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1.已知三棱柱ABC－ABC 的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA ＝1，E，F分
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别是棱C C，BC的中点．
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(1)求证：BF⊥平面AEF；
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(2)求点A 到直线BE的距离．
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2．(2024·北京模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC
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＝AA＝1，M为线段AC 上一点．
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(1)求证：BM⊥AB；
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(2)若直线AB 与平面BCM的夹角为，求点A 到平面BCM的距离．
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3．如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BE＝EC＝1.沿着AE将△BAE折起到△B′AE，
使得∠DAB′＝90°，如图2所示．(1)求异面直线AB′与CD夹角的余弦值；
(2)求异面直线AB′与CD之间的距离．
4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，
点E，F分别为AC，PC的中点．
(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；
(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC夹角的正弦值为？若存在，确定
点G的位置；若不存在，请说明理由．
5．(2023·盐城模拟)如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，E，F分别为BD和BB 的
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中点，P为棱C D 上的动点．
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(1)是否存在点P，使得PE⊥平面EFC？若存在，求出满足条件时C P的长度并证明；若不
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存在，请说明理由；(2)当C P为何值时，平面BCC B 与平面PEF夹角的正弦值最小．
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6．(2023·北京模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三
角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.
(1)求证：AB∥平面PCD；
(2)求二面角A－PB－C的平面角的余弦值；
(3)棱BC上是否存在点Q到平面APB的距离为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
