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一、单选题
1．如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的
高度为（ ）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
2．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120°
C．其中一个角是另一个角的3倍 D．腰与底边相等
3．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 ，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．有下列说法：其中正确的个数是（ ）
(1)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
(2)三角之比为3:4:5的三角形为直角三角形；
(3)等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；
(4)一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等边三角形；
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
5．如图，过边长为 的等边 的边 上一点，作 于 为 延长线上一点，当 时，
连接 交 于 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．6．如图， ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=( )
△
A．1 B．2 C．1.5 D．4
7．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD是角平分线，若BD=8，则CD等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知 中， ， 为高， ，则 （ ）
A．6 B．12 C．6或12 D．10
9．如图，分别以Rt ABC的直角边AC、BC为边，在Rt ABC外作两个等边三角形 ACE和 BCF，连接BE、
AF分别交AC、BC边△于H、D两点．下列结论：①AF＝B△E；②∠AFC＝∠EBC；③∠△FAE＝9△0°；④BD＝FD，
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，已知 ，点 ， ， ，…在射线 上，点 ， ， ，…在射线 上，
， ， ，…均为等边三角形，若 ，则 的边长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，则BC＝_____cm．
12．在 ABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，则BC=____ cm．
△13．如图，∠AOP＝ ∠BOP＝15°，PC//OA， PQ⊥OA， 若PC＝4，则PQ＝__________．
14．等腰三角形底角为15°，其腰长为8，则此三角面积为_____________。
15．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，且AB=2BC，∠B=_________．
16．等腰三角形的底边上的中线等于腰长的一半，则它的顶角为__________．
17．下列三角形中：
①有两个角等于 的三角形；②有一个角等于 的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的
三角形．其中是等边三角形的有____(填序号)．
18．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC
相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB=60°；③BF=AH；④△CFH是等
边三角形；⑤连CG，则∠BGC=∠DGC ；⑥EG+GC=GD．其中正确的有________.（只要写序号）
三、解答题
19．如图，在 中， ， ， 的垂直平分线分别交 和 于点 、 .求证：
.
20．四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=120°，求证：BD=AD+CD．21．已知：如图，点C为线段AB上一点， ACM, CBN都是等边三角形，AM=AC=CM，BC=CN=BN，
∠ACM=∠BCN=60°，AN交MC于点E，B△M交CN△于点F.
(1)求证：AN=BM;
(2)求证：判断 CEF形状
△
22．如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD．
证明：（1）AE与DC的夹角为60°；
（2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC．参考答案
1．B
【解析】
【分析】
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就
求出了大树在折断前的高度．
【详解】
解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC，
而CA=5米，
∴AB=10米，
∴AB+AC=15米．
所以这棵大树在折断前的高度为15米．
故选B．
【点睛】
本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利
用信息解决问题．
2．C
【解析】
【分析】
根据等边三角形的判定定理进行分析即可得到答案；
【详解】
解：A选项，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
B选项，有一个外角是120°，则该等腰三角形的一个内角是60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角
形”推知，有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
C选项，因为等边三角形的三个内角都等于60°，所以不存在其中一个角是另一个角的3倍的等边三角形，故本选
项符合题意；
D选项，腰与底边相等的等腰三角形的三条边相等，所以腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形，故本选项不
合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断，准确分析是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜
边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【详解】
∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，
∴AC=6cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=6cm．
故S = ×6×6=18（cm2）．
ACF
△
故选B．
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，解答此题的关键是发现△ACF是等腰直角三角形，并根据直
角三角形的性质求出直角边AC的长．
4．A
【解析】
【分析】
考查等边三角形，直角三角形等的性质以及三角形三边关系：
（1）有一个角为60°的等腰三角形，则三个角都是60°，（2）中有三角比例，求出其大小即可判断是否为直角三
角形，（3）根据三边关系可确定，（4）利用等边三角形的判定定理即可．
【详解】
(1)中三角形内角和为180°，且一个角为60°，又是等腰三角形，所以三角形只能是等边三角形；
(2)中根据三个角的比例求其角分别为45°，60°，75°，所以，不是直角三角形；
(3)三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以周长只能是10；
(4)等边三角形一边上的中线：该边边长= :2，故不是等边三角形.
所以正确的说法有两个，故选A.
【点睛】
此题考查三角形三边关系，直角三角形的性质，等边三角形的判定，解题关键在于掌握各性质定义.
5．B
【解析】【分析】
过P作BC的平行线交AC于F，结合已知条件易证 是等边三角形，由等边三角形的性质及 可得
．利用AAS证明 ≌ ，根据全等三角形的性质可得 ．利用等腰三角形三线合一
的性质可得 ，由此可得 ，从而求得DE的长.
【详解】
过P作BC的平行线交AC于F，
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，∴ ．
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ．
∵ 于 ， 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
故 的长为 ．
故选B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形，利用等边三
角形的性质建立等边三角形边长与ED之间的关系是解决问题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
先证明BC=2CD，证明 CDE是等腰三角形即可解决问题．
【详解】 △
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2DC，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴CD=CE=1，
∴BC=2CD=2，
故选B.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握和灵活运用
相关知识是解题的关键.
7．A
【解析】
【分析】根据已知和三角形内角和定理求出∠CAD=∠DAB=∠B=30°，求出AD=BD，AD=2CD，即可得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD是角平分线，
∴∠CAD=∠DAB=∠B=30°，
∴AD=BD，AD=2CD，
∵BD=8，
∴CD=4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形性质，三角形内角和定理的应用，能求出AD=BD和
AD=2CD是解此题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据题意，对 进行分类讨论，分别为高 在 内部及高 在 外部，即分 为锐角
三角形和钝角三角形两种情况，从而根据含有 角的直角三角形的相关性质进行求解即可得解．
【详解】
解：如图（1），高 在 内部，
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；如图（2），高 在 外部，
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上， 或12，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了含有30度 角的直角三角形的相关性质，准确对三角形进行分类讨论是解决本题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质得出BC=CF，CE=AC，∠BCF=∠ACE=∠CFB=∠CBF=∠CAE=60°，∠ACB=90°，易证
∠BCE=∠FCA=150°，由SAS证得△BCE≌△FCA，得出AF=BE，∠AFC=∠EBC，由∠FCA=150°，得出∠FAC
＜30°，则∠FAE=∠FAC+∠CAE＜90°，由∠BFD＜∠BFC，得出∠BFD＜∠CBF，则DF＞BD，即可得出结果．
【详解】
∵△ACE和△BCF是等边三角形，
∴BC=CF，CE=AC，∠BCF=∠ACE=∠CFB=∠CBF=∠CAE=60°，∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°+60°=150°，∠FCA=60°+90°=150°，∴∠BCE=∠FCA．
在△BCE和△FCA中，∵ ，
∴△BCE≌△FCA（SAS），
∴AF=BE，∠AFC=∠EBC，故①、②正确；
∵∠FCA=60°+90°=150°，∴∠FAC＜30°．
∵∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE＜90°，故③错误；
∵∠BFD＜∠BFC，∴∠BFD＜∠CBF，∴DF＞BD，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形三边关系等知识；熟练掌
握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B AA=60°，AB =A A，再利用外角定理求∠OB A=30°，则
1 1 2 1 1 1 2 1 1
∠MON=∠OB A，由等角对等边得：B A=OA=2，得出△AB A 的边长为2，再依次同理得出：△AB A 的边长
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3
为4，△AB A 的边长为：24=16，则△AB A 的边长为：25=32．
4 4 5 5 5 6
【详解】
解：∵△AB A 为等边三角形，
1 1 2
∴∠B AA=60°，AB =A A，
1 1 2 1 1 1 2
∵∠MON=30°，
∴∠OB A=60°-30°=30°，
1 1
∴∠MON=∠OB A，
1 1
∴B A=OA=2，
1 1 1
∴△AB A 的边长为2，
1 1 2
同理得：∠OB A=30°，
2 2
∴OA =A B =OA+A A=2+2=4，
2 2 2 1 1 2
∴△AB A 的边长为4，
2 2 3
同理可得：△AB A 的边长为：23=8，
3 3 4
△AB A 的边长为：24=16，
4 4 5
则△AB A 的边长为：25=32，
5 5 6故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和外角定理，难度不大，需要运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，并
总结规律，才能得出结论．
11．3
【解析】
【分析】
根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半即可确定BC长
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，
∴BC＝ AB＝3cm，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，正确应用其性质是解题的关键.
12．5
【解析】
【分析】
由在 ABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，可判定 ABC是等边三角形，继而可求得答案．
【详△解】 △
∵在 ABC中,AB=AC=5cm,∠B=60 ，
∴△△ABC是等边三角形， °
∴BC=5cm.
故答案为5.
【点睛】
此题考查等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
13．2
【解析】
【分析】
过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根
据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PQ，从而求得PQ的长．
【详解】
过点P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，∴∠COP＝∠CPO＝∠POQ＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝ PC＝2，
∵PQ＝PM，
∴PQ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求
PQ的长的问题进行转化．
14．16
【解析】
【分析】
作腰上的高CD, 根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的外角的性质发现30 的直角三角形, 根据30 角所对
的直角边是斜边的一半求出CD, 然后利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解: 作腰上的高CD, 如图,
AB=AC,
∠B=∠C=15 ,
∠CAD=30 ,
CD= AC=4,
三角形面积= AB CD= 8 4=16.故答案为16.
【点睛】
此题考查了含30度角的直角三角形的性质:在直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半. 同时考查了等
腰三角形两腰相等的性质.
15．60°
【解析】
【分析】
利用三角形内角和定理求得∠C=90°，在Rt△ACB中，AB=2BC推出∠A=30°，从而得出∠B的度数．
【详解】
根据三角形的内角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°，
∵∠A+∠B=∠C，
∴∠C+∠C=180°，
解得∠C=90°，
在Rt△ACB中，
∵AB=2BC，
∴∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用含30度角的直角三角形的性质是
解题的关键．
16．120°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形的性质可求得等腰三角形的底角的度数，根据三角形内角和定理
即可求得其顶角的度数．
【详解】
如图：△ABC中，BD=DC，
∴∠ADB=90°，
∵在Rt△ABD中，AD= AB，
∴∠B=30°，∵AB=AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
17．①②③④
【解析】
【分析】
根据等边三角形的判定方法逐个判断即可．
【详解】
①有两个角等于 的三角形，则该三角形的三个内角都相等，是等边三角形
②有一个角等于 的等腰三角形，则其三个角都为 ，是等边三角形
③三个角都相等的三角形，是等边三角形
④三边都相等的三角形，是等边三角形
综上，①②③④都是等边三角形
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定方法，掌握判定方法是解题关键．
18．①②③④⑤⑥
【解析】
【分析】
利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平
角定义得出∠BCF=∠ACH，进而得出△BCF≌△ACH因此BF=AH．由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°
的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．连接CG，过C作CI⊥BE于I，CJ⊥AD于J．由全等三角形对应
边上的高相等得到CI=CJ，由角平分线的判定定理得到GC平分∠BGD．
在GD上截取GM=GE，连接EM．由∠EGM=∠AGB=60°，得到△EGM是等边三角形，得到ME=GE，
∠GEM=60°．通过证明△GEC≌△MED，得到GC=MD，即可得到GD=GM+MD=GE+CG．
【详解】
∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACD．在 BCE和△ACD中，∵ ，
△
∴△BCE≌△ACD（SAS）；故①正确；∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．
∵∠BFC=∠AFG，∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正确；
在△BCF和△ACH中，∵ ，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH，BF=AH；故③正确；
∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形；故④正确；
连接CG．过C作CI⊥BE于I，CJ⊥AD于J．
∵△BCE≌△ACD，∴CI=CJ，∴GC平分∠BGD，∴∠BGC=∠DGC．故⑤正确．
在GD上截取GM=GE，连接EM．
∵∠EGM=∠AGB=60°，∴△EGM是等边三角形，∴ME=GE，∠GEM=60°．
∵∠CED=60°，∴∠GEC=∠MED．在△GEC和△MED中，∵GE=ME ，∠GEC=∠MED，CE=DE，
∴△GEC≌△MED，∴GC=MD，∴GD=GM+MD=GE+CG．故⑥正确．
故答案为：①②③④⑤⑥．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、
SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
19．详见解析
【解析】
【分析】
连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得
BE=2CE，则可证得结论.
【详解】
证明：连接 ，为 边为垂直平分线，
.
， ，
，
，
在 中， ，
，
.
【点睛】
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端
点的距离相等是解题的关键．
20．见解析.
【解析】
【分析】
首先延长AD到E，使DE=DC，连接CE，由∠ADC=120°，可得∠1=60°，再有DE=DC可根据有一个角是60°的
等腰三角形是等边角形证出 DEC是等边三角形，同理证出 ABC也是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：
AB=CB，DC=CE，∠3=∠4△=60°，进而得到∠BCD=∠ACE，△再证明 BCD≌△ACE，得出BD=AE，由
AE=AD+DE，DE=DC进行等量代换可得BD=AD+CD． △
【详解】
证明：延长AD到E，使DE=DC，连接CE，∵∠ADC=120°，
∴∠1=180°−120°=60°，
∵DC=DE，
∴△DEC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边角形)，
∴DC=CE,∠4=60°，
∵∠ABC=60°，AB=CB，
∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边角形)，
∴AC=CB,∠3=60°，
∴∠3=∠4=60°，
∴∠3+∠5=∠4+∠5，
即：∠BCD=∠ACE，
∵在 BCD和 ACE中：
△ △
，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴BD=AE(全等三角形对应边相等)，
∵AE=AD+DE=AD+DC，
∴DB=AD+DC.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
21．（1）证明见解析；（2）△CEF是等边三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到 ACN≌△MCB，结论得证；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，进而得出∠MCF=∠ACE，由△ASA得出 CAE≌△CMF，即
CE=CF，又ECF=60°，所以 CEF为等边三角形． △
【详解】 △
（1）∵△ACM， CBN是等边三角形，
△∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，
在 ACN和 MCB中， ，
△ △
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；
（2） CEF是等边三角形，
理由：△∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在 CAE和 CMF中， ，
△ △
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，要求能够掌握并熟练运用．
22．（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形性质得出 ， ， ，求出 ．根据
证 ，则 ，根据三角形的内角和定理可求出 ；
（2）过点 分别作 ， ，垂足为点 、 ，再（1）结论的基础上根据全等三角形的性质
以及三角形的面积公式求得 ，然后根据角平分线的判定即可得证结论．
【详解】证明：（1）∵ 和 是等边三角形
∴ ， ，
∴
在 和 中，
∴
∴ ，
∵
∴在 中，
；
（2）过点 分别作 ， ，垂足为点 、 ，如图：
∵由（1）知：
∴ ，
∴∴
∵ ，
∴点 在 的平分线上，
∴ 平分 ．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质、三角形的面积、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、等式性质、角平
分线的判定等知识点的综合运用，证明 是解决问题的关键．
