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专题 05 利用分类讨论求解等腰三角形中的多解问题之六大题型
已知等腰三角形的两边求第三边长产生多解
例题：（2023上·湖南永州·八年级校考期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则它
的第三边的长为 ．
【答案】4或5
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．分4为腰和底边两种情况进行讨论即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，
∴当4为腰长时，第三边的长也是4， ，满足题意；
当4为底时，第三边的长是5， ，满足题意；
∴第三边的长为4或5．
故答案为：4或5．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江大庆·七年级统考期末）已知等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的
第三边长度为 ．
【答案】 或 /8或6
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边的关系即可求解．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为 和 ，
第一种情况：等腰三角形的三边长分别为 、 和 ，
∵ ，化简得， ，满足等腰三角形三边关系，
∴等腰三角形的第三边长为 ；
第二情况：等腰三角形的三边长分别为 、 和 ，∵ ，化简得， ，满足等腰三角形三边关系，
∴等腰三角形的第三边长为 ；
综上所述，等腰三角形的第三边长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
已知等腰三角形的两边求周长产生多解
例题：（2023上·河北张家口·八年级统考期末） 是等腰三角形， ，则 的
周长为（ ）
A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为 与腰为 时，即可得到答案．
【详解】解：当 的腰为 时， 的周长 ；
当 的腰为 时， 的周长 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如果等腰三角形有两条边长分别为5，6，那么该等腰三
角形的周长等于（ ）
A．16 B．17 C．16或17 D．17或18
【答案】C
【分析】分类讨论腰，结合等腰三角形性质即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
当5是腰时， ，能组成三角形，周长为： ，
当6是腰时， ，能组成三角形，周长为： ，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形性质：两条腰相等，解题的关键是分类讨论，并根据三边关系判断．
2．（2023上·江西南昌·八年级统考期末）若等腰三角形的三边长分别为 ，5， ，则此等腰
三角形的周长可以是 ．【答案】11或13或17
【分析】先根据题中已知等腰三角形的三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分三
种情况进行分析求解即可．
【详解】解：①当 是底边时，则腰长为 ，5，
∴ ，
∴ ，
即三角形三边长分别为5，5，7，根据三角形三边关系，可以构成三角形，
∴等腰三角形的周长 ；
②当5是底边时，则腰长为 ， ，
∴ ，解得 ，
即三角形三边长分别为3，3，5，根据三角形三边关系，可以构成三角形，
∴等腰三角形的周长 ；
③当 是底边时，则腰长为5， ，
∴ ，解得 ，
即三角形三边长分别为5，5，4，根据三角形三边关系，可以构成三角形，
∴等腰三角形的周长 ．
综上所述，三角形的周长可以是11，14或17．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、解一元一次方程以及三角形三边关系等知识，解题的
关键是分类讨论，并用三边关系定理检验．
已知等腰三角形的一角求其他角产生多解
例题：（2023下·河南驻马店·七年级校考期末）若等腰三角形的一个内角是 ，则它的顶角是
( )
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】由于不确定 是等腰三角形的顶角还是底角，分两类情况进行讨论即可．
【详解】解：此题要分情况考虑：
①当 是它的顶角时，两个底角是： ，符合题意；
②当 是它的底角时，则顶角是 ，符合题意．所以这个等腰三角形的顶角为 或 ．
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和为 ，熟练掌握等腰三角形的
底角相等以及会用三角形内角和求角的度数是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）若 是等腰三角形， ，则 的度数是
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．
【详解】解： 是等腰三角形， ，
当 是顶角时， ；
当 是底角时，
①当 时， 则 ；
② ；
综上所述， 的度数是 或 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．
已知等腰三角形的一边和周长求其他边长产生多解
例题：（2023下·云南昭通·八年级校联考期末）已知一个等腰三角形一边长为6，周长为20，则另
两边长分别为（ ）
A．6，8 B．7，7 C．6，8或7，7 D．以上都不对
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：若腰长为6；若底边长为6，即可求解．
【详解】解：若腰长为6，则底边长为 ，
此时另两边长分别为6，8； 可以构成三角形，满足题意；
若底边长为6，则腰长为 ，此时另两边长分别为7，7； 可以构成三角形，满足题意；
综上所述，另两边长分别为6，8或7，7．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东济南·七年级统考期末）等腰三角形的周长为 ，其中一边长为 ，则该等
腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长 为腰或者 底边时．
【详解】解：分情况考虑：当 是腰时，则底边长是 ，此时 ， ， 能
组成三角形，此时腰长是 ．
当 是底边时，腰长是 ， ， ， 能够组成三角形．此时腰长是
．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要
想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也
是解题的关键．
2．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角
形的“优美比”．若等腰 的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C． 或2 D． 或
【答案】D
【分析】分 为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．
【详解】解：当 为腰长时，
∵等腰 的周长为20，
∴ 的底边长为： ，
∴“优美比”为 ；
当 为底边长时，的腰长为： ，
∴“优美比”为 ；
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分
类讨论．
与等腰三角形有关的问题产生多解
例题：（2023下·辽宁丹东·七年级统考期末）在锐角 中， ，将 沿 翻折得
到 ，直线 与直线 相交于点E，若 是等腰三角形，则 的度数为
．
【答案】 或
【分析】分三种情形：当 ，点E在 和 的延长线上，当 ，点E在 和
的延长线上，分别画出图形，分别求解即可．
【详解】解：①如图，当 ，点E在 和 的延长线上，
∵ ，
∴ ，
由折叠得： ， ，
设 ，则 ， ， ，
在 中，由三角形内角和定理得： ，∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴此时 为锐角三角形，符合题意；
②如图，当 ，点E在 和 的延长线上，
∵ ，
∴ ，
由折叠得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴此时 为锐角三角形，符合题意；
综上所述，满足条件的 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，
解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
【变式训练】
1．（2023下·山西运城·七年级统考期末）如图，在 中， ， ，和 关于直线 对称， 的平分线交 于点G，连接 ，当 为等腰三角形时，
的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】先由轴对称可以得出 ，就可以得出 ， ，再证明
就可以得出 ，就可以求出 的值；再分三种情况求解：当
、 、 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∵ 和 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
①当 时，
∴ ．
②当 时，
∴ ．
∵ ，∴ ．
③当 时，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，分类讨
论是解答本题的关键．
2．（2023上·河北保定·八年级校考期末）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点，
， ， ， ，连接 ．
（1）当 ， ；
（2）当 度时， 是等腰三角形．
【答案】 /90度 100或130或160
【分析】（1）根据有一个角是 的等腰三角形是等边三角形可得 是等边三角形，再根据
全等可得 ，继而得到 为 ，即可求解；
（2）根据题中所给的全等及 的度数可得 的度数，进而得到 的度数，根据等腰
三角形的两底角相等分类探讨即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ；
①当 时， ，
∴ ；
②当 时， ，
∴ ；
③当 时， ，
∴ ，
当 或 或 时， 是等腰三角形．
【点睛】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形
的各种情况是解题的关键．
等腰三角形的形状不明时与高线及其他线结合产生多解
例题：在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，
则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
【答案】B
【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的
等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b．
∵D为AC的中点，
∴AD＝DC＝ AC＝ a．根据题意得 或
解得 或
又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．
∴这个等腰三角形的底边长为7或11．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为
15，12中包含着中线 的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而
漏掉其中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么
这个三角形的顶角为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利
用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图1，三角形是锐角三角时，
∵ ，
∴顶角 ；
如图2，三角形是钝角时，
∵ ，∴顶角 ，
综上所述，顶角等于 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
2．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知 中， ，在AB边上有一点D，若
CD将 分为两个等腰三角形，则 ________．
【答案】100°，70°，40°或者10°
【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．
【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，
∵BD=CD，∠B=20°，
∴∠B=∠DCB=20°，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，
（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，
∴∠A=∠ACD=70°；
（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，
∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；
（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；
第二种请况：BC=CD时，如图，
∵∠B=20°，BC=CD，
∴∠B=∠BDC=20°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=10°；
第三种情况：BC=BD时，如图，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，
∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=40°；
综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，
故答案为：70°，100°，40°，10°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本
题的关键．一、单选题
1．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期末）等腰三角形有一个内角为 ，则它的顶角为（ ）
A． B． C． 或 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可分 为顶角和底角进行求解．
【详解】解：分情况讨论，当等腰三角形的一个内角 为顶角时，其顶角为 ；
当 为底角时，则其顶角为 ；
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）若等腰三角形的两内角度数比为 ，则它的顶角为（
）度
A．36或144 B．20或120 C．120 D．20
【答案】B
【分析】设该等腰三角形的底角度数为 ，然后分当底角的度数与顶角的度数之比为 时，则顶
角的度数为 ，当底角的度数与顶角的度数之比为 时，则顶角的度数为 ，两种情况
根据三角形内角和为 建立方程求解即可．
【详解】解：设该等腰三角形的底角度数为 ，
当底角的度数与顶角的度数之比为 时，则顶角的度数为 ，
∴ ，
解得 ，
∴顶角的度数为 ；
当底角的度数与顶角的度数之比为 时，则顶角的度数为 ，
∴ ，
解得 ，
∴顶角的度数为 ；
综上所述，该等腰三角形底角的度数为 或 ，
故选B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题
的关键．
3．（2023上·山东聊城·八年级统考期末）已知 是等腰 中一腰上的高， ，则
顶角的度数可能有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的顶角不同，对 进行分类讨论即可解答．
【详解】解：∵ ， 是腰上的高，
∴ ，
①如图1，若 为顶角，
则 ，两底角为 ，
此时三角形的三个内角为： ， ， ，
②如图2， 为顶角，
则顶角为 ，
此时三角形的三个内角为： ， ， ，
③如图3，若 为顶角时，
，
∴ ，
即顶角 ，
此时三角形的三个内角为： ， ， ，
顶角的度数可能有 ， ， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键．
4．（2023上·河南新乡·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， 是 边上
的动点（不与 、 重合），连接 ，若 为等腰三角形，则 的度数为（ ）．A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】根据三角形内角和为 ， 为等腰三角形，分三种情况分别计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
这时点 与点 重合，不符合题意，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想．掌握等腰三角形的两个底角相等是
解题的关键．
5．（2023上·重庆南岸·八年级校考期末）如图， 中， ， ， 为 边
上一点（不与 、 重合），将 沿 翻折得到 ， 交 于点 ．若 为等腰
三角形，则 为（ ）
A． B． 或 C． D． 或【答案】B
【分析】分两种情况进行讨论，当 时，根据折叠的性质可知 ，设
，根据等腰三角形的性质可得 ，则 ，解
出x即可；当 时， 根据折叠的性质可知 ，设 ，根据
等腰三角形的性质可得 ，则 ，则 ，解出y即可．
【详解】解：当 时，
根据折叠的性质可知 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
当 时，
根据折叠的性质可知 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述， 的度数为 或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键．
二、填空题
6．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）在等腰三角形中有一个角为 ，则腰上的高与底边的夹
角为 ．
【答案】 或
【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算．
【详解】当 角为底角时，如图，
∵ ，
∴ ，
过点A作 ，交 的延长线于点D，
∴ ，
∴ ；
当 角为顶角时，如图，
∵ ，
∴ ，
过点A作 ，交 于点G，
∴ ，
∴ ；
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的角的计算，熟练掌握分类思想是解题的关键．
7．（2022上·山西朔州·八年级校联考期末）如图，已知点P是射线 上一动点， ，
当 为 时， 是等腰三角形．【答案】 或 或
【分析】若 为等腰三角形则有 、 、 三种情况，分
别利用等腰三角形的两底角相等可求得 的值．
【详解】若 为等腰三角形则有 、 、 三种情况:①
当 时，
即 ，
；
②当 时，
即 ，
；
③当 时，
，
综上可知答案为 或 或 ．
故答案为： 或 或
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
8．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）定义：如果三角形有两个内角的差为 ，那么这样的三
角形叫做“准等边三角形”那么顶角为 的等腰三角形 “准等边三角形”．（填
“是”或“不是”）
【答案】不是
【分析】由等腰三角形顶角为 ，得到等腰三角形的底角是 ．于是得到顶角为 的等腰三
角形不是“准等边三角形”．
【详解】解：∵等腰三角形顶角为 ，
∴等腰三角形的底角是 ．
∵ ，
∴顶角为 的等腰三角形不是“准等边三角形”．
故答案为：不是．【点睛】本题考查“准等边三角形”，等腰三角形的性质，关键是理解新定义“准等边三角形”．
9．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）已知一个钝角等腰三角形，其中一条腰上的高与另一
条腰的夹角为 ，则该等腰三角形的顶角为 ．
【答案】 /115度
【分析】首先根据题意画出图形，首先根据直角三角形两锐角互余求出 ，然后利用邻
补角互补求解即可．
【详解】解：如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，
认真的进行计算．
10．（2022上·北京·八年级北京市师达中学校考期中）如图，在 中， ， ，
点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接 ，作 ， 交 于点E，当
为等腰三角形时， 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】先根据等边对等角求出 ，再分 ， ， 三种情况，计
算出 的度数，则 ．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
分三种情况：当 时，
，
∴ ；
当 时，
，
∴ ；
当 时，
，
此时，点E与B重合，点D与C重合，不合题意；
综上可知， 的度数为 或 ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，难度不大，熟练运用分类
讨论思想是解题的关键．
三、解答题
11．（2023下·吉林长春·七年级统考期末）在 中， ， ， ．
(1)求 的取值范围．
(2)若 是等腰三角形，则 的周长为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的三边关系列出关于 的不等式，求出 的取值范围即可；
（2）根据等腰三角形特征，分 ， 两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解： ， ， ，
，即 ，
解得： ；
（2）当 时， 的周长 ，
当 时， ，不能构成三角形，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形定义，解一元一次不等式组，熟知三角形两
边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边是解题的关键．
12．（2023上·河南开封·八年级校考期末）已知，在等边三角形 中，点D在 上，点E在的延长线上，且 ．
(1)【问题发现】如图1，当点D为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出
结论： ______ （填“＞”“＜”或“＝”）．
(2)【类比探究】如图2，当点D为 边上任意一点时，确定线段 与 的大小关系，请你写
出结论， ______ （填“＞”“＜”或“＝”），并将如下理由补充完整．
过点D作 ，交 于点M．
(3)【拓展延伸】已知点D是等边三角形 的边 的中点， ，P、Q分别为射线 、射
线 上一动点，且 ，若 ，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)5或1
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得 ，再根据等边三角形的性质、
三角形外角的性质证明 ，推出 ，可得 ；
（2）先证明 是等边三角形，再证 ，即可得出 ；
（3）分点Q在线段 的延长线上，点Q在线段 上两种情况，证明 ，
根据对应边相等即可求解．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
，
点D为 的中点，
， ，
，，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
过点D作 ，交 于点M，
，
，
又 ，
，
是等边三角形，
，
，即 ，
，
，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
；
（3）解：如图，当点Q在线段 的延长线上时，作 ，交 于点M，易得 是等
边三角形，， ，
点D为等边 的边 的中点，
， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
；
如图，当点Q在线段 上时，同理可证 ，
则 ，
综上可知， 的长度为5或1．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等，解题的
关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，通过作辅助线构造全等三角形．
