文档内容
第 04 讲 等边三角形
1. 理解等边三角形的定义.
2. 探索并证明等边三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等边三角形的判定定理.
4. 通过探究掌握 30°角的直角三角形的性质与应用.
5. 经过应用等边三角形的性质与判定的过程，培养学生分析问题，解决问题的
能力.
6. 通过探究含 30°角的直角三角形的性质的过程；增强学生对特殊直角三角
形的认识，培养学生分析问题，解决问题的能力.
知识点1 等边三角形的概念与性质
1. 等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直
角）.
180A
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 2 .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一
定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高
线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
知识点2 等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点3 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识点4：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
【典例1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片 ABC的边长为8，点
E，F是BC边的三等分点．分别过点 E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪
一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．3 B． C．6 D．8
【变式1-1】（2023春•锦江区期末）如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，
点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则
BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-2】（2022秋•柳州期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC
和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF
的长是 ．【变式1-3】（2022秋•东宝区期末）如图是由九个等边三角形组成的一个六边
形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）
A．30 cm B．40cm C．50 cm D．60 cm
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
【典例2】（2022•金牛区校级模拟）如图，l ∥l ，等边△ABC的顶点A、B分
1 2
别在直线l 、l ，则∠1+∠2＝（ ）
1 2
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式2-1】（2023春•成都期末）在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，
且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式2-2】（2023•余杭区校级模拟）如图，已知等边△ABC，直线 l ∥l ，
1 2
∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．60° B．80° C．70° D．100°【变式2-3】（2023春•渭南期末）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b
上，边AB与直线b交于点D，若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1的
度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．无法判断
【题型3 等边三角形的判定】
【典例 3】（2022 秋•赣榆区期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝
120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【变式3-1】（2022秋•宽城区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C
在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．【变式3-2】（2022秋•阳江期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，
BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【典例 4】（2022 秋•石泉县期末）已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，
△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【变式4-1】（2022•大冶市模拟）在等边三角形 ABC中，点P在△ABC内，点
Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．
（1）求证：△ABP≌△CAQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【变式4-2】（2022秋•岳池县期末）如图，等边△ABC中，点D在延长线上，
CE平分∠ACD，且CE＝BD．
说明：△ADE是等边三角形．
【变式4-3】（2022秋•东莞市期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC
上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE．
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明
你的结论；（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）
【题型4：等边三角形的判定与性质】
【典例5】（2022秋•红塔区校级期末）如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D
为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．【变式 5-1】（2022 秋•永川区校级期中）如图，已知在△ABC 中，AD 平分
∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，
F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
【变式5-2】（2022秋•路北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在
边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝3，求DF的长．
【题型5 ：含30°角的直角三角形的性质】
【典例 6】（2022 秋•阳江期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝
30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【变式6-1】（2022秋•槐荫区期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝
30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
【变式6-2】（2022秋•海兴县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC
交 AC 于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，且 CE＝1.5，则 AB 的长为
（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【变式6-3】（2022秋•陕西期末）如图，CD是等边△ABC边AB上的中线，
AC的垂直平分线交AC于点E，交CD于点F，若DF＝1，则CD的长为
．
【题型6 ：直角三角形斜边上中线定理】
【典例7】（2022秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD
是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（ ）A．5 B．4 C．8 D．6
【变式 7-1】（2022秋•太原期中）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD是
△ABC的中线，AC＝8，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
1．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点 D为圆心，
DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，
∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
3．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE 为等边三角形，∠DCE＝40°，则
∠EAB等于（ ）A．40° B．30° C．20° D．15°
4．（2021•新疆）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知
∠ ＝60°，点 B，C 表示的刻度分别为 1cm，3cm，则线段 AB 的长为
cm．
α
6．（2021•广州）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂
直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为
．1．（2023春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中
点，若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2023•清江浦区一模）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线
b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
3．（2023春•靖江市校级月考）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．
若∠3＝60°，则∠1+∠2＝（ ）
A．120° B．180° C．90° D．130°
4．（2022秋•白云区期末）在△ABC中，若AB＝BC，则△ABC是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形
5．（2022秋•裕华区校级期末）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的
是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
6．（2023春•牡丹区校级月考）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时
候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后
松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm．若衣架收拢时，∠AOB＝60°，
如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ）
A．9 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm
7．（2023春•舞钢市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB
的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，若 AC＝12，则 AD 的长是
（ ）
A．6 B．8 C． D．
8．（2023春•贵阳期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，
点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023•香洲区校级一模）如图，三角形 ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，
∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
10．（2023春•麒麟区校级期中）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝
30°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，若DE＝2.5，则AB的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
11．（2023•碑林区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，
则DF的长为 ．
12．（2023春•永春县期末）如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，点D在AC边上，若∠CDE＝25°，则∠CBD的度数为 ．
13．（2023•越秀区一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的
一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2
＝ 度．
14．（2022秋•丛台区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
15．（2023•岳麓区校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于
点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝ AB．16．（2023•襄州区开学）如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，
BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，求证：△MNG是等
边三角形．
17．（2023春•市北区期中）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于
E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠F＝ 度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．
18．（2023春•龙岗区期中）如图，在等边三角形 ABC中，点D，E分别在边
BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；（2）若CD＝2，求DE的长．
19．（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D
在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接
写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请
你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，
过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且
ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，
并直接写出结果）．
