文档内容
第十二章 全等三角形
教学备注 12．2 全等三角形的判定
第4课时 “斜边、直角边”
学习目标：1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学
结论的过程．
2．掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题．
3．在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思
学生在课前
考并进行简单推理．
完成自主学
重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．
习部分
难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．
自主学习
1．复习引入
（见幻灯片
3-6） 一、知识链接
1．我们学过的判定三角形全等的方法有 ．
2．如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E．
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”），根据 （用简
写法）；
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”），根据 （用简
写法）；
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填
“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）．
二、新知预习
如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．
（1）△ABC与△DEF全等吗？
B E
C
A D F
（2）若∠B=∠E=90°，猜想Rt△ABC是否全等于Rt△DEF．动手画一画．
三、我的疑惑
_______________________________________________________教学备注
配套PPT讲授
2．探究点新
知讲授
课堂探究
（见幻灯片7-
21）
一、要点探究
探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现
在能判定△ABC≌△DEF吗？
作图探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°．再画一个Rt△A ′B ′C ′，使
∠C′=90 °，B′C′=BC，A ′B ′=AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，
它们能重合吗？
知识要点：
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)．
判一判：教学备注 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理
由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （ ）
（2）一条直角边和斜边对应相等； （ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（4）两直角边对应相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
典例精析
例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD．
D C
A B
【变式1】如图，∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？
把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由．
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
【变式2】如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别
为C、D，AD=BC．求证：AC=BD．
D C
P
A B
【变式3】如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系．
A
B D
C
例2：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC
＝AE．求证：BC＝BE．教学备注
配套PPT讲授
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角
形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个
隐含的已知条件．
3．课堂小结
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长 （ 见 幻 灯 片
度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 29）
二、课堂小结
直角三角形 4．当堂检测
简称 图示 符号语言
判定 （ 见 幻 灯 片
斜边和一条 “斜边、 在Rt△ABC和Rt△A 1 B 1 C 1 中， 22-28）
直角边对应 直角边”
相等的两个 或“HL”
∵¿{AB =A'B',
¿¿¿
直角三角形
全等 ∴Rt△ABC≌Rt△ABC (HL)．
1 1 1
注意：利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形
中．
当堂检测
1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H，已知
EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第2题图 第3题图
3．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全
等”或“不全等”），根据 （用简写法）．
4．如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE．
求证：△EBC≌△DCB．教学备注
配套PPT讲授
5．如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．求证：BF=DE．
【变式1】如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．求证：BD平分EF．
【变式2】如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．想想：BD平分EF吗?
能力拓展
6．如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ
＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动
到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？参考答案
自主学习
一、知识链接
1．SSS、SAS、ASA、AAS
2．（1）全等 ASA （2）全等 AAS （3）全等 SAS
二、新知预习 （1）不一定全等 （2）全等
三、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
问题 可以
作图探究 重合
判一判 （1）AAS （2）× （3）AAS （4）SAS （5）HL
典例精析
例1 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)．∴ BC﹦AD．
【变式1】
（1）AD=BC HL （2）BD=AC HL
（3）∠DAB=∠CBA AAS （4）∠DBA=∠CAB AAS
【变式2】 证明：连接AB．∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中， ∴Rt△ABD和Rt△BAC（HL），∴AC=BD．
【变式3】 解：连接BD．∵AB⊥AD，CD⊥BC，∴∠A=∠C=90°．
在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）．
∴∠ADB=∠CBD．∴AD∥BC．
例2 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF．
∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF．∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE．
例3 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)．
∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等)．∵∠DEF+∠F=90°，∴∠B+∠F=90°．
当堂检测
1．D 2．A 3．全等 HL
4．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠BEC=90 °．在Rt△EBC和Rt△DCB中， ∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL)．
5．证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90 °．
∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE．
【变式1】 证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90 °．
∵AE=CF，∴AF=CE．又∵AB=CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE．
在△GBF和△GDE中， ∴△GBF≌△GDE（AAS）．
∴EG=FG．∴BD平分EF．
【变式2】 解：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90 °．
∵AE=CF，∴AF=CE．又∵AB=CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE．
在△GBF和△GDE中， ∴△GBF≌△GDE（AAS）．
∴EG=FG．∴BD平分EF．
能力拓展
6．解：（1）由题意知∠C＝∠QAP＝90°．
当P运动到AP＝BC时，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵AB＝PQ，BC＝AP，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5 cm．
（2）当P运动到与C点重合时，AP＝AC．
在Rt△ABC与Rt△PQA中，∵AB＝PQ，AC＝PA，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)，∴AP＝AC＝10 cm．
综上，当AP＝5 cm或10 cm时，△ABC和△APQ全等．
