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13.3.2等边三角形
一、单选题
1．如图，点F在正五边形 的内部， 为等边三角形，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 是等边三角形， 是 边上的中线，点 在 上，且 ，则
（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
3．如图，在等边 中， ，点E在中线 上，现有一动点P沿着折线 运动，且在
上的速度是4单位/秒，在 上的速度是2单位/秒，当点P从A运动到C所用时间最少时， 长为
（ ）A．3 B． C． D．
4．已知锐角∠AOB，如图：
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．
其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．③
5．如图，在 中， ， ，DE垂直平分AB，交BC于点E， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．等边三角形是锐角三角形
C．若两个角是直角，则它们相等 D．全等三角形的对应角相等7．如图，直角梯形纸片对边 ， 是直角，将纸片沿着EF折叠，DF的对应边 交AB于点
G，FH平分 交AC于点H，则结论：① ；② ；③ ；
④ ，则 ，其中正确结论的个数为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④
8．如图， ， ， 三点在同一直线上， ， 都是等边三角形，连接 ， ， ：
下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ是等边三角形；
③ 平分 ；
④△BPO≌△EDO．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
9．在 中， ， ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ，
于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 交 于点D．则 与 的数量关系是____．
10．如图，在 中， ，点D是 上一点， ，若 ，则
_______．
11．如图，在边长为6的菱形 中， 为其对角线， ，点 、 分别是边 、
上的动点，且 ．连接 、 、 ， 交 于点 ．则点 到直线 的距离
的最大值为________．
12．如图，某天然气公司的主输气管道从 市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在 处测得要安装天然
气的 小区在 市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达 处，测得小区 位于 的北偏西60°方向．当在主输气管道 上寻找支管道连接点 ，使到该小区 铺设的管道最短时，
的长为______．
13．如图1，正 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正 ，再把正 的各边延长
一倍得到正 （如图2），如此进行下去，......，则（1）正 的面积为______；（2）正
的面积为______（用含有 的式子表示， 为正整数）．
14．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，点E在边AB上，点F在AC的延长线上，且DE
＝DF，∠EDF＝120°，过点D作DG⊥AC于点G，若DG＝GF，则BE+CF＝_____________．三、解答题
15．如图， ， ， ．求证： ．
16．如图a，已知点 ，点C为x轴上一动点，连接 ， 和 都是等边三角形．
（1）求证： ；
（2）如图b，当点D恰好落在 上时．
①求 的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；
③如图c，点M是线段 上的动点（点B，C除外），过点M作 于点G， 于点H，当点M运动时， 的值是否发生变化？简要说明理由．
17．已知：如图，在四边形ABCD中，AD BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：AD＝EB；
（2）若∠DCE＝15°，AB＝2，请直接写出DE的长．
18．将两个完全相同的含 角直角三角板 如图所示放置，
（1）求证： ；
（2）连接 ，求 的度数．
19．如图，在 中， 为 的中点， ， ，垂足分别为 ， ，且 ，
，求证： 是等边三角形．
20．如图，等边△ABC的边长为 ．点P从点C出发，沿C→B→A→C的方向运动，速度为 ；同时点Q从点B出发，沿B→A→C的方向运动，速度为 ，两个点有一个点到达终点时，另一个点
随之停止运动．设运动时间为 ，解答下列问题：
（1）当 时，BP= （用含 的式子表示）；
（2）当 = 时，PQ//BC，此时，△APQ是 三角形；
（3）当 时，求 的值．
21．如图．已知点 和点 在线段 上，且 ，点 和点 在 的同侧， ，
， 和 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，猜想 的形状，并说明理由．
22．如图， 是等边三角形，D是 上一点，延长 到E，使 ，连接 ， ．
（1）如图，若D是 的中点，直接写出 与 的数量关系是______．（2）若D是AC上任意一点，判断 与 的数量关系，并画图证明．
