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专题 06 等腰、等边三角形与全等三角形综合问题之六大题型
根据等腰、等边三角形的性质求解
例题：（2023下·湖南张家界·八年级统考期末）如图，已知 ，E、F在线段 上，
与 交于点O，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
【变式训练】
1．（2022上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，已知 中， 为 上一点， ， 为
外部一点，满足 ，连结 ，与 交于点 ，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
根据等腰、等边三角形的三线合一证明
例题：（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，在 中， ， 于点D，
是 的外角 的平分线，
(1)求证： ；
(2)若 平分 交 于点N，判断 的形状并说明理由.
【变式训练】
1．（2023上·安徽池州·八年级统考期末）如图1，在 中， ， ，点P是
斜边 的中点，点D，E分别在边 上，连接 ，若 ．(1)求证： ；
(2)若点D，E分别在边 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并
加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下， 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出 的度数
（不用说理）；若不能，请说明理由．
2．（2023下·全国·七年级期末）如图①，已知点D在线段 上，在 和 中，
， ， ， ，且M为 的中点．
(1)连接 并延长交 于N，写出线段 与 的数量关系： ；
(2)写出直线 与 的位置关系： ；
(3)将 绕点A逆时针旋转，使点E在线段 的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论
是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
等腰、等边三角形的性质与判定
例题：（2022上·江苏南通·八年级统考期末）如图， 中， ， ，
于 ， 平分 分别与 ， 交于点 ， ．(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ，求 的长．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校考期末）在 中， ， ， 是 边上的
高，点E为直线 上点，且 ．
(1)如图1，当点E在边 上时，求证： 为等边三角形；
(2)如图2，当点E在 的延长线上时，求证： 为等腰三角形．
2．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知
平分 ， 于点 ， 于点 ．
(1)探究：如图2，点 是 上任意一点（不与 、 重合），连接 、 ，问题：请判断
与 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，连接 ．问题：
① 垂直平分 吗？请说明理由．
②若 ， ，求 的周长．
等腰、等边三角形共点手拉手问题
例题：（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期末）如图， 为线段 上一动点（不与点 重
合），在 同侧分别作正三角形 和正三角形 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，
与 交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)判断 的形状，并说明理由．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知 中， ．分别以 、
为腰在 左侧、 右侧作等腰三角形 ．等腰三角形 ，连接 、 ．(1)如图1，当 时，
① 、 的形状是____________；
②求证： ．
(2)若 ，
①如图2，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
等腰、等边三角形中动点探究问题
例题：（2022上·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在 中， ，点D是边 上
的动点（点D不与点B，C重合），连接 ，作 ， ， 相交于点E．
(1)当 时，求证： ；
(2)当 是等腰三角形时，求 的度数．【变式训练】
1．（2022上·湖北十堰·八年级统考期末）已知：在 中， ， ．
(1)如图，点D在 边上，点E在AC边上， ，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数
量关系，并加以证明；
(2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且 ，BE与CD交于点F．若
是等腰三角形，求 的度数．
2．（2023上·广西南宁·八年级校考期末）在 中， ，点 是 所在直线上一个动点，
过 点作 、 ，垂足分别为 、
(1)如图1，若点 是 的中点时，求证：
(2)如图2， 为腰 上的高，当点 在边 上时，试探究 、 、 之间的关系，并说明
理由．
(3)如图3，当点 运动到 的延长线上时，若 ， ，求 的长度．等腰、等边三角形中新定义型探究问题
例题：（2022上·福建福州·八年级校考期末）定义：若 为 内一点，且满足
，则点 叫做 的费马点．
(1)如图1，若点 是高为 的等边 的费马点，则 = ；
(2)如图2，已知 是等边 外一点，且 ，请探究线段 ， ， 之间的数量
关系，并加以证明；
(3)如图3，已知 ，分别以 、 为边向外作等边 与等边 ，线段 、 交
于点 ，连接 ，求证：
①点 是 的费马点；
② ．
【变式训练】
1．（2023下·江苏淮安·七年级校联考期末）阅读理解：
【概念学习】
定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形
似三角形”．
定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段
把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来
三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”．【概念理解】
（1）如图1，在 中， ， ， 平分 ，则 与 ______
（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在 中， 平分 ， ， ，求证： 为 的“巧妙
分割线”；
【概念应用】
（3）在 中， ， 是 的巧妙分割线，直接写出 的度数．
2．（2023下·陕西榆林·七年级校考期末）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同
源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图， 和 为“同源三角形”，
， ， 与 为“同源角”．(1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，
则 ______°．
(3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取 ， 的
中点 ， ，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形．
一、解答题
1．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是 上的一点，过点
作 于点 ，延长 和 ，交于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ， ， ，求 的长．2．（2023上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）已知在 中，
的平分线 交 于点 ， ．
(1)如图1，求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，若 平分 交 于 ， ，在 边上取点 使 ，若
，求 的长．
3．（2023上·湖北孝感·八年级统考期末）在 中， ， ， ，垂
足为G，且 ． ，其两边分别交边 ， 于点E，F．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求证： ．4．（2022上·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，在 中， ，
， 是 边上的中线， 的垂直平分线 交 于点E，交 于点F，
．
(1)求证： ；
(2)判断 的形状，并加以证明；
(3)若 ，求 边的长．
5．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在 中， ，点 在 上运动，点
在 上， 始终保持与 相等， 交 于点 ．
(1)求证：点 在 的垂直平分线上；
(2)若 ，
①求 的度数；（用含 的式子表示）
②当 时，求 的度数．6．（2022上·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在 中， ，D是 的中
点， ， ，点E、F分别为垂足．
(1)若 ，则 的度数为______， 的角度为______；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)当 是等边三角形时，求 的度数．
7．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在 中， ， 平分 交 于点
D，点E在射线 上运动，F在射线 上运动，且 ，连接 ， ．
(1)如图①，当 时，直接写出线段 和 之间的数量关系；
(2)如图②，当 时，
①当点E在 延长线上，点F在 上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；
②若 ，当 时，请直接写出 的长．
8．（2023上·河南洛阳·八年级统考期末）已知在等边 中，点 是边 上一定点，点 是射
线 上一动点，以 为边作等边 ，连接 ．探究线段 、 、 之间的数量关系．
(1)观察猜想：
如图1，当点 与点 重合，直接写出线段 、 、 之间的数量关系；
(2)类比探究：
如图2，当点 在 边上，上述关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的
数量关系并证明；（提示：在 上截取 ，连接 ）
(3)解决问题：
当点 在边 的延长线上，若 ， ，请直接线段 的长．
9．（2018·湖北随州·统考一模）定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转
得到 ，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，我们称 是 的“旋补三角形”，边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A
叫做“旋补中心”．
特例感知：
(1)在图2，图3中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．
①如图2，当 为等边三角形时，求 与 的数量关系；
②如图3，当 时，求 的长．
猜想论证：
(2)在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
