文档内容
13.3.4 含30°角的直角三角形的性质 教学设计
一、教学目标：
1．探索含30°角的直角三角形的性质．
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．
二、教学重、难点：
重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.
难点：含30°角的直角三角形的性质定理的应用.
三、教学过程：
知识精讲
探究：用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说
说你的理由.
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明
你的结论吗？
ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD，∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等
△
1
边三角形.再由AC⊥BD，可得BC=CD=2AB.
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.
△
1
求证：BC=2AB.证法①倍长法
证明：延长BC到D，使BD=AB，连接AD.
∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴ ∠B=60°
∴ △ABD是等边三角形
1
∵ AC⊥BD，∴ BC=2BD
1
∴ BC=2AB
证法②截半法
证明：在BA上截取BD=BC，连接DC.
∵ ∠B=90°-∠A=60°，BD=BC
∴ △BCD是等边三角形
∴ ∠BDC=60°，BD=DC=BC∴ ∠DCA=∠BDC-∠A=30°=∠A
∴ AD=DC=BD=BC
∴ AB=AD+BD=2BC
1
∴ BC=2AB
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何符号语言：
∵ 在Rt ABC中，∠C=90°，∠C=30°
1
△
∴ BC=2AB
典例解析
例1.如图是屋架设计图的一部分，点 D是斜梁AB的中点，立柱 BC、DE垂直于横梁 AC，
AB=7.4m，∠A=30°. 立柱BC、DE要多长.
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
1 1
∴ BC=2AB，DE=2AD
1
∴ BC=2×7.4=3.7(m)
1
又∵ AD=2AB
1 1
∴ DE=2AD=2×3.7=1.85(m)答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
【针对练习】如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘
的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP
＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在Rt ACE中，∠ACE＝30°，
1 1
∴AE△＝ AC＝ ×62＝31（cm），
2 2
同理可得，BF＝31cm，
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，
∴31+12+31＝74（cm），
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm．
例2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC
于点F．求证:BF=2CF.
证明:连接AF.∵EF是AC的垂直平分线
∴AF=CF
∴∠C=∠FAC
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=∠FAC=30°
∴∠BAF=120°-30°=90°
∴BF=2AF
∴BF=2CF
【针对练习】如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求
AC的长．
解：过B作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，如图，
∵BM⊥AD，CA⊥AD，
∴∠DAC=∠DMB=90°，
∵BD=DC，∠BDM=∠CDA，
∴△BDM≌△CDA，∴AC=BM，
∵在Rt ABM中，∠1=30°，AB=4，
1
∴BM=△AB=2，
2
∴AC=2，
例3.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E
作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF?
解:(1) ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC=8，∠B=∠C=60°
△
∵AD=2 ∴BD=AB-AD=6
在Rt BDE中，∠BDE=90°-∠B=30°
1
∴BE△= BD=3
2
∴CE=BC-BE=5
在Rt CFE中，∠CEF=90°-∠C=30°
1 5
∴CF△= CE=
2 2
11
∴AF=AC-FC=
2
解:(2)在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF(AAS)
∴BE=CF1
∵∠CEF=30°∴BE=CF= EC
2
1 8 16
∴BE= BC= ∴BD=2BE=
3 3 3
16 8
∴AD=AB-BD=8- =
3 3
8
∴当AD= 时，DE=EF
3
【针对练习】如图，Rt ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E．
点D为AB上一点，且AD=AC，CD、BE交于点M.(1)求∠DMB的度数; (2)若CH⊥BE于点
△
H，求证:AB=4MH.
(1)解:∵∠ACB=90°，∠A=30°
∴∠ABC=60°
∴BE是∠ABC的平分线
∴∠ABE=∠CBE=30°
∵∠A=30°，AC=AD
∴∠ACD=∠ADC=75°
∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°
(2)证明:∵∠ACB=90°，∠A=30°
∴AB=2BC
∵CH⊥BE，∠CBE=30°
∴BC=2CH
∴AB=4CH
∵∠CMH=∠DMB=45°
∴∠CMH=∠MCH=45°∴CH=MH
∴AB=4MH
例4.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，
AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(1)求证：BE＝AD；
(2)求∠BMN的度数；
(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝ cm．
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：由（1）得：△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠BAD+∠CAD＝60°，
∴∠BAD+∠ABE＝60°．
∴∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝60°；
（3）解：∵△ABE≌△CAD，
∴BE＝AD，
∵BN⊥AD，
∴∠BNM＝90°，
∴∠MBN＝90°﹣∠BMN＝30°，
∵MN＝3cm，ME＝1cm，
∴BM＝2MN＝6（cm），∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.如图(1)，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则 AP长不可能
是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
2.如图(2)，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中 AB，CD分别表示一楼，二楼
地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.3m B.4m C.5m D.6m
3.如图，在Rt ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，垂足为D,交BC于E，AE平分∠BAC，
那么下列关系式中不成立的是( )
△
A.∠B=∠CAE B.∠DEA=∠CEA C.AB=2AC D.AC=2EC
4.已知一个三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边为5cm,则最长边为_____cm.
5.如图，AB=AC，∠BAC=120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，若 AD=3cm，则
AB=____cm，BE=_____cm.6.如图(3)，∠BAC=30°，AM 是∠BAC 的平分线，过点 M 作 ME∥BA 交 AC 于点 E，作
MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=_____cm.
7.将一副三角尺按如图(4)所示方式叠放在一起,若AB=16cm，则阴影部分的面积是_____cm2.
8.Rt ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
△
9.如图，在Rt ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.
△
10.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB.DE 恰好是
∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
【参考答案】1. D
2. B
3. D
4. 10
5. 6，4.5
6. 5
7. 32
8.解：如图，∵ ∠C=90°
∴ ∠A+∠B=90°
又∵ ∠B=2∠A
∴ 3∠A=90°
∴ ∠A=30°，∠B=60°
1
∴ BC= AB或AB=2BC
2
9.解:在Rt ABC中，∠C=90°， ∠BAC=60°
∴∠B=30△°
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM=∠BAM=30°
∴∠B=∠BAM
∴AM=BM=15cm
在Rt ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°
1
∴CM△= AM=7.5cm
2
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)
10.解：
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
1
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
2
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
在Rt ACD中，∵∠CAD＝30°，
1 1 1
∴CD△＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
2 2 2
四、教学反思：
