文档内容
必考点 10 等边三角形的性质与判定
●题型一 等边三角形的性质
★★★1、解决求线段长问题
【例题1】（2021秋•信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD
＝30°，则CD的长为（ ）
3
A．1 B． C．2 D．3
2
【分析】由△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠BAC＝60°，BC＝AB＝4，结合∠BAD
＝30°，可得出∠CAD＝30°＝∠BAD，进而可得出AD为∠BAC的角平分线，再利用等边三角形的三线合
一可得出AD为BC边的中线，结合BC＝4即可求出CD的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝4．
∵∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴AD为BC边的中线，
1 1
∴CD= BC= ×4＝2．
2 2
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的三线合一，找出 AD为BC边的中线是解题的
关键．
★★★2、解决求角度问题【例题2】（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度
数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平
行线的性质得到∠1的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60°．也考查了平行线
的性质．
【例题3】（2022春•大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，
AE＝CE，F为BC中点，连接AF．
（1）直接写出∠BAE的度数为 ；
（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）分别求出∠BAC，∠CAE即可解决问题．
（2）证明AF⊥BCEC⊥BC即可判断．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵EA＝EC，∠AEC＝120°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．
故答案为90°．
（2）结论：AF∥EC．
理由：∵AB＝AC，BF＝CF，
∴AF⊥BC，
∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠BCE＝90°，
∴EC⊥BC，
∴AF∥EC．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．
★★★3、利用等边三角形的性质证明线段相等问题
【例题4】（2021秋•庄浪县期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用 SAS判定两三角形全
等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
{
AB=AC
∵ ∠BAD=∠CAE，
AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等
进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
【例题5】（2020秋•环江县期中）如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延
长线上的一点，CE＝CD．
求证：MB＝ME．
【分析】要证MB＝ME，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线重合即
可得证．
【解答】证明：连接BD．
∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°＝30°，∠ACB＝60°，
2 2
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CDE+∠E，
∴∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴MB＝ME．
【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内
角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．【解题技巧提炼】
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分
线是对称轴．
●题型二 等边三角形的判定
【例题6】（2022春•嘉定区校级期末）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC
【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案．
【解答】解：A．∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
故A选项不符合题意；
B．∵∠B+∠C＝120°，
∴∠A＝60°，
∴△ABC不一定是等边三角形，
故B选项符合题意；
C．∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
故C选项不符合题意；
D．∵∠A＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记定理的内容是解此题的关键．【例题7】（2021秋•宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE
＝DC．求证：△CEB为等边三角形．
【分析】根据CE⊥AB于点D，且DE＝DC得出BC＝BE，根据角的关系得出∠ECB＝60°，即可证得
△CEB为等边三角形．
【解答】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC，
∴BC＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，
∴∠ECB＝60°，
∴△CEB为等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【例题8】（2012•乐平市校级自主招生）如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，
使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，求出△ECB≌△EDF，得出△BEF为等边三角形，从而
得出BE＝BF，结合AE＝BD推出AB＝BC，进一步得出结论即可．
【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，
∵EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠ECB＝∠EDF，
∴△ECB≌△EDF（SAS），
∴BE＝EF，∠B＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE＝BF，∵AE＝BD，
∴DF＝AB，BC＝DF，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问
题的关键．
【解题技巧提炼】
等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得
三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
●题型三 含30°角的直角三角形的性质的应用
【例题9】（2022春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC
于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为 ．
【分析】根据等腰三角形的判定和性质和含30度角的直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°．
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠AEF＝60°，∠F＝30°，
∴∠BAE＝∠EAF＝90°，
∵∠B＝∠F＝30°，
∴BE＝EF，
∴BF＝2AF＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，也
考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
【例题10】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，
BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
【分析】（1）根据SAS定理，即可判断两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ＝30°，根据直角三角形的
性质即可得到．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形．
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中：
{
AE=CD
∠BAC=∠ACB
AB=AC
∴△BAE≌△ACD
（2）答：BP＝2PQ．证明：∵△BAE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中 30°的锐角所对的直角边等
于斜边的一半．
【例题11】（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且
AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是180°，可以求得∠CAE的度数；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
1
∴∠AEC＝60°，AE= CE，
2
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
1
∴AD= CE＝DE，
2
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
【解题技巧提炼】
（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
●题型四 等边三角形的性质与判定的综合应用
【例题12】（2022春•神木市期末）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D
作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，CF＝CE＝4．推出BD是线段AC的垂直平分线，根据角平分
线的定义得到∠ABD＝∠CBD．根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，于是得到结论．
【解答】解：（1）△CEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AB＝BC，CF＝CE＝4．
∵AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB∥DE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE．∵BC＝BE+EC＝DE+CF，
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握等边
三角形的性质是解题的关键．
【例题13】（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD
＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
1
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC= ×120°＝60°，再由AD＝AB，即可
2
得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明
△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
1
∴∠BAD＝∠DAC= ∠BAC，
2
∵∠BAC＝120°，
1
∴∠BAD＝∠DAC= ×120°＝60°，
2
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
{∠DBE=∠DAF=60°
BD=AD ，
∠BDE=∠ADF
∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌
握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
【解题技巧提炼】
等边三角形的判定与性质
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为
证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性
质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
●题型五 与等边三角形相关的实际问题
【例题14】（2022春•西安期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的
方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A
在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
【分析】利用平行线性质得出：∠ABC＝60°，∠1＝40°，进而得出∠BAC＝∠BCA＝60°，得出△ABC是
等边三角形，进而得出答案．
【解答】解：由题意得：∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，BC＝10×2＝20（海里），
∵CD∥BE，
∴∠1＝∠CBE＝40°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠ACB＝∠1+∠ACD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝20海里，
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．
【点评】此题主要考查了方向角，等边三角形的性质与判定，利用方向角得出△ABC是等边三角形是解
题关键．
●题型六 构造等边三角形证明线段之间的数量关系- - --（培优）
【例题15】（2021秋•北京期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝ （30°＜ ＜
60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE． α α（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．
分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质…
②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．请根据
上述分析过程，完成解答过程．
【分析】（1）设∠BAP＝ ，∠DAP＝∠BAP＝ ，∠CAP＝60°﹣ ，∠CAD＝2 ﹣60°，进一步求得结
果； α α α α
（2）在AE上截取EF＝CE，证明△ACF≌△BCE，进而求得结果．
【解答】解：（1）如图1，
设∠BAP＝ ，
∵点B与点αD关于AP对称
∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝ ，∠AEB＝∠AED，
∵△ABC是等边三角形， α
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠CAP＝60°﹣ ，AC＝AD，
∴∠CAD＝∠DAαP﹣∠CAP＝ ﹣（60°﹣ ）＝2 ﹣60°，
180°−∠αCAD 18α0°−(2αα−60°)
∴∠ADC＝∠ACD= = =120°﹣
2 2
α∴∠AED＝180°﹣∠DAP﹣∠ADC＝180°﹣ ﹣（120°﹣ ）＝60°，
∴∠AEB＝60°； α α
（2）如图2
在AE上截取EF＝CE
∵∠AEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CF＝EF＝CE，∠EFC＝60°，
∴∠AFC＝∠BEC＝120°，
∵∠ACB＝∠AEB＝60°，∠APC＝∠BPE
∴∠CAF＝∠CBE，
∵AB＝AC，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴AF＝BE，
∴AE＝AF+EF＝BE+CE．
【点评】本题考查了轴对称性质，等腰三角形和等边三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，设
角，根据角之间的关系求得第一问是关键．
【解题技巧提炼】
构造等边三角形证明线段之间的数量关系主要是综合运用等边三角形的性质和判定，以及全等三角形，
关键是辅助线的作法是解题的关键.
●题型七 与等边三角形相关动态探究题
【例题16】（2022春•莲湖区期中）如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以
3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向
终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝ ，BQ＝ ．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝10cm，于是得到结论；
（2）当点P在AB边上运动时，当点P在BC边上时，根据等边三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴AB＝BC＝10cm，
∴当P在AB边上运动时，BP＝3tcm，BQ＝（10﹣2t）cm，
故答案为：3tcm；（10﹣2t）cm；
（2）当点P在AB边上运动时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°，
当PQ∥AC时，∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
∴△BQP是等边三角形，
∴BQ＝BP，
即10﹣2t＝3t，
解得，t＝2；
当点P在BC边上时，
同理可得10﹣（3t﹣20）＝2t﹣10，
解得，t＝8，
综上所述，当PQ∥AC时，t的值为2或8．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关
键．
【解题技巧提炼】
解决与等边三角形相关动态探究题的问题时，主要是“化动为静”，根据等边三角形、等腰三角形以及
全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
◆◆◆题型一 等边三角形的性质
1．（2022春•保山期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．105° D．115°
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠AED的度数即可解
出∠DEC的度数．
【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，
∴∠DAC＝30°（三线合一），
在△ADE中，AD＝AE，
1
∴∠AED＝∠ADE= （180°﹣30°）＝75°，
2
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣75°＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行
合理运用．
2．（2021秋•平江县期末）如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为
BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
5
A．2 B．3 C．4 D．
3
【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD＝CD，再通过证明
1
△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE＝EF，即可推出AE+DC＝EF+FD，可得DE= AC，即可推出
2
DE的长度．
【解答】解：过P作BC的平行线交AC于F，∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFD和△QCD中，
¿，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
1
∴DE= AC，
2
∵AC＝4，
∴DE＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于
正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．
3．（2021•路南区三模）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF
＝60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可；
（2）根据平行线的性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）连接DF，
∵DF∥BC，
∴∠FDE＝∠DEB，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，
∴∠1＝∠3．
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答．
4．（2021秋•融水县期中）如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE＝AD．
【分析】根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质，可以证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形对
应边相等的性质可得BE＝AD．【解答】证明：∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴∠ACE＝∠BCD＝60°，BC＝AC，EC＝CD．
∴∠BCD+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
即∠BCE＝∠ACD．
在△BCE和△ACD中，
{
BC=AC
∠BCE=∠ACD
EC=CD
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴BE＝AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，等边三角形各边长相等、各内
角为60°的性质，本题中求证△BCE≌△ACD是解题的关键．
5．（2020秋•河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，
BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．
【分析】根据BM＝CN可得CM＝AN，易证△AMC≌△BNA，得∠BNA＝∠AMC，根据内角和为180°即可
求得∠BQM＝∠ACB＝60°，即可解题．
【解答】证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，
又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°
∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，
∴∠AQN＝∠ACB，
∵∠BQM＝∠AQN，
∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，考查了等边三角形各内角为 60°
的性质，本题中求证∠AQN＝∠ACB是解题的关键．
◆◆◆题型二 等边三角形的判定
6．已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．（1）求证：AD＝AE．
（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由边角关系求证△ADB≌△AEB即可；
（2）由题中条件可得∠BAC＝60°，进而可得△ABC为等边三角形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠E＝90°＝∠ADB，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
{∠ADB=∠E
在△ADB和△AEB中， ∠1=∠2 ，
AB=AB
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE；
（2）△ABC是等边三角形．理由：
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，
∴△ABC是等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够熟练掌握．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，
（1）说明△BCD与△CAE全等的理由；
（2）请判断△ADE的形状，并说明理由．
【分析】（1）首先可由等边三角形的性质得知BD和AC垂直，且D点是AC的中点，又∠BCD＝60°，
再由直角三角形性质不难推出△BDC和△ACE全等．
（2）由（1）的全等三角形得知∠EAC＝60°，便可得△ADE为等边三角形．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
又∵D为AC中点，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
又∵AE⊥EC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
又∵BD＝CE，
∴Rt△BDC≌Rt△CEA（HL）；
（2）∵Rt△BDC≌Rt△CEA，
∴∠EAC＝∠ACB＝60°，AE＝CD，
又∵D为边AC的中点，
∴AD＝CD，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形和直角三角形的性质，能够活学活用是解题的关键．
◆◆◆题型三 含30°角的直角三角形的性质的应用
8．（2022春•三水区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1.5，则
AD的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BDC＝30°，从而可得BD＝2BC＝3，然后利用三角形
外角的性质可得∠A＝∠ABD＝15°，再利用等角对等边即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，
∵BC＝1.5，
∴BD＝2BC＝3，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，
∴∠A＝∠ABD＝15°，
∴AD＝BD＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角
形的性质，以及等腰三角形的判定是解题的关键．
9．（2021秋•大兴区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于
D．交AC于E，DE＝2．求BD的长．
【分析】（1）连接AD，利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，再利用线段垂直平分线的性质可得
AD＝CD，∠DEC＝90°，从而可得AD＝CD＝2DE＝4，然后利用等腰三角形的性质可得∠C＝∠DAC＝
30°，从而可得∠BAD＝90°，最后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD＝2AD＝
8，即可解答；
【解答】解：（1）连接AD，∵AB＝AC．∠BAC＝120°，
1
∴∠B＝∠C= （180°﹣∠BAC）＝30°，
2
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，∠DEC＝90°，
∵DE＝2，
∴CD＝2DE＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∴BD＝2AD＝8，
∴BD的长为8；
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的
已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE＝
BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm．
（1）求∠DFG的度数．
（2）求BC的长度．
【分析】（1）证明△BEG是等边三角形，推出∠DGF＝60°，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）想办法求出BD，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）∵EB＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，
∴△EBG是等边三角形，
∴∠FGD＝60°，
∵AB＝AC．AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠DFG＝90°﹣60°＝30°，
（2）∵EB＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，
∴△EBG是等边三角形，
∴EG＝BE＝6（cm），
∵EF＝2cm，
∴FG＝4（cm）
在Rt△DFG中，∵FG＝4cm，∠DFG＝30°，
1
∴DG= GF＝2（cm），
2
∴BD＝BG﹣DG＝4（cm），
∴BC＝2BD＝8（cm）．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是
熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
◆◆◆题型四 等边三角形的性质与判定的综合应用
11．（2021秋•重庆期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边
△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．
求证：△PCQ为等边三角形．
【分析】由C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，
利用SAS易证得△ACD≌△BCE，继而可证得△ACP≌△BCQ，则可得CP＝CQ，又由∠BCD＝60°，即可证
得：△PCQ为等边三角形．
【解答】证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
{
AC=BC
∠ACD=∠BCE，
CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACP和△BCQ中，
{
∠CAP=∠CBQ
AC=BC ，
∠ACP=∠BCQ=60°
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，
∴△PCQ为等边三角形．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握
数形结合思想的应用．
◆◆◆题型五 与等边三角形相关的实际问题
12．（2021秋•密山市校级期末）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B
地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距（ ）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里
【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．
【解答】解：如图所示：连接AC．
∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠CBA＝60°．
又∵BC＝BA，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC＝AB＝80海里．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质可判断，证得三角线ABC为等边三角形是解题的
关键．
◆◆◆题型六 构造等边三角形证明线段之间的数量关系----（培优）
13．（2021秋•德城区校级期中）小明遇到这样一个问题：△ABC是等边三角形，点D在射线BC上，且
满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）（初步探究）
小明发现，当点D为BC的中点时，如图①，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，
经过推理论证，能够得到线段AD与DE的数量关系，请直接写出结论；
（2）（类比探究）
当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE之间
的数量关系，并证明你的结论；
（3）（拓展应用）
当点D在BC的延长线上时，满足CD＝BC，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写
出∠AED的大小．
【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等边三
角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等边三角形，再
证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（3）由BC＝CD，得到AC＝CD，得到CE垂直平分AD，证出△ADE是等边三角形．
【解答】解：（1）AD＝DE．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BFD＝60°．
∴△BDF是等边三角形，∠AFD＝180°﹣∠BFD＝120°．
∴DF＝BD．
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD．
∴DF＝CD．
∵EC是△ABC外角的平分线，
1
∴∠ACE= （180°﹣∠ACB）＝60°，
2
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°＝∠AFD．
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
又∵∠BDF＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝∠EDC＝30°．
在△AFD和△ECD中，
{∠AFD=∠ECD
FD=CD ，
∠ADF=∠EDC
∴△AFD≌△DCE（ASA）．
∴AD＝DE．
（2）AD＝DE．
证明如下：如图2，
过点D作DF∥AC，交AB于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°．
又∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BFD＝60°．
∴△BDF是等边三角形，∠AFD＝120°．
∴BF＝BD．
∴AB﹣BF＝BC﹣BD，
即AF＝CD．
∵CE是△ABC外角的平分线，
1
∴∠ACE= （180°﹣∠ACB）＝60°，
2
∴∠DCE＝120°＝∠AFD．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD．
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝60°+∠EDC．
∴∠BAD＝∠EDC．
在△AFD和△DCE中，
{∠AFD=∠DCE
AF=DC ，
∠FAD=∠CDE
∴△AFD≌△DCE（ASA）．
∴AD＝DE．
（3）如图3，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC．
∵BC＝CD，
∴AC＝CD．
∵CE平分∠ACD，∴CE垂直平分AD．
∴AE＝DE．
∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判
定与性质，中垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
◆◆◆题型七 与等边三角形相关动态探究题
14．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一
动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t
为何值时，△APQ为等边三角形？
【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角
形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等
量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点
问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根
据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
15．（2021春•渭滨区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出
发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次
到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的
时间；若不存在，请说明理由．【分析】（1）首先根据M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多
12cm，列出方程求解即可；
（2）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出
CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】解：（1）由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
{
∠C=∠B
∠AMC=∠ANB，
AC=AB
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意计算动点M和N的路程，理清线段
之间的数量关系．
1．（2022春•鄄城县期末）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故A不符合题意；
B．等腰三角形的顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故B符合题意；
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，故C不符合题意；
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些数
学概念是解题的关键．
2．（2021秋•临沂期末）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．90° B．120° C．180° D．无法确定
【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于 60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角
的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵图中是三个等边三角形，
∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，
∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°，
故选：C．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于 60°是解答此
题的关键．
3．（2021秋•卫辉市期末）如图，△ABC为等边三角形，延长CB到点D，使BD＝BC．延长BC到点
E，使CE＝BC．连接AD，AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA，结合已知条件可求得
∠BAD＝∠CAE＝30°，进而可求解∠DAE的度数．
【解答】解∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA．
∵BD＝BC，
∴AB＝BD．
1
∴∠BAD=∠D= ∠ABC=30°．
2
同理，∠CAE＝30°．
∴∠DAE＝120°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，求解∠BAD，∠CAE的度数是解题的关
键．4．（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135° B．125° C．120° D．110°
【分析】利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明△DAC≌△BAE，可得∠ADC＝∠ABE，最后利用三角形的外
角进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∠ADB＝DBA＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BOC＝∠BDO+∠DBA+∠ABE
＝∠BDO+∠DBA+∠ADC
＝∠ADB+∠DBA
＝60°+60°
＝120°，
∴∠BOC的度数是120°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转性全等
是解题的关键．
5．（2022秋•兴化市月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，点E在BC的延长线上，给出下列信
息：①点D是AC的中点；②CE＝CD；③DB＝DE．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，
其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是
、 ，结论是 （只要填写序号）．【分析】以①②为条件，③为结论，则由等边三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC＝60°，BD平分
∠ABC，则可求得∠CBD＝30°，再由三角形的外角性质得∠BCD＝∠E+∠CDE，由等腰三角形的性质得
∠E＝∠CDE，即可求得∠E＝30°，从而有∠E＝∠CBD，即可判断DB＝DE．
【解答】解：选择的条件是①、②，结论是③，命题正确，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
1
∴∠CBD= ∠ABC＝30°，
2
∵∠BCD是△CDE的外角，
∴∠BCD＝∠E+∠CDE，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
1
∴∠E＝∠CDE= ∠BCD＝30°，
2
∴∠E＝∠CBD，
∴DB＝DE．
故答案为：①、②，③．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，命题，解答的关键是熟记等边三角形的性质并灵活运用．
6．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，
AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；
②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；
【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，故选项①正确；
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；
在△ACN和△BCM中，
{
∠CAN=∠CBM
AC=BC ，
∠ACN=∠BCM=60°
∴△ACN≌△BCM，
∴AN＝BM，故选项④正确；
∴CM＝CN，
∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角
形全等．
7．（2022秋•南岗区校级月考）如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线
MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
【分析】先根据已知条件求得∠M＝∠N＝∠G＝60°，从而得到△MNG是等边三角形，然后在Rt△AMB
中根据∠ABM＝30°求出BM＝4，再利用AAS证明△AMB≌△CGA≌△BNC．从而求出△MNG的周长．
【解答】解：∵AB⊥MG，
∴∠BAG＝90°，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAG＝∠BAC﹣∠BAC＝30°，
∴∠G＝60°，
同理∠M＝∠N＝60°，
∴△MNG是等边三角形．
∴MG＝MN＝NG．
在Rt△ABM中，
∠M＝60°，
∴∠MBA＝30°，
∴MB＝2MA＝4，
∵AC⊥MG，
∴∠ACG＝90°，
在△ABM与△CAG中，
{
∠M=∠G=60°
∠BAG=∠ACG=90°，
AB=CA
∴△ABM≌△CAG（AAS）
∴GA＝MB＝4，
∴MG＝GA+AM＝6，
∴△MNG的周长为MG+MN+NG＝3MG＝18．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及三角形全等的判定，利用直角三角形中 30°角所对的边等于
斜边的一半是解题的关键．
8．（2021秋•西华县期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝
CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【分析】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定与性质，
利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
9．（2021秋•东莞市期末）如图，已知∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，B ，
1 2 3 1 2
B ，…在射线OM上，△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形，若OA ＝2，则△A B A 的
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
边长
为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【分析】由等边三角形的性质得到∠B A A ＝60°，A B ＝A A ，再由三角形外角的性质求出∠A B O＝
1 1 2 1 1 1 2 1 1
30°，则 A B ＝A A ＝OA ，同理得 A B ＝A A ＝OA ＝2OA ，A B ＝A A ＝22•OA ，A B ＝A A ＝
1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 3 3 4 1 4 4 4 5
23•OA ，由此得出规律A B ＝A A ＝2n﹣1•OA ＝2n，即可求解．
1 n n n n+1 1
【解答】解：∵△A B A 为等边三角形，
1 1 2
∴∠B
1
A
1
A
2
＝60°，A
1
B
1
＝A
1
A
2
，
∴∠A
1
B
1
O＝∠B
1
A
1
A
2
﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A
1
B
1
O＝∠MON，
∴A B ＝OA ，
1 1 1
∴A B ＝A A ＝OA ，
1 1 1 2 1
同理可得A B ＝A A ＝OA ＝2OA ，
2 2 2 3 2 1
∴A B ＝A A ＝OA ＝2OA ＝22•OA ，
3 3 3 4 3 2 1
A B ＝A A ＝OA ＝2OA ＝23•OA ，
4 4 4 5 4 3 1…
∴A B ＝A A ＝2n﹣1•OA ＝2n，
n n n n+1 1
∴△A
6
B
6
A
7
的边长：A
6
B
6
＝26＝64，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角
形的性质，找出规律是解题的关键．
10．（2022春•云岩区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，
AC于点D，E求证：AE＝2CE．
【分析】连接BE．根据三角形内角和定理，得∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°．根据线段垂直平分线的
1
性质，由DE是线段AB的垂直平分线，得AE＝BE．根据含有30度角的直角三角形的性质，得CE=
2
BE，进而解决此题．
【解答】证明：如图，连接BE．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°．
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴∠A＝∠ABE＝30°．
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．∵在Rt△CBE中，∠EBC＝30°，
1
∴CE= BE，
2
1
∴CE= AE，
2
即AE＝2CE．
【点评】本题主要考查垂直平分线的性质、含有30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性
质、含有30度角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
11．（2021秋•晋安区期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航
行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，得∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，那么∠ACB＝∠NAC，故AB
＝BC＝30 （海里）．
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．欲确
定什么时间小船与灯塔C的距离最短，求得AP．根据三角形内角和定理，得∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣
1
∠CBP＝30°．根据含30度角的直角三角形的性质，在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，得PB= BC=15（海
2
里），那么AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里），从而解决此题．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）．
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．
∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝30 （海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．
∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，
1
∴PB= BC=15（海里），
2
∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．
∴航行的时间为45÷15＝3（时）．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含 30°角的直角三角形的性质、垂线段最
短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含 30°角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决
本题的关键．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，BD 平分
∠ABC．
（1）求∠A、∠ABC的度数；
1
（2）连接CE，且CE= AB，求证：△BCE是等边三角形．
2【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AD＝BD，根据等边对等角可得
∠DBA＝∠A，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得 BE＝CE，根据等边三角形的判定方法即可得出
△BCE是等边三角形．
【解答】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，AE＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD+∠A＝90°
∴∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°；
∴∠ABC＝60°．
（2）证明：∵CE是斜边AB的中线，
∴BE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性
质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及三角形的内角和定理，熟
记各性质是解题的关键．
13．（2021•西城区校级开学）在等边△ABC中，过点A作一条射线AM，设∠BAM＝α°，在射线AM上取
一点D，使得AC＝AD且∠ACD＝∠ADC．AE是∠BAM的角平分线，交直线CD于E．
（1）如图1，当AM⊥BC时∠BCE＝ °，∠AED＝ °；
（2）当AM∥BC时，∠AED＝ ；
（3）如图2中，求出∠BCE的度数（可以用含α的等式表示）．【分析】（ 1 ）根据等边三角形和等腰三角形的性质可求出∠ACB＝60°，∠ACD＝75°即可求出
∠BCE，再根据角平分线以及三角形外角的性质可得∠AED；
（2）证明△AED是等边三角形即可得到结论；
（3 ）求出∠CAD＝α°﹣60°，根据三角形内角和以及等腰三角形的性质求出∠ACD，同（1 ）的思路即
可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵AM⊥BC
1
∴∠CAD＝∠BAD= ∠BAC＝30°，
2
∵AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝∠ACD＝75°，
∴∠BCE＝∠ACD﹣∠ACB＝75°﹣60°＝15°，
∵AE是∠BAM的角平分线，
1
∴∠EAD= ∠BAD＝15°，
2
又∠ADC＝∠AED+∠EAD，
∴∠AED＝∠ADC﹣∠EAD＝75°﹣15°＝60°，
故答案为：15，60；
（2）如图，
∵AM∥BC，
∴∠BAM+∠B＝180°，∵∠B＝∠BAC＝60°，
∴∠CAM＝60°，
∴AC平分∠BAM，
∴点C与点E重合
∵AD＝AC，∠CAD＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
当射线AM在AB的左测时，∠AED＝120°．
故答案为：60°或120°；
（3）∵∠BAD＝∠BAM＝α°，
∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝α°﹣60°，
∵AD＝AC，
1 α°
∴∠ACD＝∠ADC= （180°﹣∠CAD）＝120°− ，
2 2
α°
∴∠ACE＝180°﹣∠ACD＝60°+ ，
2
α°
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB= ．
2
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质和判定应用，灵活运用等边三角形的性质是解答此题的关
键．
14．（2022秋•江阴市校级月考）如图 1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除
外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的
度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 AB、BC上运动，直线 AQ、CP交点为M，则
∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
{
AB=CA
∵ ∠ABQ=∠CAP，
AP=BQ
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
15．在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，点F和E分别为射线CA和射线BC上的一个点，连结BF和
EF，且∠BFE＝∠FEB．
（1）如图1，点F在线段AC上，点E在线段BC上时，
①当∠ABF＝20°时，则∠CFE＝ 度；
②∠ABF和∠CFE存在怎样的数量关系？请说明理由．（2）如图2，当点F在CA延长线上，点E在BC延长线上时，∠ABF和∠CFE是否仍然存在（1）的数
量关系？请说明理由．
【分析】（1）①由题意得到∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝40°，根据三角形内角和得到∠FEB＝70°，再根据
三角形外角定理即可得解；
②利用等边三角形的性质、三角形的内角和及角的和差即可解决问题；
（2）结论和（1）②相同，证明方法类似．
【解答】解：（1）①在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∠ABF＝20°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝40°，
∵∠BFE＝∠FEB，
1
∴∠FEB= ×（180°﹣∠FBC）＝70°，
2
∵∠FEB＝∠CFE+∠C，
∴∠CFE＝∠FEB﹣∠C＝70°﹣60°＝10°，
故答案为：10；
②∠ABF＝2∠CFE，理由如下：
设∠ABF＝x°则∠CBF＝60°﹣x°，
∵∠FBE+∠BFE+∠BEF＝180°，∠BFE＝∠FEB，
180°−(60°−x°) x°
∴∠BFE= =60°+ ，
2 2
∵∠FBC+∠BFC+∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°﹣（60°﹣x°）＝60°+x°，
x° x°
∴∠CFE=∠BFC−∠BFE=(60°+x°)−(60°+ )= ，
2 2
∴∠ABF＝2∠CFE．
（2）存在∠ABF＝2∠CFE，理由如下：
设∠ABF＝x°则∠CBF＝60°+x°，
∵∠FBE+∠BFE+∠BEF＝180°，∠BFE＝∠FEB，
180°−(60°+x°) x°
∴∠BFE= =60°− ，
2 2
∵∠FBC+∠BFC+∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°﹣（60°+x°）＝60°﹣x°，
x° x°
∴∠CFE=∠BFE−∠BFC=(60°− )−(60°−x°)= ，
2 2
∴∠ABF＝2∠CFE．【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是
学会利用参数解决问题，学会构建等式解决问题，属于中考常考题型．
