文档内容
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定
学习目标：1.了解直角三角形两个锐角的关系.
2.掌握直角三角形的判定.
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
重点：掌握直角三角形的性质和判定.
难点：运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
自主学习
一、知识链接
1.三角形的内角和为_______.
2.直角三角形有什么特点？
二、新知预习
1.如图，在△ABC中，已知∠C=90°.
(1)△ABC叫做___________，用符号表示为__________；
(2)∠A+∠B+∠C=_____°，∠A+∠B=_____°-∠C=_______°.
结论：直角三角形的两个锐角________.
图 图
2.如图，在△ABC中，已知∠A+∠B=90°，
则∠C=_______°-(∠A+∠B)=_______°.
所以△ABC是_________.
结论：有两个角_______的三角形是直角三角形.
三、自学自测
1.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=50°，则∠A=_______.
2.在△ABC中，若∠A=35°，∠C=55°，则△ABC是_________三角形.
四、我的疑惑
_______________________________________________________________________________
_____________________________________________课堂探究
一、要点探究
探究点1：直角三角形的两个锐角互余
问题引导
问题1：如下图所示是我们常用的一副三角板，两锐角的度数之和为多少度?
问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
总结归纳：
直角三角形的两个锐角___________.
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成
Rt△ABC ．
典例精析
例1：（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
A B
A B
o
o D
C D C
图 图例2：如图， ∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点F，∠A与
∠BFC又有什么关系？为什么？
【总结归纳】
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？
基本图形：
∠A=∠D ∠A=∠C
探究点2：有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？
总结归纳：有两个角互余的三角形是直角三角形.
应用格式：
在△ABC 中，
∵∠A +∠B =90°，
∴△ABC 是直角三角形．典例精析
例3：如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
例4：如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
二、课堂小结
性质：直角三 如图，若△ABC为直角三
C
直角三角 角形两锐角互 角形，且∠A为直角，则
形（表 余. ∠B+∠C=90°.
示：
判定：有两个 如图，若∠B+∠C=90°，
Rt△）
角互余的三角 则△ABC为直角三角形.
形为直角三角 A B
形.
当堂检测
1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2 的度数是
________.
2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=________.
3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 （ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=2∠B=3∠C
6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（ ）
A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD
7.如图，在RtABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
求证：△ACD是直角三角形．参考答案
自主学习
一、知识链接
1.180°
2.直角三角形有一个内角是90°.
二、新知预习
1.（1）直角三角形 Rt△ABC
（2）180 90 90 互余
2.180 90 直角三角形 互余
三、自学自测
1.40° 2.直角
四、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点1：直角三角形的两个锐角互余
问题引导
问题1 30°+60°=90° 45°+45°=90°
问题2 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°，即
∠A +∠B=90°.
总结归纳 互余
典例精析
例1 解：（1）方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.
（2）解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.
例2 解：在Rt△ACE中，∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE=90 °- ∠BED.
∵∠AEC= ∠BED，∴∠CAE= ∠DBE.
【变式题】 解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，∴∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠DFB=90°.
∴∠A=∠DFB.∵∠DFB+∠BFC=180°，∴∠A+∠BFC=180°.
探究点2：有两个角互余的三角形是直角三角形
问题 解：在△ABC中，因为∠A +∠B +∠C=180°， 又因为∠A +∠B=90°，所以∠C=90°.
于是△ABC是直角三角形.
典例精析
例3 解：在Rt△ABC中，∠2+ ∠A=90°.
∵ ∠1= ∠2，
∴∠1 + ∠A=90°，
即△ADE是直角三角形.例4 解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°.
∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.
当堂检测
1.90° 2.52° 3.直角三角形
4.B 5.D 6.C
证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形.
