专题 2.2 等腰三角形（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:25)(cid:19)............................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)................................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:25)(cid:31)(cid:22)(cid:30)(cid:19)..........................................................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)......................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:41)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)..........................................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:42)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:47)(cid:28)(cid:48)(cid:24)(cid:40)(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)..................................................................................21
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:51)(cid:52)(cid:37)(cid:26)(cid:38)(cid:53)(cid:46)(cid:40)(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:19)..........................................................................................24
知识点1 等腰三角形的性质 +
A
A
科
全
★
1. 定义：(cid:54)(cid:46)(cid:55)(cid:30)(cid:56)(cid:22)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:57)(cid:58)等腰三角形(cid:59)(cid:56)(cid:22)众(cid:27)(cid:30) 号 (cid:57)(cid:60)腰．
公
注
关
，
源
2. 性质1：等腰三角形的辅两个资底角相等（简写成“等边对等角”）．
教
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都
是45°．
知识点2 等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在 ABC中， B= C， AB=AC（等角对等边）．
△ ∵∠ ∠ ∴拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没
有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由
三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【题型1 等腰三角形的定义】
(cid:15)(cid:61)1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:27)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:42)(cid:25)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)3(cid:79)4(cid:59)(cid:80)(cid:30)(cid:75)(cid:78)
5(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:27)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:50)(cid:34)(cid:73)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:73)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78)(cid:62) (cid:72)
A(cid:81)16 B(cid:81)18 C(cid:81)16(cid:90)18 D(cid:81)14(cid:90)16
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)C
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:84)(cid:46)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:27)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:98)(cid:59)(cid:54)(cid:46)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:86)(cid:102)
(cid:103)(cid:104)(cid:10)(cid:105)(cid:42)(cid:25)(cid:30)3(cid:90)4(cid:86)(cid:102)(cid:59)(cid:26)(cid:50)(cid:106)(cid:30)(cid:78)6(cid:90)8(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:46)(cid:23)(cid:107)(cid:78)(cid:80)(cid:30)5(cid:108)(cid:90)(cid:109)(cid:105)(cid:80)(cid:30)5(cid:86)(cid:102)(cid:59)(cid:110)(cid:111)(cid:98)(cid:112)
(cid:113)(cid:26)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:114)(cid:115)(cid:76)(cid:93)(cid:51)(cid:36)(cid:89)(cid:75)(cid:116)(cid:100)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) (cid:105)(cid:42)(cid:25)(cid:30)3(cid:86)(cid:102)(cid:10)(cid:84)(cid:46)(cid:73)(cid:42)(cid:25)(cid:30)3(cid:119)(cid:33)(cid:59)(cid:26)(cid:50)(cid:106)(cid:30)(cid:78)4+4=8(cid:59)(cid:46)(cid:23)(cid:78)(cid:80)(cid:30)5(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
+
A
A
科
(cid:26)(cid:81)(cid:89)(cid:75)=5①+5+8=18(cid:81)
★
全
号
众
公
注
(cid:105)(cid:42)(cid:25)(cid:30)4(cid:86)(cid:102)(cid:10)(cid:84)(cid:46)(cid:73)(cid:42)(cid:25)(cid:30)4(cid:119)(cid:33)(cid:59)(cid:26)关(cid:50)(cid:106)(cid:30)(cid:78)3+3=6(cid:59)(cid:46)(cid:23)(cid:78)(cid:80)(cid:30)5(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:89)(cid:75)
，
源
资
辅
②=5+5+6=16(cid:81) 教
(cid:105)(cid:80)(cid:30)5(cid:86)(cid:102)(cid:59)(cid:110)(cid:111)(cid:98)(cid:112)(cid:113)(cid:26)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
③(cid:120)(cid:43)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78)16(cid:90)18(cid:59)
(cid:121)(cid:122)(cid:10)C(cid:81)
=6
(cid:15)(cid:123)(cid:104)1-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:67)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:127)(cid:103)(cid:128)(cid:129)
+ =10
(cid:27)(cid:118)(cid:130)(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:46)(cid:30)(cid:75)(cid:59)(cid:131)(cid:22)
2𝑥−𝑦
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78) (cid:81) 𝑥 3𝑦
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)10
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:132)(cid:133)(cid:34)(cid:134)(cid:103)(cid:128)(cid:129)(cid:27)(cid:118)(cid:113)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:30)(cid:3)(cid:135)(cid:59)(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:47)(cid:51)
(cid:118)(cid:103)(cid:128)(cid:129)(cid:81)
(cid:139)(cid:51)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:34)(cid:134)(cid:103)(cid:128)(cid:129)(cid:27)(cid:118)(cid:59)(cid:140)(cid:114)(cid:115)(cid:23)(cid:27)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:59)(cid:76)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:51)(cid:118)(cid:59)(cid:51)(cid:149)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:81)
=6 =4
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:103)(cid:128)(cid:129) (cid:59)(cid:118)(cid:149)(cid:10) (cid:59)
+ =10 =2
2𝑥−𝑦 𝑥
=6 𝑥 3𝑦 𝑦
(cid:103)(cid:128)(cid:129) (cid:27)(cid:118)(cid:130)(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:46)(cid:30)(cid:75)(cid:59)
+ =10
2𝑥−𝑦
∵(cid:150)(cid:23)(cid:75)(cid:78)𝑥 2(cid:98)3𝑦(cid:59)
∴(cid:24)(cid:30)(cid:75)(cid:78)2(cid:59)2(cid:59)4(cid:59)2+2=4(cid:59)(cid:143)(cid:101)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
(cid:150)(cid:23)(cid:75)(cid:78)4(cid:98)(cid:59)
(cid:24)(cid:30)(cid:75)(cid:78)4(cid:59)4(cid:59)2(cid:59)4+2=6>4(cid:59)(cid:101)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)
(cid:111)(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78)4+4+2=10(cid:59)
(cid:121)(cid:91)(cid:92)(cid:78)(cid:10)10(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)1-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:124)(cid:125)(cid:152)(cid:153)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:44)(cid:45)a(cid:59)b(cid:59)c(cid:137) (cid:27)(cid:24)(cid:30)(cid:59)(cid:154)(cid:155)(cid:156)( ) ( )=0(cid:59)
(cid:131) (cid:27)(cid:26)(cid:157)(cid:137) (cid:81) △𝐴𝐵𝐶 𝑎−𝑏 −𝑐 𝑏−𝑎
(cid:15)(cid:91)△(cid:92)𝐴𝐵(cid:19)𝐶(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:158)(cid:104)(cid:76)(cid:118)(cid:27)(cid:159)(cid:160)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:158)(cid:104)(cid:76)(cid:118)(cid:27)(cid:103)(cid:113)(cid:137)(cid:118)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:81)(cid:84)
( ) ( )=0(cid:123)(cid:26)(cid:78)( )(1+ )=0(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:75)(cid:78)(cid:138)(cid:165)(cid:59)(cid:149)(cid:36) =0(cid:59)(cid:116)(cid:100)(cid:149)(cid:36) = (cid:59)
(cid:100)𝑎−(cid:149)𝑏(cid:91)−(cid:92)𝑐(cid:81)𝑏−𝑎 𝑎−𝑏 𝑐 𝑎−𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) ( ) ( )=0(cid:59)
( )+ ( ∵ )𝑎=−0𝑏(cid:59)− 𝑐 𝑏−𝑎
+
A
∴( 𝑎−𝑏)(1+𝑐 𝑎)−=𝑏0(cid:59) 科 A
全
★
号
众
∴a𝑎(cid:166)−b𝑏(cid:166)c(cid:137)𝑐 (cid:27)(cid:24)(cid:30)(cid:75)(cid:59) 公
注
关
，
源
∵1+ >0(cid:59)△𝐴𝐵𝐶 辅 资
教
∴ 𝑐=0(cid:59)
∴𝑎−=𝑏 (cid:59)
∴𝑎 𝑏 (cid:27)(cid:26)(cid:157)(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
(cid:121)∴(cid:91)△(cid:92)𝐴(cid:78)𝐵(cid:10)𝐶 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)1-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:171)(cid:38)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:38)(cid:59)(cid:54)(cid:34)(cid:99)(cid:177)(cid:178)(cid:27)(cid:179)(cid:180)(cid:133)(cid:181)(cid:57)(cid:60)“(cid:182)(cid:183)”(cid:81)(cid:182)
(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:73)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:129)(cid:50)(cid:59)(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:49)(cid:56)(cid:198)(cid:199)(cid:102)(cid:59)(cid:26)(cid:50)(cid:97)(cid:34)(cid:99)(cid:200)(cid:201)(cid:27)(cid:202)(cid:203)(cid:81)(cid:82)(cid:37)1(cid:59)(cid:204)(cid:138)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:182)(cid:183)
(cid:100)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:26)(cid:157)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:34)(cid:73)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:82)(cid:37)2(cid:59)(cid:127) (cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78)24(cid:59)(cid:34)(cid:30)(cid:75)(cid:78)6(cid:59)(cid:131)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:106)(cid:30)(cid:75)(cid:137)( ) △𝐴𝐵𝐶A(cid:81)6 B(cid:81)12 C(cid:81)6(cid:90)9 D(cid:81)6(cid:90)12
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)A
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:30)(cid:3)(cid:135)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:3)(cid:136)(cid:137)(cid:217)(cid:76)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:81)(cid:76)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:75)(cid:90)(cid:106)(cid:30)(cid:137)6(cid:59)(cid:184)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:30)(cid:3)(cid:135)(cid:28)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:59)(cid:116)(cid:100)(cid:149)(cid:91)(cid:92)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:75)(cid:137)6(cid:59)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:106)(cid:30)(cid:75)= ×2=12(cid:59)
∴6+6=12(cid:59)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:24)(cid:25)2(cid:26)4−(cid:24)6(cid:30)(cid:3)(cid:135)(cid:28)(cid:218)(cid:59)
∵(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:75)(cid:143)(cid:101)(cid:137)6(cid:108)
(cid:82)∴(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:106)(cid:30)(cid:75)(cid:137)6(cid:59)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:75)= 1 × =9(cid:59)
2
∴ (24−6)
6+9>9(cid:59)(cid:155)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:30)(cid:3)(cid:135)(cid:59)
∵(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:106)(cid:30)(cid:75)(cid:137)6(cid:81)
(cid:121)∴(cid:122)(cid:10)A(cid:81)
+
A
A
科
全
【题型2 等边对等角】 号 ★
众
公
注
关
(cid:15)(cid:61)2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:119)(cid:223)(cid:224)(cid:225)源(cid:226)， ·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:40) (cid:171) (cid:43)(cid:59) = = = (cid:81)
资
辅
教
𝐸, 𝐹 𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐶𝐹, ∠𝐵𝐸𝐷 ∠𝐴𝐹𝐶, ∠𝐵 ∠𝐶
(1)(cid:51)(cid:227)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:127) △=𝐴4𝐵2𝐹°,≌ △=𝐷5𝐶8°𝐸, = (cid:59)(cid:51) (cid:27)(cid:228)(cid:165)(cid:81)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)∠𝐴(cid:19)𝐹(𝐵1)(cid:178)(cid:118)(cid:93) ∠𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐸 ∠𝐴𝐸𝐷
(2)58°
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:229)(cid:217)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:74)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:79)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:232)(cid:25)(cid:79)(cid:28)(cid:218)(cid:59)(cid:22)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:25)(cid:22)(cid:45)(cid:233)(cid:81)
(cid:62)1(cid:72)(cid:234)(cid:160)AAS(cid:227)(cid:235)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:74)(cid:22)(cid:116)(cid:100)(cid:81)
(cid:62)2(cid:72)(cid:184)(cid:74)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:232)(cid:25)(cid:79)(cid:28)(cid:218)(cid:149)(cid:36) = =42°(cid:59) = =80°(cid:59)(cid:140)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:30)(cid:31)
(cid:22)(cid:25)(cid:149)(cid:36) = =80°(cid:59)(cid:236)(cid:237)(cid:114)(cid:115)(cid:238)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)∠(cid:118)𝐷𝐸(cid:116)𝐶(cid:100)(cid:81)∠𝐴𝐹𝐵 ∠𝐵 ∠𝐶
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)∠(cid:62)𝐴1𝐸(cid:72)𝐵(cid:227)(cid:235)∠(cid:10)𝐵 = (cid:59)
∵𝐵𝐸 𝐶𝐹+ = + (cid:59)
(cid:116)∴𝐵𝐸=𝐸𝐹(cid:81)𝐶𝐹 𝐸𝐹
𝐵𝐹 𝐶=𝐸 (cid:59) = + (cid:59) = + (cid:59) = (cid:59)
∵∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴(cid:59)𝐹𝐶 ∠𝐵𝐸𝐷 ∠𝐶 ∠𝐷 ∠𝐴𝐹𝐶 ∠𝐵 ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐵 ∠𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐷 (AAS)(cid:81)
(cid:62)∴△2(cid:72)𝐴𝐵(cid:118)𝐹(cid:10)≌△𝐷𝐶𝐸 (cid:59)
=∵△𝐴𝐵𝐹=≌4△2°(cid:59)𝐷𝐶𝐸
(cid:239)∴∠𝐷𝐸=𝐶58°∠(cid:59)𝐴𝐹𝐵
∠𝐷= = =80°
∴(cid:239)∠𝐵 ∠=𝐶 (cid:59)180°−∠𝐷−∠𝐷𝐸𝐶
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐸 =80°(cid:59)
∴∠𝐴𝐸𝐵 =∠𝐵 =58°(cid:81)
(cid:15)∴(cid:123)∠𝐴(cid:104)𝐸𝐷2-1(cid:19)18(cid:62)02°−4-∠2𝐴5𝐸(cid:151)𝐵(cid:64)−∠(cid:65)𝐷(cid:66)𝐸𝐶·(cid:167)(cid:168)(cid:240)(cid:125)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:84) (cid:241)(cid:40) (cid:242)(cid:98)(cid:243)(cid:244)(cid:245)42°(cid:149)(cid:246) (cid:59)(cid:40) (cid:130)(cid:247)
+
A
(cid:248)(cid:171) (cid:43)(cid:59)(cid:131) (cid:27)(cid:228)(cid:165)(cid:78) (cid:81) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 科 A △𝐴𝐷𝐸 𝐶
全
★
号
众
𝐷𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷 公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)42°/42(cid:228)
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:244)(cid:245)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:166)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:166)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:232)(cid:25)(cid:79)(cid:28)(cid:218)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:244)(cid:245)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:100)(cid:149) =42°(cid:59)
= (cid:59) = (cid:59)(cid:140)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:100)(cid:149) = (cid:59)(cid:184)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:232)(cid:25)(cid:79)(cid:28)(cid:218)(cid:51)(cid:118)∠(cid:116)𝐶𝐴(cid:100)𝐸(cid:81)
𝐴(cid:15)𝐶(cid:117)(cid:118)𝐴(cid:19)𝐸(cid:118)∠(cid:10)𝐴(cid:184)𝐶𝐵(cid:244)(cid:245)∠(cid:149)𝐸 =42°(cid:59) = (cid:59) =∠𝐴𝐶𝐸(cid:59) ∠𝐸
= = 1 ( ∠𝐶𝐴𝐸 )= 1𝐴 × 𝐶 ( 𝐴𝐸 ∠𝐴 ) 𝐶 = 𝐵 69° ∠ (cid:59) 𝐸
2 2
∴ ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐸 180°−∠𝐶𝐴𝐸 180°−42°
= =69°(cid:59)
∴ ∠𝐴𝐶𝐵 =∠𝐸 = =42°(cid:59)
(cid:121)∴(cid:91)∠(cid:92)𝐵𝐶(cid:78)𝐷(cid:10)4128°(cid:81)0°−∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐸 180°−69°−69°
(cid:15)(cid:123)(cid:104)2-2(cid:19)(cid:62)23-24(cid:249)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:124)(cid:125)(cid:250)(cid:251)·(cid:252)(cid:253)(cid:162)(cid:254)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:255)(cid:256)(cid:38)(cid:59) = (cid:59)(cid:257)(cid:43)(cid:22)(cid:75)(cid:27)(cid:255)(cid:55) (cid:59) (cid:59)
(cid:59) …(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:255)(cid:256)(cid:81)(cid:127) = (cid:59)(cid:154)(cid:130)(cid:247)(cid:160)(cid:97)4(cid:114)(cid:255)(cid:55)(cid:59)(cid:131)∠𝐴(cid:27)(cid:141)𝛼(cid:142)(cid:261)(cid:262)(cid:137) (cid:81) 𝑃1𝑃2 𝑃2𝑃3
𝑃3𝑃4 𝑃4𝑃5 𝑃1𝐴 𝑃1𝑃2 𝛼(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)18° <22.5°
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:111)(cid:20)≤(cid:95)𝛼(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:34)(cid:133)(cid:34)(cid:134)(cid:143)(cid:22)(cid:104)(cid:129)(cid:59)(cid:263)(cid:264)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:211)(cid:25)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:163)(cid:164)(cid:263)(cid:43)(cid:45)(cid:233)(cid:40)(cid:137)
(cid:118)(cid:91)(cid:94)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:81)
(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:100)(cid:149)(cid:246)(cid:265)(cid:129)(cid:56)(cid:22)(cid:27)(cid:25)(cid:59)(cid:140)(cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:211)(cid:25)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:100)(cid:149)(cid:246) (cid:52) (cid:191)(cid:192)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:59)
(cid:204)(cid:266)(cid:143)(cid:267)(cid:51)(cid:118)(cid:81) ∠𝑃3𝑃5𝑃4 ∠𝐴
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) = (cid:59) = (cid:59) = (cid:59) = (cid:59)
= ∵𝐴(cid:59)𝑃1 𝑃1𝑃2=𝑃1𝑃2 𝑃(cid:59)2𝑃3 𝑃3𝑃4 =𝑃2𝑃3 𝑃3(cid:59)𝑃4 𝑃4𝑃5 = (cid:59)
∴∠𝐴 ∠𝑃1=𝑃2𝐴 ∠=𝑃2𝑃1(cid:59)𝑃3 ∠𝑃2𝑃3𝑃1 ∠𝑃3𝑃2𝑃4 ∠𝑃3𝑃4𝑃2 ∠𝑃4𝑃3𝑃5 ∠𝑃4𝑃5𝑃3
∴∠(cid:217)𝑃(cid:268)3𝑃(cid:149)5𝑃(cid:85)4(cid:269)(cid:27)4∠(cid:255)𝐴(cid:55)(cid:130)4𝛼(cid:247)(cid:257)(cid:43)4(cid:114)(cid:59)
∵ = (cid:59)
+
A
科
A
∴∠𝑃5𝑃4𝐵 5𝛼<90°
★
全
(cid:184)(cid:20)(cid:270)(cid:149)(cid:10) (cid:59) 号
90° 众
公
4𝛼 关 注
18° <52𝛼2.≥5°(cid:59) 源 ，
资
辅
教
(cid:121)∴(cid:91)(cid:92)≤(cid:78)𝛼(cid:10)18° <22.5°(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)2-3(cid:19)(cid:62)2≤4-𝛼25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:16)(cid:271)(cid:168)(cid:272)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) = (cid:59) = (cid:59) = (cid:59)(cid:40) (cid:171) (cid:43)(cid:81)
𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷 𝐶 𝐷𝐸
(1)(cid:51)(cid:227)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:127) (cid:238)△(cid:76)𝐵𝐴𝐶≌△𝐸𝐴𝐷=42°(cid:59)(cid:51) (cid:27)(cid:228)(cid:165)(cid:81)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)𝐴𝐸(cid:19)(1)(cid:178)∠𝐵(cid:118)𝐴(cid:93)𝐶,∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐸
(2)42°
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:74)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:52)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:81)
(cid:62)1(cid:72)(cid:114)(cid:115)SAS(cid:116)(cid:100)(cid:227)(cid:235) (cid:108)
(cid:62)2(cid:72)(cid:184)(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:28)(cid:29)△(cid:149)𝐵𝐴𝐶≌△=𝐸𝐴𝐷 =42°(cid:59)(cid:184)(cid:74)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:149) = (cid:59) = (cid:59)(cid:204)(cid:266)
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷= = (cid:59)(cid:219)(cid:266)(cid:100)(cid:51)(cid:36) = =42°(cid:81)
(cid:15)∠𝐴(cid:117)𝐶𝐵(cid:118)(cid:19)∠(cid:62)𝐷1(cid:72)(cid:227)∠𝐴(cid:235)𝐶𝐷(cid:10) = ∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷
+ = ∵∠𝐵+𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴=𝐶 ∠𝐸𝐴=𝐷
∵𝐴𝐵 𝐴𝐸,𝐴𝐶 𝐴(S𝐷AS)
∴(cid:62)△2(cid:72)𝐵𝐴(cid:118)𝐶(cid:10)≌△𝐸𝐴(cid:238)𝐷(cid:76)
= ∵𝐴𝐸 =4∠2𝐵°𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸
∵∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐶𝐴𝐷 = =42°
∴∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸
∵△𝐵𝐴=𝐶≌△𝐸𝐴𝐷=
∴𝐴𝐶 𝐴=𝐷,∠𝐴𝐶=𝐵 ∠𝐷
+
A
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷=180°(cid:59) + + =180° 科 A
全
★
号
众
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷 ∠=𝐶4𝐴2𝐷° ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠公𝐵𝐶𝐸
注
关
，
源
∴
【
∠
题
𝐵
型
𝐶𝐸3 ∠
三
𝐶
线
𝐴𝐷
合一】教
辅 资
(cid:15)(cid:61)3(cid:19)(cid:62)23-24(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:276)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171) (cid:38)(cid:59) = (cid:59) (cid:238)(cid:76) (cid:59) (cid:59)
(cid:59) (cid:59) (cid:78)(cid:277)(cid:156)(cid:59)(cid:131)(cid:66)(cid:278)(cid:197)(cid:148)(cid:10)(cid:62)1(cid:72) = (cid:108)(cid:62)2(cid:72)△𝐴𝐵𝐶= 𝐴𝐵 (cid:108)𝐴(cid:62)𝐶3(cid:72)𝐴𝐷 ∠𝐵(cid:108)𝐴(cid:62)𝐶 4(cid:72)𝐷𝐸⊥=𝐴𝐵 (cid:59)𝐷𝐹(cid:210)⊥𝐴𝐶
(cid:38)𝐸(cid:138)(cid:47)𝐹(cid:27)(cid:73)(cid:165)(cid:54)(cid:62) (cid:72) 𝐵𝐷 𝐷𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹
A(cid:81)1(cid:73) B(cid:81)2(cid:73) C(cid:81)3(cid:73) D(cid:81)4(cid:73)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)D
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:229)(cid:217)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:28)(cid:218)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:27)
(cid:230)(cid:231)(cid:100)(cid:221)(cid:222)(cid:62)1(cid:72)(cid:62)2(cid:72)(cid:62)3(cid:72)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:28)(cid:218)(cid:100)(cid:221)(cid:222)(cid:62)4(cid:72)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) = (cid:59) (cid:238)(cid:76) (cid:59)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶= (cid:59) = (cid:59) (cid:59)
(cid:121)∴𝐵(cid:62)𝐷1(cid:72)𝐷(cid:62)𝐶2(cid:72)∠(cid:62)𝐵𝐴3𝐷(cid:72)(cid:138)∠(cid:47)𝐶(cid:59)𝐴𝐷 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
(cid:238)(cid:76) (cid:59)
∵𝐴𝐷 ∠(cid:59)𝐵𝐴𝐶 (cid:59)
∴𝐷𝐸⊥=𝐴𝐵 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶
∴(cid:121)𝐷(cid:62)𝐸4(cid:72)𝐷(cid:138)𝐹(cid:47)(cid:59)
(cid:120)(cid:43)(cid:59)(cid:34)(cid:279)(cid:54)4(cid:73)(cid:138)(cid:47)(cid:59)
(cid:121)(cid:122)(cid:10)D
(cid:15)(cid:123)(cid:104)3-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:170)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) =70°(cid:59) (cid:137) (cid:27)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:59)(cid:131) (cid:27)(cid:228)
(cid:165)(cid:78) (cid:81) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝑂𝐴 ∠𝐴𝐶𝐷
+
A
A
科
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)55°/55(cid:228)
★
全
号
众
公
注
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:32)(cid:253)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)关(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:118)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:137)(cid:163)(cid:164)(cid:263)(cid:43)(cid:45)(cid:233)(cid:40)(cid:81)
，
源
资
辅
(cid:139)(cid:51)(cid:36) =110°(cid:59)教(cid:140)(cid:114)(cid:115)(cid:32)(cid:253)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:100)(cid:149) = (cid:59)(cid:283)(cid:237)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:32)(cid:33)
(cid:34)(cid:116)(cid:100)∠(cid:149)𝑂(cid:81)𝐶𝐴 𝑂𝐶 𝐴𝐶,𝐶𝐷⊥𝑂𝐴
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) =70°(cid:59)
=110∵°∠(cid:59)𝐴𝐶𝐵
∴∠𝑂(cid:137)𝐶𝐴 (cid:27)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:59)
∵𝐶𝐷 =𝑂𝐴 (cid:59)
∴𝑂𝐶 𝐴
=
𝐶,1𝐶𝐷⊥𝑂𝐴
=55°(cid:59)
2
∴∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝑂𝐶𝐴
(cid:121)(cid:91)(cid:92)(cid:78)(cid:10)55°(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)3-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:124)(cid:273)(cid:284)(cid:285)·(cid:252)(cid:253)(cid:162)(cid:254)(cid:72)(cid:286)(cid:74)(cid:194)(cid:128)(cid:90)(cid:287)(cid:115)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171) (cid:38)(cid:59) = (cid:59)(cid:40)
(cid:78) (cid:30)(cid:27)(cid:38)(cid:40)(cid:59) (cid:78) (cid:43)(cid:34)(cid:40)(cid:59)(cid:199)(cid:102) (cid:59)(cid:268)(cid:149) = (cid:81)(cid:127) =55°(cid:59)(cid:51) (cid:27)△(cid:228)𝐴𝐵(cid:165)𝐶(cid:81) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷
𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐸 ∠𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷(cid:118)(cid:10) (cid:171) (cid:38)(cid:59) = (cid:59)
∵ =△𝐴𝐵𝐶=55°𝐴(cid:59)𝐵(cid:62)(cid:22)𝐴(cid:23)𝐶(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:46)(cid:106)(cid:25)(cid:56)(cid:22)(cid:72)
∴∠(cid:40)①(cid:78) (cid:30)∠𝐵(cid:27)(cid:38)(cid:40)
∵ 𝐷 𝐵𝐶(cid:62) (cid:72)
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90②°
∴∠𝐴𝐷𝐶 = = °
∴∠𝐶𝐴=𝐷 (cid:59)90°−∠𝐴𝐶𝐵 ③
∵𝐴𝐸 𝐶=𝐸 =35°(cid:62) (cid:72)
∴∠𝐴𝐶𝐸 =∠𝐶𝐴𝐷 =④ °
+
A
(cid:15)∴(cid:91)∠𝐸(cid:92)𝐶𝐷(cid:19) ∠𝐴𝐶𝐵(cid:108)−∠𝐴(cid:24)𝐶𝐸(cid:32)(cid:33)(cid:34)⑤(cid:28)(cid:218)(cid:108) 35(cid:108) (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:46)(cid:106)(cid:25)(cid:56)(cid:22)(cid:108)科 A20
全
★
号
众
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)①(cid:20)𝐴𝐶(cid:229)𝐵(cid:217)(cid:95)②(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:218)③(cid:59)(cid:22)(cid:30)④(cid:31)(cid:22)(cid:25)公(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:218)⑤(cid:59)(cid:22)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:25)(cid:79)(cid:44)(cid:288)(cid:289)(cid:148)(cid:194)(cid:128)(cid:51)
注
关
，
源
(cid:118)(cid:116)(cid:100)(cid:81) 辅 资
教
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) (cid:171) (cid:38)(cid:59) = (cid:59)
= =∵55°△(cid:59)𝐴(cid:62)𝐵(cid:22)𝐶 (cid:23)(cid:24)𝐴(cid:25)𝐵(cid:26)(cid:46)𝐴𝐶(cid:106)(cid:25)(cid:56)(cid:22)(cid:72)
∴∠(cid:40)𝐴𝐶𝐵(cid:78) ∠(cid:30)𝐵(cid:27)(cid:38)(cid:40)
∵ 𝐷 𝐵𝐶(cid:62)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:218)(cid:72)
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°
∴∠𝐴𝐷𝐶= =35°
∴∠𝐶𝐴=𝐷 9(cid:59)0°−∠𝐴𝐶𝐵
∵𝐴𝐸 𝐶=𝐸 =35°(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:46)(cid:106)(cid:25)(cid:56)(cid:22)(cid:72)
∴∠𝐴𝐶𝐸 =∠𝐶𝐴𝐷 =20°(cid:81)
(cid:15)∴(cid:123)∠𝐸(cid:104)𝐶𝐷3-3(cid:19)∠𝐴(cid:62)𝐶2𝐵4−-2∠5𝐴(cid:151)𝐶𝐸(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:290)(cid:175)(cid:281)(cid:238)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171) (cid:38)(cid:59) (cid:216) (cid:59) (cid:216) (cid:59) (cid:52)
(cid:56)(cid:291)(cid:216)(cid:40) (cid:59)(cid:154) = (cid:81) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐷 𝐶𝐸
𝐹 𝐴𝐷 𝐶𝐷(1)(cid:51)(cid:227)(cid:10) = (cid:108)
(2)(cid:127) =
𝐴1𝐵
(cid:59)
𝐶𝐹
(cid:51) (cid:27)(cid:228)(cid:165)(cid:81)
2
𝐴𝐸 𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)(1)(cid:117)(cid:178)(cid:118)(cid:93)(cid:108)
(2)22.5°(cid:81)
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:62)1(cid:72)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:25)(cid:27)(cid:292)(cid:25)(cid:56)(cid:22)(cid:149)(cid:36) = (cid:59)(cid:283)(cid:237)(cid:227)(cid:235) (ASA)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:74)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:116)(cid:100)(cid:51)(cid:118)(cid:108) ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷
(cid:62)2(cid:72)(cid:184)(cid:62)1(cid:72)(cid:149)(cid:10) = (cid:59) = (cid:59)(cid:131) = 1 (cid:59)(cid:204)(cid:266)(cid:227)(cid:235) (cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76) (cid:59)(cid:131)(cid:54) = (cid:59)(cid:184)
2
𝐴𝐵 𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝐶𝐵
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:218)(cid:100)(cid:149) = = 1 (cid:59)(cid:140)(cid:184)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:116)(cid:100)(cid:51)(cid:118)(cid:108)
2
+
(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:74)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:52) ∠ (cid:230) 𝐵 (cid:231) 𝐶𝐸 (cid:59)(cid:22) ∠ (cid:23) 𝐴 (cid:24) 𝐶𝐸 (cid:25)(cid:26)(cid:27) ∠𝐴 (cid:230) 𝐶𝐵 (cid:231)(cid:59)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)科(cid:27)(cid:221)A(cid:28)(cid:52) A (cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:163)(cid:164)(cid:45)(cid:233)(cid:40)(cid:27)(cid:159)(cid:160)
全
★
号
众
(cid:137)(cid:118)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:81) 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:62)1(cid:72)(cid:227)(cid:235)(cid:10) 辅 资(cid:59) (cid:59)
教
= = ∵𝐴𝐷=⊥9𝐵0𝐶°(cid:59) 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵=9∠0𝐴°(cid:59)𝐸𝐹 + =90°(cid:59)
∴(cid:239)∠𝐹𝐶𝐷 ∠=𝐷𝐹𝐶 (cid:59) ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐹𝐸
∵∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐷𝐹(cid:59)𝐶
∴(cid:171)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:79)∠𝐹𝐶𝐷 (cid:38)(cid:59)
△𝐴𝐵=𝐷 △𝐶𝐹𝐷
= (cid:59)
∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐹𝐶𝐷
𝐴𝐷 𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐹𝐷𝐶 (ASA)(cid:59)
∴△𝐴=𝐵𝐷≌(cid:108)△𝐶𝐹𝐷
(cid:62)∴𝐴2𝐵(cid:72)(cid:118)𝐶(cid:10)𝐹(cid:184)(cid:62)1(cid:72)(cid:149)(cid:10) = (cid:59) = (cid:59)
= 1 (cid:59) 𝐴𝐵 𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷
2
∵𝐴𝐸 𝐶𝐹
= 1 (cid:59)
2
∴𝐴𝐸 𝐴𝐵(cid:59)
∵𝐶𝐸(cid:277)⊥(cid:42)𝐴𝐵(cid:238)(cid:76) (cid:59)
∴𝐶𝐸 = (cid:59) 𝐴𝐵
∴𝐶𝐴 𝐶 = 𝐵 = 1 (cid:59)
2
∴∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵
= (cid:59) =90°(cid:59)
∵𝐴𝐷 𝐶=𝐷 ∠𝐴𝐷=𝐶45°(cid:59)
∴∠𝐴𝐶𝐷
=
∠1𝐶𝐷𝐴
=22.5°(cid:81)
2
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵
【题型4 等角对等边】
(cid:15)(cid:61)4(cid:19)(cid:62)24-25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:293)(cid:125)(cid:293)(cid:294)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) (cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78)27(cid:59) (cid:79) (cid:27)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:56)(cid:291)(cid:216)(cid:40) (cid:59)
(cid:194)(cid:40) (cid:58) (cid:291) (cid:216)(cid:40) (cid:59)(cid:291) (cid:216)(cid:40) (cid:59)(cid:127) =8△(cid:59)𝐴𝐵𝐶=6(cid:59) =4(cid:59)∠(cid:87)𝐴𝐵(cid:88)𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:137)(cid:62) (cid:72) 𝐹
𝐹 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷 𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐶𝐹 △𝐴𝐷𝐸
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
A(cid:81)18 B(cid:81)辅19资 C(cid:81)21 D(cid:81)23
教
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)B
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:229)(cid:217)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:238)(cid:220)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:263)(cid:264)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:79)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:184)(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:28)(cid:29)
(cid:100)(cid:149) = (cid:59)(cid:184)(cid:238)(cid:220)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:100)(cid:149) = (cid:59)(cid:131) = (cid:59)(cid:295)(cid:263) = (cid:59)(cid:144)(cid:218)
=∠𝐷𝐵(cid:59)𝐹(cid:283)(cid:237)∠𝐹(cid:184)𝐵𝐶 (cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:59) =8(cid:59)∠(cid:100)𝐷𝐹(cid:149)𝐵 ∠+𝐹𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵=𝐹19∠(cid:59)𝐷(cid:236)𝐹𝐵(cid:237)(cid:184) 𝐵𝐷 (cid:27)𝐷(cid:89)𝐹(cid:75)= +
𝐶(cid:116)𝐸(cid:100)(cid:51)𝐸(cid:118)𝐹(cid:59)(cid:161)(cid:162)(cid:163)△(cid:164)(cid:263)𝐴𝐵(cid:43)𝐶(cid:45)(cid:233)(cid:40)(cid:137)𝐵(cid:118)𝐶(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:81)𝐴𝐵 𝐴𝐶 27−8 △𝐴𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) (cid:238)(cid:76) (cid:59)
= ∵𝐵(cid:59)𝐹 ∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐷𝐵𝐹 (cid:59)∠𝐹𝐵𝐶
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶= (cid:59)
∴∠𝐷𝐹𝐵=∠𝐹𝐵𝐶(cid:59)
∴∠𝐷𝐵=𝐹 ∠(cid:59)𝐷𝐹𝐵
∴(cid:144)𝐵(cid:218)𝐷(cid:10)𝐷𝐹= (cid:59)
𝐶𝐸(cid:27)(cid:89)𝐸(cid:75)𝐹= + + =27(cid:59) =8(cid:59)
∵△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶+ = =19(cid:59)
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶(cid:27)(cid:89)2(cid:75)7−(cid:78)8= + +
∵=△𝐴𝐷+𝐸 + + 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸
=𝐴𝐷+𝐷𝐹+𝐹𝐸+𝐴𝐸
=𝐴𝐷+𝐵𝐷 𝐸𝐶 𝐴𝐸
=𝐴1𝐵9(cid:59)𝐴𝐶
(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:137)19(cid:59)
∴(cid:121)△(cid:122)𝐴(cid:10)𝐷B𝐸(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)4-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:296)(cid:273)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) (cid:38)(cid:59) = (cid:59)(cid:84) (cid:105)(cid:42)(cid:32) (cid:238)(cid:297)(cid:246)
(cid:27)(cid:298)(cid:299)(cid:62)(cid:268)(cid:40) (cid:52)(cid:40) (cid:119)(cid:33)(cid:59)(cid:40)B(cid:166)C(cid:166)E(cid:171)(cid:34)(cid:55)(cid:42)(cid:32)△(cid:43)𝐴𝐵(cid:72)𝐶(cid:59)(cid:199)(cid:102)∠𝐴 (cid:59)∠(cid:51)𝐵𝐶(cid:227)𝐴(cid:10) △=𝐴𝐵𝐶(cid:81) 𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸
𝐵 𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
+
A
A
科
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)(cid:178)(cid:118)(cid:93) 全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:238)(cid:297)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:227)(cid:235)(cid:59)(cid:22)(cid:25)关(cid:31)(cid:22)(cid:30)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:238)(cid:297)(cid:230)(cid:231)(cid:149)(cid:246) = (cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:25)(cid:31)(cid:22)(cid:30)(cid:149)(cid:246)
，
源
资
辅
= (cid:59)(cid:219)(cid:266)(cid:149)(cid:246)(cid:197)教(cid:148)(cid:81) 𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝐴(cid:15)𝐵(cid:117)(cid:118)𝐵(cid:19)𝐶(cid:118)(cid:10) (cid:84)(cid:105)(cid:42)(cid:32) (cid:238)(cid:297)(cid:246) (cid:59)
= (cid:59) ∵△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸
∴𝐴𝐵=𝐶𝐷 (cid:59)
∵∠𝐴=∠𝐵(cid:59)𝐶𝐴
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶(cid:81)
(cid:15)∴(cid:123)𝐵𝐶(cid:104)4𝐶-2𝐷(cid:19)(cid:62)23-24(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:271)(cid:273)(cid:249)(cid:271)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) (cid:137) (cid:27)(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:59) = (cid:59)(cid:84) (cid:105)
(cid:295)(cid:171)(cid:42)(cid:32)(cid:300)(cid:301)(cid:59)(cid:40)B(cid:171) (cid:30)(cid:43)(cid:27)(cid:248)(cid:40)(cid:302)(cid:78)(cid:40)E(cid:59)(cid:127) =𝐴𝐷8(cid:59)△𝐴=𝐵𝐶5(cid:59)(cid:131) (cid:27)(cid:75)(cid:78)∠ 𝐵 2∠(cid:81)𝐶 △𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐷
𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)3
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:301)(cid:303)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:166)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:22)(cid:45)(cid:233)(cid:59)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:301)(cid:303)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:137)(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:136)(cid:81)(cid:139)(cid:114)(cid:115)(cid:301)
(cid:303)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:100)(cid:149) = = = = (cid:59)(cid:204)(cid:266)(cid:100)(cid:149) =3(cid:59)(cid:140)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:100)(cid:149)
𝐴𝐸 𝐴𝐵 5,𝐷𝐸 𝐵𝐷,∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐵 𝐶𝐸= =3(cid:59)(cid:184)(cid:111)(cid:116)(cid:100)(cid:149)(cid:81)
𝐷(cid:15)𝐸(cid:117)(cid:118)𝐶(cid:19)𝐸(cid:118)(cid:10)(cid:184)(cid:301)(cid:303)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:149)(cid:10) = = = = (cid:59)
=8(cid:59) 𝐴𝐸 𝐴𝐵 5,𝐷𝐸 𝐵𝐷,∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐵
∵𝐴𝐶= =3(cid:59)
∴𝐶𝐸 =𝐴𝐶−(cid:59)𝐴𝐸
∵∠𝐵 2=∠𝐶 (cid:59)
(cid:239)∴∠𝐴𝐸𝐷 =2∠𝐶 + (cid:59)
∵∠=𝐴𝐸𝐷 ∠(cid:59)𝐶 ∠𝐶𝐷𝐸
∴∠𝐶 =∠𝐶𝐷=𝐸3(cid:59)
∴𝐷𝐸 =𝐶3(cid:59)𝐸
(cid:121)∴𝐵(cid:91)𝐷(cid:92)(cid:78)(cid:10)3(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)4-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:293)(cid:125)(cid:304)(cid:305)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:306)(cid:307)(cid:34)(cid:308)(cid:309)(cid:104)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:219)(cid:220)(cid:259)(cid:260)(cid:313)(cid:314)(cid:59)(cid:315)(cid:128)(cid:316)(cid:31)(cid:229)(cid:311)(cid:197)(cid:49)(cid:219)(cid:220)
(cid:97)(cid:76)(cid:93)(cid:59)(cid:82)(cid:37)(cid:59) (cid:78)(cid:229)(cid:311)(cid:317)(cid:256)(cid:59) (cid:137)(cid:310)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:25)(cid:228)(cid:27)2(cid:321)(cid:59)(cid:116) = (cid:59)(cid:315)(cid:128)(cid:316)(cid:322)(cid:323)(cid:171) (cid:27)
+
A
(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:324)(cid:325)(cid:179)(cid:255)△(cid:256)𝐴𝐵𝐶(cid:59)(cid:291)(cid:106)(cid:311) (cid:216)∠(cid:40)𝐴𝐵D𝐶(cid:59)(cid:78)(cid:47)(cid:326)(cid:327)(cid:28)(cid:230)(cid:59)(cid:328)(cid:329)(cid:194)(cid:40)∠B 科𝐴(cid:257)𝐵𝐶(cid:102)A(cid:259)2(cid:260)∠(cid:255)𝐶 (cid:330) (cid:59)(cid:268)(cid:149) ∠𝐵𝐴𝐶(cid:59)
全
★
号
众
(cid:76)(cid:77)(cid:291) (cid:59) (cid:216)(cid:40)F𝐴(cid:59)𝐷E(cid:81) 𝐵𝐶 公 𝐵𝐸 𝐵𝐸⊥𝐴𝐷
注
关
，
源
𝐴𝐷 𝐴𝐶 辅 资
教
(1)(cid:51)(cid:227)(cid:10)(cid:259)(cid:260)(cid:237)(cid:27) (cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
(2)(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:59)(cid:229)(cid:311)(cid:74)(cid:75)△𝐴𝐵(cid:78)𝐸 13(cid:334)(cid:59)(cid:3)(cid:136)(cid:335)(cid:40)(cid:192)(cid:336) (cid:78)5(cid:334)(cid:59)(cid:51)(cid:285)(cid:337)(cid:319)(cid:320)(cid:253) (cid:27)(cid:75)(cid:228)(cid:81)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)(1)(cid:178)(cid:118)(cid:93) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵
(2)(cid:285)(cid:337)(cid:319)(cid:320)(cid:253) (cid:27)(cid:75)(cid:228)(cid:137)8(cid:334)
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:62)1(cid:72)𝐴(cid:184)𝐵(cid:277)(cid:42)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:149)(cid:246) = =90°(cid:59)(cid:184)(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:149)(cid:246) = (cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:232)(cid:25)(cid:79)(cid:149)(cid:246) = (cid:59)(cid:149)∠𝐴(cid:246)𝐹𝐸 =∠𝐴𝐹𝐵(cid:59)(cid:216)(cid:137)(cid:149)(cid:246)(cid:197)(cid:148)(cid:108) ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐹
(cid:62)2(cid:72)(cid:199)(cid:102) (cid:59)(cid:114)∠𝐴(cid:115)𝐸(cid:22)𝐹 (cid:23)(cid:24)∠𝐴(cid:25)𝐵𝐹(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)𝐴(cid:149)𝐸(cid:246)𝐴𝐵(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76) (cid:59)(cid:149)(cid:246) = (cid:59)(cid:184)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:149)(cid:246)
= 𝐷𝐸 (cid:59)(cid:22)(cid:333)(cid:174)(cid:338)(cid:149)(cid:246) = 𝐴𝐷(cid:59)(cid:216)(cid:137)(cid:149)(cid:246)𝐵𝐸(cid:197)(cid:148)(cid:81) 𝐵𝐷 𝐸𝐷
(cid:15)∠𝐷(cid:117)𝐸𝐹(cid:118)(cid:19)∠(cid:62)𝐷1𝐵(cid:72)𝐹(cid:227)(cid:235)(cid:10) ∠𝐴(cid:59)𝐸𝐷 ∠𝐴𝐵𝐷
= =90∵°(cid:59)𝐵𝐸⊥𝐴𝐷
(cid:239)∴∠𝐴𝐹𝐸(cid:238)(cid:76)∠𝐴𝐹𝐵 (cid:59)
∵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶= (cid:59)
(cid:239)∴∠𝐸(cid:171)𝐴𝐹 ∠𝐵(cid:79)𝐴𝐹 (cid:38)
∵ +△𝐴𝐸𝐹 +△𝐴𝐵𝐹=180°(cid:59) + + =180°
∠𝐴𝐹𝐸 ∠=𝐸𝐴𝐹 (cid:59)∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐴𝐹𝐵 ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐴𝐵𝐹
∴∠𝐴𝐸=𝐹 ∠(cid:59)𝐴𝐵𝐹
∴𝐴 𝐸 𝐴𝐵(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
(cid:62)∴2(cid:72)△(cid:118)𝐴𝐵(cid:10)𝐸(cid:199)(cid:102) (cid:59)
𝐷𝐸
= (cid:59) (cid:238)(cid:76) (cid:59)
(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76) (cid:59) ∵𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴𝐴𝐷 = (cid:59) 𝐵𝐸
+
A
∴𝐵𝐷 𝐸=𝐷 (cid:59) 科 A
全
★
号
众
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐷𝐵𝐹(cid:59) 公
注
关
，
源
∵∠𝐴𝐸𝐹 =∠𝐴𝐵𝐹(cid:59) 辅 资
教
(cid:239)∴∠𝐴𝐸𝐷 =∠𝐴𝐵𝐷(cid:59)
∵∠𝐴𝐵=𝐶 2∠(cid:59)𝐶
(cid:239)∴∠𝐴 𝐸𝐷 2∠(cid:38)𝐶(cid:59) = + (cid:59)
∵ =△𝐶𝐸𝐷 (cid:59) ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶 ∠𝐸𝐷𝐶
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐷(cid:59)𝐶
∴𝐸𝐶=𝐸𝐷(cid:81)
∴𝐶𝐸 =𝐵𝐷= = = =8(cid:81)
(cid:15)∴(cid:40)𝐴𝐵(cid:339)(cid:19)𝐴(cid:94)𝐸(cid:20)(cid:95)𝐴𝐶(cid:96)−(cid:97)𝐶𝐸(cid:22)(cid:23)𝐴(cid:24)𝐶−(cid:25)𝐵(cid:26)𝐷(cid:27)(cid:221)13(cid:28)−(cid:79)5(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:32)(cid:253)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:232)(cid:25)(cid:79)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:138)(cid:47)(cid:27)(cid:58)(cid:36)(cid:340)(cid:341)(cid:32)(cid:137)(cid:118)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:81)
【题型5 找出图中的等腰三角形】
(cid:15)(cid:61)5(cid:19)(cid:62)24-25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:342)(cid:343)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:44)(cid:45) (cid:38)(cid:59) =3(cid:59) =5(cid:59) =7(cid:59)(cid:171) (cid:295)(cid:171)(cid:238)
(cid:205)(cid:232)(cid:41)(cid:34)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:59)(cid:84) (cid:76)(cid:344)(cid:50)(cid:46)(cid:73)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:268)(cid:210)△(cid:38)𝐴𝐵(cid:54)𝐶(cid:34)(cid:73)𝐴(cid:30)𝐵(cid:75)(cid:78)3(cid:27)𝐴𝐶(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)(cid:59)(cid:131)(cid:85)(cid:269)△(cid:27)𝐴(cid:42)𝐵𝐶(cid:32)(cid:236)(cid:185)
(cid:100)(cid:41)(cid:62) (cid:72) △𝐴𝐵𝐶A(cid:81)3(cid:55) B(cid:81)4(cid:55) C(cid:81)5(cid:55) D(cid:81)6(cid:55)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)B
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:263)(cid:264)(cid:159)(cid:160)(cid:345)(cid:322)(cid:52)(cid:58)(cid:37)(cid:22)(cid:45)(cid:233)(cid:59)(cid:234)(cid:160)(cid:37)(cid:26)(cid:76)(cid:214)(cid:147)(cid:148)(cid:137)(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:136)(cid:81)
(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:76)(cid:77)(cid:234)(cid:160) (cid:78)(cid:106)(cid:263)(cid:264) (cid:78)(cid:23)(cid:149)(cid:36)(cid:346)(cid:33)(cid:20)(cid:270)(cid:27)(cid:37)(cid:26)(cid:116)(cid:100)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:295)(cid:347)(cid:59)(cid:150) =𝐴𝐵 =3(cid:59) 𝐴𝐵= =3(cid:59) = =3(cid:59) = (cid:59)(cid:348)(cid:101)(cid:149)(cid:246)(cid:346)(cid:33)(cid:20)(cid:270)(cid:27)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81) 𝐴𝐵 𝐴𝐹 𝐵𝐴 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐺 𝐴𝐺
(cid:121)(cid:122)(cid:10)B(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)5-1(cid:19)(cid:62)23-24(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:349)(cid:350)(cid:271)(cid:351)(cid:352)(cid:353)·(cid:252)(cid:253)(cid:162)(cid:254)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:295)(cid:347)(cid:59)(cid:279)(cid:54)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:62) (cid:72)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:81)2 B(cid:81)3 C(cid:81)5 D(cid:81)4
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)C
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:229)(cid:217)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:54)(cid:46)(cid:73)(cid:25)(cid:56)(cid:22)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:197)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:232)(cid:25)
(cid:79)(cid:28)(cid:218)(cid:51)(cid:118)(cid:116)(cid:100)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) = =36°(cid:59)
(cid:137)(cid:22)(cid:23)∵∠(cid:24)𝐸(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)(cid:59)∠𝐸𝐶𝐵 = =108°(cid:59)
∴ △𝐸𝐵𝐶= = ∠𝐵𝐸𝐶 =17820°°(cid:59)−∠𝐸𝐵𝐶−∠𝐸𝐶𝐵
∴ ∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷(cid:59)𝐸𝐶 18=0°−1(cid:59)08°
∴∠𝐴𝐸𝐵 (cid:166)∠𝐴 ∠𝐶(cid:137)𝐸𝐷(cid:22)(cid:23)∠(cid:24)𝐷(cid:25)(cid:26)(cid:59)
∴△𝐴𝐵𝐸= △𝐶𝐸𝐷 = =72°(cid:59) = = =72°(cid:59)
∵∠𝐴𝐵=𝐶 180(cid:59)°−∠𝐴=𝐶𝐵−∠𝐴(cid:59)180°−72°−36° ∠𝐵𝐶𝐷 180°−∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐷 180°−72°−36°
∴∠𝐴 ∠(cid:166)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷(cid:137)(cid:22)∠(cid:23)𝐵𝐶(cid:24)𝐷(cid:25)(cid:26)(cid:59)
∴△𝐴𝐵𝐶 △𝐵𝐶𝐷(cid:121)(cid:37)(cid:38)(cid:279)(cid:54)5(cid:73)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)
(cid:121)(cid:122)(cid:10)C(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)5-2(cid:19)(cid:62)22-23(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:349)(cid:350)(cid:271)(cid:351)(cid:352)(cid:353)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:354)(cid:30)(cid:26) (cid:105)(cid:31)(cid:25)(cid:32) (cid:31)(cid:301)(cid:237)(cid:119)(cid:33)(cid:59)(cid:199)(cid:102)
(cid:291) (cid:216)(cid:40) (cid:59)(cid:127) (cid:59)(cid:131)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:73)(cid:165)(cid:78)(cid:62) (cid:72) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐶 𝐸 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
A(cid:81)1 B(cid:81)2 C(cid:81)3 D(cid:81)4
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)D
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:184)(cid:31)(cid:301)(cid:237)(cid:119)(cid:33)(cid:149)(cid:56)(cid:22)(cid:27)(cid:32)(cid:253)(cid:79)(cid:56)(cid:22)(cid:27)(cid:25)(cid:59)(cid:184)(cid:238)(cid:220)(cid:32)(cid:149)(cid:56)(cid:22)(cid:27)(cid:25)(cid:59)(cid:140)(cid:149)(cid:56)(cid:22)(cid:27)(cid:32)(cid:253)(cid:59)(cid:221)(cid:222)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:108)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:184)(cid:31)(cid:301)(cid:237)(cid:119)(cid:33)(cid:149)(cid:59) = (cid:59) = (cid:59) A +
A
科
全
★
= (cid:59) = (cid:59)𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐵 众 号
公
注
关
∠𝐷𝐴𝐶 (cid:79)∠𝐵𝐴𝐶 ∠(cid:78)𝐵𝐶(cid:22)𝐴(cid:23)(cid:24)∠𝐷(cid:25)𝐶(cid:26)𝐴(cid:59)源 ，
资
辅
教
∴△𝐴𝐷𝐵(cid:59)△𝐵𝐶𝐷
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:59)
∴∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐶𝐴(cid:59) = (cid:59)
∴∠𝐷𝐴=𝐶 ∠(cid:59)𝐷𝐶𝐴=∠𝐵(cid:59)𝐶𝐴 ∠𝐵𝐴𝐶
∴𝐴𝐷 𝐶(cid:79)𝐷 𝐵𝐴 (cid:78)𝐵(cid:22)𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)
(cid:158)∴△(cid:111)𝐴(cid:279)𝐷(cid:54)𝐶4(cid:73)△(cid:22)𝐴(cid:23)𝐵𝐶(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)
(cid:121)(cid:122)(cid:10)D(cid:81)
(cid:15)(cid:40)(cid:339)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:59)(cid:171)(cid:37)(cid:26)(cid:38)(cid:35)(cid:36)(cid:56)(cid:159)(cid:55)(cid:355)(cid:137)(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:136)(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)5-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:124)(cid:125)(cid:356)(cid:357)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:62)1(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:44)(cid:45) (cid:59) (cid:76)(cid:77)(cid:137)
(cid:43)(cid:27)(cid:40)(cid:59)(cid:154) = (cid:81) (cid:52) (cid:56)(cid:22)(cid:358)(cid:359)(cid:78)(cid:360)(cid:88)(cid:359) △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴1𝐵1𝐶1 𝐷,𝐷1 𝐵𝐶,𝐵1𝐶1
𝐵𝐷 𝐵1𝐷1 𝐴𝐷 𝐴1𝐷1(cid:62)2(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171) (cid:38)(cid:59) = (cid:238)(cid:76) (cid:59)(cid:291) (cid:216)(cid:40) (cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76) (cid:216)(cid:40) (cid:81)(cid:361)(cid:362)(cid:235)(cid:10)
+ = (cid:81)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 90°,𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐸,𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐷
𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶
(cid:62)3(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171) (cid:38)(cid:59) = (cid:84) (cid:24)(cid:22)(cid:76)(cid:59)(cid:40) (cid:171) (cid:43)(cid:81)
(cid:51) (cid:27)(cid:228)△(cid:165)𝐴(cid:108)𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶:∠𝐵:∠𝐶 3:1:1,𝐴𝐷,𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷,𝐸 𝐵𝐶
①(cid:363)∠(cid:36)𝐴(cid:37)𝐷𝐸(cid:38)(cid:295)(cid:54)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
②
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)(cid:62)1(cid:72) (cid:52) (cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:218)(cid:184)(cid:178)(cid:118)(cid:93) (cid:62)2(cid:72)(cid:178)(cid:118)(cid:93) (cid:62)3(cid:72) 72° , , ,
, 𝐴,𝐷 𝐴1𝐷1 ① ②△𝐴A𝐵𝐷+△𝐴𝐷𝐸 △𝐴𝐸𝐶
A
科
全
★
(cid:15)△(cid:76)𝐴𝐵(cid:93)𝐶(cid:19)(cid:94)△(cid:20)𝐴𝐵(cid:95)𝐸(cid:96)(cid:74)△(cid:22)𝐴𝐶(cid:24)𝐷(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:79)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)
众
(cid:32)(cid:27)号(cid:230)(cid:231)(cid:28)(cid:218)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:108)
公
注
关
(cid:62)1(cid:72)(cid:114)(cid:115)(cid:74)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:149)(cid:246)源= ， = (cid:59)(cid:234)(cid:160)SAS(cid:227)(cid:235) (cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:74)(cid:22)(cid:24)(cid:25)
资
辅
教
(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:116)(cid:100)(cid:149)(cid:118)(cid:108) 𝐴𝐵 𝐴1𝐵1,∠𝐵 ∠𝐵1 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴1𝐵1𝐷1
(cid:62)2(cid:72)(cid:184)(cid:32)(cid:253)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:149)(cid:246) = (cid:59)(cid:140)(cid:184)(cid:25)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:149)(cid:246) = (cid:116)(cid:100)(cid:149)(cid:36)(cid:197)(cid:148)(cid:108)
(cid:62)3(cid:72) (cid:114)(cid:115)(cid:44)(cid:45)(cid:55)(cid:355)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:232)𝐴(cid:25)𝐸(cid:79)(cid:149)𝐵(cid:246)𝐸 =108°(cid:59) =36°(cid:59)𝐷𝐸 𝐶=𝐸,36°(cid:59) (cid:184)(cid:216) (cid:84)
(cid:24)(cid:22)(cid:76)①(cid:59) (cid:216)(cid:137)(cid:51)(cid:149) = = =∠3𝐵6𝐴°𝐶(cid:59)(cid:283)(cid:237)(cid:322)(cid:364)(cid:118)∠(cid:20)𝐵(cid:108) ∠𝐶 𝐴𝐷,𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:114)(cid:115)(cid:211)(cid:25)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:79)∠𝐵(cid:24)𝐴(cid:25)𝐷(cid:26)(cid:27)∠𝐷(cid:232)𝐴(cid:25)𝐸(cid:79)(cid:149)∠𝐸(cid:246)𝐴𝐶 = = = =72°(cid:59) (cid:216)(cid:137)(cid:149)(cid:246)(cid:197)(cid:148)(cid:81)
(cid:15)②(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:62)1(cid:72)(cid:118)(cid:10) (cid:52) (cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:218)(cid:184)(cid:82)∠𝐴(cid:66)𝐷(cid:10)𝐸 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴(cid:59)𝐷 𝐴1𝐷1
∵△𝐴𝐵=𝐶≌△𝐴1𝐵1=𝐶1 (cid:59)
(cid:171)∴𝐴𝐵 𝐴1(cid:79)𝐵1,∠𝐵 ∠𝐵(cid:38)1 (cid:59)
△=𝐴𝐵𝐷 △𝐴1𝐵1𝐷1
= (cid:59)
𝐴𝐵=𝐴1𝐵1
∠𝐵 ∠𝐵1
𝐵𝐷 𝐵1𝐷1 (SAS)(cid:59)
∴△𝐴𝐵=𝐷≌△𝐴(cid:108)1𝐵1𝐷1
∴𝐴𝐷 𝐴1𝐷1(cid:62)2(cid:72)(cid:227)(cid:235)(cid:10) (cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76) (cid:59)
= (cid:59)∵𝐷𝐸 𝐴𝐵
∴𝐴𝐸 𝐵=𝐸90°(cid:59)
∵∠𝐴𝐶𝐵 (cid:59)
∴𝐴𝐶(cid:238)⊥(cid:76)𝐵 𝐶 (cid:59)
∵𝐵𝐸 = ∠(cid:59)𝐴𝐵𝐶,𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
∴𝐷𝐸+ 𝐶𝐸= + (cid:59)
(cid:116)∴𝐵𝐸+𝐷𝐸= 𝐴𝐸(cid:108)𝐶𝐸
(cid:62)3𝐵(cid:72)𝐸(cid:118)𝐷(cid:10)𝐸 𝐴𝐶 =3:1:1(cid:59) + + =180°(cid:59)
=1①08∵°∠(cid:59)𝐵 𝐴𝐶:∠=𝐵:3∠6𝐶°(cid:59) =3∠6𝐵°(cid:59)𝐴𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶
∴∠𝐵𝐴(cid:59)𝐶 (cid:84) ∠(cid:24)𝐵(cid:22)(cid:76)(cid:59) ∠𝐶
∵𝐴𝐷 𝐴=𝐸 ∠𝐵𝐴=𝐶 =36°(cid:59)
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴+𝐸 ∠𝐸𝐴=𝐶72°(cid:108)
+
A
∴∠𝐴𝐷𝐸 ∠=𝐵 ∠𝐵𝐴=𝐷 =36°(cid:59) 科 A
全
★
号
众
②∵∠𝐵𝐴=𝐷 ∠𝐷𝐴=𝐸 ∠𝐸𝐴=𝐶 =72°(cid:59) 公
注
关
，
源
∴∠𝐴𝐷=𝐸 ∠𝐴𝐸=𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸=辅∠资𝐶𝐴𝐷= = = (cid:59)
教
∴𝐴𝐷 𝐵(cid:59)𝐷,𝐴 𝐷 𝐴𝐸(cid:59),𝐴𝐸 𝐶𝐸,𝐴(cid:59)𝐵 𝐴𝐶,𝐴𝐵(cid:59) 𝐵𝐸,𝐴𝐶 (cid:59)𝐶 𝐷 (cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
∴
【
△
题
𝐴
型
𝐵𝐷6
格
△
点
𝐴
中
𝐷
画
𝐸
等腰
△
三
𝐴
角
𝐸𝐶
形】
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸 △𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:61)6(cid:19)(cid:62)24-25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:290)(cid:175)(cid:290)(cid:294)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:27)(cid:138)(cid:103)(cid:26)(cid:365)(cid:39)(cid:38)(cid:59)(cid:366)(cid:40) (cid:166)(cid:40) (cid:85)(cid:269)(cid:365)(cid:39)(cid:32)(cid:27)(cid:291)(cid:40)(cid:367)(cid:78)(cid:39)
(cid:40)(cid:81)(cid:263) (cid:78)(cid:30)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:24)(cid:73)(cid:368)(cid:40)(cid:348)(cid:369)(cid:216)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:85)(cid:269)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)𝐴(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:73)(cid:165)(cid:62) (cid:72)
𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶
A(cid:81)10(cid:73) B(cid:81)8(cid:73) C(cid:81)6(cid:73) D(cid:81)4(cid:73)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)A
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:76) (cid:78)(cid:106)(cid:79)(cid:23)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:118)(cid:91)(cid:116)(cid:100)(cid:51)(cid:118)(cid:59)(cid:163)(cid:164)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)
(cid:118)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:81) 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:295)(cid:347)(cid:59)(cid:76)(cid:263)(cid:66)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:10)(cid:150) (cid:78)(cid:22)(cid:23) (cid:106)(cid:30)(cid:98)(cid:59)(cid:346)(cid:33)(cid:55)(cid:355)(cid:27) (cid:40)(cid:54)6(cid:73)(cid:10) (cid:166) (cid:166) (cid:166) (cid:166) (cid:166) (cid:108)
①(cid:150)𝐴𝐵(cid:78)(cid:22)(cid:23)△𝐴𝐵𝐶(cid:210)(cid:38)(cid:27)(cid:34)(cid:55)(cid:23)(cid:98)(cid:59)(cid:346)𝐶(cid:33)(cid:55)(cid:355)(cid:27) (cid:40)𝐶(cid:54)1 4(cid:73)𝐶2(cid:10)𝐶3 (cid:166)𝐶4 (cid:166)𝐶5 (cid:166)𝐶6 (cid:108)
②(cid:40) (cid:27)𝐴𝐵(cid:73)(cid:165)(cid:137)6△+𝐴4𝐵=𝐶10(cid:73)(cid:59) 𝐶 𝐶7 𝐶8 𝐶9 𝐶10
(cid:121)∴ (cid:122)𝐶(cid:10)A(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)6-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:370)(cid:281)(cid:371)(cid:372)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171)3×3(cid:138)(cid:103)(cid:26)(cid:365)(cid:39)(cid:38)(cid:59)(cid:365)(cid:39)(cid:32)(cid:27)(cid:291)(cid:40)(cid:367)(cid:78)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:44)
(cid:45)(cid:40) (cid:166) (cid:171)(cid:39)(cid:40)(cid:43)(cid:59)(cid:127)(cid:40) (cid:373)(cid:171)(cid:39)(cid:40)(cid:43)(cid:59)(cid:374)(cid:268)(cid:149)(cid:263)(cid:40) (cid:166) (cid:166) (cid:78)(cid:368)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:346)(cid:33)(cid:55)(cid:355)
(cid:27)(cid:40)𝐴(cid:54) 𝐵 (cid:73)(cid:81) 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃
𝑃
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)6 关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:229)(cid:217)(cid:95)(cid:96)教(cid:22)(cid:23)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:81)(cid:197)(cid:33)(cid:37)(cid:26)(cid:59)(cid:76)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:10) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:106)(cid:30)(cid:108) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:34)(cid:55)(cid:23)(cid:108) (cid:102)(cid:66)(cid:258)(cid:76)(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:43)(cid:375)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)①(cid:66)𝐴𝐵(cid:155)(cid:156)(cid:55)(cid:355)(cid:27)(cid:40) (cid:27)(cid:73)𝐴(cid:165)𝐵(cid:59)𝑃
(cid:283)(cid:237)(cid:56)(cid:259)②(cid:116)(cid:100)𝐴𝐵(cid:149)(cid:246)(cid:91)(cid:92)(cid:81) 𝐴𝐵𝑃 𝑃
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:76)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:10)
(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:106)(cid:30)(cid:98)(cid:59)(cid:346)(cid:33)(cid:55)(cid:355)(cid:27)P(cid:40)(cid:54)2(cid:73)(cid:108)
①𝐴𝐵(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝐴𝐵𝑃(cid:27)(cid:34)(cid:55)(cid:23)(cid:98)(cid:59)(cid:346)(cid:33)(cid:55)(cid:355)(cid:27)P(cid:40)(cid:54)4(cid:73)(cid:81)
②(cid:295)(cid:263)𝐴𝐵(cid:268)(cid:149) ABP(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:42)𝐴(cid:25)𝐵𝑃(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)P(cid:54)6(cid:73)(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)6-2△(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:43)(cid:67)(cid:376)(cid:377)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:40)M(cid:166)N(cid:137)(cid:103)(cid:39)(cid:378)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:73)(cid:39)(cid:40)(cid:62)(cid:116)(cid:138)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:368)
(cid:40)(cid:72)(cid:59)(cid:171)(cid:85)(cid:73)4×4(cid:103)(cid:39)(cid:378)(cid:38)(cid:59)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)P(cid:268) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:87)(cid:88)(cid:155)(cid:156)(cid:55)(cid:355)(cid:27)(cid:39)(cid:40)P(cid:27)(cid:73)(cid:165)(cid:137)(cid:62) (cid:72)
△𝑀𝑁𝑃A(cid:81)3 B(cid:81)4 C(cid:81)5 D(cid:81)6
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)C
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:229)(cid:217)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:41)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:116)(cid:100)(cid:149)(cid:36)(cid:197)(cid:148)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:59)
+
A
A
科
(cid:184)(cid:37)(cid:149)(cid:155)(cid:156)(cid:55)(cid:355)(cid:27)(cid:39)(cid:40)P(cid:54)5(cid:73)(cid:59)
★
全
号
众
公
注
(cid:121)(cid:122)(cid:10)C(cid:81) 关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:123)(cid:104)6-3(cid:19)(cid:62)24-25教(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:379)(cid:380)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171)8×6(cid:27)(cid:365)(cid:39)(cid:38)(cid:59)(cid:381)(cid:73)(cid:186)(cid:138)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:75)(cid:107)(cid:78)(cid:34)(cid:73)(cid:382)(cid:298)(cid:81)
(1)(cid:171)(cid:37) (cid:38)(cid:41)(cid:36)(cid:34)(cid:73)(cid:263) (cid:78)(cid:34)(cid:30)(cid:59)(cid:205)(cid:383)(cid:78)12(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
(2)(cid:171)(cid:37)①(cid:38)(cid:41)(cid:36)(cid:34)(cid:73)(cid:263)𝐵𝐶(cid:78)(cid:23)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)②(1)(cid:178)(cid:118)(cid:93) 𝐴𝐵
(2)(cid:178)(cid:118)(cid:93)
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:229)(cid:217)(cid:265)(cid:384)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:123)(cid:338)(cid:59)(cid:218)(cid:118)(cid:20)(cid:270)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:205)(cid:383)(cid:7)(cid:104)(cid:264)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:116)(cid:100)(cid:51)(cid:118)(cid:59)(cid:118)(cid:20)
(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:385)(cid:137)(cid:31)(cid:37)(cid:26)(cid:230)(cid:231)(cid:27)(cid:218)(cid:118)(cid:81)
(cid:62)1(cid:72)(cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:205)(cid:383)(cid:78)12(cid:59)(cid:184) =6(cid:59)(cid:100)(cid:139)(cid:49)(cid:314)(cid:386)(cid:78)4(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:59)(cid:116)(cid:100)(cid:108)
𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶(cid:62)2(cid:72)(cid:42)(cid:102)(cid:141)(cid:39)(cid:40) (cid:59)(cid:268) = (cid:90) = (cid:116)(cid:100)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:62)1(cid:72)(cid:118)𝐶(cid:10)(cid:82)(cid:37)𝐴(cid:59)𝐶 𝐴𝐵 (cid:116)𝐵𝐶(cid:78)(cid:295)𝐴(cid:51)𝐵(cid:58)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)(cid:62)(cid:91)(cid:92)(cid:143)(cid:387)(cid:34)(cid:72)
△𝐴𝐵𝐶
(cid:62)2(cid:72)(cid:118)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:59) (cid:116)(cid:78)(cid:295)(cid:51)(cid:58)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:62)(cid:91)(cid:92)(cid:143)(cid:387)(cid:34)(cid:72)
△𝐴𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
【题型7 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形】
(cid:15)(cid:61)7(cid:19)Rt ABC(cid:38)(cid:59) ACB(cid:388)90°(cid:59) A(cid:388)60°(cid:59)(cid:171)(cid:42)(cid:32)BC(cid:43)(cid:141)(cid:34)(cid:40)P(cid:268)(cid:149) PAB(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:131)(cid:346)(cid:33)(cid:55)(cid:355)
(cid:27)(cid:40)P(cid:54) △(cid:73)(cid:81) ∠ ∠ △
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)4
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:76)(cid:77)(cid:263)A(cid:166)B(cid:78)(cid:389)(cid:390)(cid:59)(cid:263)AB(cid:78)(cid:391)(cid:392)(cid:58)(cid:389)(cid:59)(cid:140)(cid:58)AB(cid:27)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:59)(cid:116)(cid:100)(cid:149)(cid:36)(cid:91)(cid:92)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:263)A(cid:78)(cid:389)(cid:390)(cid:59)(cid:263)AB(cid:78)(cid:391)(cid:392)(cid:58)(cid:389)(cid:59)(cid:52)(cid:42)(cid:32)BC(cid:54)(cid:34)(cid:73)(cid:291)(cid:40)(cid:108)
(cid:144)(cid:218)(cid:263)B(cid:78)(cid:389)(cid:390)(cid:59)(cid:263)AB(cid:78)(cid:391)(cid:392)(cid:58)(cid:389)(cid:59)(cid:52)(cid:42)(cid:32)BC(cid:54)(cid:46)(cid:73)(cid:291)(cid:40)(cid:108)
(cid:58)AB(cid:27)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:52)BC(cid:54)(cid:34)(cid:73)(cid:291)(cid:40)(cid:59)
(cid:116)(cid:54)1+2+1(cid:388)4(cid:73)(cid:59)
(cid:121)(cid:91)(cid:92)(cid:78)4(cid:81)
(cid:15)(cid:40)(cid:339)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:79)(cid:32)(cid:253)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:230)(cid:231)(cid:27)(cid:159)(cid:160)(cid:59)(cid:229)(cid:217)(cid:95)(cid:96)(cid:11)(cid:393)(cid:27)(cid:218)(cid:118)(cid:101)(cid:394)(cid:79)(cid:395)(cid:396)(cid:397)
(cid:58)(cid:101)(cid:394)(cid:81)(cid:15)(cid:123)(cid:104)7-1(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171)(cid:398)(cid:26) (cid:27)(cid:30)(cid:43)(cid:35)(cid:246)(cid:34)(cid:40)P(cid:59)(cid:268)(cid:149) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:399)(cid:41)(cid:36)(cid:295)(cid:54)(cid:27)(cid:40)P(cid:81)
𝐴𝐵𝐶𝐷 △𝐴𝐸𝑃
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)(cid:178)(cid:118)(cid:93)
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:246)(cid:346)(cid:33)(cid:20)(cid:270)(cid:27)(cid:40)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:59)
AE=P
1
E(cid:59)AP 2=AE(cid:59)AP 3=EP
3
(cid:59)AE=EP
4
(cid:59)AP 5=EP
5
(cid:59)
(cid:131)(cid:279)(cid:54)5(cid:73)(cid:40)P(cid:59)(cid:268)(cid:149) AEP(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
△
+
A
A
科
(cid:15)(cid:40)(cid:339)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:229)(cid:217)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:400)(cid:401)(cid:58)(cid:37)(cid:263)(cid:264)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:234)(cid:160)(cid:76)(cid:214)全(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:36)(cid:137)(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:136)(cid:81)
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:123)(cid:104)7-2(cid:19)(cid:62)23-24(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:342)(cid:343)(cid:402)(cid:238)·(cid:70)关(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:40) (cid:171)(cid:42)(cid:32) (cid:43)(cid:59)(cid:40) (cid:171)(cid:42)(cid:32) (cid:211).(cid:127)(cid:42)(cid:32) (cid:43)(cid:54)(cid:34)(cid:40) (cid:268)
，
源
资
辅
(cid:149) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)教(cid:26)(cid:59)(cid:131)(cid:155)(cid:156)(cid:55)(cid:355)(cid:27)(cid:40) (cid:298)(cid:299)(cid:54) 𝑂 (cid:73). 𝑙 𝐴 𝑙 𝑙 𝑃
△𝐴𝑃𝑂 𝑃
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)4
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:20)(cid:270)(cid:59)(cid:76)(cid:24)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:51)(cid:118)(cid:59)(cid:116)(cid:100)(cid:149)(cid:246)(cid:91)(cid:92)(cid:59)
(cid:234)(cid:160)(cid:76)(cid:214)(cid:147)(cid:148)(cid:27)(cid:403)(cid:404)(cid:118)(cid:405)(cid:406)(cid:20)(cid:137)(cid:3)(cid:136)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:59)
(cid:263) (cid:78)(cid:389)(cid:390)(cid:59) (cid:75)(cid:78)(cid:391)(cid:392)(cid:41)(cid:407)(cid:59)(cid:52)(cid:42)(cid:32) (cid:291)(cid:216)(cid:40) (cid:166) (cid:59)
①(cid:111)(cid:98)𝑂 = =𝑂𝐴 (cid:59) (cid:79) 𝑙(cid:78)(cid:22)(cid:23)𝑃(cid:24)1(cid:25)𝑃(cid:26)2(cid:59)
(cid:263)𝑂𝐴(cid:78)(cid:389)𝑂(cid:390)𝑃(cid:59)1 𝑂(cid:75)𝑃2(cid:78)(cid:391)△(cid:392)𝐴(cid:41)𝑃1(cid:407)𝑂(cid:59)(cid:52)△(cid:42)𝐴𝑃(cid:32)2𝑂(cid:291)(cid:216)(cid:40) (cid:59)
②(cid:111)(cid:98)𝐴 = (cid:59)𝑂𝐴 (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)𝑙 𝑃3
(cid:58)𝑂𝐴(cid:27)(cid:277)𝑂𝑃(cid:42)2(cid:238)(cid:76)△(cid:32)𝐴𝑃(cid:59)3𝑂(cid:52)(cid:52)(cid:42)(cid:32) (cid:291)(cid:216)(cid:40) (cid:59)
(cid:111)③(cid:98)𝑂𝐴 = (cid:59) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)𝑙 (cid:25)(cid:26)(cid:59)𝑃4
𝑂𝑃4 𝐴𝑃4 △𝐴𝑃4𝑂(cid:116)(cid:155)(cid:156)(cid:55)(cid:355)(cid:27)(cid:40) (cid:298)(cid:299)(cid:54)4(cid:73)(cid:59)
(cid:121)(cid:91)(cid:92)(cid:78)(cid:10)4(cid:81) 𝑃
(cid:15)(cid:123)(cid:104)7-3(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:44)(cid:45) =30°(cid:59)(cid:40)M(cid:59)N(cid:171)(cid:30) (cid:43)(cid:59) = = +2(cid:59)(cid:40)P(cid:137)(cid:30) (cid:43)(cid:27)(cid:40)(cid:59)(cid:127)
(cid:268)(cid:40)P(cid:59)M(cid:59)N(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:23)∠(cid:24)𝐴(cid:25)𝑂𝐵(cid:26)(cid:27)(cid:40)P(cid:130)(cid:247)(cid:408)(cid:54)(cid:34)(cid:73)(cid:59)𝑂𝐴(cid:131)x(cid:27)𝑂(cid:141)𝑀(cid:142)(cid:261)𝑥(cid:262),𝑂𝑁(cid:137) 𝑥 (cid:81) 𝑂𝐵
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19) >4(cid:90) =2
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)𝑥(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)𝑥(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:81)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:76)(cid:214)(cid:147)(cid:148)(cid:59)(cid:76)(cid:77)(cid:51)(cid:118)(cid:261)(cid:262)(cid:116)(cid:100)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) (cid:82)(cid:37)1(cid:59)(cid:150) =2(cid:98)(cid:59)(cid:116) = =2(cid:59)(cid:263)M(cid:78)(cid:389)(cid:390)(cid:59)(cid:263)2(cid:78)(cid:391) A (cid:392)+(cid:27)(cid:389)(cid:291) (cid:216)(cid:40)P(cid:59)(cid:111)(cid:98)
A
科
全
★
= = ①=2(cid:59) 𝑥 𝑂𝑀 𝑀𝑁 众 号 𝑂𝐵
公
注
关
𝑀(cid:131)𝑃(cid:40)P𝑃(cid:59)𝑁M(cid:59)𝑀N𝑁(cid:49)(cid:50)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)源(cid:40)，P(cid:130)(cid:247)(cid:408)(cid:54)(cid:34)(cid:73)(cid:81)
资
辅
教
(cid:82)(cid:37)2(cid:81)(cid:150) =4(cid:98)(cid:59)(cid:116)(cid:59)(cid:194)(cid:40)M(cid:58) (cid:216)(cid:40)P(cid:59)
② 𝑥 𝑀𝑃⊥𝑂𝐵
= 1 =2(cid:81)
2
∴𝑀𝑃 𝑂𝑀
= =2(cid:59)
∴(cid:58)𝑀𝑃 (cid:27)𝑀(cid:277)𝑁(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:291) (cid:216)(cid:40)P(cid:59)(cid:131) = (cid:81)
′ ′
(cid:111)𝑀(cid:98)𝑁(cid:59)(cid:263)(cid:40)P(cid:59)M(cid:59)N𝑂(cid:49)𝐵(cid:50)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝑃(cid:26)𝑀(cid:27)(cid:40)𝑃(cid:130)𝑁(cid:247)(cid:54)2(cid:73)(cid:81)(cid:131)(cid:150) >4(cid:98)(cid:59)(cid:263)P(cid:59)M(cid:59)N(cid:49)(cid:50)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:130)(cid:247)(cid:408)(cid:54)(cid:34)(cid:73)(cid:81)
(cid:120)(cid:43)(cid:59)𝑥 (cid:150) >4(cid:90) =2(cid:98)(cid:59)(cid:263)P(cid:59)M(cid:59)N(cid:49)(cid:50)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:130)(cid:247)(cid:408)(cid:54)(cid:34)(cid:73)(cid:81)
(cid:121)(cid:91)(cid:92)(cid:78)𝑥(cid:10) >4𝑥(cid:90) =2
【题型8 求 𝑥 与图形 𝑥 中任两点构成等腰三角形的点】
(cid:15)(cid:61)8(cid:19)(cid:62)23-24(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:296)(cid:273)(cid:273)(cid:325)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171) (cid:38)(cid:59) =75°(cid:59) =30°(cid:81)(cid:40) (cid:78)(cid:42)(cid:32)
(cid:43)(cid:34)(cid:395)(cid:40)(cid:59)(cid:127)(cid:40) (cid:52) (cid:24)(cid:73)(cid:368)(cid:40)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:73)(cid:368)(cid:40)(cid:49)(cid:314)△(cid:50)𝐴(cid:22)𝐵𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:25)∠(cid:26)𝐴𝐵(cid:59)𝐶(cid:87)(cid:88)(cid:155)(cid:156)∠(cid:55)𝐵(cid:355)𝐴𝐶(cid:27)(cid:40) (cid:27)(cid:298)(cid:299)𝑃(cid:54)(cid:62) 𝐵(cid:72)𝐶
𝑃 △𝐴𝐵𝐶 𝑃
A(cid:81)4(cid:73) B(cid:81)6(cid:73) C(cid:81)8(cid:73) D(cid:81)9(cid:73)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)C
+
A
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:25)(cid:31)(cid:22)(cid:30)(cid:59)(cid:204)(cid:409)(cid:246)(cid:410)(cid:287)(cid:134)科(cid:95)(cid:411)A(cid:59)(cid:116)(cid:100)(cid:149)(cid:246)(cid:295)(cid:54)(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
全
★
号
众
(cid:26)(cid:27)(cid:145)(cid:146)(cid:59)(cid:149)(cid:246)(cid:155)(cid:156)(cid:55)(cid:355)(cid:27)(cid:40) (cid:27)(cid:73)(cid:165)(cid:81)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:22)公(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:137)(cid:118)(cid:94)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:81)(cid:373)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:232)(cid:25)
注
关
，
源
(cid:79)(cid:28)(cid:218)(cid:81) 辅 资𝑃
教
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:59)
(cid:171) (cid:38)(cid:59) =75°(cid:59) =30°(cid:59)
∵ △𝐴=𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠=𝐵𝐴𝐶 =75°(cid:59)
∴
(cid:150)
∠𝐴𝐶𝐵
=
180°−∠
=
𝐴𝐵1𝐶
×
−
7
∠
5
𝐵
°
𝐴
=
𝐶
37.5
1
°
8
(cid:98)
0°
(cid:59)
−75°−30
(cid:78)
°
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
2
∠𝐶𝐴𝑃 ∠𝐶𝑃𝐴 △𝐶𝐴𝑃
(cid:150) = = 1 ×( )=52.5°(cid:98)(cid:59) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
2
∠𝐵𝐴𝑃 ∠𝐵𝑃𝐴 180°−75° △𝐵𝐴𝑃
(cid:150) = =75°(cid:98)(cid:59) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
(cid:150)∠(cid:52)𝑃𝐴𝐵(cid:119)(cid:33)∠(cid:98)𝑃𝐵(cid:59)𝐴 (cid:78)(cid:22)(cid:23)△(cid:24)𝑃𝐴(cid:25)𝐵(cid:26)(cid:108)
(cid:150)𝑃(cid:52)𝐶(cid:119)(cid:33)(cid:98)(cid:59)△𝐴𝐵𝑃(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
(cid:150)𝑃 𝐵 = △=𝐴7𝐶5°𝑃(cid:98)(cid:59) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
(cid:150) ∠𝑃𝐴𝐶 = ∠𝑃𝐶𝐴 = 1 ×( △𝑃𝐴𝐶 )=52.5°(cid:98)(cid:59) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
2
∠𝐶𝐴𝑃 ∠𝐶𝑃𝐴 180°−75° △𝐶𝐴𝑃
(cid:150) = =37.5°(cid:98)(cid:59) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
(cid:120)∠(cid:43)𝐵(cid:59)𝐴𝑃(cid:155)(cid:156)∠(cid:55)𝐵(cid:355)𝑃𝐴(cid:27)(cid:40) (cid:27)(cid:298)(cid:299)(cid:54)△8(cid:73)𝐵𝐴(cid:81)𝑃
𝑃(cid:121)(cid:122)(cid:10)C(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)8-1(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171) (cid:38)(cid:59) = =100°(cid:59)(cid:40)P(cid:171) (cid:27)(cid:24)(cid:30)(cid:43)(cid:412)(cid:395)(cid:59)(cid:150) (cid:50)(cid:78)(cid:22)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:98)(cid:59)(cid:210)(cid:368)(cid:25)(cid:27)(cid:228)△(cid:165)𝐴(cid:137)𝐵 𝐶 ∠𝐵(cid:81) 25°,∠𝐴 △𝐴𝐵𝐶 △𝑃𝐴𝐶
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)100°(cid:90)55°(cid:90)70°
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:58)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:59)(cid:283)(cid:237)(cid:76)(cid:40)P(cid:171)AB(cid:43)(cid:52)BC(cid:43)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:51)(cid:118)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) (cid:82)(cid:37)1(cid:59)(cid:40)P(cid:171)AB(cid:43)(cid:98)(cid:59)AP=AC(cid:59)(cid:368)(cid:25)(cid:78) A=100°(cid:59)
+
A
A
科
ABC=25①°(cid:59) BAC=100°(cid:59) ∠ ★ 全
号
众
公
注
②∵A∠CB=180°-25°∠-100°=55°(cid:59) 关
，
源
资
辅
∴(cid:82)∠(cid:37)2(cid:59)(cid:40)P(cid:171)BC(cid:43)教(cid:98)(cid:59)(cid:127)AC=PC(cid:59)(cid:368)(cid:25)(cid:78) ACB=55°(cid:59)
(cid:82)(cid:37)3(cid:59)(cid:127)AC=AP(cid:59)(cid:131)(cid:368)(cid:25)(cid:78) CAP=180°-2 A∠CB=180°-2×55°=70°(cid:59)
(cid:120)(cid:43)(cid:295)(cid:375)(cid:59)(cid:368)(cid:25)(cid:78)105°(cid:90)55°(cid:90)∠70°(cid:81) ∠
(cid:121)(cid:91)(cid:92)(cid:78)(cid:10)100°(cid:90)55°(cid:90)70°(cid:81)
(cid:15)(cid:40)(cid:339)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:59)(cid:267)(cid:40)(cid:171)(cid:216)(cid:217)(cid:76)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:51)(cid:118)(cid:59)(cid:58)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:413)(cid:26)(cid:414)(cid:42)(cid:206)(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)8-2(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59) =60°(cid:59) (cid:137) (cid:415)(cid:75)(cid:32)(cid:43)(cid:34)(cid:40)(cid:59)(cid:127) =18cm(cid:59)(cid:395)(cid:40) (cid:204)(cid:40) (cid:36)(cid:208)(cid:105) (cid:263)2cm/ (cid:27)
(cid:416)(cid:228)(cid:297)(cid:395)(cid:59)(cid:395)(cid:40) (cid:204)∠(cid:40)𝐴𝑂(cid:105)𝐵 (cid:263)1cm𝐶/ (cid:27)𝑂𝐵(cid:416)(cid:228)(cid:297)(cid:395)(cid:59)(cid:82)(cid:83)(cid:40) 𝑂(cid:166)𝐶 (cid:144)(cid:98)(cid:36)(cid:208)(cid:59)(cid:160)t𝑃 (cid:417)(cid:347)𝐶(cid:297)(cid:395)(cid:27)𝐶(cid:98)𝐵(cid:192)(cid:59)(cid:150) 𝑠= s
(cid:98)(cid:59) (cid:137)(cid:22)𝑄(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝑂(cid:26)(cid:359)𝑂𝐴 𝑠 𝑃 𝑄 (𝑠) 𝑡
△𝑃𝑂𝑄(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)6(cid:90)18
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19)(cid:76)(cid:40)P(cid:171)(cid:32)(cid:253)OC(cid:43)(cid:79)(cid:40)P(cid:171)(cid:32)(cid:253)OB(cid:43)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:59)(cid:76)(cid:77)(cid:114)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:278)(cid:36)(cid:22)(cid:104)(cid:59)(cid:51)(cid:118)(cid:116)
(cid:100)(cid:149)(cid:81)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:184)(cid:20)(cid:270)(cid:59)(cid:76)(cid:263)(cid:66)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:10)
(cid:62)1(cid:72)(cid:40)P(cid:171)(cid:32)(cid:253)OC(cid:43)(cid:98)(cid:59)(cid:127)ΔPOQ(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:131)(cid:408)(cid:54)OP=OQ(cid:418)(cid:155)(cid:156)
(cid:158)(cid:111)(cid:54)18−2t=t
(cid:118)(cid:149)t=6(s)
(cid:62)2(cid:72)(cid:40)P(cid:171)(cid:32)(cid:253)OB(cid:43)(cid:98)(cid:59)(cid:127)ΔPOQ(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)
=60° A +
A
科
全
★
∵Δ∠P𝐴O𝑂Q𝐵(cid:373)(cid:137)(cid:22)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
众
号
公
注
关
(cid:158)∴ (cid:111)(cid:54)2t−18=t 源 ，
资
辅
教
(cid:118)(cid:149)t=18(s)
(cid:120)(cid:43)(cid:59)(cid:150)t(cid:22)(cid:216)6s(cid:90)18s(cid:98)(cid:59)ΔPOQ(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:121)(cid:91)(cid:92)(cid:78)(cid:10)6(cid:90)18(cid:81)
(cid:15)(cid:40)(cid:339)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:287)(cid:115)(cid:20)(cid:270)(cid:59)(cid:138)(cid:47)(cid:76)(cid:46)(cid:99)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:137)(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:136)(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:104)8-3(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:171) (cid:38)(cid:59) =90°(cid:59) (cid:59)(cid:263) (cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:78)(cid:30)(cid:41)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:268)(cid:149)(cid:189)(cid:27)(cid:48)
(cid:24)(cid:73)(cid:368)(cid:40)(cid:171) (cid:27)(cid:210)𝑅(cid:419)𝑡△(cid:30)𝐴(cid:43)𝐵(cid:59)𝐶 (cid:131)(cid:100)∠(cid:263)𝐶(cid:41)(cid:36)(cid:27)(cid:143)𝐵(cid:144)𝐶(cid:27)≠(cid:22)𝐴𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:25)△(cid:26)𝐴(cid:27)𝐵(cid:73)𝐶 (cid:165)(cid:236)(cid:185)(cid:78)(cid:62) (cid:72)
△𝐴𝐵𝐶
A(cid:81)4 B(cid:81)5 C(cid:81)6 D(cid:81)7
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:19)D
(cid:15)(cid:76)(cid:93)(cid:19) (cid:263)B(cid:78)(cid:389)(cid:390)(cid:59) (cid:75)(cid:78)(cid:391)(cid:392)(cid:41)(cid:407)(cid:59)(cid:291) (cid:216)(cid:40)D(cid:59) (cid:385)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
① 𝐵𝐶 𝐴𝐵 △𝐵𝐶𝐷(cid:263)A(cid:78)(cid:389)(cid:390)(cid:59) (cid:75)(cid:78)(cid:391)(cid:392)(cid:41)(cid:407)(cid:59)(cid:291) (cid:216)(cid:40)E(cid:59) (cid:385)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
②(cid:263)C(cid:78)(cid:389)(cid:390)(cid:59)𝐴𝐶(cid:75)(cid:78)(cid:391)(cid:392)(cid:41)(cid:407)(cid:59)(cid:291)𝐴𝐵(cid:216)(cid:40)F(cid:59)△𝐴𝐶𝐸(cid:385)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
③(cid:58) (cid:27)(cid:277)(cid:42)(cid:238)𝐵(cid:76)𝐶(cid:32)(cid:291) (cid:216)(cid:40)H(cid:59) 𝐴𝐶 (cid:385)(cid:137)(cid:22)(cid:23)△(cid:24)𝐵𝐶(cid:25)𝐹(cid:26)(cid:108)
④(cid:58)𝐴𝐶(cid:27)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:291)𝐴𝐵(cid:216)G(cid:59)(cid:131)△𝐴𝐶𝐻(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)
⑤(cid:58)𝐴𝐵(cid:27)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:291)𝐴𝐶(cid:216)I(cid:59)(cid:131) △𝐴𝐺𝐵(cid:79) (cid:348)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
⑥(cid:58)𝐵𝐶(cid:27)(cid:277)(cid:42)(cid:238)(cid:76)(cid:32)(cid:291)𝐴𝐵(cid:216)M(cid:59)(cid:131)△𝐵𝐶𝐼 (cid:79)△𝐴𝐶𝐼 (cid:348)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
⑦(cid:15)(cid:117)(cid:118)𝐴𝐶(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:58)(cid:37)(cid:82)(cid:66) 𝐴𝐵 △𝐴𝐶𝑀 △𝐵𝐶𝑀
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:121)(cid:122)(cid:10)D
(cid:15)(cid:40)(cid:339)(cid:19)(cid:94)(cid:20)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:221)(cid:28)(cid:27)(cid:159)(cid:160)(cid:108)(cid:118)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:136)(cid:137)(cid:218)(cid:118)(cid:101)(cid:394)(cid:79)(cid:395)(cid:396)(cid:397)(cid:58)(cid:101)(cid:394)(cid:81)
