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第 01 讲 三角形的边
课程标准 学习目标
1. 掌握三角形的相关概念，能够熟练判断三角形中边与角的相关关
①三角形及其相关概念
系。
②三角形的分类
2. 掌握三角形的分类方法，能够熟练对三角形进行分类。
知识点01 三角形及其相关概念
1. 三角形的概念：
如图，由 不在同一直线上 的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角
形。
2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示：
在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 边 ，有 AB 、 BC 、 AC
。
相邻两边组成的角叫做三角形的 内角 ，简称三角形的角。有 ∠ A 、∠ B 、∠ C 。
相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 。有 顶点 A 、 B 、 C 。
用符号 △ 来表示三角形，即表示为 △ ABC 。
3. 三角形中的相邻与相对关系：
AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的 邻边 ，BC与∠A相对，所以是∠A的 对边 ；
同理可得∠B、∠C的邻边与对边。
【即学即练1】1．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F．
（1）图中共有多少个AB以为边三角形？并把它们表示出来．
（2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？
【分析】（1）以AB为边的三角形有4个；
（2）以F为顶点的三角形有3个，除△ABF外，还有2个．
【解答】解：（1）以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC．
（2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有△BDF、△AEF．
知识点02 三角形的分类
1．三角形按边分类：
2. 三角形按角分类：
【即学即练1】
2．下列分类正确的是（ ）
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
【分析】根据三角形的分类即可求解．
【解答】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形．故选：D．
【即学即练2】
3．若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
【分析】由三角形有两个内角的和是100°，可得出这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，结合
三角形的分类，可得出这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，即不能确定．
【解答】解：∵三角形有两个内角的和是100°，
∴这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，
∴这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，
∴这个三角形不能确定．
故选：D．
题型01 数三角形的个数
【典例1】请同学们认真观察，图中共有（ ）三角形．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】由三角形的概念，即可得到答案．
【解答】解：图形中有三角形：△ABC，△ABD，△BCD，△BCO，△COD，
∴图中共有5个三角形．
故选：A．
【变式1】如图所示的图形中，三角形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
【解答】解：根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△AEC，△ADC，△DEC，
共有5个，故选：C．
【变式2】图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进
行分析即可．
【解答】解：图中共有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ACB，△ADE，△ADC，△AEC．
【变式3】（1）如图1，图中共有三角形 10 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 24
个；
（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．
【分析】（1）给每个小三角形分别标上序号，然后将小三角形进行组合计算；
（2）结合图1与图2中的三角形个数得到增加2条线的时候的三角形个数进行归纳，然后得到增加 10
条线时的三角形个数．
【解答】解：（1）如图1，给每个小三角形分别标上序号，
∴单个三角形有4个，两个小三角形组成的三角形有3个，三个小三角形组成的三角形有2个，四个小
三角形组成的三角形有1个，
∴图1中的三角形共有4+3+2+1＝10（个），
由图1可知，顶点与直线l之间的三角形中有10个三角形，大三角形中有10个较小的三角形，
其中，图中2直线l下面还有4个三角形，
∴图2中的三角形共有10+10+4＝24（个），
故答案为：10，24．
（2）当增加2条线时，图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加 2个，共计3×10+4×
（1+2）＝42个，
∵增加0条线时，三角形的个数为10个，
增加1条线时，三角形的个数为24个，24＝2×10+4，
增加2条线时，三角形的个数为42个，42＝3×10+4×（1+2），•••
∴增加10条线时，三角形的个数为11×10+4×（1+2+•••10）＝330个．
【变式4】观察以下图形，回答问题：（1）图②有 3 个三角形；图③有 5 个三角形；图④有 7 个三角形；…猜测第七个图形中共
有 1 3 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 （ 2 n ﹣ 1 ） 个三角形（用含n的代数式表示结论）．
【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可
以猜测第七个图形中共有13个三角形
（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中
的三角形的个数．
【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形
中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
题型02 对三角形进行分类及其判断形状
【典例1】三角形按角分类可以分为（ ）
A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C．直角三角形、等腰直角三角形
D．以上答案都不正确
【分析】根据三角形的分类情况可得答案．
【解答】解：三角形按角分类可以分为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
故选：A．
【变式1】下列几何图形是钝角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此可得答案．
【解答】解：观察各选项，根据钝角三角形的定义可知，B为钝角三角形；故选：B．
【变式2】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形
是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个
直角．
故选：D．
【变式3】若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ）
A．M表示等边三角形
B．M表示锐角三角形
C．P表示等腰三角形
D．N表示三边都不相等的三角形
【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【解答】解：三角形根据边分类如下：
，
由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形．
故选：C．
【变式4】如图是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（ ）A．P是等边三角形，Q是等腰三角形
B．P是等腰三角形，Q是等边三角形
C．P是直角三角形，Q是锐角三角形
D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形
【分析】根据三角形的边或角进行分类．
【解答】解：A、应该是Q是等边三角形，P是等腰三角形，原说法不正确；
B、等边三角形是一种特殊的等腰三角形，所以P是等腰三角形，Q是等边三角形，原说法正确；
C、P、Q应该是根据边的不同进行分类，另外直角三角形与锐角三角形是并列关系，原说法不正确；
D、P、Q应该是根据边的不同进行分类，钝角三角形与等腰三角形分类标准不同，原说法不正确；
故选：B．
1．下列图形中，三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【解答】解：选项C是三角形，
故选：C．
2．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cm B．3cm，4cm，8cm
C．3cm，3cm，5cm D．4cm，4cm，8cm
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．【解答】解：A、3+5＝8，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+3＜8，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+3＞5，能组成三角形，符合题意；
D、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
3．图中有（ ）个三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【解答】解：图中有△ADC，△ABC，△DBC共3个三角形．
故选：C．
4．用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的分类和四边形的关系解答即可．
【解答】解：A、图表示图形之间的关系正确，不符合题意；
B、图表示图形之间的关系正确，不符合题意；
C、图表示图形之间的关系正确，不符合题意；
D、图表示图形之间的关系错误，长方形包含正方形，符合题意；
故选：D．
