⊥AB，又
由AB⊥CD，即可得⊙CD∥BF； ⊙
（2）又由AB是 O的直径，可得∠ADB＝90°，由圆周角定理，可得∠BAD＝∠BCD，然后
⊙
由 O的半径为5，cos∠BCD＝ ，即可求得线段AD的长．
⊙
【解答】（1）证明：∵BF是 O的切线，AB是 O的直径，
∴BF⊥AB， ⊙ ⊙
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF；
（2）解：∵AB是 O的直径，
⊙
第22页（共27页）∴∠ADB＝90°，
∵ O的半径5，
∴⊙AB＝10，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴cos∠BAD＝cos∠BCD＝ ＝ ，
∴AD＝cos∠BAD•AB＝ ×10＝8，
∴AD＝8．
【点评】此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难
度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．
24．（12分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若
购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品
6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这
100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问
的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）关系式为：A种纪念品8件需要钱数+B种纪念品3件钱数＝950；A种纪念品
5件需要钱数+B种纪念品6件需要钱数＝800；
（2）关系式为：用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，得出不
等式组求出即可；
（3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，因此选择购A种50件，B种
50件．
【解答】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，
根据题意得方程组得： ，
解方程组得： ，
第23页（共27页）∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，
∴ ，
解得：50≤x≤53，
∵x 为正整数，x＝50，51，52，53
∴共有4种进货方案，
分别为：方案1：商店购进A种纪念品50个，则购进B种纪念品有50个；
方案2：商店购进A种纪念品51个，则购进B种纪念品有49个；
方案3：商店购进A种纪念品52个，则购进B种纪念品有48个；
方案4：商店购进A种纪念品53个，则购进B种纪念品有47个．
（3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，
设利润为W，则W＝20x+30（100﹣x）＝﹣10x+3000．
∵k＝﹣10＜0，
∴W随x大而小，
∴选择购A种50件，B种50件．
总利润＝50×20+50×30＝2500（元）
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找到相应的关
系式是解决问题的关键，注意第二问应求得整数解．
25．（14分）如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过
A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求
出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形
APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
第24页（共27页）【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相
似三角形的性质分别求解，避免遗漏；
（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．
利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是
否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，
在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．
【解答】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y＝ax2+bx+c，
得方程组
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，
若△ABO∽△AP D，则
1
∴DP ＝AD＝4，
1
第25页（共27页）∴P （﹣1，4）
1
若△ABO∽△ADP
2
，过点P
2
作P
2
M⊥x轴于M，AD＝4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP 是等腰三角形，
2
由三线合一可得：DM＝AM＝2＝P M，即点M与点C重合，
2
∴P （1，2）
2
综上所述，点P的坐标为P （﹣1，4），P （1，2）；
1 2
（3）不存在．
理由：如答图2，设点E（x，y），则 S△ADE ＝
当P （﹣1，4）时，
1
①
S四边形AP1CE ＝S△ACP1 +S△ACE ＝ ＝4+|y|
∴2|y|＝4+|y|，
∴|y|＝4
∵点E在x轴下方，
∴y＝﹣4，代入得：x2﹣4x+3＝﹣4，即x2﹣4x+7＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×7＝﹣12＜0
∴此方程无解
当P （1，2）时，
2
②
S四边形AP2CE ＝S△ACP2 +S△ACE ＝ ＝2+|y|，
∴2|y|＝2+|y|，
∴|y|＝2
∵点E在x轴下方，
∴y＝﹣2，代入得：x2﹣4x+3＝﹣2，即x2﹣4x+5＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．
第26页（共27页）【点评】本题重点考查了抛物线的相关性质、相似三角形的性质、图形面积的计算以及一元二
次方程根的判别式，涉及的知识点较多．注意在（2）（3）问中，均有两种情形，需要分类讨论
计算，避免漏解；（3）问中是否存在点E的问题，转化为一元二次方程实数根个数的问题，需
要注意这种解题方法．作为中考压轴题，本题综合性强，难度较大，有利于提高学生的综合解
题能力，是一道不错的题目．
第27页（共27页）
