文档内容
13.3.3 等边三角形的性质与判定 教学设计
一、教学目标：
1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
2.掌握等边三角形的性质和判定方法.
3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题.
二、教学重、难点：
重点：探索等边三角形的性质与判定.
难点：等边三角形性质和判定的应用.
三、教学过程：
复习回顾
情景引入
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮
他设计出几种形状的三角形？
知识精讲
等边三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等. 我
们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形).思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足
什么条件才是等边三角形？
性质探索
1.等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？
已知：如图，AB=AC=BC.
∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C
同理 ∠A=∠C
∴ ∠A=∠B=∠C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.3.等边三角形每边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？
等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.
归纳
1.等边三角形的三边相等.
2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°.
3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
判定探索
1.三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？
已知：如图，∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A=∠B
∴ AC=BC
同理 AB=AC
∴ AB=AC=BC
即△ABC是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这个结论吗？假若AB=AC，则∠B=∠C
当顶角∠A=60°时，
∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
∴ △ABC是等边三角形.
当底角∠B=60°时，∠C=60°，∠A=180°-∠B-∠C=60°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
∴ △ABC是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
归纳
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
典例解析
例1.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等
边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C
∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ ∠A=∠ADE=∠AED
∴ △ADE是等边三角形
想一想，本题还有其它证法吗？
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C=60°∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ ∠ADE=∠AED
∴ AD=AE，且∠A=60°
∴ △ADE是等边三角形
例2.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，
若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
【点睛】等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角
度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
【针对练习】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．
求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
例3. ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，
BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
△
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ
【点睛】此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定
三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
例4.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问
△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°
∴△APQ是等边三角形．
【点睛】判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明
三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
【针对练习】如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：
△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
例5.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
(2) CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
△
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( )
A.25° B.60° C.85° D.95°
2.如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD则∠ADE的度数为( )
A.30° B.60° C.45 D.75°3.下列推理中，错误的是( )
A.因为∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
B.因为AB=AC且∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
C.因为∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
D.因为AB=AC，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
4.已知AD是等边△ABC的高，且BD=1cm,那么BC的长是_____cm.
5.若等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC的度数为_____.
6.如图，△ABC 是周长为 6 的等边三角形,BD 为中线，且 BD=a,E 为 BC 延长线上一点，
CE=CD，则△BDE的周长为________.
7.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点
B落在点B′处，DB′ ，EB′分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为______.
8.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点E在BC上.求证:AE=CD.9.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证:
BM=MN=CN.
【参考答案】
1. D
2. D
3. B
4. 2
5. 120°
6. 2a+3
7. 80°
8.证明: ABC和△BDE都是等边三角形.
∴AB=BC，BE=BD
△
∠ABC=∠EBD=60°
在△ABE与△CBD中,
∴△ABE≌△CBD(SAS)
∴AE=CD9.证明:∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°
又∵OB平分∠ABC
∴∠1=∠2=30°
又∵OM//AB
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3=30°
∴BM=OM,∠OMN=60°
同理CN=ON,∠ONM=60°
∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°
∴OM=ON=MN ∴BM=MN=CN
四、教学反思：
本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形. 学习等边三角形的定
义、性质和判定. 让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻
炼思维能力. 让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识.
在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力.
