文档内容
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
学习目标：
1. 了解并掌握解直角三角形的概念.
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
3. 学会解直角三角形.
重点：理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
难点：学会解直角三角形.
自主学习
一、知识链接
如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°.
(1) 三边之间的关系：a2+b2=_____；
(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3) 边角之间的关系：sin A=_____，cos A=_____，tan A=_____.
合作探究
一、要点探究
探究点1：已知两边解直角三角形
合作探究 在图中的Rt△ABC中，
(1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
(2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
【归纳总结】 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
【典例精析】
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形.
练一练 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形.
探究点2：已知一边及一锐角解直角三角形
【典例精析】
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小
数点后一位).
练一练 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，c = 14.根据条件解直角三角形.
2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．探究点3：已知一锐角三角函数值解直角三角形
【典例精析】
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cos A = ，BC = 5， 试求AB的长.
练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A = ，BC=6，则AB的长为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sin B＝ ，则菱形的周长是 ( )
A．10
B．20
C．40
D．28
【典例精析】
例4 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos B= ，求BC的长.二、课堂小结
当堂检测
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式正确的
是 ( )
A. b=a·tan A B. b=c·sin A C. b=c·cos A D. a=c·cos A
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是 (
)
A.
4
B.
C.
D.
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC = (参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cos B= ，则 AC 的长为 .
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三
角形.
6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC的长.参考答案
自主学习
一、知识链接
（1）c2 90°
课堂探究
一、要点探究
探究点1：已知两边解直角三角形
合作探究
1）
解：（
2）
（
【典例精析】
例1 解
解：根据勾股定理
练一练
探究点2：已知一边及一锐角解直角三角形
【典例精析】2 解：
例
1.解：∵ ∴ ∵
练一练
∴
2. 解：如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－
∠ACD=45°，∴BD=CD=2.∴
【典例精析】
3 解： 设
例
AB的长为
∴
练一练 1.D 2.C
【典例精析】
例 4 解 ： ∵ cos B = ， ∴ ∠ B=45°. 当 △ ABC 为 钝 角 三 角 形 时 ， 如 图 ① ，∵ AC=13 ， ∴ 由 勾 股 定 理 得
CD=5.∴BC=BD - CD=12-5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.∴
BC的长为7或17.
当堂检测
1. C 2. D 3. 24 4. 3.75
5. 解 ： ∵ ∵ AD 平 分 ∠ BAC ，
6.
解：过点 A作 AD⊥BC于点D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sin C · AC=
°= .在△ABD中，∠B=30°，∴BD=
2sin45
BC=CD+BD=
∴
