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第二十八章 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
第1课时 正弦函数
学习目标：
1．理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值
都固定 (即正弦值不变)．
2．能根据正弦概念正确进行计算．
重点：理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的
比值都固定 (即正弦值不变)．
难点：能根据正弦概念正确进行计算．
自主学习
一、知识链接
1．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=30°，求c．
2．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=45°，求c．
合作探究
一、要点探究
探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值
合作探究 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上
建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌．先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高
度为 35 m，需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB．【方法归纳】 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小
如何，这个角的对边与斜边的比都等于 ．
思考1：Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
【方法归纳】 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小
如何，这个角的对边与斜边的比都等于 ．
思考2： 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么
与 有什么关系？你能解释一下吗？
【方法归纳】 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大
小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作 sin A ，即【典例精析】
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sin A 和sin B 的值．
练一练 1．如图，判断对错：
sin A = （ ）
sin A = （ ）
sin B = （ ）
sin A = 0．6 （ ）
sin B = 0．8 （ ）
2．在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则sin A的值为 （ ）
． B． C． D．
A
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹
锐角 α 的正弦值．【方法总结】 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作
垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解．
练一练 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于 ( )
A．
B．
C．
D．
探究点2：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的
面积．
提示：已知 sin A 及∠A的对边 BC的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定
理，求出AC的长度，进而求出 sin B及 Rt△ABC的面积．练一练 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= ，BC=6，则AB的长为 ( )
A. 4 B．6 C．8 D．10
2．在△ABC中，∠C=90°，如果 sin A = ，AB=6， 那么BC= ．
例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24 cm，sin A= ，求这个三角形的周长．
【方法总结】 已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股
定理解决问题．
二、课堂小结
当堂检测
1．在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将(
)
A． 扩大为原来的2倍 B．不变 C． 缩小为原来的 D． 无法确定
2．如图， 在△ABC中，∠B=90°，则sin A的值为 ( )A．
．
B
．
C
．
D
3．如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC的值为 ．
4．如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上，BD是 ⊙A 的一条弦，则
sin∠OBD =______．
5．如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sin A = ，求△ABC 的面积．6． 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB．
(1) sin B 可以由哪两条线段之比表示?
(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sin B 的值．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：c=2． 2．解：c= ．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值
合作探究
解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 可得 AB =
2BC =2×35=70 (m)．也就是说，需要准备 70 m 长的水管．思考1 解：因为∠A=45°，∠C=90°， 所以AC=BC．由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，所
以 ．因此
思考2 解：因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'．所以
，即 ．
典例精析
例 1 解 ： 如 图 ① ， 在 Rt△ ABC 中 ， 由 勾 股 定 理 得
因此 如图
② ， 在 Rt△ ABC 中 ， 由 勾 股 定 理 得 因 此
练一练 1． √ × × √ √ 2． C
例2 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA ，则PA⊥OA．在Rt△APO中，由勾股定理得
因此
练一练 D
例 3 解 ： ∵ ∠ C=90° ， ∴ ． ∴ ∴ AB = 3BC =3×3=9 ． ∴
∴ ∴
练一练 1． D 2． 2
例 4 解：由 sin A= ，设 BC=7x，则 AB=25x．在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
，即 24x = 24，解得 x = 1 cm．故 BC =
7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm．所以 △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56(cm)．
当堂检测
1. B 2．A 3． 4．
．解：作 BD⊥AC 于点 D，∵ sin A = ，∴ ．∴
5
又 ∵ AB=AC ， BD⊥ AC ， ∴ AC=2AD=6 ．
∴S△ABC=AC×BD÷2=12．
6．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°．∴∠ACD = ∠B=90°-∠A．∴
2 ） 在 Rt△ ACD 中 ， 由 (1) 知 ，
（
