文档文本内容
专题 1.9 等边三角形（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:19)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:3)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:20)(cid:19)............................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:29)(cid:44)(cid:45)(cid:42)(cid:20)(cid:19)....................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................8
知识点1 等边三角形及其性质
+
A
1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 科 A
全
★
号
众
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角注都相公等，并且每一个角都等于60°．
关
，
源
资
拓展：（1）等边三角形是辅轴对称图形，它有三条对称轴；
教
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
知识点2 等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【题型1 根据等边三角形的性质求长度】
(cid:15)(cid:49)1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:38) (cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:45) (cid:63) (cid:63) (cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)
(cid:69)(cid:70)(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)(cid:73) =2(cid:63) =8(cid:63)(cid:74) (cid:29)(cid:33)(cid:37)(cid:50)△ 𝐴 (cid:60)𝐵𝐶 △𝐶𝐷𝐸 𝐴 𝐷 𝐸
𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐸 𝐶𝐸A(cid:75)4 B(cid:75)5 C(cid:75)6 D(cid:75)7
(cid:15)(cid:76)(cid:77)1-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:78)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:79)(cid:80)(cid:33)(cid:81)·(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:25)(cid:33)(cid:86)2(cid:63)(cid:45) (cid:87) (cid:88)(cid:89)(cid:65)(cid:25) (cid:87)
(cid:70)(cid:50)(cid:90)(cid:38) (cid:29)(cid:91)(cid:45)(cid:92)(cid:93)(cid:60)(cid:63)(cid:94) (cid:95) (cid:96)(cid:40)(cid:63)(cid:45) (cid:97)(cid:65)(cid:45)△(cid:98)𝐴𝐵(cid:63)𝐶(cid:74)(cid:26)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:26)(cid:27)𝐷(cid:28)(cid:29)𝐸(cid:102)(cid:33)(cid:103)(cid:86)𝐴(cid:50)𝐵 (cid:60)𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝐶 △𝐵𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐵 𝐹
+
A
A
科
全
★
A(cid:75)8 B(cid:75)6 C(cid:75)4
众
号 D(cid:75)2
公
注
关
(cid:15)(cid:76)(cid:77)1-2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:104)(cid:105)源(cid:106)(cid:107)， ·(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65) (cid:43)(cid:63)B(cid:86) (cid:25)(cid:70)(cid:67)(cid:45)(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)
资
辅
教
(cid:108)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63) = =7(cid:63)(cid:74) (cid:29)(cid:33)(cid:34)(cid:86) (cid:75)△𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐶
∠𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵,𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:76)(cid:77)1-3(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:29)(cid:25) (cid:87) (cid:113)(cid:114)(cid:67)(cid:45)D(cid:63)E(cid:63)(cid:71)(cid:72)
(cid:63) (cid:115)(cid:116)(cid:45)F(cid:63)(cid:117) =60°(cid:63)(cid:73) =1(cid:63) =2(cid:63)(cid:74) (cid:33)(cid:34)(cid:86)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:75) 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐶𝐷 𝐵𝐸 ∠𝐸𝐹𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐵𝐶
【题型2 根据等边三角形的性质求角度】
(cid:15)(cid:49)2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:78)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:112)·(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:121) (cid:103) (cid:64)(cid:37)(cid:122)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:123) =62°(cid:63)
(cid:74) (cid:29)(cid:34)(cid:124)(cid:37)(cid:50) (cid:60) △𝐴𝐵𝐶 △𝐶𝐷𝐸 ∠𝐸𝐵𝐷
∠𝐴𝐸𝐵A(cid:75)124° B(cid:75)122° C(cid:75)120° D(cid:75)118°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)2-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:118)(cid:125)·(cid:59)(cid:126)(cid:60)(cid:127)(cid:128)(cid:10)(cid:61)(cid:62)(cid:63)D(cid:87)E(cid:88)(cid:89)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:129)(cid:25) (cid:87) (cid:70)(cid:29)(cid:45)(cid:63)
(cid:71)(cid:72) (cid:87) (cid:63) (cid:38) (cid:115)(cid:116)(cid:45)O(cid:63) = (cid:63)(cid:74) (cid:29)(cid:34)(cid:124)(cid:37)(cid:50) (cid:60) 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐸 ∠𝐵𝑂𝐷
A(cid:75)50° B(cid:75)60° C(cid:75)65° D(cid:75)70°
+
A
A
科
(cid:15)(cid:76)(cid:77)2-2(cid:19)(cid:50)2025·(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)·(cid:67)(cid:134)(cid:60)(cid:127)(cid:128)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:24)(cid:25)
★
全(cid:29)(cid:91)(cid:45) (cid:135)(cid:136)(cid:97)(cid:65) (cid:70)(cid:63) (cid:38) (cid:115)(cid:116)(cid:45)
号
众
公
注
(cid:75)(cid:127)(cid:128) =140°(cid:63)(cid:74) =(cid:50) (cid:60) 关𝐴𝐵∥𝐶𝐷 △𝐸𝐹𝐺 𝐸 𝐴𝐵 𝐹𝐺 𝐶𝐷
，
源
资
辅
𝐻 ∠1 教∠2
A(cid:75)110° B(cid:75)120° C(cid:75)130° D(cid:75)100°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)2-3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:92)(cid:137)(cid:138)(cid:125)·(cid:59)(cid:126)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:122)(cid:139)(cid:28) (cid:29)(cid:140)(cid:141)(cid:63)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:63)(cid:71)(cid:72)
(cid:63)(cid:74) (cid:29)(cid:143)(cid:144)(cid:86)(cid:50) (cid:60) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷𝐸
𝐴𝐸 ∠𝐴𝐸𝐶
A(cid:75)60° B(cid:75)52.5° C(cid:75)45° D(cid:75)37.5°【题型3 根据等边三角形的性质证明】
(cid:15)(cid:49)3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:45) (cid:86) (cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:67)(cid:44)(cid:45)(cid:63)(cid:71)(cid:72)
(cid:63)(cid:94)(cid:69)(cid:83) (cid:149)(cid:45) (cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)120°(cid:155)(cid:156) (cid:63)(cid:68)(cid:69)△𝐴(cid:38)𝐵𝐶 (cid:115)(cid:116)(cid:45) (cid:63)(cid:157)(cid:45) (cid:142)𝐷 𝐵𝐶 (cid:115) (cid:29)(cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:116)(cid:45) (cid:75)
𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴 𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐹 𝐸 𝐸𝐺∥𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐺
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:158)
(2)(cid:32)(cid:35)(cid:10)∠𝐷=∠𝐵𝐴(cid:75)𝐸
(cid:15)(cid:76)(cid:77)3-1𝐵(cid:19)𝐷(cid:50)223𝐴-2𝐹4(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:159)(cid:160)·(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:60) (cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:37) (cid:29)(cid:43)(cid:69)(cid:63)(cid:94) (cid:95) (cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:117)(cid:45) (cid:97)
(cid:65)(cid:45) (cid:98)(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:75)(cid:73) =60°(cid:63) =8(cid:63)(cid:32) (cid:29)(cid:33)𝐶(cid:75)𝐷 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴
𝐸 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐸
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:76)(cid:77)3-2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:165)教(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:64)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:127)(cid:128)(cid:10)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:45) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:169)(cid:67)(cid:45)(cid:63)(cid:123) = (cid:63)
(cid:140)(cid:67)(cid:45) (cid:170)(cid:171) = (cid:63) (cid:106)(cid:88) (cid:75) 𝐸 𝐴𝐵𝐶 𝐸𝐴 𝐸𝐵 △𝐴𝐵𝐶
𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐸 ∠𝐷𝐵𝐶
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:158)
(2)(cid:32) △(cid:29)𝐷(cid:34)𝐵𝐸(cid:124)≌(cid:75)△𝐶𝐵𝐸
(cid:15)(cid:76)(cid:77)∠𝐵3𝐷-3𝐸(cid:19)(cid:50)24-25(cid:165)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:130)(cid:131)(cid:131)(cid:172)·(cid:59)(cid:126)(cid:60)(cid:15)(cid:42)(cid:20)(cid:173)(cid:174)(cid:19)
(cid:61)(cid:62)1(cid:63)(cid:127)(cid:128) (cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:45) (cid:86)(cid:25) (cid:70)(cid:67)(cid:44)(cid:45)(cid:50)(cid:45) (cid:90)(cid:38)(cid:45) (cid:63)(cid:45) (cid:92)(cid:93)(cid:60)(cid:75)(cid:175) (cid:86)(cid:25)(cid:176)(cid:177)(cid:141)(cid:142)
(cid:24)(cid:25) (cid:63)△(cid:71)𝐴(cid:72)𝐵𝐶 (cid:75) 𝐷 𝐵𝐶 𝐷 𝐵 𝐶 𝐴𝐷
△𝐴𝐷𝐸 𝐶𝐸(cid:50)1(cid:60)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:158)
(cid:50)2(cid:60)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:35)△(cid:36)𝐴𝐵𝐷≌△(cid:38)𝐴𝐶𝐸(cid:29)(cid:181)(cid:182)(cid:3)(cid:183)(cid:158) (cid:69)(cid:83) (cid:87) (cid:87) (cid:184)(cid:185)(cid:29)(cid:124)(cid:186)(cid:3)(cid:183)(cid:75)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:174)(cid:189)(cid:19) ①𝐴𝐵 𝐶𝐸 ② 𝐸𝐶 𝐴𝐶 𝐶𝐷
(cid:50)3(cid:60)(cid:61)(cid:62)2(cid:63)(cid:73)(cid:45) (cid:65)(cid:25) (cid:29)(cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:63)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:90)(cid:76)(cid:63)(cid:194)(cid:195)(cid:44)(cid:45) (cid:29)(cid:196)(cid:44)(cid:181)(cid:182)(cid:90)(cid:66)(cid:63)(cid:178)(cid:179)(cid:50)2(cid:60)(cid:29)(cid:129)(cid:99)(cid:47)
(cid:48)(cid:37)(cid:197)(cid:198)(cid:168)(cid:199)(cid:200)(cid:73)(cid:168)𝐷(cid:199)(cid:63)𝐵(cid:201)𝐶(cid:36)(cid:202)(cid:203)(cid:158)(cid:73)(cid:90)(cid:168)(cid:199)(cid:63)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:122)(cid:207)(cid:29)(cid:47)(cid:48)(cid:63)𝐷(cid:180)(cid:201)(cid:36)(cid:202)(cid:203)(cid:75)
【题型4 证明是等边三角形】
(cid:15)(cid:49)4(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:118)(cid:125)(cid:208)(cid:112)·(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:60)(cid:65)(cid:24)(cid:209) (cid:43)(cid:63) = (cid:63)(cid:45) (cid:37) (cid:70)(cid:67)(cid:44)(cid:45)(cid:63)(cid:45) (cid:65)
(cid:29)(cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:63)(cid:123) = (cid:63) (cid:106)(cid:88) (cid:115) (cid:116)(cid:45) (cid:63)(cid:71)△(cid:72)𝐴𝐵𝐶(cid:75) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷 𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐷
+
A
𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐹 ∠𝐶𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐹 𝐹𝐶 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:61)(cid:62)1(cid:63)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:158)
(2)(cid:61)(cid:62)2(cid:63)(cid:210) 𝐸𝐹=60𝐶°𝐹(cid:151)(cid:63)(cid:65) (cid:70)(cid:114)(cid:45) (cid:63)(cid:117) = (cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:75)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)4-1(cid:19)(cid:50)∠𝐴24𝐵-𝐶25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)𝐵(cid:56)𝐸(cid:211)(cid:212)·(cid:59)𝑀(cid:43)(cid:60)(cid:61)𝐵(cid:62)𝑀(cid:63)(cid:127)𝐸(cid:128)𝐹 (cid:45) (cid:87)𝐴(cid:87)𝑀 (cid:87) (cid:65)(cid:66)△(cid:67)𝐴(cid:192)𝐹(cid:68)𝑀(cid:69)(cid:70)(cid:63) (cid:38) (cid:115)(cid:116)(cid:45)
(cid:63) = (cid:63) = = (cid:63)(cid:73) =60°(cid:63)(cid:32)(cid:35)(cid:10) 𝐴 𝐹 (cid:37)𝐸(cid:24)(cid:25)𝐵(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75) 𝐶𝐸 𝐷𝐹
𝑀 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐵𝐷,𝐶𝐸 𝐷𝐹 ∠𝐹𝑀𝐸 △𝑀𝐹𝐸
(cid:15)(cid:76)(cid:77)4-2(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:159)(cid:160)·(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65) (cid:43)(cid:63) =90°(cid:63) =30°(cid:63) (cid:116)
(cid:63) (cid:29)(cid:106)(cid:88)(cid:69)(cid:88)(cid:89)(cid:115) (cid:63) (cid:116)(cid:45) (cid:63) (cid:63)(cid:32)(cid:35)(cid:10) △𝐴(cid:37)𝐵(cid:24)𝐶(cid:25)(cid:26)∠(cid:27)𝐵(cid:28)𝐴𝐶(cid:75) ∠𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐹 𝐸 △𝐴𝐸𝐹(cid:15)(cid:76)(cid:77)4-3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:55)(cid:56)(cid:213)(cid:125)·(cid:59)(cid:126)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65) (cid:43)(cid:63) = >60°(cid:63)(cid:65) (cid:25)(cid:70)(cid:114)(cid:45)
(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)(cid:117) = (cid:75)(cid:175) (cid:86)(cid:67)(cid:25)(cid:142)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:123)(cid:117)△(cid:45)𝐴𝐵(cid:38)𝐶 (cid:45) 𝐴(cid:181)𝐵(cid:116)(cid:68)𝐴(cid:69)𝐶,∠𝐴(cid:29)𝐶𝐵(cid:66)(cid:141)(cid:63) 𝐴=𝐶 (cid:75)
𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 △𝐴𝐷𝐸 𝐸 𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐸𝐴𝐵 2∠𝐵𝐴𝐶
(1)(cid:32) (cid:29)(cid:34)(cid:124)(cid:158)
+
A
(2)(cid:45)∠(cid:65)𝐵𝐷𝐸(cid:70)(cid:63)(cid:71)(cid:72) = (cid:63)(cid:204)(cid:214)(cid:215) (cid:37)(cid:197)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:180)科(cid:201)(cid:36)A(cid:202)(cid:203)(cid:75)
全
★
号
众
【题型 𝐹 5 𝐴 𝐵 与等边三角 𝐷 形 𝐹,𝐷 有 𝐹 关的 𝐵 折 𝐷 叠问题】关 △𝐵 注 𝐷𝐹公
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:49)5(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:94)(cid:24)(cid:25)教ABC(cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:117)(cid:155)(cid:45)B(cid:108)(cid:136)(cid:97)(cid:65)AC(cid:25)(cid:70)(cid:29)(cid:45)D(cid:98)(cid:63)(cid:40)(cid:216)(cid:86)EF(cid:63)O(cid:86)(cid:40)(cid:216)EF(cid:70)(cid:67)
(cid:44)(cid:45)(cid:63)(cid:73)AD=1(cid:63)AC=3△(cid:63) OCD(cid:102)(cid:33)(cid:29)(cid:217)(cid:144)(cid:218)(cid:37) (cid:75)
△
(cid:15)(cid:76)(cid:77)5-1(cid:19)(cid:50)23-24(cid:165)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:70)(cid:133)(cid:219)(cid:131)(cid:220)·(cid:59)(cid:126)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:37)(cid:67)(cid:99)(cid:24)(cid:25) (cid:221)(cid:222)(cid:63)(cid:45)E(cid:65) (cid:25)(cid:70)(cid:63)(cid:45)F(cid:65)
(cid:25)(cid:70)(cid:63)(cid:95)EF(cid:40)(cid:41)(cid:223)(cid:117)(cid:45)A(cid:97)(cid:65) (cid:25)(cid:70)(cid:29)(cid:45)D(cid:181)(cid:182)(cid:63)(cid:73)(cid:224)(cid:151) △=𝐴8𝐵0𝐶°(cid:63)(cid:74) = 𝐴 𝐶 °(cid:75) 𝐴𝐵
𝐵𝐶 ∠𝐵𝐹𝐷 ∠𝐷𝐸𝐹(cid:15)(cid:76)(cid:77)5-2(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:127)(cid:128)(cid:24)(cid:25) (cid:43)(cid:63)(cid:45)D(cid:63)E(cid:88)(cid:89)(cid:65)(cid:25) (cid:63) (cid:70)(cid:63)(cid:225) (cid:95)(cid:68)(cid:69) (cid:96)(cid:40)(cid:63)(cid:117)(cid:45)B(cid:97)
(cid:65)(cid:45) (cid:98)(cid:63) (cid:63) (cid:88)(cid:89)(cid:115)(cid:25)△𝐴𝐵(cid:116)𝐶(cid:45)F(cid:63)G.(cid:73) =80°𝐴(cid:63)𝐵(cid:74)𝐵𝐶 (cid:29)(cid:34)△(cid:124)𝐵(cid:86)𝐷𝐸 (cid:34)𝐷(cid:75)𝐸
′ ′ ′
𝐵 𝐷𝐵 𝐸𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝐺𝐸𝐶
(cid:15)(cid:76)(cid:77)5-3(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:67)(cid:99)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:221)(cid:222)(cid:43)(cid:114)(cid:26)(cid:25)(cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:63)(cid:175)(cid:226)(cid:69)(cid:86)(cid:40)(cid:216)(cid:40)(cid:41)(cid:221)(cid:222)(cid:63)(cid:62)(cid:43)(cid:100)(cid:101)(cid:227)(cid:88)(cid:29)(cid:228)(cid:229)
(cid:37)(cid:230)(cid:99)(cid:62)(cid:28)(cid:228)(cid:229)(cid:29) (cid:75)
+
A
A
科
全
号
★
众
公
注
关
，
【题型6 等边三角形中的动点资问 源 题】
辅
教
(cid:15)(cid:49)6(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:25)(cid:33)(cid:86)4cm(cid:63)(cid:45)Q(cid:37) (cid:29)(cid:43)(cid:45)(cid:63)(cid:73)(cid:44)(cid:45)P(cid:175)2cm/(cid:231)(cid:29)(cid:232)(cid:34)(cid:233)(cid:45)A(cid:206)(cid:234)(cid:95)
(cid:139)(cid:176)(cid:196)(cid:44)(cid:121)(cid:196)(cid:44)(cid:151)(cid:185)△(cid:86)𝐴𝐵t𝐶(cid:231)(cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)(cid:210) 𝐴(cid:37)𝐶 (cid:24)(cid:209)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:151)(cid:63)(cid:74)t(cid:29)(cid:218)(cid:86) (cid:231)(cid:75) 𝐴→𝐵→𝐴
𝑃𝑄 △𝐴𝑃𝑄
(cid:15)(cid:76)(cid:77)6-1(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:110)(cid:56)(cid:79)(cid:58)·(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65) (cid:43)(cid:63) = = =6(cid:235)(cid:236)(cid:63)
(cid:45) (cid:233)(cid:45) (cid:237)(cid:238)(cid:175)1(cid:235)(cid:236)/(cid:231)(cid:29)(cid:232)(cid:34)(cid:176)(cid:45) (cid:196)(cid:44)(cid:63)(cid:45) (cid:233)(cid:45) (cid:237)(cid:238)(cid:175)△2𝐴(cid:235)𝐵(cid:236)𝐶 (cid:231)(cid:29)∠(cid:232)𝐴(cid:34)(cid:176)90(cid:45)°,∠𝐵(cid:196)(cid:44)3(cid:63)0(cid:129)°,𝐴(cid:45)𝐶(cid:66)(cid:151)(cid:196)(cid:44)(cid:63)
(cid:210)(cid:196)𝐷 (cid:44)(cid:151)𝐴(cid:185)(cid:86) (cid:231)(cid:151)(cid:63) (cid:37)(cid:24)(cid:25)𝐶 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)𝐸 𝐶 𝐵
△𝐷𝐸𝐶
(cid:15)(cid:76)(cid:77)6-2(cid:19)(cid:50)23-24(cid:165)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:110)(cid:16)(cid:239)(cid:112)·(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:29)(cid:25)(cid:33)(cid:86)2cm(cid:63)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:243) (cid:233)(cid:45)A
𝐴𝐵𝐶 𝑃(cid:175)1cm/(cid:231)(cid:29)(cid:232)(cid:34)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:196)(cid:44)(cid:63)(cid:66)(cid:151)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:243) (cid:233)(cid:45)A(cid:175)5cm/(cid:231)(cid:29)(cid:232)(cid:34)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:25)
(cid:244)(cid:151)(cid:152)(cid:196)(cid:44)(cid:63)(cid:74)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:243) (cid:103) (cid:245)2023(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:65) (cid:75) 𝑄
𝑃 𝑄
(cid:15)(cid:76)(cid:77)6-3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:109)(cid:110)(cid:249)(cid:112)·(cid:59)(cid:126)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:24)(cid:25) (cid:43)(cid:63)(cid:45) (cid:37) (cid:25)(cid:70)(cid:67)(cid:45)(cid:50)(cid:45) (cid:90)(cid:38)(cid:250)(cid:45)
(cid:92)(cid:93)(cid:60)(cid:75)(cid:142)(cid:45) (cid:3)(cid:116)(cid:68)(cid:69) (cid:29)(cid:251)(cid:252)(cid:45) (cid:63)(cid:71)(cid:72) (cid:63)(cid:65)(cid:253)(cid:69) (cid:70)△(cid:114)𝐴(cid:67)𝐵(cid:45)𝐶 (cid:63)(cid:117)𝐷 𝐵𝐶=60°(cid:63) (cid:38) 𝐷(cid:254)(cid:65)(cid:68)(cid:69)
(cid:115)(cid:116)(cid:45) (cid:75) 𝐷 𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐸 𝐷𝐴 𝐹 ∠𝐸𝐹𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐶
𝐺
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:158) 关
，
源
资
辅
(2)(cid:73) =∠2𝐶(cid:63)𝐴𝐷(cid:32) ∠(cid:29)𝐴教𝐻(cid:33)𝐺(cid:158)
(3)(cid:210)𝐴𝐷(cid:65) (cid:25)(cid:70)(cid:196)𝐸𝐺(cid:44)(cid:151)(cid:63)(cid:214)(cid:215) (cid:63) (cid:63) (cid:228)(cid:229)(cid:184)(cid:185)(cid:29)(cid:124)(cid:186)(cid:3)(cid:183)(cid:63)(cid:180)(cid:201)(cid:36)(cid:202)(cid:203)(cid:75)
【题型 𝐷 7 𝐵 𝐶 等边三角形中的多结 △ 论 𝐴 问 𝐵𝐶 题】 △𝐴𝐵𝐷 △𝐴𝐸𝐺
(cid:15)(cid:49)7(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:255)(cid:256)(cid:110)(cid:257)(cid:258)(cid:259)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:127)(cid:128)(cid:24)(cid:25) (cid:63) =2(cid:63)(cid:45)D(cid:65) (cid:70)(cid:63)(cid:45)F(cid:65)
(cid:29)(cid:57)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:63) = (cid:63) (cid:116)E(cid:63) (cid:116)G(cid:63) (cid:115) (cid:116)△(cid:45)𝐴𝐵P𝐶(cid:63)(cid:74)𝐴𝐵(cid:175)(cid:54)(cid:47)(cid:48)(cid:10) 𝐴𝐵= (cid:158) 𝐴𝐶
(cid:158)𝐵𝐷 𝐶𝐹 𝐷=𝐸6⊥0°𝐵(cid:158)𝐶 =𝐹𝐺1(cid:43)⊥(cid:63)𝐵𝐶(cid:67)(cid:260)(cid:122)(cid:207)𝐷𝐹(cid:29)(cid:37)𝐵(cid:50)𝐶(cid:261)(cid:261)(cid:60) ①𝐵𝐸 𝐶𝐺 ②
△𝐸𝐷𝑃≌𝐺𝐹𝑃 ③∠𝐸𝐷𝑃 ④𝐸𝑃
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)7①-1(cid:19)③(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)②(cid:54)④·(cid:110)(cid:56)(cid:262)(cid:112)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:127)①(cid:128)②(cid:63)(cid:61)③(cid:62)(cid:63) (cid:37)(cid:24)①(cid:25)②(cid:26)④(cid:27)(cid:28)(cid:63) = (cid:63) (cid:116)
(cid:63) (cid:115) (cid:116)(cid:45) (cid:63)(cid:54)(cid:263)(cid:201)(cid:264)(cid:10) = (cid:63) = (cid:63)△𝐴𝐵𝐶= (cid:63) =𝐴𝐸 +𝐶𝐷 (cid:63)𝐵𝑄(cid:190)⊥(cid:43)𝐴(cid:122)𝐷(cid:207)
𝑄 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝑃 ①∠𝐴𝑃𝐸 ∠𝐶 ②𝐵𝑄 𝐴𝑄 ③𝐵𝑃 2𝑃𝑄 ④𝐵𝐴 𝐴𝐸 𝐵𝐷(cid:29)(cid:37)(cid:50) (cid:60)
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)7①-2(cid:19)②(cid:50)③24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)①(cid:70)②·(cid:119)④(cid:265)(cid:133)(cid:266)·(cid:59)(cid:43)(cid:60)(cid:61)①(cid:62)③(cid:63)(cid:251)④(cid:116) (cid:63)(cid:73)(cid:267)①(cid:65)②(cid:45)③④ (cid:88)(cid:89)(cid:65) (cid:70)(cid:63)
(cid:117)(cid:155) = = = (cid:63)(cid:74)(cid:252) (cid:86) (cid:29)“(cid:268)△(cid:253)𝐴𝐵(cid:26)𝐶(cid:27)(cid:28)”(cid:75)(cid:54)(cid:263)𝐷(cid:3), 𝐸(cid:116), 𝐹“(cid:268)(cid:253)(cid:26)𝐴(cid:27)𝐵(cid:28), 𝐵”𝐶(cid:29), 𝐴(cid:201)𝐶(cid:264)(cid:43)(cid:63)
(cid:73)∠1 ∠2(cid:29), ∠“3(cid:268)(cid:253)∠(cid:26)4(cid:27), ∠(cid:28)5”(cid:267)∠(cid:65)6(cid:63)(cid:74) △𝐷𝐸(cid:269)𝐹(cid:86)(cid:270)△(cid:27)𝐴𝐵(cid:26)𝐶(cid:27)(cid:28)(cid:158) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)“(cid:268)(cid:253)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:269)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)①(cid:158) △(cid:68)𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)“(cid:268)(cid:253)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:269)(cid:86)△(cid:68)𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:158) (cid:24)(cid:209)(cid:26)(cid:27)②(cid:28)(cid:29)“(cid:268)(cid:253)(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:269)(cid:86)(cid:24)(cid:209)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:122)(cid:207)
(cid:29)(cid:37) ③ (cid:75) ④
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:76)(cid:77)7-3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)·(cid:79)(cid:80)(cid:33)(cid:81)·(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:45) (cid:87) (cid:87) (cid:271)(cid:246)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:192)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:63) (cid:38)
(cid:65)(cid:68)(cid:69) (cid:29)(cid:66)(cid:141)(cid:123)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:272)(cid:206)(cid:54)(cid:228)(cid:166)(cid:99)(cid:47)(cid:48)(cid:10) 𝐵 𝐶 𝐸 (cid:63) =△60𝐴°(cid:63)𝐵𝐶 △𝐶𝐷𝐸
=𝐵𝐸 (cid:63) = (cid:75)(cid:70)(cid:273)(cid:47)(cid:48)(cid:43)(cid:63)(cid:254)(cid:39)(cid:122)(cid:207)(cid:47)(cid:48)(cid:29)(cid:274)①(cid:9)△(cid:37)𝐴 𝐶 𝐸 ≌△(cid:75)𝐵𝐶𝐷 ②∠𝐴𝑂𝐵
③𝐷𝐸 𝐷𝐺 ④𝐵𝐺 𝐴𝐹
