文档内容
第二篇 解题技巧篇
技巧02 多选题解法与技巧（讲）
考向 速览
规律方法
1.多选题命题规则
多项选择题由1个题干和4个备选项组成，备选项中至少有2个正确选项，所选正确答案将是2个、3个或4
个.因此，在做多项选择题时应该注意，如果应考者所选答案中有错误选项，该题得零分；如果全部选对得5
分，如果所选答案中没有错误选项，但是正确选项未全部选出，则得3分.
2.多项选择题解法策略
（1）在多项选择题中，如果存在一对内容互相对立的选项，而其他三项不存在内容对立的情况，那么在此对
立两项中至少有一个正确项；若存在两对内容互相对立的选项，则应该从两对对立项中分别选择一个选项作为
正确选项.
例如，ABCD四个待选项中，AB互相对立，CD互相对立，则两个正确选项往往需从AB组以及CD组中分别择
一产生.当然，该规则也存在例外情况.
（2）在多项选择题中，如果存在两对内容互近选项或类似选项，而这两对选项内容对立，则其中一对互近或
类似选项应该为正确选项.
例如，ABCD四个待选项中，AB两项内容相近、类似，CD两项内容相近、类似，而AB组与CD组内容对立.如
果判断A项正确，那么AB组都正确；如果判断C项正确，那么CD组都正确.
（3）在多项选择题中，如果两个或两个以上的选项之间存在承接关系或递进关系，即数个选项能同时成立，
则往往这几个选项应一起被选择.例如在ABCD四个待选项中，ABC三个选项间存在承接、递进关系，能同时成
立，若A正确，则ABC都应该为正确选项.（4）做多项选择题时，谨慎选择的意识要更加明确.一般首先选出最有把握的2个选项，同时，在有足够把握
确定还有其他正确答案时才继续选择，否则不选，以免选出错误选项.这样，才能保证该题目得分.因此，要坚
持宁缺勿滥，这一点与单项选择题不同.
（5）解答多项选择题过程中，有时可以综合使用多种方法来完成一个题目，已确认选项的正确性.
方法技巧 典例分析
01 直接法
【核心提示】
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而
得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算
较简单的题目常用直接法.．
【典例分析】
典例1.（2023·湖南·模拟预测）已知某批零件的质量指标 单位：毫米 服从正态分布 ，且
，现从该批零件中随机取 件，用 表示这 件产品的质量指标值 不位于区间
的产品件数，则（ ）
A．P(25.35< <25.45)=0.8 B．E(X)=2.4
C．D(X)=0.48 D．
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案.
【详解】由正态分布的性质得P(25.35< <25.45)= 1-2 P( 24.45)=1-2 0.1=0.8，故A正确；
则1件产品的质量指标值 不位于区间(25.35，25.45)的概率为P=0.2，
所以 ，故E(X)=3 0.2=0.6，故B错误；
D(X)=3 0.2 0.8=0.48，故C正确；
，故D正确．
故选：ACD.典例2.（2020·海南·高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天
复工复产指数折线图，下列说法正确的是
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【解析】
【分析】
注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定
B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.
【详解】
由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第
8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复
产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
【点评】
本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与
观测.
02 特例法
【核心提示】从题干(或选项)出发，通过选取符合条件的特殊情况（特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等）代入，将问
题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略.
但要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求
解．
【典例分析】
典例3.（2021·全国·统考高考真题）设正整数 ，其中 ，记
．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项， ， ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，取 ， ， ，
而 ，则 ，即 ，B选项错误；
对于C选项， ，
所以， ，
，
所以， ，因此， ，C选项正确；对于D选项， ，故 ，D选项正确.
故选：ACD.
典例4.（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶
点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线 构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】
设正方体的棱长为 ，
对于A，如图（1）所示，连接 ，则 ，
故 （或其补角）为异面直线 所成的角，
在直角三角形 ， ， ，故 ，
故 不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取 的中点为 ，连接 ， ，则 ， ，
由正方体 可得 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 平面 ，
又 平面 ， ，而 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，故B正确.
对于C，如图（3），连接 ，则 ，由B的判断可得 ，
故 ，故C正确.对于D，如图（4），取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 或其补角为异面直线 所成的角，
因为正方体的棱长为2，故 ， ，
， ，故 不是直角，
故 不垂直，故D错误.
故选：BC.03 排除法
【核心提示】
排除法(淘汰法、筛选法)是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，
排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.
排除法使用要点：
1.从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项；
2.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件
在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特例（值）法、验证法等常结合使用.
【典例分析】
典例5. （2022·全国·统考高考真题）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】直接由体积公式计算 ，连接 交 于点 ，连接 ，由 计算出 ，
依次判断选项即可.【详解】
设 ，因为 平面 ， ，则 ，
，连接 交 于点 ，连接 ，易得 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 平面 ，则 平
面 ，
又 ，过 作 于 ，易得四边形 为矩形，则 ，
则 ， ，
，则 ， ， ，
则 ，则 ， ， ，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
典例6.（2021·全国·统考高考真题）有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，
…， ，其中 ( 为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有 、 ，即可判断正误；根据中位数、极差
的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为
，故极差相同，正确；
故选：CD
04 数形结合法
【核心提示】
有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、
形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.
【典例分析】
典例7.（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知定义在 上的函数 ，其导函数分别为 ，
若 ， ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是周期函数
C． D．
【答案】BCD
【分析】通过函数的奇偶对称性和图像的平移，结合导数的运算，得到函数 的对称性，得到周期，再由
周期计算函数值验证选项.
【详解】由 知函数 为偶函数，又 ，
，则 的图像关于 轴对称，
所以 的图像关于直线 对称，有 ，即 ，设 ，则 ， （c为常数），
， ，所以 ；
由 ，两边同时求导，有 ，可知 为奇函数，
函数 仍然是奇函数，图像关于原点对称，
又 ，所以 的图像关于点 中心对称，有 ；
函数 满足以上函数 的性质，但 不是奇函数，A选项错误；
和 ，得 ，令 ，则有 ，所以函数
为周期函数，B选项正确；
为 的一个周期，则 ，所以 ， ，所
以 ，D选项正确；
由 周期为4知 也是 的一个周期，所以 ，即 ，即
，C选项正确.
故选：BCD.
【点睛】此题通过函数的奇偶性和对称性，结合导数的运算，寻找函数 图像的对称中心是解题关键，原
函数与导函数图像的联系，奇偶性的联系，都是解题的思路.
典例8.（2022·江苏宿迁·高三期末）在平面直角坐标系 中，若对于曲线 上的任意点 ，都存在曲
线 上的点 ，使得 成立，则称函数 具备“ 性质”.则下列函数具备“ 性质”的是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
四个选项都可以做出简图，对于选项A和选项C，可在图中选取特殊点验证排除；选项B、选项D可在图中任
意选择点 ，观察是否存在点 ，使得 成立，即可做出判断.
【详解】
选项A，如图所示，曲线 ，当点 取得 时，要使得点 满足 成立，那么点 落
在直线 上，而此时 与 两直线是平行的，不存在交点，故此时不满足在 上存在点 ，
使得 成立，故选项A错误；选项B，如图所示，曲线 ，对于曲线 上的任意点 ，都存在曲线 上的点 ，使得
成立，故选项B正确；
选项C，如图所示，曲线 ，当点 取得 时，要使得点 满足 成立，那么点 落在直线
上，而此时 与 两曲线不存在交点，故此时不满足在 上存在点 ，使得 成立，
故选项C错误；选项D，如图所示，曲线 ，对于曲线 上的任意点 ，都存在曲线 上的点 ，使得
成立，故选项D正确；
故选：BD
典例9.（2022·全国·统考高考真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
A B C D A B C D
因为 平面 1 1 1 1， 平面 1 1 1 1，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D正确.
故选：ABD
05 概念辨析法
【核心提示】
概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选出正确结论的方法.这
类题目一般是给出的一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析
有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心.
【典例分析】典例10.（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学
王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高
斯函数.例如 已知函数 ，函数 则下列说法中正确的有
（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 图象关于直线 对称
C．函数 的值域是
D．方程 只有一个实数根
【答案】BCD
【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值可判断A，利用对称性判断B，根据 的值域可判断C，根据
的值域分类讨论可求D.
【详解】 ，
所以函数在区间 上不是单调递增，A错误；
当 为奇数时， ，
，
此时 ，
当 为偶数时， ，
，
此时 ，所以 ，
所以函数 图象关于直线 对称，B正确；
由题可得 ，
所以 ，
所以当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
所以函数 的值域是 ，C正确；
若 ，则方程 ，即 ，
但 ，所以此时无解；
若 ，则方程 ，即 ，
但 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
满足题意，
若 ，则方程 ，即 ，
但 ，不满足题意，
所以方程 只有一个实数根为 ，D正确，
故选:BCD.典例11.（2020·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，
且 ，定义X的信息熵 .（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A选项，求得 ，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出
，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出 ，利用基本不等式和对数
函数的性质判断出D选项.
【详解】
对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正确.
对于B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （
）.
.
由于 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以D选项错误.
故选：AC
【点评】
本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数
函数及不等式的基本性质的运用.
06 构造法
【核心提示】
构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适
当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．常见构造函数、构造（割补）图形、不等式或数列等.
【典例分析】
典例12.（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】构造函数 ， ．证明 ，即可判断选项BCD，再利用B和幂函数的性质判
断选项A，即得解.
【详解】BCD选项分别等价于 ， ， ，
构造函数 ， ．
则 ．当 时， ， 在 内单增；当 时， ， 在 内
单减．
因此 ．所以 （当 时取等）
于是 ， ， ．故 ， ， ，所以选项D错误，选项BC正确.
因为 ，所以选项A正确．
故选：ABC．
典例13.（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断
即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求导，
和 ，得 ，所以
，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于 对称，
从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，故A
错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错误，
选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，故A
错误.
故选：BC.
【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
典例14.（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断C,D.
【详解】根据幂函数 ，指数函数 在定义域内均为单调增函数，
，故A正确；由 ，取 ，可得 ，故B错误；
由 可得 ，当且仅当 即 取等号，C错误；
由基本不等式可知 ，当且仅当 取等号，
但 ，等号取不到，故D正确，
故选：AD.
