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2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼
专题09 等腰等边三角形问题选择题
一、选择题
1. （2023贵州省）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中
有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 ，腰长为 ，则
底边上的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作 于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得
，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
如图，作 于点D，
中, ， ，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键
是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
2.如图，点F在正五边形 的内部， 为等边三角形，则 等于（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的
性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角
形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．
∵ 是正五边形，
∴∠ABC= =108°，AB=BC，
∵ 为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC= =66°，
∴ =∠AFB+∠BFC=126°，
【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是
解题关键．
3. 如图所示，点 D 是△ABC 的边 AC 上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的
是（ ）
A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC
【答案】A【解析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．根据等腰三角形的两个底角相
等，由 AD=BD 得到∠A=∠ABD，所以∠ABC＞∠A，则对各 C、D 选项进行判断；根据大边对大角可
对 A、B 进行判断．
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠ABC＞∠A，所以 C 选项和 D 选项错误；
∴AC＞BC，所以 A 选项正确；B 选项错误．
4. 如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度
数为（ ）
A. 57° B. 63°
C. 67° D. 73°
【答案】D
【解析】根据等腰三角形的性质可求出 ，可得出 ，再根据平行线的性质可
得结论．
∵AC=BC，
∴ 是等腰三角形，
∵
∴
∴
∵a∥b，
∴故选：D
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出 是解答本
题的关键．
二、填空题
1. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 ，立柱 ，且顶角 ，则
的大小为 ．
【答案】30°##30度
【解析】先由等边对等角得到 ，再根据三角形的内角和进行求解即可．
，
，
， ，
，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
2. 如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径作弧，交射线
于点 ，连接 ，则 的度数是 ．
【答案】10°或100°
【解析】分两种情况画图，由作图可知得 ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即
可．
如图，点 即为所求；在 中， ， ，
，
由作图可知： ，
，
；
由作图可知： ，
，
，
，
．
综上所述： 的度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形 判的定与性质，解题的关键是掌握
基本作图方法．
3.如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．则CD的长为 ．
【答案】a
【解析】观察图形可以发现，在 Rt△ADC 中，AC=2a，而∠DAC 是△ABC 的一个外角，则
∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．
∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．1
∴CD=2 AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
4.在等腰 中， 交直线 于点 ，若 ，则 的顶角的度数为 ．
【答案】30°或150°或90°．.
【解析】①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD= BC，∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD= BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD= ×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
5.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 _．
【答案】一半。
1
【解析】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=2 AB．A
C B
从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）
A
B C D
∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
1 1
∴BC=2 BD=2 AB．
三、解答题
1. （2023湖北荆州）如图， 是等边 的中线，以 为圆心， 的长为半径画弧，交 的延
长线于 ，连接 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出 ，再利用等边对等角即可．证明： 为等边 的中线，
，
，
，
【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．
2.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：
△ABC是等边三角形．
【答案】见解析。
【解析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
3.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC=BD.求证：
(1)BC=AD；
(2)△OAB是等腰三角形.
【答案】见解析。
【解析】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∴△ACB≌△BDA(HL).
∴BC=AD.
（2）由△ACB≌△BDA，得∠CAB=∠DBA，
∴△OAB是等腰三角形.
