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第 03 讲 等腰三角形的性质和判定
知识点1：等腰三角形的概念和性质
知识点2：等腰三角形的判定
1. 等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹
角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其
中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合
一”．
【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，若BD=3，则BC的长为
（ ）A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可．
【详解】解∶∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
又BD=3，
∴CD=3，
∴BC=BD+CD=6，
故选∶C．
【变式1】一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则它的周长为（ ）
A．18 B．24 C．18或24 D．12或30
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分4是腰长和底边长两种
情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后根据周长公式
列式计算即可得解．
【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、10，
∵4+4=8<10，
∴不能组成三角形，
4是底边时，三角形的三边分别为4、10、10，
能组成三角形，
周长=4+10+10=24，
综上所述，这个等腰三角形的周长为24．
故选：B．
【变式2】等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（ ）
A．4 B．9 C．4或9 D．17
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，易错点是题目中没
有明确告诉等腰三角形的腰和底而忽视讨论．本题没告诉腰是4还是9，要分情况论．
确定腰是9还是4后，再根据三角形三边关系看是否能构成三角形，最后确定第三边的
长．
【详解】分两种情况讨论．第一种情况，当一腰是4时，则底边为9，另一腰长为4．此时因为4+4<9，不符合三
角形三边不等关系，此种情况不成立；
第二种情况，当一腰是9时，则底边为4，另一腰为9．此时
9+9＞4,4+9＞9,4+9＞4，符合三边不等关系．此时等腰三角形的三条边长分别为
9、9、4．所以第二种情况下底边长为4．
综上所述，底边长为4．
故选：A．
【变式3】已知等腰三角形的两边长分别是4cm和6cm，则此三角形的周长是 ．
【答案】14cm或16cm
【分析】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件；分腰长为4cm与腰长为6cm两
种情况，结合三角形三边的关系即可求解．
【详解】解：当腰长为4cm时，4+4>6，
则三角形的周长为：4+4+6=14(cm)；
当腰长为6cm时，6+6>4，
则三角形的周长为：6+6+4=16(cm)；
综上，此三角形的周长是14cm或16cm．
【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】
【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，由等边得等角求解即可．
由AB=AC可得△ABC为等腰三角形，再根据顶角可求解底角即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵∠A=120°，
180°−120°
所以∠C=∠B= =30°．
2
故选：C ．【变式1】如图，在△ABC中，∠C=90°，沿直线DE翻折，使得点A与点B重合，若
∠A=35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定
理求出∠ABC=55°，由折叠的性质可得AD=BD，再由等边对等角可得
∠ABD=∠A=35°，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，
∴∠ABC=90°−∠A=55°，
∵沿直线DE翻折，使得点A与点B重合，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=35°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=20°，
故选：B．
【变式2】如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B=30°，AD=AC，
∠BAC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
【答案】C
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，进而根据等腰三角形的性质和
外角的性质得出∠C=∠ADC=60°，最后根据三角形内角和为180度求解即可．
【详解】∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，
∴DA=DB，
∵∠B=30°，∴∠B=∠BAD=30°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADC=60°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=90°，
故选：C．
【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=35°，点D为BC的中点，则∠CAD=
．
【答案】55度/55°
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性
质得到∠C=∠B=35°,∠ADC=90°，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AB=AC,∠B=35°，
∴∠C=∠B=35°，
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠CAD=90°−35°=55°，
故答案为：55°．
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一
个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角
形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三
角形．
【题型3：判断等腰三角形的个数】
【典例3】如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，
结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵∠EBC=∠ECB=36°，
∴△EBC是等腰三角形，∠BEC=180°−∠EBC−∠ECB=108°，
∴ ∠AEB=∠DEC=180°−108°=72°，
∴∠AEB=∠A，∠CED=∠D，
∴△ABE、△CED是等腰三角形，
∵∠ABC=180°−∠ACB−∠A=180°−72°−36°=72°，
∠BCD=180°−∠DBC−∠D=180°−72°−36°=72°，
∴∠A=∠ABC，∠D=∠BCD，
∴△ABC、△BCD是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形，
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在AC的垂直平分线DF
上，AE平分∠BAD，则图中等腰三角形的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据题意可得AB=AC，进而可得∠B=∠C，得出∠B=∠C=36°，根据
垂直平分线的性质可得AD=CD，进而得出∠BAD=108°−36°=72°，根据角平分
线的定义得出∠BAE=∠DAE=36°，进而可得AE=BE，∠AED=∠ADE，得出
AE=AD，∠CAE=∠AED=72°，得出CA=CE，进而即可求解．
【详解】解：在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，
∵点D在AC的垂直平分线DF上，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形；
∴∠DAC=∠C=36°，
∴∠BAD=108°−36°=72°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=36°，
∴∠BAE=∠B，
∴AE=BE，
∴△AEB是等腰三角形；
∵∠AED=∠BAE+∠B=72°，∠ADE=∠DAC+∠C=72°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形；
∵∠BAD=∠ADE=72°，
∴BA=BD，
∴△ABD是等腰三角形；∵∠CAE=∠AED=72°，
∴CA=CE，
∴△CAE是等腰三角形，
综上所述，等腰三角形有△ABC，△ADC，△AEB，△ADE，△ABD，△CAE共6
个，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等
腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分线，则图中
的等腰三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由BD是△ABC的角平分线，可得∠ABC=2∠ABD=72°，又可求
∠ABC=∠C=72°，所以△ABC是等腰三角形；又
∠A=180°−2∠ABC=180°−2×72°=36°，故∠A=∠ABD，所以△ABD是等
腰三角形；由∠DBC=∠ABD=36°，得∠C=72°，可求∠BDC=72°，故
∠BDC=∠C，所以△BDC是等腰三角形．
【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴△ABC是等腰三角形①．
∠A=180°−2∠ABC=180°−2×72°=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴△ABD是等腰三角形②．
∵∠DBC=∠ABD=36°，∠C=72°，∴∠BDC=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴△BDC是等腰三角形③．
故图中的等腰三角形有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定
理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
【变式3】如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个 B．3个 C．5个 D．1个
【答案】C
【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据
等角对等边求得等腰三角形的个数．
【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO=∠DCO=36°，
根据三角形的外角的性质，得
∠AOB=∠COD=72°．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC，共5个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰
三角形的判定定理．
【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点A(4,3)，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点
的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的性质，垂直平分线，根据以P，O，A为
顶点的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，借助尺规作图进行快速得出满足条件的点
P的个数，即可作答．
【详解】解：依题意，当AP=OA时，如图所示：
此时满足条件的点P有一个；
当AO=OP时，如图所示：
此时满足条件的点P有两个；
当AP=OP时，如图所示：
此时满足条件的点P有一个；
1+2+1=4
综上满足在坐标轴上的点P一共有4个，故选：C
【变式1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等
腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角
形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与x轴的交点即可得到答案．
【详解】解：分二种情况进行讨论：如图，
①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与x轴有两个交点，即P
1
和P ；以A为圆心AO为半径的圆弧与x轴有一个交点P ；
2 3
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与x轴有一个交点P ．
4
故符合条件的点一共4个，
故选：C．
【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．在直线BC或AC上取一点
P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）处．
A．6 B．7 C．8 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解．【详解】如图，第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有
PA=PB；
第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，交AC延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，在上边与CA延长线上交于点
P；
第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与AC的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与BC在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，与BC在右边交于点P；
故符合条件的点P有6个点．
故选：A．
【变式3】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，在直线BC或射线AC取一
点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，
结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造AB中垂线；②以B为圆心，BA长为半径作圆；③以A为圆心，AB长为半径作圆；他们与直线BC或射线AC的交点即
是点P，从而得到结论
【详解】解：分三种情况：
①构造AB中垂线，P 、P 即为所求，如图所示：
1 2
②以B为圆心，BA长为半径作圆，P 、P 即为所求，如图所示：
3 4
③以A为圆心，AB长为半径作圆，P 即为所求，如图所示：
5
综上所述，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，符合条件的点
P有P 、P 、P 、P 、P 共5个，
1 2 3 4 5
故选：B．
【题型5：等腰三角形的判定】
【典例5】如图是正五边形ABCDE，连接AD，BD．(1)求证：△DAB是等腰三角形；
(2)求∠ADB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36°
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，
三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据正多边形的定义证明△ADE≌△BDC(SAS)，即可得到DA=DB；
（2）先求出该五边形的每个内角的度数为(5−2)×180°÷5=108°，再由等边对等角
以及三角形内角和求出∠ADE，再由全等三角形的性质得到∠ADE=∠BDC，即可
求解．
【详解】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=CD=DE=AE，∠E=∠C.
在△ADE和△BDC中，
DE=DC，∠E=∠C，AE=BC，
∴△ADE≌△BDC(SAS)，
∴DA=DB，
∴△DAB是等腰三角形．
（2）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴该五边形的每个内角的度数为(5−2)×180°÷5=108°，
∵DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠DAE=(180∘−108∘)÷2=36°，
∵△ADE≌△BDC，
∴∠ADE=∠BDC=36°，
∴∠ADB=∠EDC−∠ADE−∠BDC=108°−36°−36°=36°.
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB=CE，连接AD．求证：△ACD为等腰三角形．
【答案】详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，由平行线
的性质推出∠BAC=∠DCE，由垂直的定义得到∠B=∠DEC=90°，判定
△ABC≌△CED(ASA)，推出AC=CD，即可证明△ACD是等腰三角形．
【详解】证明：∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCE，
∵DE⊥AC，
∴∠B=∠DEC=90°，
∵AB=CE，
∴△ABC≌△CED(ASA)，
∴AC=CD，
∴△ACD是等腰三角形．
【变式2】如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，
F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问
题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关
键．首先运用HL定理证明△BDF≌△CDE，进而得到∠B=∠C，运用等腰三角形的
判定定理即可解决问题；
【详解】证明：∵D是△ABC 的BC边的中点，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴BD=CD,△BDF、△CDE 均为直角三角形，在Rt△BDF,Rt△CDE中
{BD=CD)
DF=DE
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，
∴∠B=∠C，
∴ AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【变式3】已知：△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点D，过D作
EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．求证：BE+CF=EF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：
等角对等边．
根据角平分线定义和平行线性质求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，同理得出
CF=DF，即可求出答案．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB，
∴∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD，
∴DE=BE，CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF，
即BE+CF=EF．
【题型6：等腰三角形的判定与性质】
【典例6】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC
于点E．(1)求证：△AED是等腰三角形；
(2)若∠C=110°，∠B=30°，求∠AED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠AED=140°
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三
角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键．
（1）根据角平分线性质可得∠BAD=∠CAD，由DE∥AB，根据平行线的性质得
∠BAD=∠ADE，到∠CAD=∠ADE，即可得到结论．
（2）根据三角形的内角和可求出∠BAC=40°，由DE∥AB，根据平行线的性质即
可得出结果．
【详解】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形；
（2）解：∵∠C=110°,∠B=30°，
∴∠BAC=180−∠C−B=40°，
∵DE∥AB，
∴∠AED+∠BAC=180°，
∴∠AED=140°．
【变式1】如图，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠4=72°．(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若△ABD的周长比△ADC的周长大9，求AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用；
（1）求解∠3=∠1+∠2=72°=∠4，∠DAC=180°−2×72°=36°，
∠BAC=36°+36°=72°=∠4，从而可得结论；
（2）证明DB=DA，AD=AC，结合BA=BC与△ABD的周长比△ADC的周长大
9，进一步求解即可.
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2=36°，∠4=72°，
∴∠3=∠1+∠2=72°=∠4，
∴∠DAC=180°−2×72°=36°，
∴∠BAC=36°+36°=72°=∠4，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
（2）解：∵∠1=∠2，
∴DB=DA，
∵∠3=∠4，
∴AD=AC，而BA=BC，
∵△ABD的周长比△ADC的周长大9，
∴AB+BD+AD−AD−CD−AC=9，
∴BC+BD−CD−AC=9，
∴BD+CD+BD−CD−AD=9，
∴AD=9，
∴AC=9.
【变式2】如图，已知△ABC和△ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD
与BC交于点P，点C在DE上．(1)求证△ACE是等腰三角形；
(2)若∠B=25∘，∠APC=65°，求∠E的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)70°
【分析】（1）先证明∠BAC=∠DAE，进而可依据“SAS”判定△ABC和△ADE全
等得AC=AE，由此即可得出结论；
（2）先根据三角形外角性质求出∠BAD=∠CAE=40∘，然后根据等腰三角形的性质
及三角形内角和定理即可得出∠E的度数．
【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
{
AB=AD
)
∠BAC=∠DAE ，
∠B=∠D
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴AC=AE，
∴△ACE是等腰三角形；
（2）解：∵∠APC是△PAB的外角，
∴∠APC=∠B+∠BAD，
∴∠B=25∘，∠APC=65∘，
∴∠BAD=∠APC−∠B=40∘，
∴∠BAD=∠CAE=40∘，
在△ACE中，∠E+∠ACE+∠CAE=180∘，
由(1)可知：AC=AE，
∴∠E=∠ACE，∴2∠E+40∘=180∘，
∴∠E=70°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练
掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，
AC于点D，E．
(1)求证：△BCD是等腰三角形：
(2)若△BCD的周长是13，BC=5，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)CE=4
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角
的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，再根据线段垂
直平分线的性质得到AD=CD，则∠ACD=∠A=36°，即可利用三角形外角的性质
推出∠CDB=∠B=72°，由此即可证明结论；
（2）根据三角形周长公式得到BC+BD+CD=13，由AD=CD得到BC+AB=13，
再由已知条件即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
1
∴∠B=∠ACB= (180°−∠A)=72°．
2
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=36°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°，
∴∠CDB=∠B=72°，
∴CD=CB，
∴△BCD是等腰三角形；（2）解：∵△BCD的周长是13，
∴BC+BD+CD=13，
∵AD=CD，
∴BC+BD+AD=13，即BC+AB=13，
∵BC=5，
∴AB=13−5=8，
∴AC=AB=8．
∵DE是AC的垂直平分线，
1
∴CE= AC=4．
2
【题型7： 等腰三角形的实际应用】
【典例7】如图，一艘船从海岛A处出发，以18海里/小时的速度向正北航行，经过5小时
到达海岛B处．分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°．求从海
岛B处到灯塔C的距离．
【答案】从B处到灯塔C的距离是90海里
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，利用题中给出的角的度数，求得BC=AB，
再速度乘时间就是路程，从而求出BC的长．其关键是根据题意，画出符合实际条件
的图形，再利用数学知识来求解．
【详解】解：根据题意得：AB=18×5=90（海里），
∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠C=∠NBC−∠NAC=42°，
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB=90（海里）．
即从B处到灯塔C的距离是90海里．
【变式1】为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，
如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表
课 池塘示意图：
测量池塘两端A，B的距离
题
工 测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔
具
小 第一小组 第二小组 第三小组
组
①从A点出发， ①从A点出发，向北走到O点 ①将标杆垂直立在池塘岸边的
向北走到C 插上一根标杆； 点A处，再将激光笔固定在标
点；②测得 ②继续向北走相同的距离到达 杆的顶部F处；
∠ACB=45°
D点； ②调整激光笔与标杆的夹角，
测 ，CA=20m ③再向西走到E点，使B，O， 使其射出的光线正好落在池塘
对岸的点B；
量 E三点共线；
方 ④测得DE=20m ③保持标杆与激光笔的夹角不
案 变，转动标杆，使激光笔射出
的光线落在同岸的点G，此时
∠BFA=∠GFA；
④测得：数据1：AG=20m；
数据2：AF=2m．
测
量
示
意
图
(1)第一小组测得AC即AB的距离，证明方法如下：
证明：∵AC⊥AB ∴∠ABC=90°−∠ACB=90°−45°=45°
∴∠CAB=90° ∴∠ACB=∠ABC
∵∠ACB=45°(转右框) ∴AB=AC=20m(理由：______)
(2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离；
(3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两
端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离．
【答案】(1)等角对等边
(2)A，B的距离为20m
(3)选择有效数据：AG=20m，A，B的距离为20m
【分析】本题考查全等三角的判定与性质的应用，等角对等边等知识，审清题意读懂
测量方法是解题的关键．（1）根据题意由∠ACB=∠ABC推导AB=AC=20m使用的定理是等角对等边，从
而得解；
（2）根据题意使用ASA定理证明△AOB≌△DOE，从而得到AB=DE，从而得解；
（3）根据题意使用ASA定理证明△ABF≌△AGF，从而得到AB=AG，从而得解．
【详解】（1）解：由∠ACB=∠ABC推导AB=AC=20m使用的定理是等角对等边，
故答案是：等角对等边；
（2）解：依题意得：∠AOB=∠DOE，AO=DO，∠OAB=∠ODE=90°，
∴△AOB≌△DOE(ASA)，
∴AB=DE=20m；
（3）选择有效数据：AG=20m，
∵∠BFA=∠GFA，FA=FA，∠BAF=∠GAF，
∴△ABF≌△AGF(ASA)，
∴AB=AG=20m．
【变式2】某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，
11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得∠BAC=30°，∠CBW =60°，求
B处到灯塔C的距离．
【答案】B处到灯塔C的距离为40海里．
【分析】本题主要考查的知识点是方向角的相关问题，三角形外角的性质，以及等腰
三角形性质，根据题意算出AB，再利用外角知识判断出△ABC为等腰三角形，即可
解题．
【详解】解：由题知，AB=20×(11−9)=40（海里），
∵ ∠BAC=30°，∠CBW =60°，
∴∠C=∠CBW−∠BAC=60°−30°=30°，
∴∠BAC=∠C，
∴BC=AB=40海里，
∴B处到灯塔C的距离为40海里．
【变式3】综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形ABCD中，AB=AD,CB=CD．
(1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R重合，
AB,AD分别放置在角的两边RP,RQ上，并过点A,C画射线AE，求证：AE是
∠PRQ的平分线；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，
在仪器上的点A处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B,D紧贴门框上
方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说
明理由．
【答案】（1）见解析；（2）实践小组的判断对，理由见解答．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；
（1）证明△ABC≌△ADC(SSS)，得∠BAC=∠DAC，即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的三线合一可得AC⊥BD，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
{AB=AD
)
BC=DC ，
AC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AE是∠PRQ的平分线；
（2）解：实践小组的判断对，理由如下：
∵△ABD是等腰三角形，AB=AD，
由（1）知：AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∵AC是铅锤线，
∴BD是水平的．∴门框是水平的．
∴实践小组的判断对．
一、单选题
1．等腰△ABC中，AB=AC，若∠A=36°，则∠B的度数为（ ）
A．36° B．72° C．108° D．144°
【答案】B
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据等腰三
角形的性质，底角相等，结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在等腰△ABC中，AB=AC，
故∠B=∠C．
∵∠A=36°，
1
∴∠B=∠C= (180°−∠A)=72°；
2
故选B．
2．如图，AB∥CD，若∠1=∠D,AC=3，则AD的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据AB∥CD，
推出∠1=∠ACD，结合∠1=∠D，推出∠ACD=∠D，即可得到AC=AD，即可
得出答案．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠D，
∴∠ACD=∠D，∴AC=AD，
∵AC=3，
∴AD=3．
故选：A．
3．如图，点A，B为4×4方格纸中的两个格点，若以AB为边在方格中画点C（点C为格
点），使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌
握等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：①当AB为腰时，如图，
② AB C
当 为底边时，点 无格点，
综上可知：△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，
故选：C．
4．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，边AC的垂直平分线分别与边AB，AC交于
点D，E，连接CD，则∠BCD的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°【答案】C
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解答此题要两次运用等腰三角形两底角相等
的性质．先根据等腰三角形的性质求出∠B=∠BCE=65°，由线段垂直平分线的性
质得AD=CD，得出∠ACD=∠A=50°，然后根据∠BCD=∠ACB−∠ACD求解
即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=50°，
1 1
∴∠B=∠BCE= (180°−∠A)= (180°−50°)=65°．
2 2
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=50°．
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=65°−50°=15°．
故选C．
5．如图，△ABC的周长为27，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作
DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BC=8，BF=6，CF=4，那么△ADE的
周长是（ ）
A．18 B．19 C．21 D．23
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性
质，由角平分线定义可得∠DBF=∠FBC，由平行线的性质可得∠DFB=∠FBC，
则∠DBF=∠DFB，所以BD=DF，同理CE=EF，然后由△ABC的周长，BC=8，
可得AB+AC=27−8=19，最后由△ADE的周长=AB+AC即可求解，熟练掌握以
上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴BD=DF，
同理：CE=EF，
∵△ABC的周长=AC+AB+BC=27，BC=8，
∴AB+AC=27−8=19，
∵△ADE的周长为=AD+DE+AE
=AD+DF+FE+AE
=AD+BD+EC+AE
=AB+AC
=19，
∴△ADE的周长是19，
故选：B．
6．已知△ABC是等腰三角形，它的两条边的长分别为2cm和5cm，则它的第三边的长是
（ ）
A．2cm B．3cm C．2cm或5cm D．5cm
【答案】D
【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形，根据等腰三角形的定义及三角形三
边关系，确定第三边的可能值．
【详解】解：分两种情况讨论：
若腰长为2cm，则第三边长2cm，此时三边为2cm、2cm、5cm，
∵2+2=4，4<5，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形；
若腰长为5cm，则第三边为5cm，此时三边为5cm、5cm、2cm，
∵5+2=7>5，满足所有条件，可构成三角形．
综上，第三边的长为5cm，
故选：D．
7．△ABC为等腰三角形，其中顶角为40°，则该三角形的底角为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】B
【分析】本考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理．
根据等腰三角形的性质，底角相等且三角形内角和为180°，利用顶角计算底角即可．
【详解】解：已知等腰△ABC的顶角为40°，设底角为x，则40°+x+x=180°，
140°
解得x= =70°，
2
因此底角为70°，
故选B．
8．若有理数m,n满足等式|m−2)+(n−4) 2=0，且m,n恰好是等腰△ABC的两条边长，
则△ABC的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性及等腰三角形的性质，由
|m−2|+(n−4) 2=0，计算出m,n的值，分两种情况讨论等腰三角形的边长组合，
结合三角形三边关系确定周长．
【详解】解：∵|m−2|+(n−4) 2=0，
又∵|m−2|≥0,(n−4) 2≥0，
∴m−2=0且n−4=0，
解得m=2，n=4，
当腰长为4（即两腰均为4），底边为2时，三边分别为4，4，2，
验证三角形三边关系：
4+4>2，4+2>4，均成立，可构成三角形，
周长为4+4+2=10；
当腰长为2（即两腰均为2），底边为4时，三边分别为2，2，4，
验证三角形三边关系：
2+2=4，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，
综上，△ABC的周长为10．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=45°，AD平分∠BAC，下列说法不正确的是
（ ）A．∠BAC=90° B．AD⊥BC
C．BD=AB D．△ABD≌△ACD
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定等知
识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定依次判断即可．
【详解】解：A、 AB=AC，∠B=45°，
∠C=∠B=45°∵，
∴∠BAC=90°，选项正确，不符合题意；
∴B、 AB=AC，AD平分∠BAC，
AD∵⊥BC，选项正确，不符合题意；
∴C、根据题意得：BD=AD,BD
