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专题 04 等边三角形（六大类型）
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
【题型3 等边三角形的判定】
【题型4等边三角形的判定与性质】
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
【题型6直角三角形斜边上中线定理】
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
1．（2022秋•河北区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，若
BD＝3，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023春•龙川县校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，BC＝4，则
△ABC的周长是 ．
3．（2023春•巴中期末）如图，木工师傅从边长为 30cm的正三角形ABC木板
上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 cm．
4．（2022秋•东宝区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC
边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，
与点P同时以相同的速度由 B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D．当∠BQD＝30°时，AP的长为 ．
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
5．（2023•淮阳区校级三模）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m
上，∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．45° C．40° D．35°
6．（2023•沂源县二模）如图，直线 l ∥l ，将等边三角形如图放置若∠ ＝
1 2
25°，则∠ 等于（ ）
α
β
A．35° B．30° C．25° D．20°
7．（2023春•大埔县期中）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上
取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
8．（2022秋•嵩县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．（2022秋•历下区期末）如图，在△ABC中，D，E是边BC的三等分点，且
△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．105° B．120° C．130° D．150°
10．（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E
在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
11．（2023春•杨浦区期末）如图，已知 O是等边三角形ABC内一点，D是线
段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝ 度．
12．（2022秋•东丽区期末）如图，等边三角形 ABC，P为BC上一点，且∠1
＝∠2，则∠3的大小为 （度）．【题型3 等边三角形的判定】
13．（2022秋•望花区校级期末）若一个三角形的最小内角为 60°，则下列判断
中正确的是（ ）
A．这个三角形是钝角三角形
B．这个三角形是直角三角形
C．这个三角形是等边三角形
D．不存在这样的三角形
14．（2023春•漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为 60°，那
么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
15．（2022秋•南平期末）如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，
使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
16．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且
AD＝DC＝DB，∠B＝30°．求证：△ADC是等边三角形．17．（2022秋•吉林期中）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的
一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
18.（2022春•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D
是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边
三角形．
19．（2022秋•德城区校级期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC
上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，
设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从
点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【题型4 等边三角形的判定与性质】
20．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，
∠CAE＝30°．
（1）求证：△ACD为等边三角形；
（2）求∠BAC的度数．
21．（2022春•西安期末）“中国海监 50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔
A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方
向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货
轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
22．（2022秋•西湖区校级期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的
平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．23．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角
形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
24．（头屯河区校级期末）如图，点 O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，
∠BOC＝ ．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
α
（2）探究：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形？
α
α
25．（2023春•长安区期中）如图所示，等边△ABC中，点D是AB的中点，
DE⊥AC于点E，EF∥AB，EF交BC于点F，AE＝2cm．求证：（1）△EFC是等边三角形；
（2）求△EFC的周长．
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
26．（2023•宝鸡模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC上
一点，CD＝AD＝4，则BD的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．10
27．（2023•大同模拟）将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上，
∠EFG＝90°，EG＝2FG，∠1＝73°，则∠2的度数为（ ）
A．73° B．77° C．83° D．88°
28．（2023•西安二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝
6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）
A．1 B． C．3 D．629．（2022秋•湟中区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，
∠A＝30°，AB＝12，则AD的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
30．（2022秋•洛阳期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D
在边BC上，且∠ADC＝60°，BC＝9，则BD的长度是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
31．（2022秋•贵池区期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边
BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
32．（2022秋•番禺区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B
＝60°，若BD＝1，则AD＝（ ）A．2 B． C．3 D．
33．（2022秋•永川区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的
垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC＝6，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．（2022秋•长沙期末）如图，△ABC是等边三角形，D点是BC的中点，延
长AB到E，使BE＝BD，若∠BED＝30°，则∠ADE＝ 度．
35．（2022秋•西岗区校级期末）如图，在 Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为
圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连结DC，则∠DCB的度数是
．
36．（2023春•西安月考）如图，已知∠AOB＝60°，点 C在边 OA上，OC＝
14，点D，E在边OB上，CD＝CE，若DE＝6，求OD的长．【题型7 直角三角形斜边上中线定理】
37．（2023春•魏都区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB
的中点，若∠A＝28°．则∠BDC的度数为（ ）
A．26° B．52° C．56° D．64°
38．（2023春•涟源市月考）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边
上的中线，ED⊥BC于点D，交BA的延长线于点E，若∠E＝33°，求∠BDA
的度数．
39．（2023春•阳山县期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是
CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．
40．（2022秋•西湖区校级期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，连接MB、MD．
（1）求证：BM＝MD．
（2）若∠BAD＝30°，求证：△MBD是等边三角形．
