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专题 04 相似三角形重要模型之一线三等角（K 字型）模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
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模型1.一线三等角模型（相似模型）.............................................................................................................2
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模型1.一线三等角模型（相似模型）
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，
再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定
理也可），从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角
型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，
∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明： ∵∠1+∠C=∠2+∠DEB （外角定理）， ∠1=∠2，∴∠C=∠DEB ，∵∠1=∠3，
∴△ACE∽△BED。
∴ ， ∵ C 为 AB 的 中 点 ， ∴ AE=EB ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∠ 2=∠ 3 ，∴△BED∽△ECD
② 一 线 三 直 角 变 异 型 1 ： 条 件 ： 如 图 2 ， ∠ ABD=∠ AFE=∠ BDE=90°. 结 论 ：
△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边 ， 上，
．若 ， ，则 的长为 ．
例2．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形 中， ， ，点M在直线 上，连接
，
（1）当 ，则 （2）当 最大时，
例3．（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形 中， ，且
，P为 上的一点， ，求 的长．例4．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上
（点P不与点A、B重合）， ．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， ．若
， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结
CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
例5.（23-24八年级上·上海·期中）在ΔABC中， ， ， ，点 在 所在
的直线上运动，作 （ 、 、 按逆时针方向）．
（1）如图①，当点 在线段 上运动时， 交 于 ．
①求证： ．②当 是等腰三角形时，直接写出 的长．
（2）如图②，当点 在 的延长线上运动， 的反向延长线与 的延长线相交于点 ，是否存在点
，使 是等腰三角形？若存在，写出点 的位置；若不存在，请简要说明理由．例6．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在 中， ， ，点D是线段 上的
一点，连接 ，过点B作 ，分别交 、 于点E、F，与过点A且垂直于 的直线相交于点
G，连接 ，下列结论错误的是（ ）
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若 ，则
例7．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形 中， 为 的中点， 交
于 ，延长 与直线 相交于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2) ，是
否存在这样的k值，使得 与 相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明
理由．1．（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ，将点 折叠到 边上点 处，
折痕为 ，连接 ， ，若点 是 中点，则 长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形 ， 为 的中点， 是 边上的一个动
点，连接 将 沿 折叠得 ，延长 交 于点 ，现在有如下五个结论：① 一定是直角三角形；② ；③当 与 重合时，有 ；④ 平分正方形 的面
积；⑤ ，则正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（23-24辽宁九年级月考）如图，在 Rt ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一
点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别△交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交
于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：① ；②若 AB，则点 D 是 AB 的中点；③若
，则 S ＝9S ；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是
ABC BDF
△ △
（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
4．（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知 是等边三角形， ，点D，E，F点分别在边
上， ， 同时平分 和 ，则 的长为 ．5．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，在矩形 中， ，点 E、F 分别是边
上的动点，且 ， 当 为 时， 最大．
6．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，
， ，则CD的长为______．
7．（2023·广东·九年级专题练习）如图，等边 的边长为 ，点 是边 上一动点，将等边
沿过点 的直线折叠，该直线与直线 交于点 ，使点 落在直线 上的点 处，且
折痕为 则 的长为 ．
3．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接
BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点
G的运动路径= ， CEF面积的最小值是 ．
△8．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，
∠ABC＝45°，AB＝2 ，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝ ，求CD的长；
小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一
线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．
（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE， ∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．
9．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）已知，点B在线段CE上．
【感知】（1）如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，易知 ACB∽△AED（不要求证明）；
【拓展】（2）如图②， ACE中，AC＝AE，且∠ABD△＝∠E，求证： ACB∽△BED；
【应用】（3）如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，△BC＝2，则 ABD与 BDE的面
积比为 ． △ △ △10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）问题背景：如图1，在四边形 中，点 为 上一点，
，求证： ．（无需证明）
(1)探究：如图2，在四边形 中，点 为 上一点，当 时，上述结论是否依然
成立？说明理由．(2)应用：请利用（1）获得的经验解决问题：如图3，在 中， ，
，点 以每秒1个单位长度的速度，由点 出发，沿边 向点 运动，且满足 ，
设点 的运动时间为 （秒），当以 为圆心，以 为半径的圆与 相切时，求 的值．
(3)拓展：在（2）的条件下，当 时，直接写出点 在边 上所走的总路程 __________．
11．（2024·绵阳市·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长等于 ，P是BC边上的一动点，
∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．
（1）求证：△BEP∽△CPF；（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．
12．（2024·广东·九年级专题练习）问题提出
（1）如图1，在矩形 中， ，点E为 的中点，点F在 上，过点E作 交
于点G．若 ，则 的面积为_________．
问题探究（2）如图2，在矩形 中， ，点P是 边上一动点，点Q是 的中点将． 沿着 折叠，点A的对应点是 ，将 沿着 折叠，点D的对应点是 ．请问是否
存在这样的点P，使得点P、 、 在同一条直线上？若存在，求出此时 的长度；若不存在，请说明
理由．
问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形
中， ，点D到 的距离为 ，且 ．若过点D作 ，过
点A作 的垂线，交 于点E，交 的延长线于点H，过点C作 于点F，连接 ．设
的长为 ，四边形 的面积为 ．①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你
帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
13．（2023·湖南·统考中考真题）如图， ，点 是线段 上的一点，且 ．已
知 ．(1)证明： ．(2)求线段 的长．
14．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形 中， ， ， ，
，点E是射线 上一点（不与点A、B重合），联结 ，过点E作 交射线 于点
F，联结 ．设 ．(1)求 的长；(2)如图，当点E在线段 上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果 是以 为腰的等腰三角形，求 的长．
15．（2023·四川成都·校考三模）在矩形 中， ， ．点 为 边上一动点，连接 ，
在 右侧作 ， ， ．
(1)如图1，若点 恰好落在 边上，求 的长；
(2)如图2，延长 交 边于点 ，当 时，求 的值；
(3)连接 ，当 为等腰三角形时，求 的长．
16．（2023秋·河北保定·八年级统考期中）如图， ， 于点 ， 于点 ，且
， ，点 是线段 上一动点．（1）当 时， ；（2）点 从点 以每分钟 个单位长度的速度向点 运动，点 从点
以每分钟2个单位长度的速度向点 运动， 、 两点同时出发，运动 分钟后， 与
全等．
17．（2023·吉林长春·九年级校联考期中）[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不
与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明）
[探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合），
（1）求证：△DAP∽△PBC．
（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长.
[应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作
，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长.
18．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图 ，点 是线段 上的一点， ， ，
，垂足分别为 ， ， ， ．求证： ；
【类比迁移】(2)如图 ，一次函数 的图象与 轴交于点 、与 轴交于点 ，将线段 绕点逆时针旋转 得到 、直线 交 轴于点 ．①求点 的坐标；②求直线 的解析式；
【拓展延伸】(3)如图 ，抛物线 与 轴交于 ， 两点 点 在点 的左侧 ，与 轴交于
点，已知点 ， ，连接 ．抛物线上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的横
坐标．
