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专题 04 等边三角形（六大类型）
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
【题型3 等边三角形的判定】
【题型4等边三角形的判定与性质】
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
【题型6直角三角形斜边上中线定理】
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
1．（2022秋•河北区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，若
BD＝3，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
∵BD＝3，
∴AB＝6，
故选：C．
2．（2023春•龙川县校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，BC＝4，则
△ABC的周长是 1 2 ．
【答案】12．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝4，
∴△ABC的周长＝3×4＝12．
故答案为：12．
3．（2023春•巴中期末）如图，木工师傅从边长为 30cm的正三角形ABC木板
上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 1 0 cm．
【答案】10．
【解答】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是正三角形的周长的 ，正六边形的周长为30×3× ＝
60cm，
所以正六边形的边长是60÷6＝10（cm）．
故答案为：10
4．（2022秋•东宝区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC
边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，
与点P同时以相同的速度由 B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连
接PQ交AB于D．当∠BQD＝30°时，AP的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝ QC，即6﹣x＝ （6+x），解得x＝2，
∴AP＝2．
故答案为：2．
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
5．（2023•淮阳区校级三模）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m
上，∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．45° C．40° D．35°
【答案】D
【解答】解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3＝60°﹣∠1＝60°﹣25°＝35°，
∵l∥m，
∴∠2＝∠3＝35°．
故选：D．
6．（2023•沂源县二模）如图，直线 l ∥l ，将等边三角形如图放置若∠ ＝
1 2
25°，则∠ 等于（ ）
α
βA．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】A
【解答】解：过点B作BD∥l ，如图，
1
则∠ABD＝∠ ＝25°．
∵l ∥l ，
1 2 α
∴BD∥l ，
2
∵∠DBC＝∠ ．
∵△ABC是等边三角形，
β
∴∠ABC＝60°，
∴∠ ＝∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣25°＝35°．
故选：A．
β
7．（2023春•大埔县期中）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上
取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
8．（2022秋•嵩县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延
长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，
∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，
∴∠PBC＝30°，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠E＝30°，
∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
故选：C．
9．（2022秋•历下区期末）如图，在△ABC中，D，E是边BC的三等分点，且
△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）A．105° B．120° C．130° D．150°
【答案】B
【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
故选：B．
10．（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E
在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
11．（2023春•杨浦区期末）如图，已知 O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝ 6 0 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∵∠AOB＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝60°．
又∵OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝60°，∠ADO＝60°．
∵∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°，
∴∠BAO＝∠CAD．
在△BAO和△CAD中， ，
∴△BAO≌△CAD（SAS），
∴∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO＝60°．
故答案为：60．
12．（2022秋•东丽区期末）如图，等边三角形 ABC，P为BC上一点，且∠1
＝∠2，则∠3的大小为 6 0 （度）．【答案】60．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠APC＝∠2+∠3＝∠1+∠B，
又∠1＝∠2，
∴∠3＝∠B＝60°，
故答案为：60．
【题型3 等边三角形的判定】
13．（2022秋•望花区校级期末）若一个三角形的最小内角为 60°，则下列判断
中正确的是（ ）
A．这个三角形是钝角三角形
B．这个三角形是直角三角形
C．这个三角形是等边三角形
D．不存在这样的三角形
【答案】C
【解答】解：∵最小内角为60°，
∴该三角形的最大角不能大于60°，否则最小的角将不是60°，
∴最大角为60°，
∴三角形三个角均是60°，
∴这个三角形是等边三角形
故选：C．
14．（2023春•漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为 60°，那
么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形【答案】D
【解答】解：根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角
形一定为正三角形．
故选：D．
15．（2022秋•南平期末）如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，
使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明见解析部分．
【解答】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
16．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且
AD＝DC＝DB，∠B＝30°．求证：△ADC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DC＝DB，∠B＝30°∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝60°，
又∵AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形．
17．（2022秋•吉林期中）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的
一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，且DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE＝∠DBE，
∵BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
又∵BD＝BC，
∴DC＝DB＝BC，
∴△CBD是等边三角形．
18.（2022春•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边
三角形．
【解答】证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
19．（2022秋•德城区校级期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC
上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，
设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从
点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【答案】（1）当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【题型4 等边三角形的判定与性质】
20．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，
∠CAE＝30°．
（1）求证：△ACD为等边三角形；
（2）求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）80°．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝120°，
∴∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°，
∵AE⊥BC，，
∴∠AEC＝90°
∴∠C+∠CAE＝90°．
∵∠CAE＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADC＝∠C＝60°，
∴AD＝AC，
∴△ACD为等边三角形；
（2）由（1）得：∠C＝60°，
∵△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
21．（2022春•西安期末）“中国海监 50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔
A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方
向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货
轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
【答案】20海里．
【解答】解：由题意得：∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，BC＝10×2＝20（海
里），
∵CD∥BE，
∴∠1＝∠CBE＝40°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠ACB＝∠1+∠ACD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝20海里，
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．
22．（2022秋•西湖区校级期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的
平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
23．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角
形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝ AD，BN＝ BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
24．（头屯河区校级期末）如图，点 O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，
∠BOC＝ ．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
α
（2）探究：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形？
α
α
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵ ，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝ ＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
α
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣ ＝ ﹣60°，
∴ ＝125°；
α α
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
α
∴110°+80°+60°+ ＝360°
∴ ＝110°；
α
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
α
110°+50°+60°+ ＝360°，
∴ ＝140°．
α
所以当 为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
α
α25．（2023春•长安区期中）如图所示，等边△ABC中，点D是AB的中点，
DE⊥AC于点E，EF∥AB，EF交BC于点F，AE＝2cm．求证：
（1）△EFC是等边三角形；
（2）求△EFC的周长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）18cm．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠B＝60°，
∴△EFC是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵AE＝2cm，
∴AD＝2AE＝4cm，
∵点D是AB的中点，
∴AB＝2AD＝8cm，
∴AC＝AB＝8cm，
∴CE＝AC﹣AE＝6cm，
∵△EFC是等边三角形，
∴△EFC的周长＝CF+CE+EF＝3CE＝18cm．
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
26．（2023•宝鸡模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC上
一点，CD＝AD＝4，则BD的长为（ ）A．8 B．7 C．6 D．10
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵CD＝AD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠DAB＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝2×4＝8．
故选：A．
27．（2023•大同模拟）将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上，
∠EFG＝90°，EG＝2FG，∠1＝73°，则∠2的度数为（ ）
A．73° B．77° C．83° D．88°
【答案】B
【解答】解：EF交BC于M，EG交CB于N，
∵∠EFG＝90°，EG＝2FG，
∴sinE＝ ＝ ，
∴∠E＝30°，
∵∠MNE＝∠1＝73°，
∴∠NME＝180°﹣∠E﹣∠MNE＝77°，∴∠2＝∠NME＝77°．
故选：B．
28．（2023•西安二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝
6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）
A．1 B． C．3 D．6
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，BC＝6，点D为BC的中点，
∴AD＝CD＝BD＝ BC＝3，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE⊥BC于点E，
∴DE＝ BD＝ ．
故选：B．
29．（2022秋•湟中区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，
∠A＝30°，AB＝12，则AD的值为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，
∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∴BC＝6，
∴BC＝2BD＝6，
∴BD＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝12﹣3＝9．
故选：D．
30．（2022秋•洛阳期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D
在边BC上，且∠ADC＝60°，BC＝9，则BD的长度是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝ AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∵BC＝9，
∴CD+2CD＝9，
∴CD＝3，∴BD＝6，
故选：C．
31．（2022秋•贵池区期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边
BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，
∴ ，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝30°，
∴ ，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3，
故选：C．
32．（2022秋•番禺区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B
＝60°，若BD＝1，则AD＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，
∴∠CDB＝90°，∠A＝∠DCB＝90°﹣∠B＝30°，∴BC＝2BD＝2，AB＝2BC＝4，
∴AD＝4﹣1＝3；
故选：C．
33．（2022秋•永川区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的
垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC＝6，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴CD＝ BD＝ AD，
∵AC＝6，
∴3CD＝6，
∴CD＝2．
故选：B．
34．（2022秋•长沙期末）如图，△ABC是等边三角形，D点是BC的中点，延
长AB到E，使BE＝BD，若∠BED＝30°，则∠ADE＝ 12 0 度．【答案】120．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝∠DEB＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°+30°＝120°
故答案为：120．
35．（2022秋•西岗区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为
圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连结DC，则∠DCB的度数是
30° ．
【答案】30°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
由作图可知AD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
36．（2023春•西安月考）如图，已知∠AOB＝60°，点 C在边 OA上，OC＝
14，点D，E在边OB上，CD＝CE，若DE＝6，求OD的长．【答案】4．
【解答】解：如图，作CH⊥OB于H，
∵CD＝CE，CH⊥DE，
∴DH＝HE＝ ＝3，
在Rt△OCH中，OC＝14，∠O＝60°，
∴∠OCH＝30°，
∴OH＝ OC＝7，
∴OD＝OH﹣DH＝7﹣3＝4．
【题型7 直角三角形斜边上中线定理】
37．（2023春•魏都区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB
的中点，若∠A＝28°．则∠BDC的度数为（ ）
A．26° B．52° C．56° D．64°
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD，∴∠DCA＝∠A＝28°，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝56°，
故选：C．
38．（2023春•涟源市月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边
上的中线，ED⊥BC于点D，交BA的延长线于点E，若∠E＝33°，求∠BDA
的度数．
【答案】66°．
【解答】解：∵∠E＝33°，ED⊥BC，
∴∠B＝57°，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝57°，
∴∠BDA＝180°﹣57°﹣57°＝66°．
39．（2023春•阳山县期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是
CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接DE．∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AE＝EB，
∴DE＝EB＝EA，
∵DG⊥EC，EG＝GC，
∴DE＝CD，
∴DC＝BE．
（2）设∠BCE＝x．
∵EB＝DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC＝x，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DEC+∠DCE＝2x，
∵∠AEC＝∠EBD+∠ECD，
∴66°＝3x，
∴x＝22°，
∴∠BCE＝22°．
40．（2022秋•西湖区校级期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC
的中点，连接MB、MD．
（1）求证：BM＝MD．
（2）若∠BAD＝30°，求证：△MBD是等边三角形．【答案】（1）见详解；
（2）见详解．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC，△ADC是直角三角形，斜边均为AC，
∵M是AC的中点，
∴ ， ，
∴BM＝MD；
（2）∵BM＝AM，DM＝AM，
∴∠ABM＝∠BAM，∠ADM＝∠DAM，
∵∠ABM+∠BAM＝∠BMC，∠ADM+∠DAM＝∠DMC，
∴2∠BAM＝∠BMC，2∠DAM＝∠DMC，
∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BMD＝2∠BAD＝60°，
∵BM＝MD，
∴△MBD是等边三角形．
