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《等腰三角形》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
2．下列推理错误的是（ ）
A．因为∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
B．因为AB=AC，且∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
C．因为∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
D．因为AB=AC，且∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
3．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
4．如图，已知∠MON=30°，点A、A、A…在射线ON上，点B 、B 、B …在射线OM上，
1 2 3 1 2 3
△AB A、△AB A、△AB A…均为等边三角形，若OA =1，则△AB A 的边长为（ ）
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 4 4 5
A．8B．16C．32D．64
5．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（ ）
A．△ABD≌△EBCB．△NBC≌△MBDC．DM=DCD．∠ABD=∠EBC
6．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（ ）A．10°B．12.5°C．15°D．20°
7．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这
样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ ）
A．阴影部分面积大B．空白部分面积大
C．一样大D．不确定
二、解答——知识提高运用
8．如图，在△ABC中，AB=BC=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，请比较△AEF和四边形EBCF的周
长的大小。
9．如图，点D、E、F分别在等边三角形ABC的边AB、BC、CA的延长线上，且
BD=CE=AF，说明△DEF为等边三角形。
。
10．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是
O）。求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC。参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据等边三角形三线合一性质，故正确。
所以都正确。故选D。
2．【答案】B
【解析】A、三个角相等的三角形是等边三角形，故本选项正确；B、根据AB=AC，且
∠B=∠C，只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项错误；C、根据两个角等于60°即可得到第三个
角也为60°，故本选项正确；D、根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可以判定本选项正
确。故选B。
3．【答案】C
【解析】原式可化为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，即a2+b2+c2+a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc=0；
根据完全平方公式，得：（a-b）2+（c-a）2+（b-c）2=0；
由非负数的性质，可知：a-b=0，c-a=0，b-c=0；即：a=b=c。所以△ABC是等边三角形。
故选C。
4．【答案】A
【解析】∵△AB A 为等边三角形，
1 1 2
∴∠B AA=60°，
1 1 2
∵∠MON=30°，
∴∠OB A=30°+60°=90°，
1 2
∴AB =OA，
2 1 2
同理可求得：B A=OA，
4 5 5
∵OA =1，
1
∴OA =2OA=4OA=8OA=8，OA =2OA=4OA=8OA=16OA=16，
4 3 2 1 5 4 3 2 1
∴AA=OA-OA =16-8=8，
4 5 5 4
故选A。
5．【答案】C【解析】A、可以利用SAS验证，正确；
B、可以利用AAS验证，正确；
C、可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°
∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；
D、可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确。所以错误的是第三个，故选C。
6．【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，
∵∠BAD=20°，
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠ADE=∠AED=×（180°-40°）=70°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°+20°=80°，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=80°-70°=10°。
故选A。
7．【答案】C
【解析】如图∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，
∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，
∴阴影部分面积与空白部分面积一样大。
故选C。
二、解答——知识提高运用
8．【答案】∵AB=BC=AC，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BDE=∠FDC=30°，
∴BE=BD，CF=CD，∴BE+CF=（BD+CD）=BC，
∴BE+CF+BC=BC，
AE+AF=3BC−BC=BC，
∴AE+AF+EF=BE+CF+BC+EF，
∴△AEF和四边形EBCF的周长相等。
9．【答案】∵BD=CE=AF，
∴BE=CF=AD，
∵∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∴∠DBE=∠ECF=∠FAD=120°，
∵BD＝AF，BE＝AD，∠DBE＝∠FAD，
∴△AFD≌△BDE，
∴FD=DE；
∵BD＝CE，BE＝CF，∠DBE＝∠ECF，
∴△CEF≌△BDE，
∴EF=DE，
∴FD=DE=EF，
即△DEF为等边三角形。
10．【答案】证明：过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的
交点为A，B ，C （如图），考虑四边形AOBC 。
1 1 1 1
因为∠OAC =∠OBC =90°，∠AOB=120°，
1 1
所以∠C =60°．同理，∠A=∠B =60°．
1 1 1
所以△AB C 为正三角形．
1 1 1
设P到△AB C 三边B C ，C A，AB 的距离分别为ha，hb，hc，且△AB C1的边长为a，高
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
为h。
由等式S△AB C =S△PB C +S△PC A+S△PA B 知
1 1 1 1 1 1 1 1 1
h•a=ha•a+hb•a+hc•a，
所以h=ha+hb+hc。
这说明正△AB C 内任一点P到三边的距离和等于△AB C 的高h，这是一个定值，所以
1 1 1 1 1 1OA+OB+OC=h=定值。
显然，PA+PB+PC＞P到△A1B1C1三边距离和，
所以PA+PB+PC＞h=OA+OB+OC。
