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第 04 讲 等腰三角形
课程标准 学习目标
1. 掌握等腰三角形的性质并能够对其熟练应用。
①等腰三角形的性质
2. 掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等
②等腰三角形的判定
腰三角形。
知识点01 等腰三角形的性质
1. 等腰三角形的概念：
有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫
做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。
2. 等腰三角形的性质：如图
①等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。
②等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等
角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。
【简称底边上三线合一】即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。
【即学即练1】1．若等腰三角形的顶角是70°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．55° B．40° C．55°或40° D．20°或40°
【分析】根据三角形的内角和计算即可．
【解答】解：70°是底角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
故选：A．
【即学即练2】
2．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．15 B．12 C．12或15 D．9
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条
边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否
组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，6为底边长，
由于3+3＝6，则三角形不存在；
（2）若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为6+6+3＝15．
故选：A．
【即学即练3】
3．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，
斜边经过△ABC的顶点A），则∠ 的度数为（ ）
α
A．15° B．20° C．30° D．40°
【分析】先利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝40°，再利用直角三角形的
两个锐角互余可得∠DFE＝60°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝ ＝40°，
∵∠DEF＝30°，∠D＝30°，∴∠DFE＝90°﹣∠D＝60°，
∵∠DFE是△ACF的一个外角，
∴∠ ＝∠DFE﹣∠C＝20°，
故选：B．
α
【即学即练4】
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝
（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC ＝2S△ABD ＝2× AB•DE＝AB•DE＝5AB，又S△ABC ＝
AC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC ＝2S△ABD ＝2× AB•DE＝AB•DE＝5AB，
∵S△ABC ＝ AC•BF，
∴ AC•BF＝5AB，
∵AC＝AB，
∴ BF＝5，
∴BF＝10（cm），
故选：B．
知识点02 等腰三角形的判定
1. 利用等角对等边判定：
一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个
三角形是等边三角形。数学语言：如图：∵∠B＝∠C
∴AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
2. 利用三线合一性质判定：
若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。
数学语言：如图：∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可）
∴△ABC是等腰三角形
【即学即练1】
5．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
【分析】根据角平分线的定义可知∠FCE＝∠BCE，根据平行线的性质可知∠FEC＝∠BCE，等量代换
得∠FCE＝∠FEC，根据等角对等边可得结论．
【解答】证明：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠FCE＝∠BCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
【即学即练2】
6．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】根据中点的定义可得到BD＝CD，再根据HL即可判定△BDE≌△CDF，从而可得到∠B＝
∠C，根据等角对等边可得到AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
题型01 利用等腰三角形的性质求线段
【典例1】已知△ABC的周长是36cm，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，△ABD的周长是30cm，则AD的
长是（ ）
A．6 cm B．8 cm C．12 cm D．20 cm
【分析】根据等腰三角形的性质得到D为BC的中点，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：根据题意，AB＝AC，
所以△ABC为等腰三角形，
又AD⊥BC，即D为BC的中点，
∵△ABC的周长是36cm，
∴AB+AC+BC＝36，即2AB+2BD＝36，
∵△ABD的周长是30cm，
∴AB+BD+AD＝30，
∴AD＝30﹣18＝12（cm），
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周
长是10，AC﹣BC＝2，则AB的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】根据题意可知AC+BC＝10，然后根据AC﹣BC＝2，即可得AC、BC、AB的长度．
【解答】解：∵△BCE的周长为10，
∴BE+EC+BC＝10．∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴AE+EC+BC＝10，
即AC+BC＝10，
∵AC﹣BC＝2，AB＝AC，
∴AB＝AC＝6，
故选：B．
【变式2】已知等腰△ABC的周长为16，其中一边长为6，AD为底边BC上的高，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4或6 D．2或3
【分析】分BC＝6，和AB＝AC＝6，两种情况进行讨论，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求解，
【解答】解：当BC＝6时，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴ ，
当AB＝AC＝6时，BC＝16﹣6﹣6＝4，
∵AD⊥BC，
∴ ，
故选：D．
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，垂足为D，交AC于E，△BCE的周长为20，
BC的长为8，则AB为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据三角形的周长公式进行计算，得到答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EB＝EA，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝20，
又∵BC＝8，
∴AB＝AC＝12．
故选：C．
【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于
E，若S△ABC ＝10，则FE+FD＝ 4 ．【分析】过C作CG⊥AB，利用等腰三角形的性质和三角形的面积公式得出FD+FE＝CG，进而解答即
可．
【解答】解：过C作CG⊥AB，连接AF，
∵S△ABF +S△ACF ＝S△ABC
∴ ，
∵AB＝AC
∴FD+FE＝CG＝ ，
故答案为：4
题型02 利用等腰三角形的性质求角
【典例1】等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）
A．65°，65° B．50°，80°
C．65°，65°或50°，80° D．50°，50°
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，分为两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A
＝50°时，根据∠B＝∠C和三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；
②当顶角∠A＝50°时，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝ ×（180°﹣∠A）＝65°；
即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD．若∠B
＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠BDA的度数，然后利用三角形的外角的性质求得答案即可．
【解答】解：∵∠B＝40°，BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝ ＝ ＝70°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝ ∠BDA＝35°，
故选：C．
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，M为BC边上一点，且AM＝AN，则∠BAM与∠NMC的关系一
定成立的是（ ）
A．∠BAM＝∠NMC B．∠BAM+∠NMC＝∠BAC
C．∠BAM+∠NMC＝∠B D．∠BAM＝2∠NMC
【分析】先证明∠B＝∠C，∠AMN＝∠ANM，再结合三角形的外角的性质进一步求解可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠NMC+∠C＝∠ANM，
∴∠NMC＝∠AMN﹣∠B，∵∠BAM+∠B＝∠AMN+∠NMC，
∴∠BAM＝∠AMN+∠NMC﹣∠B．
∴∠BAM＝2∠NMC．
故选：D．
【变式3】如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且
NM＝ND，若∠A＝ ，则∠C＝（ ）
α
A． B． C．120°﹣ D．2 ﹣90°
【分析】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM＝∠NBM＝90°﹣ ，NM＝ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得
α α
BN平分∠NDM，进而得到∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣ ，最后由三角形内角和求出∠C即可．
α
【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝ ，
α
∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣ ，
α
∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC，
α
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣ ，
∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3 ，
α
∴∠C＝2 ﹣90°，
α
故选：D．
α
【变式4】如图，B、D两点在AE边上，C、F两点在AG边上，且AB＝BC＝CD＝DF＝EF．若∠A＝
20°，则∠EFG＝（ ）
A．100° B．90° C．86° D．80°
【分析】根据∠A＝20°，AB＝BC得到∠CBD＝2∠A＝40°，结合BC＝CD得到∠CBD＝∠CDB＝40°，
即可得到∠DCF＝∠CDB+∠A＝20°+40°＝60°，结合CD＝DF得到∠DCF＝∠DFC＝60°，即可得到
∠FDE＝∠DFC+∠A＝20°+60°＝80°，结合DF＝EF即可得到答案．
【解答】解：∵∠A＝20°，AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝20°，
∴∠CBD＝2∠A＝40°，∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝40°，
∴∠DCF＝∠CDB+∠A＝20°+40°＝60°，
∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC＝60°，
∴∠FDE＝∠DFC+∠A＝20°+60°＝80°，
∵DF＝EF，
∴∠FDE＝∠FED＝80°，
∴∠EFG＝∠FED+∠A＝20°+80°＝100°，
故选：A．
题型03 三角形的三边关系与等腰三角形的周长
【典例1】等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．20 C．25或20 D．25
【分析】根据腰为5或10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，10，5+5＝10，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为10时，三边为5，10，10，三边关系成立，周长为5+10+10＝25．
故选：D．
【变式1】等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为4cm，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm
C．14cm或16cm D．14cm或18cm
【分析】分两种情况讨论如下：①当4cm为腰长，6cm为底边长时，由于4+4＞6符合构成三角形的条
件，由此可求出该等腰三角形的周长；②当6cm为腰长，4cm为底边长时，由于4+6＞6符合构成三角
形的条件，由此可求出该等腰三角形的周长，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为4cm，
∴有以下两种情况：
①当4cm为腰长，6cm为底边长时，
∵4+4＞6，符合构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的周长为：4+4+6＝14（cm），
②当6cm为腰长，4cm为底边长时，
∵4+6＞6，符合构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的周长为：6+6+4＝16（cm）；
综上所述：该等腰三角形的周长为14cm或16cm．
故选：C．
【变式2】一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．17cm B．15cmC．13cm D．13cm或17cm
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种
情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17cm．
故选：A．
【变式3】已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．10或11
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可得 x2﹣9＝0，y﹣4＝0，从而可得：x＝±3，y＝4，进而可得x
＝3，y＝4，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为 3，底边长为4时；当当等腰三角形的腰长为4，
底边长为3时，分别进行计算即可解答．
【解答】解：∵|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，
∴x2﹣9＝0，y﹣4＝0，
解得：x＝±3，y＝4，
∵x、y是等腰三角形的两边长，
∴x＝3，y＝4，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，
∴这个三角形的周长＝3+3+4＝10；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，
∴这个三角形的周长＝3+4+4＝11；
综上所述：三角形的周长为10或11，
故选：D．
【变式4】△ABC与△ACD的边长如图所示，其中AC为两个三角形的公共边．当△ABC为等腰三角形时，
边AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由等腰三角形的定义可得AC的长为3或4，然后再分别运用三角形的三边关系即可解答．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴由图形可知：AC的长为3或4，
当AC的长为3时，2+2＝4＞3，可以成为三角形，满足题意；
当AC的长为4时，2+2＝4＝3，不可以成为三角形，不满足题意；
综上，AC的长为3．故选：B．
题型04 等腰三角形的判定
【典例1】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且
△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
【变式1】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是
等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造AB中垂线；②以B
为圆心，BA长为半径作圆；③以A为圆心，AB长为半径作圆；他们与直线BC或射线AC的交点即是
点P，从而得到结论．
【解答】解：分三种情况：
①构造AB中垂线，P 、P 即为所求，如图所示：
1 2
②以B为圆心，BA长为半径作圆，P 、P 即为所求，如图所示：
3 4③以A为圆心，AB长为半径作圆，P 即为所求，如图所示：
5
综上所述，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，符合条件的点P有P 、P 、P 、
1 2 3
P 、P 共5个，
4 5
故选：B．
【变式2】已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由AE∥BC，根据平行线的性质，可求得∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，又由AE是△ABC外角
的平分线，即可得∠B＝∠C，继而证得结论．
【解答】证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵AE是△ABC外角的平分线，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
求证：△CDM是等腰三角形；
【分析】根据题意和图形，可以求得∠CDM＝∠CMD，然后即可证明结论成立．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，∠ABD+∠BME＝90°，
∵∠BME＝∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD＝90°，
∴∠CDB＝∠CMD，
∴CM＝CD，
∴△CDM是等腰三角形．
【变式4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA
的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
【分析】①根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝
∠P，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根据等角对等边的性质即可得证；
②根据两直线平行，内错角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS”证明△BEF
和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CH，再求出AC＝CH，再根据AB＝AF+BF，PC
＝AP+AC，整理即可得解．
【解答】①证明：∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
②AB＝PC．理由如下：
证明：∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵ ，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，
∴AB＝PC．
【变式5】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两
个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向
运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）BP＝ （ 1 6 ﹣ t ） cm（用含t的式子表示）；
（2）当点Q在边BC上运动时．
①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？（3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值．
【分析】（1）根据题意即可用t可表示出AP，BQ即可求得BP；
（2）①结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t
的方程，可求得t；②当Q在BC上，0≤t≤6，如图，AP＝t，BQ＝2t，则BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t，
利用PQ把△ABC的周长平分，再建立方程求解即可；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到
关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
（2）①当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，
即16﹣t＝2t，解得 ，
∴出发 秒后；
②当Q在BC上，0≤t≤6，如图，
而AP＝t，BQ＝2t，
∴BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t，
∵PQ把△ABC的周长平分，
∴16﹣t+2t＝t+12﹣2t+20，
解得：t＝8，不符合题意舍去，
∴点Q在边BC上运动时．PQ不能把△ABC的周长平分．
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11或12．
题型04 等腰三角形的判定与性质
【典例1】如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若
AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠DAF＝∠CAF，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝
∠ACB，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性质得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
根据角平分线定义得到 ACE＝70°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵AF∥BC，
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
∵CG平分∠ACE，
∴ ACE＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，AB的垂直平分线EF交AB于点
E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC．
（1）求证：△AOC为等腰三角形；
（2）若∠BAD＝20°，求∠COF的度数．
【分析】（1）根据中垂线的性质可得OA＝OB，再根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，进而说明AD
是BC的中垂线可得OB＝OC，进而得到OA＝OC即可证明结论；
（2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得∠BAC＝40°，再根据中垂线的性质以及三角形的内角和
可得∠AFE＝50°；再根据等腰三角形的性质可得∠OCA＝∠OAC＝20°，最后根据三角形外角的性质即
可解答．
【解答】（1）证明：∵EF是AB的中垂线，
∴OA＝OB，
∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC（三线合一），
∴AD是BC的中垂线，
∴OB＝OC，
∴OA＝OC，
∴△OAC是等腰三角形．
（2）解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAC＝∠BAD＝20°（三线合一），
∴∠BAC＝40°，
∵EF是AB的中垂线，
∴EF⊥AB，
∴∠AFE＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝20°，
∵∠AFE＝∠OCA+∠COF，
∴50°＝20°+∠COF，
∴∠COF＝30°．
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由 AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明
△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出
∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝ （180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【变式3】已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行
于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【分析】（1）首先根据平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，再根据角平分线的定义可得∠FCD＝
∠BCD，可得∠FCD＝∠FDC，据此即可证得；
（2）同理（1）可得DE＝BE，根据△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AB+AC，求解即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠DCB，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AC＝6cm，AB＝8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝8+6
＝14（cm）．
【变式4】如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点
D，O，E，连接OA、OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，先求得OC＝OA，根据等腰三角形三线合一的性质，可求
得OB＝OA．
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得 ，根据三角形内角和定
理可求得∠DEC的度数，结合∠BOE＝∠DEC﹣∠CBO即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴OC＝OA．
∵AC＝BC，点F为AB的中点，
∴CF为线段AB的垂直平分线．
∴OB＝OA．
∴OB＝OC．
∴△OBC为等腰三角形．
（2）解：∵AC＝BC，点F为AB的中点，
∴CF为∠ACB的平分线．∴ ．
∴∠ACB＝50°．
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
∵△OBC为等腰三角形，
∴∠CBO＝∠BCF＝25°．
∴∠BOE＝∠DEC﹣∠CBO＝40°﹣25°＝15°．
1．等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分 80°的角是顶角和底角两种情况讨
论．
【解答】解：分两种情况：
①当80°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°；
②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，
故它的底角度数是50°或80°．
故选：A．
2．在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝60°
B．AC＝BC
C．∠B的补角等于∠C的补角
D．AB边上的高也是AB边上的中线
【分析】根据选项结合已知逐个判断即可得到答案；
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
当∠A＝60°时，△ABC是等边三角形，故A不符合题意，
当AC＝BC时，△ABC是等边三角形，故B不符合题意，
当∠B的补角等于∠C的补角时，即∠B＝∠C，△ABC不一定是等边三角形，故C符合题意，
当AB边上的高也是AB边上的中线时，得到CA＝CB，△ABC是等边三角形，故D不符合题意．
故选：C．
3．某平板电脑支架如图所示，其中AB＝CD，EA＝ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若
∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是（ ）A．增大16° B．减小16° C．增大8° D．减小8°
【分析】利用三角形内角和定理以及外角的性质判断即可．
【解答】解：∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠AEC＝∠EAD+∠ADE＝2∠ADE，
∵∠AEC增大16°，
∴∠ADE增大8°，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADE，
∴∠BDE减小8°，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】根据等腰三角形性质求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，求出AD＝DC＝2，根据含30
度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝2，
∴BD＝2AD＝4，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC＝2，
∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，
故选：C．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BD平分∠ABC．若∠A＝ ，则∠BDC的大小为（
）
αA．90 B． C．180°﹣ D． ﹣90°
【分析】利用平行线性质和角平分线定义求得∠ADC＝90°，∠ADB＝∠ABD，再利用三角形内角和定
α α
理求得∠ADB的度数，然后利用角的和差即可求得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，∠ADB＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD＝ ＝ ，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣ ＝ ，
故选：B．
α
6．生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那
么苗圃的另外两边长分别是（ ）
A．4米，4米 B．4米，10米
C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米
【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：当4米为腰时，另两边为，4米，10米，
∵4+4＜10，
∴不合题意舍去，
当4米为底边时，另两边为：7米，7米，
故选：C．
7．已知实数x，y满足（x﹣4）2+|y﹣8|＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
【分析】根据非负数的性质，求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：∵（x﹣4）2+|y﹣8|＝0，
∴x﹣4＝0且y﹣8＝0，
解得：x＝4，y＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，
∴三角形的周长为20，
故选：B．
8．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于
（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由等边三角形的性质可求解∠BAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和
定理可得∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的角平分线，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠BAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDB＝90°﹣75°＝15°，
故选：A．
9．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点
E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE＝BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF＝CF；
其中正确的有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正确；
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，
故②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；
故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④错误．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从
点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当
△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【分析】设运动的时间为x秒，则AM＝2x，AN＝18﹣3x，当AMN是等腰三角形时，AM＝AN，则18﹣
3x＝2x，解得x即可．
【解答】解：设运动的时间为x秒，
在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，
当△CMN是等腰三角形时，CM＝CN，
CM＝18﹣2x，CN＝1.6x
即18﹣2x＝1.6x，
解得x＝5．
∴CM＝CN＝8（cm），
故选：D．
11．如图，在△ABC中，∠A＝100度，如果过点B画一条直线l能把△ABC分割成两个等腰三角形，那么
∠C ＝ 2 0 度．
【分析】设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，
得出∠ADB＝∠ABD＝40°，∠C＝∠DBC，根据三角形外角的性质即可求得∠C＝20°．
【解答】解：如图，设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形，
∵∠A＝100度，
∴∠ADB＝∠ABD＝40°，
∵CD＝BD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠C+∠DBC＝2∠C，
∴2∠C＝40°，
∴∠C＝20°，
故答案为＝20．
12．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝ 100 ° ．
【分析】如果延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BDC＝
∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，所以∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD，又DA＝DB＝DC，根
据等腰三角形等边对等角的性质得出∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°，进而得出结果．
【解答】解：延长BD交AC于E．∵DA＝DB＝DC，
∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．
又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，
∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．
故答案为：100°．
13．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠GEF＝ 75 ° ．
【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，逐步推出∠GEF
的度数．
【解答】解：∵∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，
∴∠ACB＝15°，
∴∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CDB+∠CBD）＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ECD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠ECD＝∠CED＝45°
∴∠CDE＝180°﹣45°×2＝90°，
∵∠EDF＝∠EFD＝180°﹣（∠CDB+∠CDE）＝180°﹣（30°+90°）＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，
∴∠GEF＝180°﹣（∠CED+∠DEF）＝180°﹣（45°+60°）＝75°
故答案为：75°．
14．设 a、b 分别是等腰三角形的两条边的长，m 是这个三角形的周长，当 a、b、m 满足方程组
时，m的值是 5 或 ．
【分析】分类讨论①若a是腰长，b是底边，则2a+b＝m，②若b是腰长，a是底边，则2b+a＝m，③
若a＝b，则a、b是腰．再根据已知条件解方程组即可得出答案．
【解答】解：①若a是腰长，b是底边，则2a+b＝m，∵a、b、m满足方程组 ，
把b＝m﹣2a代入
解得：m＝4，a＝1，b＝2，
∵a+a＝1+1＜2＝b，不符合三角形任意两边之和大于第三边，
∴m＝4舍去；
②若b是腰长，a是底边，则2b+a＝m，
∵a、b、m满足 ，
把a＝m﹣2b代入
解得：m＝5，b＝ ．
③若a＝b，则a、b是腰，则 ，解得m＝ ，a＝ ， + ＞2，符合三角形的三边关系．
故答案为：5或 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点
A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是
以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 4 秒．
【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得
x即可．
【解答】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
16．用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
【分析】（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各
边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检
验．
【解答】解：（1）设底边长为x cm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2x cm，
∴2x+2x+x＝18，解得，x＝ cm，
∴2x＝2× ＝ cm，
∴各边长为： cm， cm， cm．
（2）①当4cm为底时，腰长＝ ＝7cm；
②当4cm为腰时，底边＝18﹣4﹣4＝10cm，
∵4+4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线PQ交AB于点D，交AC于点E．
（1）求证：△ABE是等腰三角形；
（2）若AD＝8，△CBE的周长为26，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
（2）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线PQ交AC于点E，
∴EB＝EA，
∴△ABE是等腰三角形；
（2）∵AB的垂直平分线PQ交AC于点E，AD＝8，∴AB＝2AD＝16，
∵△CBE的周长为26，
∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝26，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝16+26＝42．
18．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交
于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，等
量代换得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到 AB＝AD；②根据平行线的性质得到
∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代换得到 AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝
∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC＝ ∠ABC，∠DCE＝ ∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于
是得到∠BDC+ ∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+ ∠ABC＝ ∠ABC+
∠BAC，即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE；（2）∠BDC＝ ∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCE＝ ∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC+ ∠ABC＝ ∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+ ∠ABC＝ ∠ABC+ ∠BAC，
∴∠BDC＝ ∠BAC．
19．如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，原题设其他条件不变，求证：
∠CAD＝∠CBF．
【分析】（1）利用三线合一得到AD是BC的中垂线，利用中垂线的性质即可得证；
（2）利用三线合一和外角的性质，即可得证．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的中垂线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE；
（2）证明：∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠BDE＝∠BFA＝90°，
∵∠AEB＝∠CBF+∠BDE＝∠AFB+∠CAD，
∴∠CAD＝∠CBF．
20．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝
∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可
得CD＝CB，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝ ，则∠ACB
＝90°﹣ ，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣ ，最后利用三角形内角和定理可得
α
∠BCD＝2 ，即可解答；
α α
②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3 ，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝
α
FD时；分别进行计算即可解答．
α
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝ ，则∠ACB＝90°﹣ ，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣ ，
α α
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣ ）﹣（90°﹣ ）＝2 ，
α
∴∠BCD＝2∠CBE；
α α α
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝ +2 ＝3 ，
分三种情况：
α α α
当BD＝BF时，∴∠BDC＝∠BFD＝3 ，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣ ，
α
∴90°﹣ ＝3 ，
α
∴ ＝22.5°，
α α
∴∠A＝∠BCD＝2 ＝45°；
α
当DB＝DF时，
α
∴∠DBE＝∠BFD＝3 ，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣ ﹣ ＝90°﹣2 ，
α
∴90°﹣2 ＝3 ，
α α α
∴ ＝18°，
α α
∴∠A＝∠BCD＝2 ＝36°；
α
当FB＝FD时，
α
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
