文档内容
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
学习目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质．
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．
重点：含30°角的直角三角形的性质．
难点：运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．
自主学习
知识链接
1．等边三角形的性质有哪些？
2．如何判定一个三角形是等边三角形？
课堂探究
一、要点探究
探究点：含30°角的直角三角形的性质
如 图 ， △ ADC 是 △ ABC 的 轴 对 称 图 形 ， 因 此 AB=AD ，
∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形．再由AC⊥BD，
可得BC=CD= AB．
要点归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的
．
想一想：你还能用其他方法证明吗？
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°．
求证：BC = AB．要点归纳：
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
应用格式：∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
∴BC = AB．
判断下列说法是否正确：
（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
（2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半．
（3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半．
（4）含 30° 锐角的直角三角形的斜边是最短边的 2 倍.．
典例精析
例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上
的高，AD＝3 cm，则AB的长度是( )
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
例2：如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，
若PC＝3，则PD等于( )
A．3 B．2
C．1.5 D．1
方法总结：当题图中含 30° 角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找
或作辅助线构造出含 30° 角的直角三角形．
例3：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好
是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问
题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质．
例4：如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁
AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
例5：已知：等腰三角形的底角为15°，腰长为20．求腰上的高．
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题
的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角
形的性质解决问题．
二、课堂小结
当堂检测
1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这
棵树在折断前的高度为 ( )
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米第1题图 第2题图
2．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知
∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 ( )
A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元
3．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = ．
第3题图 第5题图
4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，若AB=10，则BC = ．
5．如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12 cm，则AB=______．
6．在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
A
D
B E C
7．在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：
BE=3EA．
A
E
B D C
拓展提升：
8．如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE
相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．等边三角形的三条边相等，三个角相等，且都是60°．
2．三条边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形．
课堂探究
二、要点探究
探究点：含30°角的直角三角形的性质
要点归纳 一半
想一想：
证法1：中线法
证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD.
∵ CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴ CD = AB = BD．∵∠BCA = 90°，且∠A = 30°，
∴∠B = 60°. ∴△CBD为等边三角形.
∴BC =BD = AB．
证法2：倍长法
证明：在△ABC中，∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，∴∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD，∴BC = BD．∴BC = AB．
证法3：截半法
证明：在BA上截取BE=BC，连接EC．
∵∠B= 60°，BE=BC，∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC= 60°，BE=EC=BC．
∵∠A= 30°，∴∠ECA=∠BEC－∠A=60°－30°=30°．
∴AE=EC=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC．
∴BC = AB．
判断下列说法是否正确 （1）× （2）× （3）× （4）√
典例精析
例1 D 解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝
90°-∠A=∠B＝30°．在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12
cm．故选D．
例2 C 解析：过点P作PE⊥OB于E．∵PC∥OA，∴∠PCE＝∠AOB＝∠BOP＋∠AOP
＝30°．又∵PC＝3，∴PE＝1.5．∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5．故选
C．例3 解：CD = DB．理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°．
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE．
又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B．
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°．
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB．
例4 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，
∴BC= AB，DE= AD．∴BC= AB= ×7.4=3.7(m)．
又AD= AB，∴DE= AD= ×3.7=1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m．
例5 解：过C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D．
∵∠B=∠ACB=15° (已知)，∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°.
∴CD= AC= ×20=10．
当堂检测
1．B 2．B 3．1 4．5 5．8 cm
6．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，
∴∠B=∠EAB=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，∴AC= AE= BE=2.5．
7．证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠BAD=∠DAC=60°．∴AB=2AD．
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE．∴AB=4AE，∴BE=3AE．
拓展提升：
8．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB ，∠C=∠BAC=60°．
∵CD=AE，∴△ADC≌△BEA．∴∠CAD=∠ABE．
∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°．∴∠BPQ=60°．
又∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．
