文档文本内容
专题 1.1 三角形的边（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
题型归纳
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:3)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:19)........................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:19)....................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:19)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:19)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:41)(cid:48)(cid:49)(cid:19)............................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:19)............................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:25)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:34)(cid:19)....................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:25)(cid:58)(cid:32)(cid:19)....................................................................................................................................8
+
A
举一反三 A
科
全
★
号
众
公
注
关
知识点1 三角形的有关概念 源 ，
资
辅
教
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三要素
3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形 ABC用符号表示为△ABC.
知识点2 三角形的分类
1.等腰三角形的定义
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹
角叫做底角.
2.三角形的分类(1) 按边分类
三边都不相等的三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角
等边三角形
（2）按角分类 形
直角三角形
三角形
锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
知识点3 三角形的三边关系
1.性质：三角形的任何两边的和大于第三边
(cid:59)(cid:60)(cid:10)三角形的任何两边的差小于第三边.
2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三
+
A
A
科
全
角形；反之，则不能组成三角形. 号 ★
众
公
注
关
【题型1 三角形的有关概念】 源 ，
资
辅
教
(cid:15)(cid:61)1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:16)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:74)(cid:71)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:76)(cid:26)(cid:62) (cid:72)(cid:77)(cid:78)
A(cid:78)3 B(cid:78)4 C(cid:78)5 D(cid:78)6
(cid:15)(cid:79)(cid:80)1-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:67)(cid:83)(cid:83)(cid:84)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:11)(cid:32)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:40)(cid:73)(cid:82)(cid:74)(cid:24)(cid:75)(cid:95)(cid:96)(cid:71)(cid:97)(cid:98)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:28)(cid:25)(cid:99)(cid:62)(cid:100)(cid:100)(cid:72)
A(cid:78) B(cid:78)
C(cid:78) D(cid:78)(cid:15)(cid:79)(cid:80)1-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:101)(cid:102)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:103)(cid:104)(cid:10)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:82)(cid:108)(cid:109)(cid:20)(cid:10)
(cid:62)1(cid:72)(cid:74)(cid:71)(cid:26)_______(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:96)(cid:71)(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:99)______(cid:78)
(cid:62)2(cid:72)(cid:111)(cid:54)(cid:55)AC(cid:112)(cid:7)(cid:76)(cid:33)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:99)___________(cid:78)
(cid:62)3(cid:72)(cid:54)(cid:55)CD(cid:113)(cid:114)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:99)_______(cid:75)BD(cid:33)(cid:113)(cid:115)(cid:25)(cid:23)(cid:99)________(cid:78)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)1-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)·(cid:70)(cid:120)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:111)(cid:121)A(cid:122)B(cid:122)C(cid:122)D(cid:122)E(cid:71)(cid:25)(cid:123)(cid:124)3(cid:121)(cid:112)(cid:125)(cid:121)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:76)(cid:26)(cid:126)(cid:77)(cid:75)(cid:127)(cid:114)(cid:74)(cid:71)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:22)(cid:23)(cid:24).
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
【题型2 三角形的分类】 资 源
辅
教
(cid:15)(cid:61)2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:132)(cid:102)(cid:133)(cid:134)·(cid:135)(cid:55)(cid:136)(cid:137)(cid:72)(cid:3)(cid:138)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:75)(cid:26)(cid:73)(cid:74)(cid:113)(cid:139)(cid:25)(cid:140)(cid:122)(cid:141)(cid:91)(cid:142)(cid:29)(cid:143)(cid:75)(cid:95)
(cid:62) (cid:72)
A(cid:78)(cid:140)(cid:122)(cid:141)(cid:91)(cid:142)(cid:29)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146) B(cid:78)(cid:140)(cid:122)(cid:141)(cid:91)(cid:142)(cid:29)(cid:143)(cid:144)(cid:147)(cid:148)
C(cid:78)(cid:140)(cid:25)(cid:29)(cid:143)(cid:147)(cid:148)(cid:75)(cid:141)(cid:25)(cid:29)(cid:143)(cid:145)(cid:146) D(cid:78)(cid:140)(cid:25)(cid:29)(cid:143)(cid:145)(cid:146)(cid:75)(cid:141)(cid:25)(cid:29)(cid:143)(cid:147)(cid:148)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)2-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:149)(cid:84)(cid:150)(cid:151)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75) (cid:152)(cid:89)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:85)(cid:157)(cid:29)(cid:75)(cid:158)(cid:159)(cid:129) (cid:75)(cid:95) (cid:160)
(cid:161)(cid:37)(cid:99)(cid:62) (cid:72) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶A(cid:78)(cid:85)(cid:77)(cid:110)(cid:23)(cid:75)(cid:85)(cid:77)(cid:162)(cid:23) B(cid:78)(cid:91)(cid:77)(cid:163)(cid:23)
C(cid:78)(cid:85)(cid:77)(cid:163)(cid:23)(cid:75)(cid:85)(cid:77)(cid:162)(cid:23) D(cid:78)(cid:91)(cid:77)(cid:162)(cid:23)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)2-2(cid:19)(cid:62)23-24(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:16)(cid:67)·(cid:70)(cid:120)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:114)Rt (cid:71)(cid:75) =90°(cid:75) =30°(cid:78)(cid:164)(cid:121)P(cid:165)(cid:121)C(cid:129)
(cid:166)(cid:75)(cid:167)(cid:33) (cid:75) (cid:168)(cid:121)A(cid:169)(cid:164)(cid:78)(cid:114)(cid:121)P(cid:169)(cid:164)(cid:170)(cid:171)(cid:71)(cid:75) △𝐴𝐵(cid:161)𝐶(cid:37)(cid:40)∠(cid:112)𝐴(cid:25)(cid:172)(cid:173)(cid:22)∠(cid:23)𝐵(cid:24)(cid:174)(cid:175)(cid:99)(cid:62) (cid:72)
𝐶𝐵 𝐵𝐴 △𝑃𝐴𝐶
A(cid:78)(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
B(cid:78)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:176)(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
C(cid:78)(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:176)(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
D(cid:78)(cid:57)(cid:176)(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:176)(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:79)(cid:80)2-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:177)(cid:178)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:179)M(cid:180)(cid:139)(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
★
(cid:75)全N(cid:180)(cid:139)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)P(cid:180)(cid:139)(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)
号
众
公
注
Q(cid:180)(cid:139)(cid:57)(cid:176)(cid:110)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:78)(cid:82)(cid:108)(cid:181)(cid:77)(cid:74)(cid:71)(cid:75)(cid:37)关(cid:145)(cid:146)(cid:180)(cid:139)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:3)(cid:34)(cid:25)(cid:99)(cid:62)(cid:100)(cid:100)(cid:72)
，
源
资
辅
教
A(cid:78) B(cid:78)
C(cid:78) D(cid:78)
【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】
(cid:15)(cid:61)3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:101)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:135)(cid:55)(cid:136)(cid:137)(cid:72)(cid:189)(cid:26)(cid:190)(cid:191)(cid:29)(cid:192)(cid:112)2cm(cid:75)3cm(cid:75)4cm(cid:75)5cm(cid:75)6cm(cid:25)(cid:193)(cid:153)(cid:54)(cid:55)(cid:75)
(cid:111)(cid:96)(cid:71)(cid:25)(cid:22)(cid:153)(cid:54)(cid:55)(cid:112)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:48)(cid:194)(cid:161)(cid:111)(cid:39)(cid:40) (cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)3-1(cid:19)(cid:62)2025·(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)·(cid:199)(cid:200)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:26)(cid:140)(cid:122)(cid:141)(cid:91)(cid:88)(cid:201)(cid:90)(cid:75)(cid:189)(cid:32)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:96)(cid:71)(cid:85)(cid:88)(cid:201)(cid:90)(cid:202)(cid:205)(cid:75)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:25)
(cid:91)(cid:88)(cid:201)(cid:90)(cid:160)(cid:209)(cid:85)(cid:88)(cid:201)(cid:90)(cid:37)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:95)(cid:202)(cid:205)(cid:25)(cid:201)(cid:90)(cid:99)( )
A(cid:78)(cid:140) B(cid:78)(cid:141) C(cid:78)(cid:140)(cid:210)(cid:141) D(cid:78)(cid:140)(cid:210)(cid:141)(cid:144)(cid:56)(cid:161)(cid:111)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)3-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:16)(cid:67)(cid:211)(cid:84)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:32)13(cid:88)(cid:57)(cid:190)(cid:212)(cid:213)(cid:90)(cid:94)(cid:40)(cid:85)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:212)(cid:213)(cid:90)(cid:56)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:122)(cid:177)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:36)(cid:75)(cid:95)(cid:37)(cid:221)(cid:129)(cid:56)(cid:87)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:77)(cid:43)(cid:99)(cid:62) (cid:72)
A(cid:78)3(cid:77) B(cid:78)4(cid:77) C(cid:78)5(cid:77) D(cid:78)6(cid:77)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)3-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:195)(cid:196)(cid:222)(cid:84)·(cid:70)(cid:120)(cid:72)(cid:223)(cid:87)(cid:11)(cid:32)5cm(cid:122)7cm(cid:122)9cm(cid:122)13cm(cid:25)(cid:181)(cid:88)(cid:201)(cid:89)(cid:90)(cid:221)(cid:129)(cid:56)(cid:87)(cid:24)
(cid:224)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:77)(cid:43)(cid:112)(cid:62) (cid:72)
A(cid:78)1 B(cid:78)2 C(cid:78)3 D(cid:78)4
【题型4 利用三边关系求参数范围】
(cid:15)(cid:61)4(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:67)(cid:83)(cid:225)(cid:226)·(cid:70)(cid:120)(cid:72)(cid:103)(cid:104)(cid:85)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:71)(cid:91)(cid:153)(cid:33)(cid:25)(cid:190)(cid:29)(cid:192)(cid:99) a、b(cid:75)(cid:227) a＞b(cid:75)(cid:228)(cid:229)(cid:130)(cid:77)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:230)(cid:190) L(cid:25)(cid:50)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:99)(cid:62) ）
A(cid:78)3b＜L＜3a B(cid:78)2a＜L＜2（a+b）
C(cid:78)a+2b＜L＜2a+b D(cid:78)3a﹣b＜L＜3a+b
(cid:15)(cid:79)(cid:80)4-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:149)(cid:84)(cid:150)(cid:151)·(cid:70)(cid:120)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:190)(cid:29)(cid:192)(cid:112)2(cid:75)5(cid:75) (cid:75)(cid:95)x(cid:25)(cid:50)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:99) (cid:78)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)4-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:231)(cid:196)(cid:232)(cid:233)·(cid:135)(cid:55)(cid:136)(cid:137)(cid:72)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:230)(cid:190)(cid:99)20cm(cid:75)3(cid:176)−2(cid:190)𝑥(cid:112) cm(cid:75)(cid:95)x(cid:25)(cid:50)(cid:49)(cid:44)
(cid:45)(cid:112) (cid:78) 𝑥
+
A
A
科
(cid:15)(cid:79)(cid:80)4-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:67)(cid:83)(cid:225)(cid:226)·(cid:70)(cid:120)(cid:72)(cid:85)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)3★ (cid:33)(cid:190)全(cid:29)(cid:192)(cid:99) cm(cid:122)( )cm(cid:75)( +2)cm(cid:75)
号
众
公
注
(cid:182)(cid:25)(cid:230)(cid:190)(cid:56)(cid:234)(cid:170)39cm(cid:78)(cid:95)x(cid:25)(cid:50)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:99)关(cid:62) (cid:72) 𝑥 3𝑥−3 𝑥
，
源
资
辅
5 教 5
A(cid:78) < <5 B(cid:78)5< 8 C(cid:78) < 8 D(cid:78)1< <5
3 3
𝑥 𝑥≤ 𝑥≤ 𝑥
【题型5 利用三边关系化简】
(cid:15)(cid:61)5(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:235)(cid:186)(cid:236)(cid:237)·(cid:135)(cid:55)(cid:136)(cid:137)(cid:72)(cid:179)a(cid:75)b(cid:75)c(cid:99) (cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:75)
(1)(cid:46)(cid:47) + △𝐴𝐵𝐶
(2)(cid:206)b(cid:75)|𝑎c−(cid:238)𝑏(cid:239)𝑐|−2|𝑏−+𝑐−𝑎| =0(cid:75)(cid:227)a(cid:112)(cid:240)(cid:171)| |=2(cid:25)(cid:241)(cid:75)(cid:35)(cid:36) (cid:25)(cid:24)(cid:224)(cid:242)(cid:243)(cid:53)(cid:244)(cid:245)(cid:78)
2
(cid:15)(cid:79)(cid:80)5-1(cid:19)(cid:62)2(𝑏4-−235)(cid:63)(cid:64)|𝑐(cid:65)−(cid:66)5|·(cid:246)(cid:247)(cid:246)(cid:178)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:206)𝑥(cid:85)−3(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:190)△(cid:29)𝐴(cid:192)𝐵(cid:112)𝐶 2(cid:75)x(cid:75)7(cid:75)(cid:46)(cid:47)| | | |
(cid:25)(cid:248)(cid:249)(cid:99)(cid:62)(cid:100)(cid:100)(cid:72) 𝑥−5 −2 𝑥−12
A(cid:78) +19 B(cid:78) C(cid:78) +7 D(cid:78)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)−5-𝑥2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)3(cid:66)𝑥−·2(cid:250)9(cid:134)(cid:251)(cid:252)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:103)−(cid:104)𝑥(cid:85)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:190)−(cid:29)𝑥−(cid:192)2(cid:112)9 2(cid:75)4(cid:75)m(cid:78)(cid:46)(cid:47)(cid:10)| | | |
+| |(cid:78) 𝑚−2 − 𝑚−1
(cid:15)(cid:79)𝑚(cid:80)−65-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:181)(cid:253)(cid:254)(cid:235)·(cid:135)(cid:55)(cid:136)(cid:137)(cid:72)(cid:103)(cid:104) (cid:75) (cid:75) (cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:190)(cid:75)(cid:46)(cid:47)(cid:10)| |+| |
| + |=(cid:62) (cid:72) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−𝑏−𝑐 𝑏−𝑎−𝑐
− 𝑏A(cid:78)𝑐−+𝑎 B(cid:78) C(cid:78) + + D(cid:78)
𝑎 𝑐−𝑏 𝑎−𝑏−3𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑎−𝑏【题型6 利用三边关系求最值】
(cid:15)(cid:61)6(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:231)(cid:196)(cid:255)(cid:256)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:114) (cid:71)(cid:75) =90°(cid:75) =12(cid:75) =9(cid:75)P(cid:99)
(cid:66)(cid:25)(cid:85)(cid:77)(cid:164)(cid:121)(cid:62)(cid:56)(cid:160)(cid:121)B(cid:177)(cid:98)(cid:72).(cid:121)B(cid:160)(cid:121) (cid:3)(cid:138)(cid:110)(cid:54)△𝐴(cid:115)𝐵𝐶(cid:257)(cid:75)(cid:258)∠(cid:259)𝐴𝐶𝐵 (cid:75) (cid:75)𝐴𝐶 (cid:75)(cid:95)(cid:54)𝐵(cid:55)𝐶 (cid:25)(cid:48)(cid:201)𝐴(cid:49)𝐵
′ ′ ′ ′ ′
(cid:99) . 𝐵 𝑃𝐶 𝐶𝐵 𝐴𝐵 𝑃𝐵 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:79)(cid:80)6-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:67)(cid:83)(cid:260)(cid:67)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:114) (cid:71)(cid:75) =3(cid:75)(cid:261) (cid:262)(cid:263)5(cid:77)(cid:264)(cid:86)(cid:208)
(cid:75)(cid:95) (cid:25)(cid:48)(cid:265)(cid:49)(cid:57)(cid:138) (cid:78) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
′ ′ ′ ′
△𝐴 𝐵 𝐶 𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:79)(cid:80)6-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:101)(cid:186)(cid:266)(cid:67)·(cid:135)(cid:55)(cid:136)(cid:137)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:114) (cid:71)(cid:75) =3(cid:75) =4(cid:75) =5(cid:75)D(cid:112)
(cid:33)(cid:66)(cid:85)(cid:164)(cid:121)(cid:75)(cid:261) (cid:167) (cid:267)(cid:220)(cid:207)(cid:208) (cid:75)(cid:121)B(cid:25)(cid:115)(cid:58)(cid:121)△(cid:112)𝐴(cid:121)𝐵𝐶P(cid:75)(cid:258)𝐴(cid:259)𝐵 (cid:75)(cid:95)𝐵𝐶(cid:25)(cid:48)(cid:201)𝐴(cid:49)𝐶 (cid:112) 𝐵(cid:78)𝐶
△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐷 △𝐴𝑃𝐷 𝐶𝑃 𝐶𝑃
(cid:15)(cid:79)(cid:80)6-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:67)(cid:83)(cid:268)(cid:269)·(cid:135)(cid:55)(cid:136)(cid:137)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75) =6(cid:75) =8(cid:75) =10(cid:75)(cid:121)D(cid:99)(cid:262)(cid:270)(cid:271)(cid:85)
(cid:121)(cid:75)(cid:227)(cid:238)(cid:239) = (cid:75)(cid:95) + (cid:25)(cid:48)(cid:201)(cid:49)(cid:99) (cid:78) 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐴𝐷 2𝐶𝐷 2𝐵𝐷 𝐴𝐷【题型7 利用三边关系取舍值】
(cid:15)(cid:61)7(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:89)(cid:276)·(cid:135)(cid:55)(cid:136)(cid:137)(cid:72)(cid:32)(cid:85)(cid:153)(cid:190)41cm(cid:25)(cid:277)(cid:278)(cid:45)(cid:40)(cid:85)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:103)(cid:104)(cid:279)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:280)(cid:85)(cid:153)(cid:33)(cid:112)xcm(cid:75)(cid:280)(cid:199)(cid:153)(cid:33)(cid:99)(cid:280)(cid:85)(cid:153)(cid:33)(cid:25)3(cid:281)(cid:282)4cm(cid:78)
(1)(cid:127)(cid:32)(cid:283)x(cid:25)(cid:80)(cid:284)(cid:180)(cid:139)(cid:280)(cid:22)(cid:153)(cid:33)(cid:25)(cid:190)(cid:191)(cid:78)
(2)(cid:206)(cid:279)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:285)(cid:286)(cid:99)(cid:85)(cid:77)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:41)(cid:130)(cid:77)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:190)(cid:78)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)7-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:195)(cid:196)(cid:287)(cid:288)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:91)(cid:33) (cid:122)(cid:238)(cid:239)( ) +| |=0(cid:75)(cid:95)(cid:289)(cid:57)(cid:176)
2
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:230)(cid:190)(cid:99)(cid:62) (cid:72) 𝑎 𝑏 𝑎−3 𝑏−8
A(cid:78)9 B(cid:78)14 C(cid:78)19 D(cid:78)14(cid:210)19A +
A
科
全
★
(cid:15)(cid:79)(cid:80)7-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:235)(cid:186)(cid:290)(cid:84)·(cid:70)(cid:120)(cid:72)(cid:32)(cid:85)(cid:153)(cid:190)
众
(cid:112)号20cm(cid:25)(cid:277)(cid:278)(cid:45)(cid:40)(cid:85)(cid:77)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:291)(cid:96)(cid:85)(cid:33)(cid:25)
公
注
关
(cid:190)(cid:191)(cid:112)5cm(cid:75)(cid:209)(cid:292)(cid:91)(cid:33)(cid:25)(cid:190)(cid:112) 源 (cid:78)，
资
辅
教
(cid:15)(cid:79)(cid:80)7-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:84)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:296)(cid:33)(cid:190)(cid:112)5cm(cid:75)(cid:85)(cid:176)(cid:66)(cid:25)(cid:71)(cid:54)(cid:204)(cid:130)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:230)
(cid:190)(cid:29)(cid:112)(cid:91)(cid:157)(cid:29)(cid:75)(cid:96)(cid:297)(cid:112)4cm(cid:75)(cid:95)(cid:289)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:176)(cid:190)(cid:112)(cid:62)(cid:100)(cid:100)(cid:72)
A(cid:78)1cm B(cid:78)5cm C(cid:78)9cm D(cid:78)5cm(cid:210)9cm
【题型8 利用三边关系证明线段的不等关系】
(cid:15)(cid:61)8(cid:19)(cid:62)2025(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:67)(cid:83)(cid:83)(cid:84)·(cid:298)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:114) (cid:71)(cid:75)(cid:121) (cid:114) (cid:66)(cid:75)(cid:121) (cid:114) (cid:66)(cid:78)(cid:41)(cid:52)(cid:10)
+ > + (cid:78) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝑂 𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐶
(cid:15)(cid:79)(cid:80)8-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:246)(cid:247)(cid:98)(cid:299)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)D(cid:112) (cid:25)(cid:33) (cid:66)(cid:85)(cid:121)(cid:75)(cid:105)(cid:35)(cid:36) (cid:160) (cid:25)
(cid:230)(cid:190)(cid:184)(cid:185)(cid:25)(cid:265)(cid:201)(cid:3)(cid:34)(cid:75)(cid:242)(cid:300)(cid:111)(cid:52)(cid:53)(cid:78) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 2𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:79)(cid:80)8-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:67)(cid:83)(cid:83)(cid:84)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75) (cid:75) (cid:99)(cid:181)(cid:33)(cid:24) (cid:25)(cid:115)(cid:23)(cid:54)(cid:75)(cid:227) (cid:75) (cid:92)(cid:93)(cid:138)
(cid:121)O(cid:78)(cid:41)(cid:52)(cid:10) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
(1) + < + (cid:301)
(2)
𝐴𝐵
+
𝐶𝐷
>
𝐴1
(
𝐶
+
𝐵𝐷
+ + )(cid:78)
2
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:79)(cid:80)8-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:246)(cid:247)(cid:246)(cid:178)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:103)(cid:104)(cid:10)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:121)D(cid:99) ABC(cid:271)(cid:85)(cid:121)(cid:78)(cid:41)(cid:52)(cid:10)
+
A
A
科
★
全△
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)BD(cid:302)CD(cid:303)AB(cid:302)AC(cid:301)
(2)AD(cid:302)BD(cid:302)CD(cid:303)AB(cid:302)BC(cid:302)AC(cid:78)
【题型9 三边关系的应用】
(cid:15)(cid:61)9(cid:19)(cid:62)2025·(cid:67)(cid:83)(cid:225)(cid:226)·(cid:22)(cid:200)(cid:72)(cid:201)(cid:304)(cid:114)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:167)(cid:308)(cid:56)(cid:87)(cid:309)(cid:310)(cid:305)(cid:311)(cid:78)(cid:73)(cid:74)(cid:71)(cid:25)(cid:312)(cid:313)(cid:54)(cid:153)(cid:180)(cid:139)4(cid:153)(cid:56)(cid:87)(cid:309)(cid:310)(cid:75)
(cid:29)(cid:192)(cid:314)(cid:315)(cid:112)P(cid:122)Q(cid:122)R(cid:122)S(cid:78)(cid:127)(cid:109)(cid:130)4(cid:153)(cid:309)(cid:310)(cid:165)(cid:48)(cid:316)(cid:208)(cid:48)(cid:190)(cid:25)(cid:145)(cid:146)(cid:317)(cid:108)(cid:318)(cid:319)(cid:99)(cid:62) (cid:72)
A(cid:78)P(cid:75)Q(cid:75)R(cid:75)S B(cid:78)P(cid:75)R(cid:75)S(cid:75)Q C(cid:78)Q(cid:75)S(cid:75)P(cid:75)R D(cid:78)R(cid:75)P(cid:75)S(cid:75)Q
(cid:15)(cid:79)(cid:80)9-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:81)(cid:64)(cid:65)(cid:82)·(cid:101)(cid:186)(cid:320)(cid:321)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75) (cid:122) (cid:112)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:33)(cid:91)(cid:121)(cid:75)(cid:201)(cid:53)(cid:114)(cid:322)(cid:323)(cid:25)(cid:85)(cid:325)(cid:50)(cid:85)(cid:121) (cid:75)
(cid:326)(cid:207) =16(cid:327)(cid:75) =12(cid:327)(cid:75) (cid:122) (cid:185)(cid:25)(cid:328)(cid:329)(cid:161)(cid:37)(cid:99)(cid:62) 𝐴 (cid:72)𝐵 𝑂
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴 𝐵A(cid:78)25(cid:327) B(cid:78)30(cid:327) C(cid:78)35(cid:327) D(cid:78)40(cid:327)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)9-2(cid:19)(cid:62)2025·(cid:195)(cid:196)(cid:330)(cid:235)·(cid:199)(cid:200)(cid:72)(cid:22)(cid:88)(cid:296)(cid:331)(cid:115)(cid:276)(cid:25)(cid:201)(cid:90)(cid:71)(cid:26)(cid:85)(cid:88)(cid:152)(cid:332)(cid:333)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:75)(cid:182)(cid:183)(cid:25)(cid:190)(cid:191)(cid:73)(cid:74)(cid:113)(cid:139)(cid:78)(cid:206)
(cid:22)(cid:88)(cid:201)(cid:90)(cid:161)(cid:111)(cid:45)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:95)(cid:280)(cid:22)(cid:88)(cid:201)(cid:90)(cid:25)(cid:190)(cid:191)(cid:161)(cid:111)(cid:99)(cid:62) (cid:72)
A(cid:78)2 B(cid:78)3 C(cid:78)4(cid:210)5 D(cid:78)6
(cid:15)(cid:79)(cid:80)9-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:235)(cid:102)(cid:190)(cid:334)·(cid:70)(cid:120)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:11)(cid:335)(cid:164)(cid:336)(cid:66)(cid:75)(cid:85)(cid:43)(cid:11)(cid:201)(cid:39)(cid:25)(cid:87)(cid:11)(cid:204)(cid:337)(cid:153)(cid:57)(cid:29)(cid:40)14
+
A
(cid:338)(cid:75)(cid:73)(cid:249)(cid:280)(cid:85)(cid:175)(cid:114)(cid:202)(cid:203)(cid:339)(cid:202)(cid:36)(cid:75)(cid:340)(cid:341)(cid:202)(cid:85)(cid:203)(cid:75)(cid:291)(cid:22)(cid:55)(cid:37)(cid:342)(cid:40)(cid:57)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)科(cid:75)(cid:228)A(cid:229)(cid:280)(cid:199)(cid:175)(cid:161)(cid:111)(cid:114) (cid:339)(cid:202)
全
★
号
众
(cid:36)(cid:78)(cid:62)(cid:194)(cid:343)(cid:75)(cid:344)(cid:345)(cid:319)(cid:9)(cid:72) 公
注
关
，
源
资
辅
教
