文档文本内容
专题 13.4 三角形的外角（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:19)........................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:41)(cid:20)(cid:19)........................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:25)(cid:41)(cid:20)(cid:19)............................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:44)(cid:40)(cid:23)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:19)........................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:23)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:25)(cid:47)(cid:48)(cid:19)................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:45)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:49)(cid:3)(cid:25)(cid:50)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:20)(cid:19)............................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:45)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:49)(cid:3)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:41)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:19)......................................................................................................................11
教辅资源，关注公众号 全科AA+
知识点 三角形的外角
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角(cid:57)
2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(cid:57)
3.三角形的外角和等于360°(cid:57)
在 ABC 中， ACD是 ABC 的一个外角， ACD= CAB+ ABC, ACD+ CBF+ BAE=360°(cid:57)
△ ∠ △ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
【题型1 三角形的外角定义】
(cid:15)(cid:58)1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:23)(cid:40)(cid:75) (cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:75)(cid:59) (cid:69)
△𝐴𝐶𝐷
A(cid:57) B(cid:57) C(cid:57) D(cid:57)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)∠1-𝐵1(cid:19)(cid:59)2023(cid:60)(cid:61)(cid:62)∠(cid:63)𝐴·𝐶(cid:78)𝐵(cid:79)·(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:70)∠(cid:71)𝐵(cid:72)𝐴𝐶 (cid:75) (cid:83) ∠ 𝐷 𝐴(cid:25)𝐸(cid:26)(cid:23)(cid:84)(cid:85) (cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:25)(cid:22)(cid:23)
∠𝐴𝐷𝐵 △ △ 𝐴𝐶(cid:24)(cid:49) (cid:90)(cid:57)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)1-2(cid:19)(cid:59)23-24(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:73)(cid:71)(cid:40) 1(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:87)(cid:90)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:75)(cid:59) (cid:69)
∠
A(cid:57) B(cid:57) C(cid:57) D(cid:57)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)1-3(cid:19)(cid:59)23-24(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:95)(cid:96)(cid:96)(cid:97)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:22)(cid:90)(cid:103)(cid:23)(cid:72)(cid:104)(cid:53)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:103)(cid:23)(cid:72)(cid:107)(cid:49)(cid:26)
(cid:23)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:87)(cid:88)(cid:45)(cid:108)(cid:87)(cid:88)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:89)(cid:39)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:114)(cid:115)(cid:11)(cid:99)(cid:116)(cid:117)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:87)(cid:90)(cid:26)(cid:23)(cid:72)(cid:118)
(cid:119)(cid:120)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:87)(cid:90)(cid:26)(cid:23)(cid:121)(cid:122)(cid:45)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:25)(cid:127)(cid:90)(cid:103)(cid:23)(cid:128)(cid:83)(cid:57)
(cid:129)(cid:101)(cid:10)__________________
(cid:32)(cid:119)(cid:10)__________________
(cid:119)(cid:120)(cid:10)
【题型2 由三角形的外角性质求角的度数】
(cid:15)(cid:58)2(cid:19)(cid:70)(cid:130)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:87)(cid:90)(cid:26)(cid:23)(cid:45)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:25)(cid:127)(cid:90)(cid:103)(cid:23)(cid:25)(cid:83)(cid:86)180°(cid:72)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:59) (cid:69)
A(cid:57)(cid:134)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24) B(cid:57)(cid:135)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
C(cid:57)(cid:136)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24) D(cid:57)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:27)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)2-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)·(cid:68)(cid:145)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:146) (cid:40)(cid:72) =75°(cid:72) =60°(cid:72)(cid:147)(cid:26)(cid:23) (cid:25)
(cid:33)(cid:34)(cid:86) °(cid:57) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:76)(cid:77)2-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:97)(cid:148)(cid:97)(cid:149)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:72)(cid:22)(cid:90)(cid:103)(cid:23)(cid:25)(cid:150)(cid:86)1:3:5(cid:72)(cid:147)(cid:151)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:152)(cid:153)(cid:25)
(cid:26)(cid:23)(cid:86)(cid:59) (cid:69)
A(cid:57)100° B(cid:57)120° C(cid:57)160° D(cid:57)165°(cid:15)(cid:76)(cid:77)2-3(cid:19)(cid:59)22-23(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:91)(cid:92)(cid:154)(cid:155)(cid:156)·(cid:68)(cid:145)(cid:69)(cid:129)(cid:101)(cid:121)(cid:157)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:87)(cid:90)(cid:26)(cid:23)(cid:75)90°(cid:72)(cid:147)(cid:133)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:59) (cid:69)
A(cid:57)(cid:136)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24) B(cid:57)(cid:135)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
C(cid:57)(cid:134)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24) D(cid:57)(cid:135)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:158)(cid:136)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
【题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】
(cid:15)(cid:58)3(cid:19)(cid:59)23-24(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:141)(cid:142)(cid:159)(cid:97)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72) =80°(cid:72) =100°(cid:72)(cid:160) (cid:57)(cid:161) =3:2(cid:72)(cid:32)
(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:57) ∠1 ∠2 𝐴𝐶∥𝐷𝐹 ∠𝐶:∠𝐴
∠𝐷
(cid:15)(cid:76)(cid:77)3-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:63)(cid:162)(cid:163)(cid:164)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:129)(cid:101) =130°(cid:72) (cid:72) =100°(cid:72)
=20°(cid:72)(cid:32) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:57) ∠𝐵𝐶𝐷 𝐸𝐹∥𝐷𝐶 ∠𝐸𝐴𝐹
∠𝐸𝐹𝐴 ∠𝐵
(cid:15)(cid:76)(cid:77)3-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:165)(cid:166)(cid:141)(cid:167)(cid:167)(cid:168)(cid:169)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:45) (cid:170)(cid:122)(cid:171) (cid:72)(cid:171) (cid:146)(cid:134)(cid:39) (cid:63)(cid:72) (cid:170)
(cid:122)(cid:171) (cid:72) = (cid:72) = (cid:72) = (cid:57)𝐴𝐵(cid:147) 𝐻𝑁 𝐸 (cid:25)𝐺(cid:33)(cid:34)(cid:75) 𝐶 𝐷(cid:57) 𝐺𝐹 𝐴𝐵
𝑀 ∠𝐹𝑀𝐴 ∠𝐹𝐺𝐶 ∠𝐹𝐸𝑁 2∠𝑁𝐸𝐵 ∠𝐹𝐺𝐻 2∠𝐻𝐺𝐶 3∠𝐸𝐻𝐺−∠𝐸𝐹𝑀
(cid:15)(cid:76)(cid:77)3-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:141)(cid:142)(cid:172)(cid:144)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:129)(cid:101)(cid:10)(cid:70)(cid:71)1(cid:72)(cid:146)(cid:22)(cid:23)(cid:24) (cid:40)(cid:72) = =65°(cid:72)
(cid:173)(cid:39)(cid:174) (cid:175)(cid:134)(cid:39) (cid:37)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:39)(cid:174) (cid:72)(cid:179)(cid:180) (cid:57) 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 40°,∠𝐶
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐸
(1)(cid:181) =65°(cid:182)(cid:72)(cid:114)(cid:183)(cid:120) (cid:57)
∠𝐸 𝐴𝐸∥𝐵𝐶(2)(cid:70)(cid:71)2(cid:72)(cid:181) (cid:146) (cid:63)(cid:184)(cid:182)(cid:72)(cid:160) = (cid:182)(cid:72)(cid:32) (cid:45) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:57)
(3)(cid:181) (cid:185)(cid:134)(cid:22)𝐷(cid:23)𝐸(cid:24)𝐴𝐶 (cid:40)(cid:25)(cid:87)(cid:88)(cid:182)∠𝐸(cid:72)(cid:134)2(cid:186)∠𝐵(cid:187)𝐴(cid:117)𝐸−(cid:188)2(cid:49)9°(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:192)∠𝐵(cid:25)𝐴𝐸 (cid:25)∠(cid:33)𝐸𝐴(cid:34)𝐶(cid:57)
【题型
𝐴𝐸4
由三角形
𝐴
的
𝐵𝐶
外角性质解决翻折中的问题】
∠𝐸
(cid:15)(cid:58)4(cid:19)(cid:59)23-24(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:91)(cid:92)(cid:193)(cid:155)(cid:194)·(cid:68)(cid:145)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:173)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:195)(cid:196) (cid:197)(cid:70)(cid:71)(cid:184)(cid:77)(cid:43)(cid:198)(cid:10)(cid:43)(cid:199)(cid:46)(cid:200)(cid:86) (cid:83)
(cid:72)(cid:171)A(cid:45) (cid:88)(cid:63)(cid:25)(cid:171)G(cid:201)(cid:48)(cid:72)(cid:171)B(cid:45) (cid:111)(cid:89)(cid:39)(cid:63)(cid:25)(cid:171)F(cid:201)(cid:48)(cid:57)𝐴(cid:161)𝐵(cid:189)𝐶(cid:190) =38°(cid:72)(cid:147) = 𝐷 𝐶 °(cid:57)
𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐺 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐶𝐸𝐹
(cid:15)(cid:76)(cid:77)4-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:164)(cid:202)(cid:203)(cid:204)·(cid:205)(cid:174)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:121)(cid:157) (cid:195)(cid:196)(cid:59) = (cid:69)(cid:206)(cid:197)(cid:71)(cid:40)(cid:188)(cid:207)(cid:184)(cid:138)(cid:43)(cid:113)(cid:87)
(cid:90)(cid:208)(cid:88)(cid:24)(cid:72)(cid:171) (cid:45)(cid:171) (cid:201)(cid:48)(cid:57)(cid:171) (cid:45)(cid:171) (cid:201)(cid:48)(cid:72)(cid:114)(cid:41)(cid:209)(cid:121)(cid:157) △𝐴𝐵𝐶(cid:40)(cid:25) 𝐴=𝐵(cid:59)(cid:210)𝐴𝐶(cid:210)(cid:69)(cid:33)(cid:57)
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵
A(cid:57)60° B(cid:57)70° C(cid:57)45° D(cid:57)72°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)4-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:211)(cid:202)(cid:212)(cid:213)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:146) (cid:40)(cid:72) =44°(cid:72)(cid:171) (cid:72) (cid:46)(cid:200)(cid:75) (cid:214) (cid:88)
(cid:63)(cid:25)(cid:171)(cid:72)(cid:173) (cid:175) (cid:188)(cid:146)(cid:134)(cid:39)(cid:215)(cid:43)(cid:72)(cid:177)(cid:178) (cid:57)(cid:161)△𝐴𝐵𝐶=136∠°𝐵(cid:72)(cid:147) (cid:25)𝐷(cid:33)(cid:34)𝐸(cid:86)(cid:59) (cid:69)𝐵𝐴 𝐵𝐶
△𝐵𝐷𝐸 𝐷𝐸 △𝐹𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝐶𝐸𝐹
A(cid:57)46° B(cid:57)48° C(cid:57)50° D(cid:57)52°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)4-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:216)(cid:141)(cid:217)(cid:144)·(cid:68)(cid:145)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:173) (cid:175) (cid:43)(cid:198)(cid:177)(cid:178) (cid:72)(cid:218)(cid:173) (cid:175)
(cid:43)(cid:198)(cid:177)(cid:178) (cid:72)(cid:179)(cid:186) (cid:72)(cid:170) (cid:72) (cid:122)(cid:171) (cid:72) (cid:72)(cid:179)(cid:186) △(cid:72)𝐴𝐵𝐶 (cid:72)𝐴𝐶 (cid:45) (cid:125)(cid:170)△(cid:122)𝐴𝐷(cid:171)𝐶 (cid:72)(cid:161) △𝐴𝐷=𝐶 (cid:72)𝐴𝐷(cid:147)
(cid:25)(cid:33)△(cid:34)𝐴(cid:86)𝐷(cid:59)𝐸 (cid:210)(cid:210)(cid:69)𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝑀 𝑁 𝐶𝑁 𝐷𝑀 𝐶𝑁 𝐷𝑀 𝐹 ∠𝐵𝐴𝐶 𝛼
∠𝐶𝐹𝐷A(cid:57)90°+ B(cid:57)90°+ C(cid:57) D(cid:57)
2 2
3𝛼 3𝛼
2𝛼 180°−2𝛼 180°−
【题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】 教辅资源，关注公众号 全科AA+
(cid:15)(cid:58)5(cid:19)(cid:59)2025·(cid:64)(cid:65)·(cid:40)(cid:219)(cid:220)(cid:20)(cid:69)(cid:221)(cid:34)(cid:11)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:112)(cid:86)(cid:51)(cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:49)(cid:3)(cid:30)(cid:31)(cid:72)(cid:56)(cid:87)(cid:225)(cid:22)(cid:23)(cid:226)(cid:197)(cid:70)(cid:71)(cid:188)(cid:207)(cid:25)(cid:184)
(cid:77)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:104)(cid:40)(cid:171)A(cid:72)E(cid:72)C(cid:72)F(cid:146)(cid:115)(cid:87)(cid:191)(cid:134)(cid:39)(cid:63)(cid:72) = = = =60°(cid:57)(cid:181) (cid:182)(cid:72)
(cid:25)(cid:153)(cid:224)(cid:86)(cid:59) (cid:69) ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐸𝐷𝐹 90°,∠𝐵 45°,∠𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∠𝐴𝐷𝐸
A(cid:57)5° B(cid:57)15° C(cid:57)25° D(cid:57)35°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)5-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)·(cid:68)(cid:145)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:225)(cid:46)(cid:200)(cid:233)(cid:49)30°(cid:83)45°(cid:23)(cid:25)(cid:127)(cid:90)(cid:134)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:44)(cid:72)(cid:234)(cid:113)(cid:70)
(cid:73)(cid:71)(cid:24)(cid:72)(cid:104)(cid:40) =90°(cid:72) =45°(cid:72) =30°(cid:72)(cid:147) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:59) (cid:69)
∠𝐶 ∠𝐵 ∠𝐸 ∠𝐵𝐹𝐷
A(cid:57)15° B(cid:57)20° C(cid:57)25° D(cid:57)30°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)5-2(cid:19)(cid:59)22-23(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:141)(cid:142)(cid:235)(cid:236)·(cid:68)(cid:145)(cid:69)(cid:173)(cid:87)(cid:225)(cid:134)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:44)(cid:70)(cid:71)(cid:228)(cid:237)(cid:72)(cid:129)(cid:101) =60°(cid:72) =45°(cid:72)(cid:181)
(cid:182)(cid:72) = (cid:57) ∠𝐶 ∠𝐹
𝐷𝐹⊥𝐵𝐶 ∠𝐸𝐺𝐵(cid:15)(cid:76)(cid:77)5-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:238)(cid:235)(cid:89)(cid:239)·(cid:205)(cid:174)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:173)(cid:87)(cid:225)(cid:22)(cid:23)(cid:44)(cid:197)(cid:70)(cid:71)(cid:228)(cid:237)(cid:72)(cid:134)(cid:23)(cid:240)(cid:171) (cid:201)(cid:48)(cid:72)(cid:104)(cid:40)
= =45°(cid:72) =60°(cid:72) =30°(cid:72)(cid:147)(cid:73)(cid:74)(cid:180)(cid:241)(cid:242)(cid:139)(cid:25)(cid:49)(cid:59) (cid:69) 𝐴
∠𝐵 ∠𝐶 + ∠=𝐸 180°(cid:84) ∠𝐷(cid:70)(cid:130) (cid:72)(cid:147)(cid:49) =30°(cid:84) (cid:70)(cid:130) =150°(cid:72)(cid:243)(cid:49) = (cid:84) (cid:70)
①(cid:130) ∠𝐵=𝐴3𝐸0°(cid:72)∠(cid:147)𝐶𝐴𝐷 (cid:57) ② 𝐵𝐶∥𝐴𝐷 ∠2 ③ ∠𝐶𝐴𝐷 ∠4 ∠𝐶 ④
∠2 𝐷𝐸∥𝐴𝐶
A(cid:57) B(cid:57) C(cid:57) D(cid:57)
【题型6① ③
三角
④
形的外角性
①
质与
②
角
④
平分线的综合】
②③④ ①②③④
(cid:15)(cid:58)6(cid:19)(cid:59)2025·(cid:95)(cid:96)(cid:96)(cid:97)·(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:129)(cid:101) =90°(cid:72)(cid:171)A(cid:214)B(cid:46)(cid:200)(cid:146)(cid:248)(cid:39) (cid:72) (cid:63)(cid:176)(cid:249)(cid:72)
(cid:37)(cid:46) (cid:72)(cid:170) (cid:122)(cid:171)E(cid:72) (cid:37)(cid:46) (cid:72) (cid:25)∠(cid:109)𝑀(cid:110)𝑂(cid:111)𝑁(cid:89)(cid:39)(cid:45) (cid:170)(cid:122)(cid:171)C(cid:57)(cid:3)(cid:122)(cid:180)(cid:241)𝑂𝑀Ⅰ(cid:214)Ⅱ𝑂(cid:72)𝑁(cid:73)(cid:74)(cid:250)(cid:251)(cid:242)𝐵𝐶(cid:139)
(cid:25)(cid:75)∠(cid:59)𝑂 𝐵 𝐴(cid:69) 𝑂𝑀 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝑀 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:180)(cid:241)Ⅰ(cid:10)(cid:161) =65°(cid:72)(cid:147) =20°(cid:84)
(cid:180)(cid:241)Ⅱ(cid:10)(cid:137)∠(cid:241)𝐵(cid:171)𝐴𝐷A(cid:214)B(cid:146)(cid:248)(cid:39)∠𝐴𝐵𝐶(cid:72)(cid:248)(cid:39) (cid:59)(cid:252)(cid:124)(cid:45)(cid:171)O(cid:201)(cid:48)(cid:69)(cid:63)(cid:253)(cid:254)(cid:176)(cid:249)(cid:72) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:100)(cid:124)(cid:76)
A(cid:57)(cid:255)(cid:49)(cid:180)(cid:241)Ⅰ(cid:242)(cid:139) 𝑂𝑀 𝑂𝑁 B(cid:57)(cid:255)(cid:49)(cid:180)(cid:241)Ⅱ(cid:242)(cid:139) ∠𝐶
C(cid:57)(cid:180)(cid:241)Ⅰ(cid:214)Ⅱ(cid:100)(cid:242)(cid:139) D(cid:57)(cid:180)(cid:241)Ⅰ(cid:214)Ⅱ(cid:100)(cid:124)(cid:242)(cid:139)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)6-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:63)(cid:162)(cid:256)(cid:38)·(cid:205)(cid:174)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:146) (cid:40)(cid:72) (cid:75) (cid:88)(cid:63)(cid:25)(cid:257)(cid:72) =72°(cid:72)
(cid:37)(cid:46) (cid:170) (cid:122)(cid:171)E(cid:72) =115°(cid:72)(cid:147) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:86) △𝐴(cid:57)𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐶 ∠𝐴 𝐶𝐸
∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐷 ∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:76)(cid:77)6-2(cid:19)(cid:59)2025(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:78)(cid:79)·(cid:80)(cid:20)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:171)C(cid:214)D(cid:46)(cid:200)(cid:146) (cid:25) (cid:214) (cid:88)(cid:63)(cid:258)(cid:249)(cid:59)(cid:124)(cid:45)(cid:171)O
(cid:201)(cid:48)(cid:69)(cid:57)(cid:248)(cid:39) (cid:45)(cid:248)(cid:39) (cid:46)(cid:200)(cid:146) (cid:83) (cid:103)(cid:259)(cid:72)(cid:111)(cid:89) (cid:45) (cid:170)(cid:122)∠𝐴(cid:171)𝑂𝐵F(cid:57)𝑂𝐴 𝑂𝐵
𝐶𝐸 𝐷𝐹 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝑂 𝐸𝐶 𝐷𝐹
(1)(cid:161) =90°(cid:72) (cid:214) (cid:46)(cid:200)(cid:75) (cid:83) (cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:72)(cid:260)(cid:261)(cid:10) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:262)(cid:263)C(cid:72)D(cid:25)(cid:258)(cid:249)(cid:264)(cid:265)(cid:76)
(cid:266)(cid:267)(cid:114)∠𝐴(cid:183)𝑂(cid:120)𝐵(cid:268)(cid:29)(cid:57) 𝐶𝐸 𝐷𝐹 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝑂 ∠𝐹
(2)(cid:161) = (0< <180)(cid:72) = 1 (cid:72) = 1 (cid:72)(cid:147) = °(cid:57)(cid:59)(cid:56)(cid:233)α(cid:214)n(cid:25)(cid:269)(cid:34)
(cid:77)(cid:270)(cid:207)
∠𝐴
(cid:69)
𝑂𝐵 𝛼° 𝛼 ∠𝐸𝐶𝐷 𝑛∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝐹 𝑛∠𝐶𝐷𝑂 ∠𝐹
(cid:15)(cid:76)(cid:77)6-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:164)(cid:96)(cid:271)(cid:272)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:72) = (cid:72)E(cid:75)(cid:88) (cid:63)(cid:25)(cid:87)(cid:171)(cid:72)(cid:179)(cid:186)
(cid:118)(cid:111)(cid:89)(cid:72)(cid:170) (cid:25)(cid:111)(cid:89)(cid:39)(cid:122)(cid:171)H(cid:72)F(cid:75)(cid:88) (cid:63)(cid:25)(cid:87)(cid:171)(cid:72) 𝐴𝐷(cid:37)∥(cid:46)𝐵𝐶 ∠𝐷(cid:72)(cid:273)∠𝐴𝐵𝐶 (cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:39)𝐷𝐶 (cid:72)(cid:170) (cid:122)(cid:171)G(cid:57)𝐴𝐸(cid:161)
=68°𝐵(cid:72)𝐶(cid:147) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:86) (cid:57)𝐴𝐵 𝐵𝐸 ∠𝐹𝐸𝐶 ∠𝐹𝐸𝐻 𝐸𝐺 𝐵𝐻
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐸𝐺
【题型7 与三角形的外角性质有关的新定义问题】
(cid:15)(cid:58)7(cid:19)(cid:59)23-24(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:141)(cid:142)(cid:274)(cid:141)·(cid:68)(cid:145)(cid:69)(cid:15)(cid:275)(cid:276)(cid:19)(cid:70)(cid:130)(cid:127)(cid:90)(cid:23)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:128)(cid:277)(cid:86)30°(cid:72)(cid:98)(cid:99)(cid:278)(cid:133)(cid:127)(cid:90)(cid:23)(cid:279)(cid:86)“(cid:280)
(cid:281)(cid:23)”(cid:72)(cid:104)(cid:40)(cid:87)(cid:90)(cid:23)(cid:282)(cid:283)(cid:108)(cid:87)(cid:90)(cid:23)(cid:25)“(cid:280)(cid:281)(cid:23)”(cid:72)(cid:58)(cid:70) =70°(cid:72) =40°(cid:72) =30°(cid:72)(cid:147) (cid:83) (cid:279)(cid:86)“(cid:280)
(cid:281)(cid:23)”(cid:72)(cid:284) (cid:75) (cid:25)“(cid:280)(cid:281)(cid:23)”(cid:72) (cid:285)(cid:75) (cid:25)“(cid:280)(cid:281)(cid:23)∠”1(cid:57) ∠2 ∠1−∠2 ∠1 ∠2
∠1 ∠2 ∠2 ∠1(cid:15)(cid:268)(cid:35)(cid:19)(cid:59)1(cid:69)(cid:161) =45°(cid:72)(cid:147) (cid:25)“(cid:280)(cid:281)(cid:23)”(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:86) (cid:84)
(cid:59)2(cid:69)(cid:129)(cid:101) (cid:83) ∠(cid:279)𝐴(cid:86)“(cid:280)(cid:281)(cid:23)”∠(cid:72)𝐴 > (cid:72)(cid:160) (cid:83) (cid:279)(cid:286)(cid:72) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:86) (cid:84)
(cid:59)3(cid:69)(cid:70)(cid:71)∠1(cid:72)1 (cid:173)∠2 (cid:195)(cid:196)(cid:175) (cid:43)∠1(cid:198)(cid:72)∠(cid:287)2(cid:171) (cid:288)∠(cid:146)1 (cid:208)∠(cid:88)2(cid:24) ∠1(cid:103)(cid:259) (cid:289)(cid:72)(cid:129)(cid:101) =58°(cid:72) =82°(cid:72)(cid:161)
′
(cid:83) (cid:279)△(cid:86)𝐴“𝐵(cid:280)𝐶(cid:281)(cid:23)”(cid:72)𝐷(cid:147)𝐸 (cid:25)(cid:33)𝐴(cid:34)(cid:86) (cid:84) 𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
′ ′ ′
∠(cid:15)𝐴(cid:290)𝐸(cid:291)𝐵(cid:19)∠(cid:70)𝐴(cid:71)𝐷2𝐶(cid:72)(cid:146) (cid:40)(cid:72) ∠𝐴 𝐸=𝐵90°(cid:72) (cid:75)(cid:23)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:72)(cid:292)(cid:171) (cid:273) (cid:25)(cid:185)(cid:39)(cid:72)(cid:185)(cid:190)(cid:86) (cid:72) (cid:214) (cid:125)(cid:170)
(cid:122)(cid:171) (cid:57)(cid:161) (cid:45) △𝐴𝐵(cid:279)𝐶(cid:86)“(cid:280)∠(cid:281)𝐴𝐶(cid:23)𝐵”(cid:72)(cid:32) 𝐴𝐸(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:57) 𝐶 𝐴𝐵 𝐷 𝐴𝐸 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:76)𝐹(cid:77)7-1(cid:19)∠𝐹(cid:59)𝐶𝐸24-2∠5𝐶(cid:60)𝐸𝐹(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:238)(cid:92)(cid:293)(cid:294)·(cid:205)∠(cid:174)𝐴𝐵(cid:81)𝐶(cid:82)(cid:69)(cid:146) (cid:40)(cid:72)(cid:27)(cid:28) (cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:188)(cid:146)(cid:134)(cid:39)(cid:45) (cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:37)
(cid:46)(cid:39)(cid:188)(cid:146)(cid:134)(cid:39)(cid:188)(cid:295)(cid:25)(cid:136)(cid:23) (cid:86) (cid:25)(cid:296)(cid:263)(cid:23)(cid:57) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵
∠𝐴𝑃𝐵 ∠𝐶
(1)(cid:70)(cid:71) (cid:72)(cid:146) (cid:40)(cid:72) = =60°(cid:72)(cid:147) (cid:25)(cid:296)(cid:263)(cid:23) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:86)_______(cid:84)
(2)(cid:224)(cid:120)①(cid:297)(cid:71)(cid:51)(cid:52)△(cid:298)𝐴(cid:299)𝐵𝐶 ∠𝐶(cid:40) 9(cid:25)0°,(cid:296)∠𝐵(cid:263)𝐴(cid:23)𝐶 (cid:45) ∠(cid:128)𝐶(cid:300)(cid:25)(cid:34)(cid:301)∠(cid:3)𝐴(cid:302)𝑃𝐵(cid:72)(cid:122)(cid:75)(cid:303)(cid:249)(cid:304)(cid:116)(cid:106) (cid:46)(cid:200)(cid:86)(cid:134)(cid:23)(cid:214)(cid:136)
(cid:23)(cid:214)(cid:135)(cid:23)(cid:25)(cid:22)(cid:90)(cid:71)(cid:72)(cid:305)△(cid:306)𝐴(cid:292)𝐵𝐶(cid:247)(cid:301)∠𝐶(cid:125)(cid:3)(cid:23)(cid:33)(cid:307)∠(cid:260)𝐴𝑃(cid:261)𝐵(cid:180)(cid:241)∠𝐶(cid:72)(cid:308)(cid:307)(cid:218)(cid:309)(cid:119)(cid:180)(cid:241)(cid:57) ∠𝐶
(cid:310)(cid:311)(cid:85)(cid:63)(cid:22)(cid:90)(cid:71)(cid:72)(cid:247)(cid:301)(cid:125)(cid:3)(cid:23)(cid:33)(cid:72)(cid:177)(cid:178)(cid:70)(cid:73)(cid:270)(cid:312)(cid:10)
教辅资源，关注公众号 全科
② ③ ④
(cid:25)(cid:33)(cid:34) 90° 80° 120°
AA+
∠𝐶
(cid:25)(cid:296)(cid:263)(cid:23) (cid:25)(cid:33)(cid:34) 45° 40° 60°
∠𝐶 ∠𝐴𝑃𝐵
(cid:310)(cid:311)(cid:270)(cid:312)(cid:72)(cid:224)(cid:120)(cid:177)(cid:178)(cid:106) (cid:25)(cid:296)(cid:263)(cid:23) (cid:45) (cid:128)(cid:300)(cid:25)(cid:34)(cid:301)(cid:3)(cid:302)(cid:25)(cid:260)(cid:261)_______(cid:84)
(3)(cid:114)(cid:313)(cid:314)(cid:315) (cid:75)(cid:136)(cid:23)(cid:158)∠(cid:135)𝐶(cid:23)(cid:25)(cid:316)(cid:317)∠(cid:72)𝐴(cid:116)𝑃𝐵(cid:117)(cid:71)∠(cid:24)𝐶 (cid:72)(cid:318)(cid:224)(cid:120)(cid:309)(cid:119)(cid:303)(cid:25)(cid:260)(cid:261)(cid:57)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)7-2(cid:19)∠(cid:98)𝐶(cid:99)(cid:27)(cid:28)(cid:10)(cid:146)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:72)(cid:161)(cid:87)(cid:90)(cid:23)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:108)(cid:87)(cid:90)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:25)4(cid:319)(cid:72)(cid:147)(cid:133)(cid:254)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:278)(cid:128)(cid:86)“(cid:83)(cid:320)(cid:22)(cid:23)(cid:24)”(cid:57)(cid:70)(cid:10)(cid:22)(cid:90)(cid:103)(cid:23)(cid:46)(cid:200)(cid:86)105°(cid:72)60°(cid:72)15°(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)“(cid:83)(cid:320)(cid:22)(cid:23)(cid:24)”(cid:57)
(cid:15)(cid:275)(cid:276)(cid:268)(cid:35)(cid:19)
(cid:70)(cid:71)1(cid:72) =60°(cid:72)(cid:171) (cid:146)(cid:88) (cid:63)(cid:72)(cid:292)(cid:171) (cid:273) (cid:170) (cid:122)(cid:171) (cid:72)(cid:85) (cid:86)(cid:321)(cid:171)(cid:273)(cid:248)(cid:39) (cid:72)(cid:170)(cid:39)(cid:174) (cid:122)
(cid:171) (cid:59)(cid:171)∠(cid:124)𝑀𝑂(cid:45)𝑁 (cid:72) (cid:201)(cid:48)(cid:69)𝐴 𝑂𝑀 𝐴 𝐴𝐵⊥𝑂𝑀 𝑂𝑁 𝐵 𝐴 𝐴𝐷 𝑂𝐵
(cid:59)𝐶1(cid:69) 𝐶 (cid:25)(cid:33)𝑂(cid:34)𝐵(cid:86) (cid:72) (cid:59)(cid:322)“(cid:75)”(cid:158)“(cid:124)(cid:75)”(cid:69)“(cid:83)(cid:320)(cid:22)(cid:23)(cid:24)”(cid:84)
(cid:59)2(cid:69)∠(cid:161)𝐴𝐵𝑂 =84°(cid:72)(cid:297)(cid:183)△(cid:120)𝐴(cid:10)𝑂𝐵 (cid:75)“(cid:83)(cid:320)(cid:22)(cid:23)(cid:24)”(cid:57)
(cid:15)(cid:55)(cid:56)(cid:290)∠(cid:291)𝐴𝐶(cid:19)𝐵 △𝐴𝑂𝐶
(cid:59)3(cid:69)(cid:70)(cid:71)2(cid:72)(cid:171) (cid:146) (cid:25)(cid:88) (cid:63)(cid:72)(cid:179)(cid:180) (cid:72)(cid:273) (cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:170) (cid:122)(cid:171) (cid:72)(cid:146) (cid:63)(cid:323)(cid:171) (cid:72)(cid:287)
+ =𝐷180△°(cid:72)𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝐵 (cid:57)(cid:161) 𝐷𝐶 (cid:75)“∠(cid:83)𝐴(cid:320)𝐷𝐶(cid:22)(cid:23)(cid:24)”(cid:72)(cid:114)(cid:134)𝐴𝐶(cid:186)(cid:187)(cid:117)𝐸 (cid:25)𝐷(cid:33)𝐶(cid:34)(cid:57) 𝐹
∠(cid:15)𝐸(cid:76)𝐹𝐶(cid:77)7∠-3𝐵(cid:19)𝐷(cid:59)𝐶24-25(cid:60)(cid:61)∠(cid:62)𝐷𝐸(cid:63)𝐹·(cid:95)(cid:96)∠𝐵(cid:96)(cid:97)·(cid:68)△(cid:145)𝐵(cid:69)𝐶𝐷(cid:27)(cid:28)(cid:10)(cid:146)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:72)(cid:161)(cid:87)(cid:90)∠(cid:103)𝐵(cid:23)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:108)(cid:87)(cid:90)(cid:103)(cid:23)(cid:25)
(cid:33)(cid:34)(cid:25)3(cid:319)(cid:72)(cid:147)(cid:133)(cid:254)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:278)(cid:86)“(cid:324)(cid:325)(cid:22)(cid:23)(cid:24)”(cid:57)(cid:58)(cid:70)(cid:10)(cid:22)(cid:90)(cid:103)(cid:23)(cid:46)(cid:200)(cid:86)100°,60°,20°(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)“(cid:324)(cid:325)(cid:22)(cid:23)
(cid:24)”(cid:57)
(cid:15)(cid:275)(cid:276)(cid:268)(cid:35)(cid:19)
(cid:59)1(cid:69)(cid:70)(cid:71)1(cid:72) =60°(cid:72)(cid:171) (cid:146)(cid:88) (cid:63)(cid:72)(cid:292)(cid:171) (cid:273) (cid:72)(cid:170) (cid:122)(cid:171) (cid:72)(cid:85) (cid:86)(cid:321)(cid:171)(cid:273)(cid:248)(cid:39) (cid:72)(cid:170)(cid:39)
(cid:174) (cid:122)(cid:171) (cid:59)(cid:171)∠𝑀(cid:124)𝑂𝑁(cid:45)(cid:171) (cid:201)(cid:48)𝐴(cid:69)(cid:57) 𝑂𝑀 𝐴 𝐴𝐵⊥𝑂𝑀 𝑂𝑁 𝐵 𝐴 𝐴𝐷
𝑂𝐵 𝐶_____𝐶_“(cid:324)(cid:325)(cid:22)𝑂(cid:23),𝐵(cid:24)”(cid:59)(cid:322)“(cid:75)”(cid:158)“(cid:124)(cid:75)”(cid:69)(cid:57)
①(cid:161)△𝐴𝑂𝐵 =80°(cid:72)(cid:32)(cid:119)(cid:10) (cid:75)“(cid:324)(cid:325)(cid:22)(cid:23)(cid:24)”(cid:57)
②(cid:15)(cid:55)(cid:56)∠𝐴(cid:290)𝐶(cid:291)𝐵(cid:19) △𝐴𝑂𝐶(cid:59)2(cid:69)(cid:70)(cid:71)2(cid:72)(cid:171) (cid:146) (cid:25)(cid:88) (cid:63)(cid:72)(cid:179)(cid:186) (cid:72) >90°(cid:72)(cid:273) (cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:72)(cid:170) (cid:122)(cid:171) (cid:72)(cid:146) (cid:63)(cid:323)
(cid:87)(cid:171) (cid:72)(cid:287) 𝐷+ △𝐴𝐵=𝐶180°𝐴(cid:72)𝐵 = 𝐷𝐶(cid:57)(cid:161)∠𝐵𝐷𝐶 (cid:75)“(cid:324)(cid:325)∠(cid:22)𝐴(cid:23)𝐷𝐶(cid:24)”(cid:72)(cid:32) (cid:25)(cid:33)𝐴(cid:34)𝐶(cid:57) 𝐸 𝐷𝐶
【题 𝐹 型8 ∠ 与 𝐸 三 𝐹𝐶 角形 ∠ 的 𝐵𝐷 外 𝐶 角性质有关 ∠ 的 𝐷𝐸 探 𝐹 究问 ∠ 题 𝐵 】 △𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵
(cid:15)(cid:58)8(cid:19)(cid:59)24-25(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:329)·(cid:330)(cid:11)(cid:219)(cid:297)(cid:69)(cid:70)(cid:71)1(cid:188)(cid:207)(cid:25)(cid:71)(cid:24)(cid:72)(cid:331)(cid:98)(cid:99)(cid:332)(cid:333)(cid:25)(cid:11)(cid:82)(cid:56)(cid:334)——(cid:335)(cid:336)(cid:57)(cid:98)
(cid:99)(cid:124)(cid:337)(cid:338)(cid:133)(cid:254)(cid:25)(cid:71)(cid:24)(cid:282)(cid:283)“(cid:336)(cid:24)(cid:71)”(cid:72)(cid:114)(cid:264)(cid:339)(cid:313)(cid:25)(cid:340)(cid:120)(cid:341)(cid:342)(cid:72)(cid:35)(cid:36)(cid:85)(cid:73)(cid:41)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:343)(cid:344)“(cid:336)(cid:24)(cid:71)”(cid:72)(cid:297)(cid:51)(cid:52) (cid:45) (cid:214) (cid:214) (cid:128)(cid:300)(cid:25)(cid:3)(cid:302)(cid:72)(cid:118)(cid:183)(cid:120)(cid:268)(cid:29)(cid:84)
(2)(cid:114)(cid:313)(cid:134)(cid:186)(cid:345)(cid:56)(cid:85)(cid:63)(cid:180)(cid:241)∠(cid:72)𝐵(cid:35)𝐷𝐶(cid:36)(cid:85)∠(cid:73)𝐴(cid:22)∠(cid:90)𝐵(cid:41)(cid:20)∠𝐶(cid:10)
(cid:70)(cid:71)2(cid:72)(cid:338)(cid:87)(cid:346)(cid:22)(cid:23)(cid:226) (cid:228)(cid:237)(cid:146) (cid:63)(cid:72)(cid:287)(cid:22)(cid:23)(cid:226)(cid:25)(cid:127)(cid:191)(cid:134)(cid:23)(cid:88) (cid:214) (cid:347)(cid:280)(cid:348)(cid:292)(cid:171)B(cid:214)C(cid:72)(cid:161)
① =36°(cid:72)(cid:134)(cid:186)(cid:187)(cid:117) 𝑋𝑌(cid:349)𝑍 (cid:25)△(cid:180)𝐴(cid:130)𝐵(cid:84)𝐶 𝑋𝑌 𝑋𝑍
∠𝐴(cid:70)(cid:71)3(cid:72) (cid:37)(cid:46) ∠𝐴𝐵(cid:72)𝑋 ∠(cid:37)𝐴𝐶(cid:46)𝑋 (cid:72)(cid:161) =40°(cid:72) =130°(cid:72)(cid:32) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:84)
②(cid:70)(cid:71)4(cid:72)𝐷(cid:32)𝐶(cid:71)(cid:40)(cid:350)∠𝐴(cid:23)𝐷(cid:351)𝐵(cid:350)𝐸(cid:90)𝐶“(cid:23)”(cid:25)∠𝐴(cid:83)𝐸(cid:57)𝐵 ∠𝐴 ∠𝐷𝐵𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸
③(cid:15)(cid:76)(cid:77)8-1(cid:19)(cid:59)23-24(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:229)(cid:230)(cid:89)(cid:352)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:15)(cid:353)(cid:101)(cid:19)(cid:59)1(cid:69)(cid:70)(cid:71) (cid:72)(cid:146) (cid:40)(cid:72) =90°(cid:72) (cid:75)
(cid:23)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:72) (cid:75)(cid:257)(cid:72) , (cid:125)(cid:170)(cid:122)(cid:171) (cid:57)(cid:161) =40°(cid:72)(cid:147) = °①(cid:72) △=𝐴 𝐵°𝐶(cid:57) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:51)(cid:52)(cid:19)(cid:59)𝐶2(cid:69)𝐷(cid:70)(cid:71) 𝐴(cid:72)𝐸(cid:146)𝐶𝐷 (cid:40)(cid:72)𝐹 ∠𝐵=90°(cid:72) (cid:75)∠𝐶(cid:23)𝐹(cid:37)𝐸(cid:46)(cid:39)(cid:72)∠𝐶𝐸(cid:75)𝐹(cid:257)(cid:72) , (cid:125)(cid:170)(cid:122)(cid:171) (cid:57)(cid:32)(cid:119)(cid:10)
= (cid:57) ① △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐸 𝐶𝐷 𝐴𝐸𝐶𝐷 𝐹
∠(cid:15)𝐶(cid:290)𝐹𝐸(cid:291)(cid:19)∠(cid:59)𝐶3𝐸(cid:69)𝐹(cid:70)(cid:71) (cid:72)(cid:146) (cid:40)(cid:72) =90°(cid:72) (cid:75) (cid:88)(cid:63)(cid:25)(cid:257)(cid:72)(cid:161) (cid:25)(cid:26)(cid:23) (cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:170)
(cid:25)(cid:111)(cid:89)(cid:39)(cid:122)(cid:171) (cid:72)②(cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:111)△(cid:89)𝐴𝐵(cid:39)𝐶(cid:45) ∠(cid:88)𝐴𝐶(cid:25)𝐵(cid:111)(cid:89)(cid:39)(cid:170)(cid:122)𝐶𝐷(cid:171) 𝐴(cid:72)𝐵(cid:161) = (cid:72)(cid:147)△𝐴𝐵𝐶(cid:25)(cid:153)(cid:224)(cid:86)∠ 𝐵(cid:59)𝐴𝐺(cid:56)(cid:233) (cid:25)(cid:269)(cid:34)
𝐶(cid:77)𝐷(cid:270)(cid:207)(cid:69)(cid:57) 𝐹 𝐵𝐶 𝐸 ∠𝐵 𝛼 ∠𝐶𝐸𝐹 𝛼(cid:15)(cid:76)(cid:77)8-2(cid:19)(cid:59)22-23(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:141)(cid:96)(cid:235)(cid:294)·(cid:68)(cid:145)(cid:69)(cid:146) (cid:40)(cid:72) =60°(cid:72)(cid:171)D(cid:214)E(cid:46)(cid:200)(cid:75) (cid:88) (cid:214)
(cid:63)(cid:25)(cid:171)(cid:72)(cid:171)P(cid:75)(cid:87)(cid:249)(cid:171)(cid:72)(cid:354) = (cid:72) =△𝐴(cid:72)𝐵𝐶 ∠=𝐴 (cid:57) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵
∠𝑃𝐷𝐶 ∠1 ∠𝑃𝐸𝐵 ∠2 ∠𝐷𝑃𝐸 ∠𝛼
(1)(cid:70)(cid:71)1(cid:72)(cid:161)(cid:171)P(cid:146)(cid:39)(cid:174) (cid:63)(cid:72)(cid:160) =50°(cid:72)(cid:32) + (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:84)
(2)(cid:161)(cid:171)P(cid:146)(cid:39)(cid:174) (cid:111)(cid:89)(cid:39)𝐵(cid:63)𝐶(cid:72)(cid:114)(cid:355)∠(cid:356)𝛼(cid:71)2(cid:83)(cid:71)3(cid:72)∠1(cid:46)(cid:200)∠(cid:51)2 (cid:52) (cid:214) (cid:45) (cid:128)(cid:300)(cid:25)(cid:3)(cid:302)(cid:72)(cid:118)(cid:183)(cid:120)(cid:268)(cid:29)(cid:57)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)8-3(cid:19)(cid:59)24𝐵-2𝐶5(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:165)(cid:166)(cid:141)(cid:357)(cid:266)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:15)(cid:51)(cid:52)(cid:19)(cid:70)∠(cid:71)1 ∠(cid:188)2(cid:207)∠(cid:72)𝛼 (cid:83) (cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:170)(cid:122)(cid:171) O(cid:72)
(cid:348)(cid:292)(cid:171)O (cid:160)(cid:37)(cid:38)(cid:122) (cid:72)(cid:46)(cid:200)(cid:45) (cid:214) (cid:170)(cid:122)(cid:171) E(cid:214)G(cid:57) ① ∠𝐴𝐹𝐻 ∠𝐶𝐻𝐹
𝐸𝐺 𝐹𝐻 𝐴𝐵 𝐶𝐷
(1)(cid:161) =60°(cid:72) =50°(cid:72)(cid:147) = °(cid:72) = °(cid:84)
(2)(cid:161)∠𝐴𝐹𝐻+ ∠=𝐶𝐻10𝐹0°(cid:72)(cid:32) ∠(cid:25)𝐸𝑂(cid:33)𝐹(cid:34)(cid:57) ∠𝐹𝑂𝐻
(3)(cid:70)∠(cid:71)𝐴𝐹𝐻(cid:188)(cid:207)∠(cid:72)𝐶𝐻𝐹 (cid:83) (cid:25)∠(cid:37)𝐹𝑂(cid:46)𝐻(cid:39)(cid:170)(cid:122)(cid:171) O(cid:72) (cid:348)(cid:292)(cid:171)O(cid:160)(cid:37)(cid:38)(cid:122) (cid:72)(cid:46)(cid:200)(cid:45) (cid:214) (cid:170)(cid:122)(cid:171) E(cid:214)
G(cid:57)(cid:161) ② + ∠𝐴𝐹𝐻= ∠(cid:72)𝐶(cid:134)𝐻𝐼(cid:186)(cid:187)(cid:117) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:57)𝐸(cid:59)𝐺(cid:56)(cid:233) (cid:25)(cid:269)(cid:34)(cid:77)(cid:270)(cid:207)𝐹(cid:69)𝐻 𝐴𝐵 𝐶𝐷
【题型
∠9𝐴 𝐹𝐻
三角
∠
形
𝐶
外
𝐻𝐹
角的
𝛼
实际应用】
∠
教
𝐹𝑂
辅
𝐻
资源，关注公众号
𝛼
全科AA+
(cid:15)(cid:58)9(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:164)(cid:96)(cid:258)(cid:232)·(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:71)1(cid:75)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:273)(cid:362)(cid:71)(cid:72)(cid:71)2(cid:75)(cid:224)(cid:120)(cid:363)(cid:364)(cid:25)(cid:207)(cid:299)(cid:71)(cid:57)(cid:207)(cid:299)(cid:71)
(cid:29)(cid:365)(cid:366)(cid:217) (cid:214)(cid:111)(cid:291)(cid:367) (cid:59)B(cid:146) (cid:368)(cid:369)(cid:69)(cid:214)(cid:370)(cid:291)(cid:371)(cid:367) (cid:214)(cid:372)(cid:373)(cid:367) (cid:374)(cid:113)(cid:57)(cid:146)(cid:273)(cid:362)(cid:292)(cid:375)(cid:40)(cid:72)(cid:365)(cid:366)(cid:217) (cid:214)(cid:376)(cid:377)
(cid:378)(cid:379)(cid:380) 𝐴(cid:22)𝐵 (cid:381)(cid:382)(cid:383)(cid:384)𝐵(cid:385)𝐶(cid:386)(cid:37)(cid:72)𝐶(cid:71)(cid:40)(cid:188)(cid:49)(cid:25)(cid:171)(cid:146)(cid:115)(cid:87)𝐶𝐷(cid:387)(cid:134)(cid:37)(cid:380)(cid:103)𝐸𝐹(cid:72)(cid:129)(cid:101)(cid:111)(cid:291)(cid:367) (cid:45)(cid:372)(cid:373)(cid:367) (cid:188)𝐴(cid:146)𝐵(cid:134)(cid:39)(cid:279)(cid:125)𝐺𝐻
(cid:185)(cid:134)(cid:72)(cid:160)𝑀𝑁 =76°(cid:72)(cid:147)(cid:133)(cid:182)(cid:291)(cid:23) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:86) °(cid:57) 𝐵𝐶 𝐸𝐹
∠𝐸𝐹𝐻 ∠𝐴𝐵𝐶教辅资源，关注公众号 全科AA+
(cid:15)(cid:76)(cid:77)9-1(cid:19)(cid:59)23-24(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:211)(cid:202)(cid:388)(cid:389)·(cid:205)(cid:174)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:101)(cid:390)(cid:391)(cid:76)(cid:392)(cid:393)(cid:72)(cid:394)(cid:395)(cid:391)(cid:76)(cid:265)(cid:396)(cid:72)(cid:397)(cid:398)(cid:399)(cid:400)(cid:25)(cid:124)(cid:251)(cid:401)(cid:50)(cid:402)
(cid:153)(cid:184)(cid:403)(cid:106)(cid:16)(cid:99)(cid:25)(cid:117)(cid:38)(cid:57)(cid:404)(cid:145)(cid:72)(cid:224)(cid:405)(cid:87)(cid:155)(cid:178) (cid:72) (cid:127)(cid:289)(cid:406)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:72)(cid:303)(cid:99)(cid:410)(cid:155) (cid:289)(cid:117)(cid:264)(cid:72)(cid:110)(cid:242)(cid:92)(cid:38)(cid:411)160km(cid:178)(cid:412)
(cid:289)(cid:72)(cid:161)(cid:146) (cid:289)(cid:247)(cid:177)(cid:406)(cid:407) (cid:146)(cid:92)(cid:413)(cid:96)34°(cid:184)(cid:110)(cid:63) 𝐵 (cid:72) 𝐶 (cid:160) = 3 (cid:72)(cid:147)(cid:146) 𝐴 (cid:289)(cid:247)(cid:177)(cid:406)(cid:407) (cid:55)(cid:414)(cid:122)(cid:59) (cid:69) 𝐵
2
𝐴 𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵 𝐶
A(cid:57)(cid:92)(cid:413)(cid:96)68° B(cid:57)(cid:235)(cid:413)(cid:96)85° C(cid:57)(cid:92)(cid:413)(cid:96)85° D(cid:57)(cid:235)(cid:413)(cid:96)68°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)9-2(cid:19)(cid:59)2025(cid:415)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:211)(cid:202)·(cid:11)(cid:362)(cid:219)(cid:297)(cid:69)(cid:416)(cid:376)(cid:417)(cid:418)(cid:75)(cid:29)(cid:418)(cid:419)(cid:214)(cid:109)(cid:420)(cid:421)(cid:83)(cid:422)(cid:420)(cid:421)(cid:22)(cid:259)(cid:46)(cid:112)(cid:113)(cid:72)(cid:420)(cid:423)(cid:414)(cid:122)
(cid:424)(cid:171)(cid:289)(cid:72)(cid:420)(cid:39)(cid:348)(cid:109)(cid:248)(cid:307)(cid:279)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:248)(cid:117)(cid:57)(cid:70)(cid:71)(cid:86)(cid:104)(cid:369)(cid:380)(cid:207)(cid:299)(cid:71)(cid:72)(cid:129)(cid:101) =20°(cid:72) =56°(cid:72)(cid:147) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:86)
(cid:59) (cid:69) ∠1 ∠3 ∠2
A(cid:57)20° B(cid:57)26° C(cid:57)36° D(cid:57)56°
(cid:15)(cid:76)(cid:77)9-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:73)·(cid:201)(cid:149)·(cid:68)(cid:145)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:425)(cid:201)(cid:426)(cid:146)(cid:427)(cid:273)(cid:182)(cid:72)(cid:425)(cid:428)(cid:429)(cid:430)(cid:417)(cid:426)(cid:431)(cid:367) (cid:45)(cid:432)(cid:273)(cid:217) (cid:25)(cid:295)
(cid:23) =120°(cid:72)(cid:372)(cid:373)(cid:367) (cid:86) (cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:39)(cid:57)(cid:429)(cid:430)(cid:433)(cid:428)(cid:425)(cid:307)(cid:72)(cid:426)(cid:431)(cid:367) (cid:25)(cid:414)(cid:237)(cid:124)(cid:76)(cid:72)𝐴(cid:372)𝐵(cid:373)(cid:367)(cid:434)(cid:171)𝐵B𝐶(cid:435)(cid:436)
(cid:87)∠(cid:27)𝐴(cid:25)𝐵𝐶(cid:23)(cid:33)(cid:118)(cid:437)(cid:438)(cid:72)(cid:439)(cid:182)𝐵𝐷 ∠=𝐴𝐵𝐶 (cid:72) (cid:440)(cid:153)(cid:106)5°(cid:72)(cid:147) (cid:25)𝐴(cid:76)𝐵(cid:266)(cid:316)(cid:317)(cid:86) (cid:59) (cid:69)
∠𝐶𝐵𝐷 2∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐷𝐶𝐸
A(cid:57)(cid:440)(cid:153)10° B(cid:57)(cid:441)(cid:224)10° C(cid:57)(cid:440)(cid:153)25° D(cid:57)(cid:441)(cid:224)25°
