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专题 13.5 等边三角形【九大题型】
【人教版】
【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】.......................................................................................................1
【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】................................................................................................3
【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】.......................................................................................................4
【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】................................................................................................6
【题型5 等边三角形的证明】...............................................................................................................................7
【题型6 与等边三角形有关的规律问题】...........................................................................................................8
【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】.......................................................................................................9
【题型8 与等边三角形有关的动点问题】.........................................................................................................11
【题型9 含30°角的直角三角形性质】...............................................................................................................12
【知识点1 等边三角形】
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】
【例1】（2022秋•泰兴市期末）（1）如图1，∠AOB和∠COD都是直角
①若∠BOC＝60°，则∠BOD＝ °，∠AOC＝ °；
②改变∠BOC的大小，则∠BOD与∠AOC相等吗？为什么？（2）如图2，∠AOB＝∠COD＝80°，若∠AOD＝∠BOC+40°，求∠AOC的度数；
（3）如图3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是 60°）的一个顶点重合放置，若∠BAE＝10°，
∠HAF＝30°，则∠1＝ °．
【变式1-1】（2022秋•巫溪县校级月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上的点，
BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，求∠BEC的度数．
【变式1-2】（2022秋•太原期末）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，
BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
（1）特例探究：
如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，
∠D与∠A度数的比是 ；
（2）猜想证明：
如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明
你的结论；若不成立，说明理由．
【变式1-3】（2022秋•龙港区期末）已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的
中点．
（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝ （度）；∠GDF的大小＝ （度）；
AD与GD的数量关系是 ；DC与DF的数量关系是 ；
（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】
【例2】（2022秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等
边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下
五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有
．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
【变式2-1】（2022秋•西青区期末）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在△ABC内部，连接
AE，BE，BD．若∠EBD＝50°，则∠AEB的度数是 ．
【变式2-2】（2022秋•兴化市校级月考）如图1，等边△ABC中，D是AB边上的点，以CD为一边，向上
作等边△EDC，连接AE．
（1）求证：△DBC≌△EAC；
（2）求证：AE∥BC；
（3）如图 2，若 D在边 BA的延长线上，且 AB＝6，AD＝2，试求△ABC与△EAC面积的比值．【变式2-3】（2022秋•赫山区期末）如图，△ABC和△CDE都为等边三角形，E在BC上，AE的延长线交
BD于F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFB的度数；
（3）求证：CF平分∠AFD；
（4）直接写出EF，DF，CF之间的数量关系．
【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】
【例3】（2022春•禅城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点 C的坐标为（2，0），以线段OC为
边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点（OD＞2），连结BD，以线段BD为边在
第一象限内作等边△BDE，直线CE与y轴交于点A，则点A的坐标为（ ）
A．(0，-√3) B．(0，-2√3) C．（0，﹣2） D．(0，-2√2)
【变式3-1】（2022春•龙口市期末）如图，在直角坐标系 xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且 OM＝4，∠OMN＝30°，等边△AOB 的顶点 A，B 分别在线段 MN，OM 上，点 A 的坐标为
（ ）
3
A．（1，√3） B．（1，√5） C．（√3，1） D．（ ，√3）
2
【变式3-2】（2022秋•新洲区期末）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，
AO＝a，AB＝b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且a2﹣b2+a﹣b＝0．
（1）试判定△ABO的形状；
（2）如图1，若BC⊥BO，BC＝BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE＝BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：
AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论．
【变式3-3】（2022秋•汉阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（2，0），C
（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB＝30°，延长DB至E，使BE＝BD．P为x轴正半轴上一
动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA＝60°，AM交BE于N．
（1）求证：BE＝BC；
（2）求证：∠ANB＝∠EPC；
（3）当P点运动时，求BP﹣BN的值．【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】
1
【例4】（2022•南陵县模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD= CD．
2
点 E，F 分别在边 AB，AC 上，且∠EDF＝90°，M 为边 EF 的中点，连接 CM 交 DF 于点 N．若
DF∥AB，则CM的长为（ ）
2 3 5
A． √3 B． √3 C． √3 D．√3
3 4 6
【变式4-1】（2022春•西乡县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于E交
BC边延长线于F，AE＝1，求BF的长．
【变式4-2】（2022•浙江模拟）如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上
一点，CQ：BC＝1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长【变式4-3】（2022秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分
∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝30cm，DE＝2cm，则BC＝ cm．
【题型5 等边三角形的证明】
【例5】（2022秋•建水县校级期中）如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作
∠ADE＝60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E，连接AE．求证：△ADE是等边三角形．
【变式5-1】如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三
角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
求证：△CMN是等边三角形．
【变式5-2】（2022春•龙口市期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂
足，连接CD交OE于点F，若∠AOB＝60°．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）若EF＝5，求线段OE的长．【变式5-3】（2022秋•韶关期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点
O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【题型6 与等边三角形有关的规律问题】
【例6】（2022秋•思明区校级期中）如图，已知∠MON＝30°，点A ，A ，A…在射线ON上，点B ，
1 2 3 1
B ，B…在射线OM上，△ABA ，△ABA ，△ABA…均为等边三角形，若OA ＝2，则△ABA 的边
2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 7 7 8
长为 ．
【变式6-1】（2022秋•简阳市 期中）一只电子青蛙在如图的平面直角坐标系做如下运动：从坐标原点开
始起跳记为A ，然后沿着边长为1的等边三角形跳跃即A→A→A→A→A……已知A 的坐标为（1，
1 1 2 3 4 5 3
0），则A 的坐标是 ．
2018【变式6-2】（2022•定兴县二模）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD⊥BC，垂足为点D ．
0 0
过点D 作DD⊥AB，垂足为点D；再过点D 作DD⊥AD，垂足为点D；又过点D 作DD⊥AB，垂
0 0 1 1 1 1 2 0 2 2 2 3
3
足为点D ；…；这样一直作下去，得到一组线段：DD ，DD ，DD ，…，则线段DD 的长为 ，
3 0 1 1 2 2 3 1 2
4
线段D D 的长为 （n为正整数）．
n﹣1 n
【变式6-3】（2022•齐齐哈尔模拟）如图，点A 是面积为3的等边△ABC的两条中线的交点，以BA 为一
1 1
边，构造等边△BAC ，称为第一次构造；点A 是△BAC 的两条中线的交点，再以BA 为一边，构造等
1 1 2 1 1 2
边△BA 2 C 2 ，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△B n A n∁n 的边B∁n 与等边△CBA的边
AB第一次在同一直线上时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是 ．
【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】
【例7】（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝
BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．【变式7-1】如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，试说
明BE＝EF＝FC．
【变式7-2】（2022秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点
D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出
BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
【变式7-3】（2022春•建平县期末）如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向
上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有
AE∥BC？证明你的猜想．【题型8 与等边三角形有关的动点问题】
【例8】（2022秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以
2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动
的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒
钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【变式8-1】（2022春•渭滨区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B
同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N
第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的
时间；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2022春•金牛区校级期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点
除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它
的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则
∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【变式8-3】（2022秋•禄劝县期末）如图，在等边△ABC中，AC＝6，点O在AC上，且AO＝2，点P是
AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则
AP的长是多少？
【知识点2 含30°角的直角三角形】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【题型9 含30°角的直角三角形性质】
【例9】（2022秋•尚志市期中）已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE＝EC；
（2）若DE＝2，求BC的长．
【变式9-1】（2022秋•武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，
PD⊥AC于点D．求证：CD＝3AD．
【变式9-2】（2022春•湟中县校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N
在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，求OM的长度．
【变式9-3】（2022秋•尚志市期中）如图所示，等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P是AB边上的任意一
点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足
为F．
（1）如图1，求证：2BD＝2CF+BE；
（2）若AB＝4，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，PQ＝1，求BP的长．
