文档内容
第十二章 全等三角形
12．2 全等三角形的判定
第4课时 “斜边、直角边”
学习目标：1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
重点：会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
难点：探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
自主学习
一、知识链接
1．我们学过的判定三角形全等的方法有 ．
2．如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E．
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”），根据 （用简 写
法）；
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”），根据 （用简 写
法）；
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）．
二、新知预习
如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．
（1）△ABC与△DEF全等吗？
B E
C
A D F
（2）若∠B=∠E=90°，猜想Rt△ABC是否全等于Rt△DEF．动手画一画．
三、我的疑惑
____________________________________课堂探究
一、要点探究
探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
作图探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°．再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90 °，
B′C′=BC，A ′B′=AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
知识要点：
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)．
判一判：
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边分别相等； （ ）
（2） 一个锐角和这个角的邻边分别相等； （ ）
（3）一个锐角和斜边分别相等； （ ）
（4）两直角边分别相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边分别相等． （ ）
典例精析
例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD．
D C
A B
【变式1】如图，∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些
条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由．
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
【变式2】如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AD=BC．
求证：AC=BD．
D C
P
A B
【变式3】如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系．
A
B D
C
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，
求证：BC＝BE．方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独
有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已
知条件．
例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF
相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
二、课堂小结
直角三角形
简称 图示 符号语言
判定
斜边和一条 “斜边、 在Rt△ABC和Rt△ABC 中，
1 1 1
直角边分别 直角边”
相等的两个 或“HL”
∵¿{AB =A'B',
¿¿¿
直角三角形
全等 ∴Rt△ABC≌Rt△ABC (HL)．
1 1 1
注意：利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形
中．
使用方法：只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等)
当堂检测
1．判定两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A．两条直角边分别相等 B．斜边和一锐角分别相等
C．斜边和一条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H，已知EH＝
EB＝3，AE＝4，则CH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
A
E
H
B D C
第2题图 第3题图
3．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或
“不全等”），根据是 （用简写法）．
4．如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE．
求证：△EBC≌△DCB．5．如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．求证：BF=DE．
【变式1】如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．求证：BD平分EF．
【变式2】如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．想想：BD平分EF吗?
能力拓展
6．如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝
AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上
什么位置时△ABC才能和△APQ全等？参考答案
自主学习
一、知识链接
1．SSS、SAS、ASA、AAS
2．（1）全等 ASA （2）全等 AAS （3）全等 SAS
二、新知预习 （1）不一定全等 （2）全等
三、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
问题 可以
作图探究 重合
判一判 （1）AAS （2）AAS （3）AAS （4）SAS （5）HL
典例精析
例1 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)．∴ BC﹦AD．
【变式1】
（1）AD=BC HL （2）BD=AC HL
（3）∠DAB=∠CBA AAS （4）∠DBA=∠CAB AAS
【变式2】 证明：连接AB．∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中， ∴Rt△ABD和Rt△BAC（HL），∴AC=BD．
【变式3】 解：连接BD．∵AB⊥AD，CD⊥BC，∴∠A=∠C=90°．
在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）．
∴∠ADB=∠CBD．∴AD∥BC．
例2 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴∠D＝∠F＝90°.
在 Rt△ADC和 Rt△AFE中
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF．
在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF．
∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE．例3 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)．
∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等)．∵∠DEF+∠F=90°，∴∠B+∠F=90°．
当堂检测
1．D 2．A 3．全等 HL
4．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠BEC=90°．
在Rt△EBC和Rt△DCB中， ∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL)．
5．证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90 °．
∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE．
【变式1】 证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°．
∵AE=CF，∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE．
在△GBF和△GDE中， ∴△GBF≌△GDE（AAS）．
∴FG=EG．∴BD平分EF．
【变式2】 解：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90 °．
∵AE=CF，∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE．
在△GBF和△GDE中， ∴△GBF≌△GDE（AAS）．
∴FG=EG．∴BD平分EF．
能力拓展
6．解：（1）当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°．
在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵AB＝PQ，BC＝AP，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC
＝5 cm．
（2）当P运动到与C点重合时，AP＝AC．
在Rt△ABC与Rt△PQA中， ∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)，∴AP＝AC＝10 cm．
综上，当AP＝5 cm或10 cm时，△ABC和△APQ全等．
