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27.2.1 相似三角形的判定（4）学案
课题 27.2.1 相似三角形 单元 第 27 单 学科 数学 年级 九年级
元 下册
的判定（4）
1. 理解并掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。
2. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理。
学习
3. 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
目标
重点 1.“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。
2.判定两个直角三角形相似的方法。
难点 运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题。
教学过程
导入新课 【引入思考】
判定两三角形相似的方法
1.定义法: 的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角
形与原三角形 .
3. 对应成比例的两个三角形相似.
4. 对应成比例且 相等的两个三角形相似.
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°）的两个三角尺大小可能不同，但
它们看起来是相似的．
探究一：有一个角对应相等的两个三角形相似吗？
探究二：有两个个角对应相等的两个三角形相似吗？
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ ＝∠ ，∠A
＝∠A′.
B B
求证:△ABC∽△A′B′C′.
新知讲解 提炼概念
利用两组角来判定三角形相似的定理：
如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角
形相似。
简称“两角分别相等的两个三角形相似.”符号语言：
∵ , ∠B=∠B′
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
典例精讲
【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，
AC=8.E是AC 一点，AE =5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的
长.
【想一想】对于两个直角三角形，我们还可以用
“HL”判定它们全等.
那么，满足斜边和一条直角 边成比例的两个直角三角形相似
吗？
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中 ， ∠ C=90° ，
∠C′=90°， .
求证：Rt△ABC ∽ Rt A′B′C′.
△
课堂练习 巩固训练
1．如图，∠1＝∠2＝∠3，则以下结论不正确的是 ( )
A．△DEC∽△ABC B．△ADE∽△BEA
C．△ACE∽△BEA D．△ACE∽△BCA
2.在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,小聪采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的
直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90
度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m，这样就可以求出河宽
ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程）
3.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB长.4.如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
当 AB 的长为多少时， △ACB 与△ADC相似．
5.如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．求证： .
答案
引入思考
判定两三角形相似的方法
1.定义法: 对应角相等，对应边的比相等 的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角
形与原三角形 相似 .
3. 三边 对应成比例的两个三角形相似.
4. 两边 对应成比例且 夹角 相等的两个三角形相似.
探究二：有两个个角对应相等的两个三角形相似吗？
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ ＝∠ ，∠A＝∠A′.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
B B
证明：在△A′B′C′的边 A′B′ (或延长线)上截取 A′D=AB, 过点 D 作
DE∥B′C′.
∵ DE∥B′C′
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又 ∵ AD=A′B′ ， ∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
提炼概念
利用两组角来判定三角形相似的定理：
如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角
形相似。
简称“两角分别相等的两个三角形相似.”
符号语言：
∵ , ∠B=∠B′
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定。
典例精讲
例2
解：∵ ED⊥AB，
∴∠EDA=90°.
又 ∵ ∠ C=90° ， ∠A=∠A，
∴ △ AED ∽△ABC.
∴
∴AD= .
教师归纳知识点：判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
【想一想】对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.
那么，满足斜边和一条直角 边成比例的两个直角三角形相似
吗？
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中 ， ∠ C=90° ，
∠C′=90°， .
求证：Rt△ABC ∽ Rt A′B′C′.
△
分析：要证明Rt ABC∽Rt A′B′C′，可设法证 若设 =k，则只需证
△ △
k.
证明：设 =k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′
由勾股定理，得
BC= ， B′C′ =
∴ .
∴
∴ Rt ABC ∽ Rt A′B′C′.
教师讲解：判定直角三角形相似的方法（2）：
△ △
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角
边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似.
简称“斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.” （HL）
巩固训练
1.答案： C
2.解：∵ AB⊥AD，DE⊥AD．
∴ ∠BAC＝∠EDC＝Rt∠．
又∵ ∠ACB＝∠DCE，∴ △ABC∽△DEC(有两个角对应相等的两个三角彩相似)，
∴ ＝．
∵ AC＝45，CD＝15，DE＝20，
∴ ＝，
∴ AB＝＝60(m)．
答：河宽AB是60m．
3.解：∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
4.
解：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
∴
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，
有 ， 即 ，解得 AB=3；
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，
有 ， 即 ，解得 AB=3 ．
∴当AB为3或3 时，这两个直角三角形相似．
5.
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴ .
课堂小结 小
