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第二十八章 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
学习目标：
1．认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念．
2．能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．
重点：1．认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念．
2．能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．
难点：能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．
自主学习
一、知识链接
1. 在Rt△ABC中，b= ，∠C=90°，∠A=30°，求c．
2. 在Rt△ABC中，b=1，∠C=90°，∠A=45°，求c．
合作探究
一、要点探究
探究点1：余弦
合作探究 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F =
90°，则 成立吗？为什么？【归纳总结】 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是
一个常数，与直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cos α = sin (90°－α)，
从而有sin α = cos (90°－α)．
练一练 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cos A＝ ．
2．已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5， α为其最小的锐角，求α的正弦值和
余弦值．
探究点2：正切
合作探究 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F =
90°，则 成立吗？为什么？
【归纳总结】 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻
边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如下图，在直角三角形ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，
记作 tan A， 即锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数．
想一想 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
练一练 1． 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，连接 OP，求则OP 与
x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值=______．
2．如图，△ABC中一边 BC 与以AC为直径的⊙O相切与C，若BC=4，AB=5，则tanA=
．
【典例精析】
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sin A，cos A，tan A的值．练一练 1．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13．
sin A=______，cos A=______，tan A=____，
sin B=______，cos B=______，tan B=____．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3．
sin A=_______，cos A=_______，tan A=_____，
sin B=_______，cos B=_______，tan B=_____．
【方法总结】 在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出
所有锐角的正弦、余弦和正切值．
例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sin A = ，求 cos A、tan B 的值．
【方法总结】 在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求
出其他的所有锐角三角函数值．
练一练 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tan A= ， 求sin A，cos A的值．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，且sin A= ，则下列结论正确的是 （ ）
A．cos A= B．tan A= C．cos A= D．tan A=
二、课堂小结
当堂检测
1． 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A=35°，则直角边 BC 的长是 (
)
A.
B.C.
D．
2．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( )
A． tan70°＜cos70°＜sin70° B． cos70°＜tan70°＜sin70°
C． sin70°＜cos70°＜tan70° D． cos70°＜sin70°＜tan70°
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cos A = ，求 sin A、tan A 的值．
4.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D．若 AD = 6，CD = 8．
求 tan B 的值．
5． 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6． 求cos B 及tan B 的值．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：c=2． 2．解：c= ．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：余弦
合作探究
解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E，从而 sin B = sin E，因此
练一练 1．
3. 解： 由题意设斜边为7x，则该直角边为5x，另一直角边为 ＜5x，
sin α= cos α=
∴
探究点2：正切
合作探究解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴ Rt△ABC∽ Rt△DEF．∴ ∴
想一想 解：如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数．
练一练 1． 2．
典例精析
1 解：由勾股定理得
例
∴
1． 2．
练一练
2 解：在Rt△ABC中，∵ ∴
例
又∵ ∴
1．解：∵ ∴
练一练
∴
∴
2．D
当堂检测
1．A 2．D
在Rt△ABC中，由
3．解： 设 AC = 15k，则 AB = 17k．
∴
∴4．解：∵CD⊥AB，∴ ∠ACB＝ ∠ADC =90°，∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°，
∴∠B = ∠ACD，∴ tan∠B = tan∠ACD =
5．解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D．∵ AB = AC， BC=6，∴ BD = CD = 3，
∴
∴ tan B =
在 Rt△ABD 中，
