文档内容
专题13.10 等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角
叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，
∠B、∠C是底角．
特别提醒：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于 45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为
钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
【知识点二】等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对
称轴．
【知识点三】等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
特别提醒：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为
边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【考点一】等腰三角形➼➻等腰三角形的定义
【例1】已知等腰 ，解答以下问题：（1）若有一个内角为 ，求这个等腰三角形另外两个角的度数；
（2）若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和 ，求三边的长．
【答案】(1) 或 ； (2)
【分析】（1）分 为等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定
理解答即可；
（2）分若两条边长a和 都是腰，一条是腰，另一条是底边两种情况，结合等腰三角形的性质、三角
形的三边关系和三角形的周长列出方程，求解即可．
解：（1）当 为等腰三角形的顶角时，则底角为 ，
当 为等腰三角形的底角时，则顶角为 ，
所以这个等腰三角形另外两个角的度数为 ；
（2）若两条边长a和 都是腰，则 ，解得 ，不符合题意，舍去；
若两条边长a和 一条是腰，另一条是底边，分两种情况：
若a是腰，则 为底边，则 ，解得 ，
此时三角形的三边长分别是 ，
∵ ，
故此时不能构成三角形，舍去；
若a是底边，则 为腰，则 ，解得 ，
此时三角形的三边长分别是 ，能构成三角形，
综上，三角形的三边长分别是 ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，全面分类、熟练掌握等腰三角形的性
质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式 ，则这个三角形的周长是（
）
A．9 B．12 C．9或12 D．15或6
【答案】B
【分析】先根据非负数的性质求出 ，再分两种情况求解即可．
解：根据题意， ，
解得 ，（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5， ，不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5， 能组成三角形，周长为 ．
故选：B．
【点拨】此题考查了等腰三角形、构成三角形的条件、非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
【变式2】如图，在 中， ，点 是射线 上一动点（ 在点 的右侧）， ，
当 时，以 ， ， 三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】 或 或
【分析】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
解：分为以下3种情况：
① ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
② ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴③
∵ ，
∴
∵
∴
∴
综上所述， 或 或 ，以 ， ， 三点为顶点的三角形是等腰三角形．
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能画出符合的所有图形是解
此题的关键．
【考点二】等腰三角形➼➻等边对等角★★等角对等边➼➻求值✭★证明
【例2】如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， 的周长是 ，求 的长．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出 ，求得 的度数，根据垂直平分线性质
得出 ，得出 ，利用外角性质进而求出 的度数；
（2）由（1）知 ， ，利用 ，即可求出 的长．
（1）解： ，
，
，是 的垂直平分线，
，
，
；
（2）由（1）知 ，
，
，
，
的周长是 ，即 ，
．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质，三角形内角和定理，三角形外角性
质，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，在 中， ， ， 于点 ，点 在 上且 ，
（1）若 的周长是 ，求线段 的长；
（2）求 的度数.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）证明点 是 的中点， ，从而可得答案；
（2）证明 ，求解 ，证明 ，结合
，可得 ，从而可得答案.
（1）解：∵ ， 于点 ，
∴点 是 的中点，
∵ 的周长是 ， ，
∴ ，∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的三线合一是解
本题的关键.
【例3】如图，在 中， ，作 交 的延长线于点 ，作 ， ，且
， 相交于点 ，求证： ．
【分析】根据等边对等角可得 ，根据平行线的性质可得 ，推得
，根据全等三角形的判定和性质即可证明．
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定
和性质是解题的关键，属于中考常考题型．
【举一反三】
【变式】已知：如图所示， 中， ， 为 的角平分线，求证： ．（推理过
程请注明理由）
【分析】等边对等角，得到 ，外角的性质和角平分线的定义，得到 ，即可得证．
证明： （已知），
（等边对等角），
是 的外角，（外角的定义）
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
，（等量代换）
是 的角平分线，（已知）
（角平分线定义），
（等量代换），
．（内错角相等，两直线平行）
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，平行线的判定．熟练掌握相关知识点，是解
题的关键．
【考点三】等腰三角形➼➻三线合一➼➻求值✭★证明
【例4】如图，在 中， 于点 ．（1）若 ，求 的度数；
（2）若点 在边 上， 交 的延长线于点 ，试说明 ．
【答案】(1) ； （2）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得 ，然后根据直角三角形两锐角互余求出 的
度数即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得 ，根据平行线的性质可得 ，等量代换可得答
案．
（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的
三线合一是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】小明遇到这样一个问题：
如图①，在 中， ，点 在 上，且 ，求证： ．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面的方法：如图②，作 ，垂足为 ，证明
．
请从以上两种方法中任选一种，加以证明．【分析】方法1：利用三角形的内角和计算角的度数即可得出结论；方法2：作 ，垂足为 ，根
据同角的余角相等得出 ，再根据等腰三角形三线合一的性质得出 ．
证明：方法1： ，
，
又 ，
，
．
方法2：作 ，垂足为 ，
，
，
．
又 ， ，
，
．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和，同角的余角相等，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角
形的内角和定理，等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
【考点四】等腰三角形性质与判定➼➻综合➼➻求值✭★证明
【例5】如图： 在 的 边的延长线上， 点在 边上， 交 于点 ， ，
．
求证： 是等腰三角形．（过 作 交 于 ）【分析】过 作 交 于 ，根据平行线的性质可得出 、 ，结合
以及 可证明 ，根据全等三角形的性质可得出 ，结
合 可得出 ，进而可得出 ，即可得证出 ABC是等腰三角形．
证明：如图，过 作 交 于 ， △
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，通过作辅助线
构造全等三角形是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】在 中， ，点 分别在 边上，且 ， ．（1）求证： 是等腰三角形；
（2）当 时，求 的角度．
【答案】(1）见解析； (2)
【分析】（1）由 得 ，通过证明 得到 ，从而即可得到
是等腰三角形；
（2）由 得到 ，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得 ，从
而得到 ，进而得到 ，最后由 进行计
算即可得到答案．
（1）证明： ，
，
在 和 中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解： ，
，
， ， ，
，
，
，
，，
．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握等
腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，是解题的关键．
【变式2】如图， 中， ， ， ，垂足是D， 平分 ，交 于
点E．在 外有一点F，使 ， ．
（1）求证： ；
（2）在 上取一点M，使 ，连接 ，交 于点N，连接 ．
求证：① ；② 平分 ．
【分析】（1）两次运用同角的余角相等证明 ，得 ；
（2）①过E作 于H，分别证明 和 是等腰直角三角形即可；②根据题意得到
，然后利用角平分线的判定定理求解即可．
（1）证明：
，即 ，
又 ，
在 和 中，
，；
（2）①如图，过点E作 于H，则 是等腰直角三角形，
∵ 平分
∴ 是等腰直角三角形，
②∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ， ，
∴ 平分 ．
【点拨】本题考查了三角形全等、等腰直角三角形的性质和判定，角平分线的判定，证明边和角相等时，
一般就证明边和角所在的三角形全等即可．
