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一、单选题
1．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆
心，以大于 EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（ ）
A．120° B．30° C．150° D．60°
2．如图，Rt ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S =15，则CD的长为（ ）
ABD
△
△
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可
供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
4．如图， 的三边 的长分别为20，30，40，点O是 三条角平分线的交点，则
等于（ ）
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶55．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点
M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的
数量关系为（ ）
A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1
6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点
O，下列结论不一定成立的是( )
A．DE=DF B．AE=AF C．OD=OF D．OE=OF
7．如图， ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则 PBC的面积为（ ）cm2
△ △
A． B． C． D．
8．如图，AD是 的角平分线， ，垂足为F， ， 和 的面积分别为60和
35，则 的面积为A．25 B． C． D．
二、填空题
9．如图：作∠AOB的角平分线OP的依据是_____．（填全等三角形的一种判定方法）
10．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是__________．
11．如图, 为 的平分线. , . .则点 到射线 的距离为__________．
12．已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为________
13．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．
三、解答题
14．如图，在四边形 中， ，点E，F分别在 ， 上， ， ，求证：
．15．如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．求证：
（1）AD=CD；（2）∠ADB=∠CDB．
16．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， 于点 ．
（1）已知 ，求 的长．
（2）求证： ．
17．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．
18．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用基本作图可判断AH为∠CAB的平分线，即∠BAH=∠CAH，再根据平行线的性质得到∠C+∠BAC=180°，
∠AHC=∠BAH，计算出∠CAB的度数，后得到∠BAH的度数，即可得出答案．
【详解】
解：由基本作图可得AH为∠CAB的平分线，即∠BAH=∠CAH，
∵AB∥CD，，
∴∠C+∠BAC=180°，∠AHC=∠BAH，
∴∠BAC=180°-∠C=180°-120°=60°，
∴∠BAH= ∠BAC=30°，
∴∠AHC=30°，
∴∠AHD=180°-30°=150°．
故答案为：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的作法，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的
做法．
2．A
【解析】
【详解】
作DE⊥AB于E，
∵AB=10，S =15，
ABD
△
∴DE=3，
∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
故选A.
3．D【解析】
【分析】
由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分
线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址
有4个．
【详解】
解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4处，
∴可供选择的地址有4处．
故选：D
【点睛】
考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
4．C
【解析】
【分析】
作OF⊥AB于F，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
作OF⊥AB于F，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D，
∵三条角平分线交于点O，OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF，
∴S ：S ：S =AB：BC：CA=20：30：40＝2：3：4，
ABO BCO CAO
△ △ △
故选C．
【点睛】
考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．B
【解析】
试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，
则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，
∴2a+b=﹣1．故选B．
6．C
【解析】
【分析】
首先运用角平分线的性质得出DE=DF，再由HL证明Rt ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；根据SAS即可证明
△AEG≌△AFG，即可得到OE=OF． △
【详解】
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
¿，
∴Rt ADE≌Rt ADF（HL），
∴AE△=AF； △
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAO=∠FAO，在△AEO和△AFO中，
¿，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴OE=OF，
故A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，
故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质；熟练掌握全等三角形的判
定方法是解决问题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△EBP，又知△APC和△CPE等底同
高，可以得到两三角形面积相等，即可求出三角形PBC的面积．
【详解】
解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，
∴△ABP≌△EBP，
∴S =S ，AP=PE，
ABP BEP
△ △
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S =S ，
APC PCE
△ △
∴S =S +S = S = cm2，
PBC PBE PCE ABC
△ △ △ △
故选：B．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三
角形的面积之间的数量关系是解题的难点．8．D
【解析】
【分析】
过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt ADF和
Rt ADH全等，Rt DEF和Rt DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可. △
【△详解】 △ △
如图，过点D作 于H，
是 的角平分线， ，
，
在 和 中， ，
≌ ，
，
在 和 中，
≌ ，
，
和 的面积分别为60和35，
，
=12.5，
故选D．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9．SSS
【解析】
【分析】
根据作法可知OC=OD，PC=PD，OP=OP，故可得出 OPC≌△OPD，进而可得出结论．
【详解】 △
解：在 OPC与 OPD中，
△ △
∵ ，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为SSS．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，作图—基本作图，解题关键在于掌握判定定理.
10．28°
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得
DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后
求得∠ABE的度数．
【详解】
如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°−∠AED=62°，
∴Rt△BCE中,∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°
故填：28°.
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
11．3
【解析】
分析：过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得
CF=CM，进而可得答案．
详解：过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF．
∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3．
故答案为3．
点睛：本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
12．16
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到 ABC三边的距离相等，再根据三角形的面积公式列式计算
即可得解． △
【详解】解：设∠A和∠B的平分线相交于P，P到边AB的距离为2，
∴点P到AC、BC的距离为2，
∵△ABC的周长为16，
∴△ABC的面积= ×AB×2+ ×BC×2+ ×AC×2= ×(AB+BC+AC)×2= ×16×2=16．
故答案为16．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并判断出点P到三角形三边的
距离相等是解题的关键．
13．1
【解析】
【分析】
由Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，可得S = AC•BC=
△ABC
(AC+BC+AB)•r，继而可求得答案．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S = AC•BC= (AC+BC+AB)•r，
△ABC
∴3×4=(3+4+5)×r，
解得：r=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握S = AC•BC= (AC+BC+AB)•r．
△ABC
14．见解析
【解析】
【分析】
连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
【详解】
解：连接AC，∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等．
15．见详解.
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得出距离相等，结合其它条件先证△ABP≌△CBP，从而得到AB=BC.再利用“边角边”证得
△ABD≌△CBD，从而根据全等三角形的性质证得结果.
【详解】
解：∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，
∴△ABP≌△CBP
∴AB=BC，
∵点D是∠ABC的平分线上一点，
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD，
∴(1)AD=CD，
(2) ∠ADB=∠CDB．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质；得出两对三角形全等是正确解决本题的关键．16．（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质得出DE＝CD，进而解答即可；
（2）根据直角三角形的全等判定和性质得出AC＝AE，进而解答即可．
【详解】
（1）∵AD是∠ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=CD=4cm，
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠C=90°，
∴∠B=90°÷2=45°，
∴∠BDE=90°－45°=45°，
∴BE=DE，
在等腰直角三角形BDE中，
∴ ；
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE，
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质和全等三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．（1）见详解；（2）32
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定得出Rt BED≌Rt CFD，根据全等三角形的
性质得出DE=DF即可； △ △
（2）求出DE=DF=4，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt BED和Rt CFD中
△ △
∴Rt BED≌Rt CFD（HL），
∴DE△=DF， △
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE=DF，DE=4，
∴DF=4，
∵AC=16，
∴△ADC的面积是 ×AC×DF= ×16×4=32．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能根据全等三角形的判定定理推出
Rt△BED≌Rt△CFD是解此题的关键．
18．详见解析
【解析】
【分析】
（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt FAC≌Rt EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=
（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE. △ △
【详解】
（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中， ，
∴Rt FAC≌Rt EAC，
△ △∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角
形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
