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专题 04 相似三角形重要模型之一线三等角（K 字型）模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.一线三等角模型（相似模型）.............................................................................................................2
..................................................................................................................................................10
模型1.一线三等角模型（相似模型）
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，
再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定
理也可），从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角
型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，
∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明： ∵∠1+∠C=∠2+∠DEB （外角定理）， ∠1=∠2，∴∠C=∠DEB ，∵∠1=∠3，
∴△ACE∽△BED。
∴ ， ∵ C 为 AB 的 中 点 ， ∴ AE=EB ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∠ 2=∠ 3 ，∴△BED∽△ECD
② 一 线 三 直 角 变 异 型 1 ： 条 件 ： 如 图 2 ， ∠ ABD=∠ AFE=∠ BDE=90°. 结 论 ：
△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边 ， 上，
．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
根据等腰三角形性质可知 ， ，再根据 可
知 ，结合 ，可得 ，最后根据 即可求得 的长．
【详解】解： 为等边三角形， ， ， ，
， ，
， ， ，
， ， ， ，故答案为：10．
例2．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形 中， ， ，点M在直线 上，连接，
（1）当 ，则 （2）当 最大时，
【答案】 3
【分析】①根据矩形的性质和勾股定理即可求解；
②作 ，过点A作 于点E，则 连接 ，取 中点O，连接 ， ，
先证明 ，继而 ，因此 ，故 的最大值转化为 的最
大值，由 ，知点E在以点O为圆心， 为半径的圆上运动，由 ，故当
三点共线时， 取得最大值为18，故 ．
【详解】解：①∵ ， ，∴ ，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∴由勾股定理得： ， ，
∴ ，故答案为： ；
②作 ，过点A作 于点E，则 连接 ，取 中点O，连接 ， ，
∵四边形 是矩形，∴ ，∵点O为 中点，∴ ，∴由勾股定理得 ，
∵ ，∴ ∵四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴
∵ ∴ ∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 的最大值转化为 的最大值，
∵ ，∴点E在以点O为圆心， 为半径的圆上运动，
∵ ，∴当 三点共线时， 取得最大值为18，∴ ．故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造相似三角
形是解决本题的关键．
例3．（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形 中， ，且
，P为 上的一点， ，求 的长．
【答案】1或4
【分析】根据题意可证 ，得出比例关系式，进而求出AP的长．
【详解】∵在梯形 中， ，∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，∴ ．∴ ．
设 ，则 ，∴ ，解得 或4.∴ 或4．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”相似三角形模型，是
解题的关键．
例4．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上
（点P不与点A、B重合）， ．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， ．若， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结
CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或 ．
【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明 ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探△究：证明：∵ 是 的外角，∴ ，
即 ，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∵ ， ， ，∴ ，解得：
；
拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是 APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠△A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；
当PC=PE时， ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=12 8=4；
当EC=EP时，△∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，∴ ，
即 ，解得： ，∴AP=AB PB= ，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或 ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情
况讨论思想是解题的关键．例5.（23-24八年级上·上海·期中）在ΔABC中， ， ， ，点 在 所在
的直线上运动，作 （ 、 、 按逆时针方向）．
（1）如图①，当点 在线段 上运动时， 交 于 ．
①求证： ．②当 是等腰三角形时，直接写出 的长．
（2）如图②，当点 在 的延长线上运动， 的反向延长线与 的延长线相交于点 ，是否存在点
，使 是等腰三角形？若存在，写出点 的位置；若不存在，请简要说明理由．
【答案】(1) ①证明见解析；②AE的值是1或 2或 ； (3)存在，D在BC的延长线上，且CD= 2
【分析】(1) ①求出∠B=45°，根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2．求出即可；
②分为三种情况，①DE=AE,②AD=AE，③AD=DE，根据等腰三角形性质(等腰三角形两边相等)，三角形
全等推出即可；(2)存在，可证 得到CD=AC=2．
【详解】解(1) ①∵在Rt ABC中，∠BAC=90°。AB=AC,∴∠B=∠C=45°
∵∠ADE=45°,∴∠ADC=△∠B+∠1=∠ADE+∠2,即45°+∠1=45°+∠2．∴∠1=∠2．
②解:当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况:
第一种情况: DE=AE,∵DE=AE,∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C,∴∠AED=90°，∠ADC=90° ,即DE⊥．AC．
∴AD= DC．∴E为AC的中点，∴
第二种情况: AD=AE，此时D和B重合，E和C重合,即AE=AC=2;
第三种情况: AD=DE, 在△ABD和△DCE中． ∴ ,∴BD=CE，AB=DC,设BD=CE=x,在Rt ABC中，∵∠BAC=90°, AB=AC=2, ∴BC= ．
△
∴DC= -x．∴ -x=2,∴x= -2,∴AE= 综合上述: AE的值是1或 2或
(3)解:存在，理由如下：∵ ∴
∵ ∴ ∴
又∵ ∴ ∴ 又∵ ,∴ ，
故存在点 ，使 是等腰三角形，此时D在BC的延长线上，且CD= 2
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形、
相似三角形的判定和性质等知识点的应用，用了分类讨论思想．
例6．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在 中， ， ，点D是线段 上的
一点，连接 ，过点B作 ，分别交 、 于点E、F，与过点A且垂直于 的直线相交于点
G，连接 ，下列结论错误的是（ ）
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若 ，则
【答案】D
【分析】由 ，可确定A项正确；由 可得 ，进而由
确定点F为 的三等分点，可确定B项正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆
内接四边形的性质得到 ，得到 为圆的直径，因为 ，根据垂径定理得到
，故C项正确；因为D为 的三等分点， 即 ，可得 ，由此
确定D项错误．【详解】解：依题意可得 ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ．故A项正确；如图，
∵ ， ，∴ ．在 与 中， ，
∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ；
∵ 为等腰直角三角形，∴ ；∴ ；
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故B项正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得 ，
∴ 是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵ ，∴ ，∴ ，故C项正确；
∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ；∴ ．故D项错误．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，
需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
例7．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形 中， 为 的中点， 交
于 ，延长 与直线 相交于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2) ，是
否存在这样的k值，使得 与 相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明
理由．【答案】(1)见解析(2)存在，
【分析】（1）由题意可得 ，又由 ，可得 ，据此
证得结论；（2）假设 与 相似，存在两种情况：①当 ，可得 ，根据题
意可知此种情况不成立；②当 ，使得 与 相似，设 ，则 ，可得
， ，再由 ，即可求得 值．
【详解】（1）证明： ， ， ，
， ，又 ， ；
（2）解：存在 使得 与 相似．理由如下：假设 与 相似，
存在两种情况：①当 ，则有 与 互余，于是 ，因此此种情况不成立；
②当 ，使得 与 相似，设 ，则 ，
， ， ， ，
， ，即 ，解得， （负值舍去）．
存在 使得 与 相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．1．（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ，将点 折叠到 边上点 处，
折痕为 ，连接 ， ，若点 是 中点，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到 ， ， 的长；再根据 ，利用对应边
成比例即可得 的长．
【详解】解： 矩形 中， ，
，又 是 的中点， ，
中， ，由题可得， ，
， ，
， ，即 ，解得 ，故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，翻折变
换 折叠问题 实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形 ， 为 的中点， 是 边上的一个动点，连接 将 沿 折叠得 ，延长 交 于点 ，现在有如下五个结论：① 一
定是直角三角形；② ；③当 与 重合时，有 ；④ 平分正方形 的面
积；⑤ ，则正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】如图1中，证明 ， ，可得 ，可得
， ，可得①②正确，如图2中，当M与C重合时，设
．则 ，证明 ，可得 ，即 ，可得
，可得③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线 不平分正方形的面积，可得④错误，
如图1中， 于H， ，同理可得： ，可得 ，结合
，可得⑤正确．
【详解】解：如图1中，
∵四边形 是正方形，
∴ ，∵E为 的中点，
∴ ，
由翻折可知： ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故①②正确，
如图2中，当M与C重合时，设 ．则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，可得 ，
∴ ，
∴ ，故③正确，
如图3中，当点F与点D重合时，显然直线 不平分正方形的面积，故④错误，如图1中，∵ 于H， ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．故⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（23-24辽宁九年级月考）如图，在 Rt ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一
点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别△交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交
于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：① ；②若 AB，则点 D 是 AB 的中点；③若
，则 S ＝9S ；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是
ABC BDF
△ △
（ ）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】由 可得： ,所以 ,利用相似三角形的性质可以得到①正确；
由 以及已知条件可以得到 ，进而由①所得结论确定 为 的三等分点，
可确定结论②正确；根据 可以得到 ， ，则 ，由线段的比例关系即可求得
面积的比例关系；当 四点在同一个圆上时，利用圆内接四边形的对角互补可以得到
，则 是 所在圆的直径，由垂径定理可得 ；
【详解】由题意可得：
故结论①正确；
,
, 是等腰直角三角形
在 和 中：是等腰直角三角形，
由结论①可得：
点 是 的中点
故结论②正确；
， ，
,
,
,即
故结论③错误；
当 四点在同一个圆上时，
,是 所在圆的直径
故结论④正确；
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角形的综合，包括全等三角形的性质判定以及相似三角形的性质判定，以及三
角形的面积关系，题目综合性比较强，熟练掌握相关的性质定理是求解本题的关键.
4．（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知 是等边三角形， ，点D，E，F点分别在边
上， ， 同时平分 和 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到
∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根
据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图， 同时平分 和 ，
， ，
在 与 中， ，
，
， ， ，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设 ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画
出图形是解题的关键．
5．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，在矩形 中， ，点 E、F 分别是边
上的动点，且 ， 当 为 时， 最大．【答案】 /
【分析】在 中， ，则 ，当 增加时， 也增加，因为
，要使 取最大值，所以 取最小值，然后证明 ，利用二次函数求
得 的最小值即可．
【详解】设 ，∵矩形 中， ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，整理得： ，
∵ ，∴当 时，y取最小值 ，
∵ 中， ，∴ ，
∴要使 取最大值，即 最大时，y应取最小值，
∴ ，即 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函的最值、三角形相似的判定和性质、正切函数的性质，也体现了数学中转化的思
想，灵活运用是关键．
6．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，
， ，则CD的长为______．【答案】5
【分析】在CD上取点F，使 ，证明 ，求解 再证明 ，
利用相似三角形的性质求解 即可得到答案.
【详解】解：在CD上取点F，使 ，
， ，由 ， ，
， ，且 ，
， ， ∽ ，
， ， ，
又 ， ，
∽ ， ，
又 ， ， 或 舍去 ，
经检验： 符合题意， ．故答案为：5．
本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的
判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.
7．（2023·广东·九年级专题练习）如图，等边 的边长为 ，点 是边 上一动点，将等边
沿过点 的直线折叠，该直线与直线 交于点 ，使点 落在直线 上的点 处，且
折痕为 则 的长为 ．【答案】 或 ．
【分析】分情况讨论：方法一：当点 落在如图1所示的位置时，证明△BMD∽△CDN，得到
，根据 设 求出AN；方法二：当 在 的延长线上时，如图2，
同样方法求出AN.
【详解】方法一：当点 落在如图1所示的位置时，
是等边三角形， ，
，
得 ， 得 ，
，设 则 ， ，
， ，解得 ；
方法二：当 在 的延长线上时，如图2，与 同理可得 . 得 .
， ，
设 则 ， ，
，解得： ， ，故答案为： 或 .
【点睛】此题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，解题中注意题中的条件
“点 落在直线 上的点 处”故点A可在线段BC上，也可在延长线上，应分类讨论避免漏解.
3．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接
BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点
G的运动路径= ， CEF面积的最小值是 ．
△
【答案】 2 15
【分析】连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，因为GN为△ABE的中位线，故G的运动路
径为线段MN；过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面
积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，∵E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点
∴当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合，
当E运动到D点时，BE与BD重合，G与BD的中点M重合，
∴E在从A到D的运动过程中，MN为△ABE的中位线，
∴ ．
故G的运动路径=2，
过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为 的中点，
∴
设AE=x， ∵AB
∴HF∴当 时，△CEF面积的最小值
故答案为：2，15．
【点睛】本题通过构造K形图，考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，建立△CEF面积与
AE长度的函数关系式是解题的关键．
8．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，
∠ABC＝45°，AB＝2 ，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝ ，求CD的长；
小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一
线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．
（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．
（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE， ∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．
【答案】CD=5；（1）见解析；（2）
【分析】（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明
△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则CD可求出；
（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通过证明△DBE∽△ATD，可得 ，可得
，通过证明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解．【详解】解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴DE＝ AD＝ AE，
∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，
且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵∠BDA＝∠DEF，
∴△ADB∽△DEF，
∴ ＝ ，
∵AB＝2 ，
∴DF＝4，
又∵∠CDE+∠C＝45°，
∴∠CEF＝∠CDE，
∴△CEF∽△CDE，
∴ ，
又∵DF＝4，CE＝ ，
∴ ，
∴CF＝1或CF＝5（舍去），
∴CD＝CF+4＝5；
（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，
∴AB＝AC，AD＝CD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵ ∠EAD+∠EBD＝90°，
∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，
∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，
∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，
∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，
∴△DBE∽△ATD，
∴ ，∠ADT＝∠BED，
∴ ，且AD＝DC，
∴ ，
∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，
∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，
∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，
∴△ARE≌△ATD（ASA）
∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，
∴∠BED＝∠AER，
∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，
∴RE＝RB＝DT，
∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，∴△ABR≌△ACT（AAS）
∴BR＝TC，
∴DT＝TC，
∴CD＝2DT，
∴ ＝
【点睛】本题主要考查相似三角形及全等三角形的判定及性质，作合适的辅助线对证明三角形相似起到关
键作用.
9．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）已知，点B在线段CE上．
【感知】（1）如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，易知 ACB∽△AED（不要求证明）；
【拓展】（2）如图②， ACE中，AC＝AE，且∠ABD△＝∠E，求证： ACB∽△BED；
【应用】（3）如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，△BC＝2，则 ABD与 BDE的面
积比为 ． △ △ △
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）7：2
【分析】（1）由∠C＝∠ABD＝∠E＝90°知∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，据此得∠A＝∠DBE，从
而得证．
（2）由∠C＝∠ABD＝∠E与∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB＝
∠DBE，即可证得：△ACB∽△BED．
（3）由△ACB∽△BED，根据相似三角形的对应边成比例，可求得△ABC与△BDE的面积比，△ABC与
△ABE的面积比，继而求得答案．
【详解】（1）∵∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，
∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
∴△ACB∽△BED；
（2）∵AC＝AE，∴∠C＝∠E，
∵∠ABD＝∠E，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，
∴∠CAB＝∠DBE，
∴△ACB∽△BED；
（3）∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠C＝∠ABD，
∴∠CAB＝∠DBE，
∵∠C＝∠E＝60°，
∴△ACB∽△BED，△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝CE﹣BC＝4，
∴△ACB与△BED的相似比为：3：2，
∴S ：S ＝9：4，S ：S ＝1：2＝9：18，
ABC BED ABC ABE
△ △ △ △
设S ＝9x，则S ＝18x，S ＝4x，
ABC ABE BDE
△ △ △
∴S ＝S ﹣S ＝18x﹣4x＝14x，
ABD ABE BED
△ △ △
∴S ：S ＝14：4＝7：2．
ABD BDE
△ △
故答案为：7：2．
【点睛】此题是相似形的综合问题，主要考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形
结合思想的应用．
10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）问题背景：
如图1，在四边形 中，点 为 上一点， ，求证： ．（无
需证明）
(1)探究：如图2，在四边形 中，点 为 上一点，当 时，上述结论是否依然
成立？说明理由．(2)应用：请利用（1）获得的经验解决问题：如图3，在 中， ，
，点 以每秒1个单位长度的速度，由点 出发，沿边 向点 运动，且满足 ，
设点 的运动时间为 （秒），当以 为圆心，以 为半径的圆与 相切时，求 的值．(3)拓展：在（2）的条件下，当 时，直接写出点 在边 上所走的总路程 __________．
【答案】(1)依然成立；理由见解析
(2) ，
(3)2
【分析】（1）证明 ，即可得证；
（2）过点 作 于点 ，利用勾股定理求出 的长，根据切线的性质，得到 ，进而求
出 的长，由（1）可知 ，列式求解即可；
（3）根据 ，得到 关于 的二次函数，推出 点从 点出发，当 时，达到最大值，
此时点 运动的总路程为 ，接着 点向点 返回，求出返回的路程，两个路程和即为所求．
【详解】（1）解：结论依然成立；理由如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ；
∵以 为圆心，以 为半径的圆与 相切．
∴ ，∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同法（1）可知： ，
设点 的运动时间为 （秒），则： ，
∴ ，
解得： ， ；
即：当 运动 秒或 秒时，以 为圆心，以 为半径的圆与 相切．
（3）解：设点 的运动时间为 （秒），则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，对称轴为 ，
∴当 时， 的值先增大，再减小，
即： 点从 点出发，当 时，达到最大值，此时点 运动的总路程为 ，接着 点向点 返回，
当 时： ，
即第 秒到第 秒， 向 移动了： ，
∴当 时，点 在边 上所走的总路程 ；
故答案为：2．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，以及二次函数的性质．本题是一线三等角相似
模型，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．
11．（2024·绵阳市·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长等于 ，P是BC边上的一动点，
∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：△BEP∽△CPF；（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．
【答案】（1）详见解析；（2） ．
【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求
证 BEP∽△CPF；
（△2）由题意可知∠BPE＝30°，∠FPC＝60°，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，
∴∠APE＝ ∠APB，∠APF＝ ∠APC，
∴∠APE+∠APF＝ （∠APB+∠APC）＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，
∴∠BEP＝∠FPC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEP∽△CPF；
（2）∵∠PAB＝30°，
∴∠BPA＝60°，
∴∠BPE＝30°，
在Rt ABP中，
△
∠PAB＝30°，AB＝ ，
∴BP＝1，
在Rt BPE中，
∠BP△E＝30°，BP＝1，
∴EP＝ ，∵CP＝ ﹣1，∠FPC＝60°，
∴PF＝2CP＝2 ﹣2，
∴△PEF的面积为： PE•PF＝2﹣ ．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的
直角三角形的性质，本题属于中等题型．
12．（2024·广东·九年级专题练习）问题提出
（1）如图1，在矩形 中， ，点E为 的中点，点F在 上，过点E作 交
于点G．若 ，则 的面积为_________．
问题探究
（2）如图2，在矩形 中， ，点P是 边上一动点，点Q是 的中点将．
沿着 折叠，点A的对应点是 ，将 沿着 折叠，点D的对应点是 ．请问是否存在这
样的点P，使得点P、 、 在同一条直线上？若存在，求出此时 的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形 中，
，点D到 的距离为 ，且 ．若过点D作 ，过点A作 的
垂线，交 于点E，交 的延长线于点H，过点C作 于点F，连接 ．设 的长为 ，
四边形 的面积为 ．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
【答案】（1） ；（2）存在， 或 ；（3）① ；
②963.3元．
【分析】（1）先由矩形的性质得 ，再由三角形面积公式求解即可；
（2）由折叠的性质得： ，再证 ，然后根据相似三角形的性
质列比例式求解；
（3）①先证得 ，然后根据相似三角形的性质求得 ，然后根据面积公式
列式求解；
②根据二次函数性质求最值
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵点E为 的中点，
∴
故答案为： ；
（2）存在，理由如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ．∵Q是 的中点，∴ ．
由折叠的性质得： ，
当点P、 、 三点在同一条直线上时， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ；
（3）①根据题意做出辅助线，如图所示．
由题意得： ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
由 ，则 ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
②由①知， ，
当 时，四边形 的面积取得最小值为 ，
∴最低造价为 （元），
∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形
面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换
的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
13．（2023·湖南·统考中考真题）如图， ，点 是线段 上的一点，且 ．已
知 ．(1)证明： ．(2)求线段 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据题意得出 ， ，则 ，
即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形 中， ， ， ，
，点E是射线 上一点（不与点A、B重合），联结 ，过点E作 交射线 于点
F，联结 ．设 ．(1)求 的长；(2)如图，当点E在线段 上时，求y与x之间的函数解
析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果 是以 为腰的等腰三角形，求 的长．
【答案】(1)6(2) (3) 或【分析】（1）过点 作 ，可得四边形 为矩形，利用勾股定理求出 的长即可；
（2）证明 ，列出比例式进行求解即可；
（3）分点 在线段 上和在线段 的延长线上，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：过点 作 与点 ，
∵ ， ，∴ ，∴四边形 为平行四边形，
∵ ，∴四边形 为矩形，∴ ， ，∴ ，
在 中， ，∴
（2）∵ ，∴ ， ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即： ，整理，得： ，
∵点E在线段 上，∴ ，∴ ；
（3）当点 在线段 上时，
①当 时，如图，过点 作 与点 ，则： ，
由（1）知， ，∴ ，由（2）知： ，
当 时： 或 ，即： 或 ；②当 时，∵ ，∴此种情况不存在；
当点 在线段 的延长线上时：如图，
则： ，同法（2）可得： ，即： ，
整理，得： ，
∵ 是以 为腰的等腰三角形，则： ，
在 中： ，
在 中： ，
在 中： ，
整理，得： ，
∵ ，∴ ，
整理，得： ，解得： （负值已舍掉）；∴ ，
综上： 或 ．
【点睛】本题考查矩形得判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形，勾股定理．解题的关键是
读懂题意，正确的作图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
15．（2023·四川成都·校考三模）在矩形 中， ， ．点 为 边上一动点，连接 ，
在 右侧作 ， ， ．(1)如图1，若点 恰好落在 边上，求 的长；
(2)如图2，延长 交 边于点 ，当 时，求 的值；
(3)连接 ，当 为等腰三角形时，求 的长．
【答案】(1) (2) (3) 或
【分析】（1）可证 ，可得 ，从而可求 ，即可求解；
（2）过 点作 交 于 ，可证 ，可得 ，设 ，则有 ，
，可得 ，即可求解；（3）①当 在边 上， 时，可证
，从而可证 ，即可求解；②当 在矩形内部时，（ⅰ）当
时，由（2）得： ，即可求解；（ⅱ）当 时，由（2）得同理可求： ，
， ，由 ，即可求解；③如图，当 在矩形外部时，由
判断，即可求解．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
，解得： ， ， ，解得： ．
（2）解：如图，过 点作 交 于 ，， ， ，
由（1）得同理可证： ，
， ， ，解得： ，
， ， ，
设 ，则有 ， ， ，
整理得： ，解得： ， ，经检验： ， 是此方程的根，
， (不合题意，舍去)， ， 在 中， ．
（3）解：①如图，当 在边 上， 时，
，由（1）得： ，
， ， ，
， ，故此种情况不存在．
②当 在矩形内部时，（ⅰ）如图，当 时，由（2）得： ， ， ；
（ⅱ）如图，当 时，
由（2）得同理可求： ， ，
， ，在 中，
，整理得： ，
解得： ， （舍去）， ；
③如图，当 在矩形外部时，
， 始终不是等腰三角形．
综上所述： 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定及性质，勾股定理，一般角
的三角函数值等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
16．（2023秋·河北保定·八年级统考期中）如图， ， 于点 ， 于点 ，且， ，点 是线段 上一动点．
（1）当 时， ；（2）点 从点 以每分钟 个单位长度的速度向点 运动，点 从点
以每分钟2个单位长度的速度向点 运动， 、 两点同时出发，运动 分钟后， 与
全等．
【答案】 6或8 3
【分析】（1）根据边的垂直关系可证 ，则 ，于是可求 的长．
（2）根据题意，两三角形全等分两种情况分别予以讨论，注意求得的结果同时需要满足 ．
【详解】（1）∵
∴
∴ ∴ 设 ，则 ，
∵ ∴ 整理得： 解得：
∴ 或8．故答案为：6或8．
（2）设运动y分钟后， 与 全等，则 ．
① 时， ，即 ，解得： ，因 所以不合题意，舍去．
② 时， ，即 ，化简得：
∴ 或 （不合题意，舍去）
故运动3分钟后， 与 全等．故答案为：3．
【点睛】本题考查了动态几何在一元二次方程的实际应用，涉及相似三角形、全等三角形等知识点,解题的
关键是找准相似或全等三角形的对应边．
17．（2023·吉林长春·九年级校联考期中）[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不
与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明）
[探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合），
（1）求证：△DAP∽△PBC．
（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长.
[应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作
，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长.
【答案】（1）详见解析；（2）4；[应用]AP=
【分析】（1）由三角形外角性质可得∠DPB=∠A+∠ADP，然后推出∠ADP=∠CPB即可证明相似；
（2）由相似得到对应边成比例，建立方程即可求AP；
[应用]同（1）的方法，先证明∠EPB=∠ACP，然后证明△APC∽△BEP，再由对应边成比例建立方程求
AP.
【详解】（1）∵∠DPB=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP，∵∠A=∠DPC，∴∠ADP=∠CPB
∵∠A=∠B∴
（2） ∴ ∴ ∴AP=4.
[应用]AP= ，理由如下：
∵∠BPC=∠A+∠ACP∴∠CPE+∠EPB=∠A+∠ACP
∵∠CPE=∠A∴∠EPB=∠ACP
又∵AC=BC∴∠A=∠B∴△APC∽△BEP∴
∵CE=3EB∴BE= BC=1∴ 解得AP=
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型的证明方法是关键.
18．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图 ，点 是线段 上的一点， ， ，
，垂足分别为 ， ， ， ．求证： ；
【类比迁移】(2)如图 ，一次函数 的图象与 轴交于点 、与 轴交于点 ，将线段 绕点
逆时针旋转 得到 、直线 交 轴于点 ．①求点 的坐标；②求直线 的解析式；
【拓展延伸】(3)如图 ，抛物线 与 轴交于 ， 两点 点 在点 的左侧 ，与 轴交于
点，已知点 ， ，连接 ．抛物线上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的横
坐标．
【答案】（1）见解析； （2）① ；②直线 的解析式为 ；（3） 或
【分析】[建立模型]（1）根据题意得出 ， ，证明 ，即可得证；
[类比迁移] （2）①过点 作 轴于点 ，同（1）的方法，证明 ，根据一次函数
的图象与 轴交于点 、与 轴交于点 ，求得 ， ，进而可得 点的坐标；
②由 ，设直线 的解析式为 ，将点 代入得直线 的解析式为 ；
[拓展延伸]（3）根据解析式求得 ， ；①当 点在 轴下方时，如图所示，连接 ，过点
作 于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 ，于点 ，证明 ，
根据 得出 ，设 ，则 ，求得点 ，
进而求得直线 的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当 点在 轴的上方时，如图所示，过点
作 ，于点 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，同①的方法即可
求解．
【详解】[建立模型]（1）证明：∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ；
[类比迁移]（2）如图所示，过点 作 轴于点 ，
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵一次函数 的图象与 轴交于点 、与 轴交于点 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，∴ ，∴ ，∴ ；
②∵ ，设直线 的解析式为 ，
将 代入得： 解得： ∴直线 的解析式为 ，
（3）∵抛物线 与 轴交于 ， 两点 点 在点 的左侧 ，
当 时， ，解得： ，∴ ， ；
①当 点在 轴下方时，如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，
过点 作 ，于点 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，∵ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，解得： ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，
代入 ， 得： ，解得： ，∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得： （舍去）， ；②当 点在 轴的上方时，如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，
过点 作 于点 ，
同理可得 ，∴ ，设 ，则 ，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，解得： ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，
代入 ， 得： ，解得： ，∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得： （舍去）， ，
综上所述， 的横坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等
三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
