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第2课时 等腰(边)三角形的判定
理与性质定理的区别．“等边对等角”是等
腰三角形的性质定理，条件是已知一个三角
1．掌握等腰三角形和等边三角形的判 形有两条边相等，结论是这两条边所对的两
定定理；(重点) 个角相等．“等角对等边”是等腰三角形的
2．进一步理解、体会推理论证的方法； 判定定理，条件是已知一个三角形有两个角
3．掌握等腰三角形和等边三角形的判 相等，结论是这个三角形是等腰三角形．
定定理的运用．(重点，难点) 探究点二：等边三角形的判定
【类型一】 三边都相等的三角形是等边
三角形
已知a，b，c是△ABC的三边，且满
足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明
一、情境导入 △ABC是等边三角形．
1．等腰三角形有哪些性质？ 解析：把已知的关系式化为两个完全平
2．等边三角形有哪些性质？ 方的和等于0的形式求解．
3．我们知道，等腰三角形的两底角相等， 解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，
那么反过来，有两个角相等的三角形是等腰 ∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，
三角形吗？ ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
二、合作探究 ∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝
探究点一：等腰三角形的判定(等角对 c，
等边) ∴a＝b＝c.
如图，四边形ABCD中，AB＝BC， 故△ABC是等边三角形．
∠A＝∠C，求证：AD＝CD. 方法总结：(1)几个非负数的和为零，那
么每一个非负数都等于零．(2)有两边相等
的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角
形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰
三角形．
解析：连接AC，把这个四边形分成两个 【类型二】 三个角都是 6 0 ° 的三角形
三角形，然后利用等腰三角形的性质，可得 是等边三角形
∠CAD＝∠ACD，从而有AD＝CD. 如图，在等边△ABC中，∠ABC与
∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，
OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理
由．
证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝
∠BCA.
又∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD－∠BAC＝
∠BCD－∠BCA.
即∠CAD＝∠ACD.∴AD＝CD(等角对等 解析：根据平行线的性质及等边三角形
边)． 的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三
方法总结：要注意等腰三角形的判定定 角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得
1△ODE是等边三角形． 等；②证明这个三角形中有一个角等于
解：△ODE是等边三角形， 60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于
理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC 60°，要证明这个三角形是等边三角形，有
＝∠ACB＝60°. 两种思考方法：①证明另外两个角也等于
∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝ 60°；②证明这个三角形中有两边相等．
60°，∠OED＝∠ACB＝60°. 探究点三：等腰三角形判定的实际应用
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝ 如图，上午8时，一艘轮船从A处
180°－60°－60°＝60°. 向正北方向航行，每小时航行15海里，11时
∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°. 轮船到达B处，从A、B处望小岛P，测得
∴△ODE是等边三角形． ∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，求从B处到小
方法总结：证明一个三角形是等边三角 岛P的距离．
形时，如果较易求出角的度数，那么就可以
分别求出这个三角形的三个角都等于
60°，从而这个三角形是等边三角形．
【类型三】 有一个角是 6 0 ° 的等腰三
角形是等边三角形
如图，在△EBD中，EB＝ED，点C
在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上 解析：先根据三角形外角的性质及
一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明 ∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，求出△ABP是
你的结论． 等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可
解答．
解：∵∠PBC是△PAB的外角，∴∠PBC
＝∠PAC＋∠APB，
又∵∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，
∴∠APB＝15°，
解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边 ∴∠APB＝∠PAC，∴AB＝BP，
对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE＝ 又∵AB＝15×3＝45(海里)，
∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定 ∴BP＝45海里，即从B处到小岛P的距
理，可求得∠ECB＝60°.又AB＝BC，从而 离为45海里．
△ABC是等边三角形．
解：△ABC是等边三角形． 方法总结：解决与数学有关的实际问题
理由：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D. 时，首先要把实际问题转化为数学问题，再
又∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝ 结合数学知识进行解决，体现了转化思想．
2∠D. 三、板书设计
∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝ 1．等腰三角形的判定：等角对等边
2∠CBE.∴∠CBE＝∠ECB. 2．等边三角形的判定：
∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°. (1)三边都相等的三角形是等边三角形
又 ∠ ECB ＋ ∠ CBE ＋ ∠ CEB ＝ (2)三个角都是60°的三角形是等边三
180°.∴ ∠ ECB ＋ ∠ ECB ＋ 90° ＝ 角形
180°.∴∠ECB＝60°. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等
∵AB＝BC.∴△ABC是等边三角形． 边三角形
方法总结：(1)已知一个三角形中两边
相等，要证明这个三角形是等边三角形，有
两种思考方法：①证明另一边也与这两边相 解决几何证明题时，应结合图形，联想
2我们已学过的定义、基本事实、定理等知识，
寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的
是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学
会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探
寻结论成立所需的条件)的方法．
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