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13.3.4 含30°角的直角三角形的性质
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．8
2．如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，
AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为( )
A．7.4m B．3.7m C．1.85m D．2.85m
3．在 中， ， ，过点B作 ，交 于点D，若
，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图， 中， ， ， 平分 ，若 ，则
点D到线段 的距离等于（ ）A．6 B．5 C．8 D．10
5．如图，在 中， 平分 交 于点M，过点M作 交
于点N，且 平分 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题：
7．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD等于 .
8．如图，在Rt ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB上的高，若∠A=30°，BD=1cm，则AD=
cm． △
9．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若
△∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
10．如图，在Rt ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC＝9，则AE的值
是 ． △
11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB=4 cm，则阴影部分的面积是 cm2
12．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 ．
三、解答题：
13．如图，△ABC中AB＝AC，∠C＝30°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，试探究
BM与CM之间的数量关系.14．如图，已知，在△ABC中， ，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若
∠A=30°，CD=4cm，求AC的长.
15．如图，在 中，∠ °，∠ °， ⊥AB于点D， 交AC于点E，如
果 ，求 的长．
16．已知如图等边三角形△ABC，D，E分别是BC，AC上的点.AD、BE交于点N，BM⊥AD于M.若
AE=CD，求证：MN= BN.
能力提升篇
一、单选题：
1．已知等腰三角形△ABC，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．90°或75°
C．90°或 75°或15° D．75°或15°或60°
2．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD
于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为( )A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
3．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，
BE，CF交于点M，如果CM=4，FM=5，则BE等于( )
A．14 B．13 C．12 D．11
4．如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为
延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角
形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
二、填空题：
5．如图，在 中， ， ， ， 平分 ，点
E是 的动点，点F是 上的动点，则 的最小值为 .6．如图，已知∠AOB=60°，点P是OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若
MN=2cm，则ON= cm．
7．如图，△ABC中， ∠A=15°，AB是定长.点D，E分别在AB，AC上运动， 连结BE，ED．若
BE+ED的最小值是2， 则AB的长是
8．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC交于D，P、Q两点分别是AC、BC边上的两动点，且
PQ∥AD，当∠PDQ＝30°时，如果CQ＝0.5，那么AB＝ ．
三、解答题：
9．如图所示，在等边 中，点D，E分别在边BC，AC上，且 ，过点E作
，交BC的延长线于点F．
（1）求 的大小；
（2）若 ，求DF的长．10．如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC
运动，且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t
（s）.
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明
理由；若不变，请求出它的度数.
