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第16讲 等腰、等边及直角三角形
一、 知识清单梳理
知识点一：等腰和等边三角形 关键点拨与对应举例
（1）性质
（1）三角形中“垂线、角平分线、
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；
中线、等腰”四个条件中，只要满
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
足其中两个，其余均成立. 如：
如左图，已知AD⊥BC,D为BC
互相重合; 的中点，则三角形的形状是等腰
1. 等 腰
三角形.
三角形 ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴. 失分点警示：当等腰三角形的
腰和底不明确时，需分类讨论. 如
（2）判定
若等腰三角形ABC的一个内角
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； 为30°，则另外两个角的度数为
30° 、 120° 或 75° 、 75° .
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. （1）等边三角形是特殊的等腰三
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； 角形，所以等边三角形也满足
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角 “三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角
平分线或中线)所在的直线是对称轴.
2. 等 边 60°，所以当等边三角形出现
（2）判定
三角形 高时，会结合直角三角形30°
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
角的性质，即BD=1/2AB.
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； 例：△ABC 中，∠B=60°，
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝ AB=AC，BC=3，则△ABC的周长
60°，则△ABC是等边三角形. 为9.
知识点二 ：角平分线和垂直平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 例：如图，△ABC中，∠C=90°，
A
3. 角 平 ∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB. ∠A=30°，AB的垂直平分线交
分线 （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 O 1 2 P C AC于D，交AB于E，CD=2，则
AC=6.
分线上．
B
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离 C
4. 垂 直 P
相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
平 分
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直
线 图
平分线上．
形 A O B
知识点三：直角三角形的判定与性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝ AB；
5. 直 角 （ 1 ） 直 角 三 角 形 的 面 积
(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则
三角形 A S=1/2ch=1/2ab(其中 a,b 为直角
边，c为斜边，h是斜边上的高)，
的性质 CD＝ AB. b c D 可以利用这一公式借助面积这个
中间量解决与高相关的求长度问
(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即
C a B 题.
a2＋b2＝c2 . （2）已知两边，利用勾股定理求长
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则 度，若斜边不明确，应分类讨论.
A
6. 直 角 △ABC是Rt△； c （3）在折叠问题中，求长度，往往
三 角 (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三 b D 需要结合勾股定理来列方程解决.
形 的 角形是直角三角形．即若 AD＝BD＝CD，则△ABC 是 C a B
判定 Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
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