文档内容
第 03 讲 等腰三角形
1. 了解等腰三角形的概念.
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相
等或两条线段相等.
4. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作
用。
知识点1 等腰三角形的概念与性质
1. 等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，
两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 是等腰三角
形，其中 AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C
是底角．
性质 1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等
角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三
角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说
成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论
是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【题型1：等腰三角形的性质】
【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（
）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【变式1-1】（2023春•湛江期末）等腰三角形的两边长分别为 5和11，则它的
周长为（ ）
A．27 B．21或27 C．21 D．25
【变式1-2】（2023春•渠县校级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、
8cm，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．12cm B．8cm C．4cm或8cm D．4cm
【变式 1-3】（2022秋•洞口县期末）已知等腰△ABC 的一边长为 4，周长为
16，则腰长为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．不确定
【典例2】（崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB
于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ ）
A．70° B．71° C．74° D．76°
【变式2-1】（2023春•抚州期末）某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是
（ ）
A．50° B．60° C．65° D．80°
【变式2-2】（2022秋•黄陂区校级期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它
的底角是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°【变式2-3】（浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点
为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交
于点D，连接BD，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【典例3】（河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝
BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【变式3-1】（铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，
且AD＝BD．
（1）求证：∠ADB＝∠BAC；
（2）求∠B的度数．
【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午 8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望
灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时
间，小船与灯塔C的距离最短？
【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15
海里/时的速度向北航行，11 时到达海岛 B 处，从 A、B 望灯塔 C，测得
∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
【题型2：等腰三角形的判定】
【典例 5】（河北模拟）如图，在△ABC 中，∠A＝36°，AB＝AC，BD 平分
∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【变式5-1】（2021秋•邢台月考）如图，已知∠A＝36°，∠C＝72°，BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【变式5-2】（2022秋•保康县期末）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个 B．5个 C．3个 D．2个
【变式5-3】（2022秋•张北县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝
45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则
图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例 6】（2023 春•渠县校级期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平
面直角坐标系，在坐标轴上取一点 M使△MAB为等腰三角形，符合条件的
M点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【变式6-1】（2023春•大田县期中）如图，已知点 A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条
件的C点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式6-2】（2022秋•路北区校级期末）如图，平面直角坐标系中，点 A，B
分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点 P，使得△PAB是等
腰三角形，则符合条件的P点共有（ ）个．
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式6-3】（2022秋•日照期末）如图，A，B两点在正方形网格的格点上，
每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，
在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个．
A．7 B．8 C．9 D．10
【题型3：等腰三角形的判定与性质】【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于
点O，过点O作DE∥BC，
分别交AB、AC于点D、E．
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．
【变式7-1】（集贤县期末）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平
分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF＝BE+CF．
【变式7-2】（秋•阿鲁科尔沁旗期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝
36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若△BCD的周长是26，BC＝10，求△ACD的周长．
【变式 7-3】（2022 秋•文成县期中）已知：如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形．
（2）若∠A＝65°，∠AED＝35°，求∠CBE的度数．
1．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为
（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°
2．（2023•内蒙古）如图，直线 a∥b，直线 l与直线 a，b分别相交于点 A，
B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．32° B．58° C．74° D．75°
3．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，
AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（ ）
A．30° B．n°
C．n°或180°﹣n° D．30°或150°4．（2023•河北）四边形 ABCD的边长如图所示，对角线 AC的长度随四边形
形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路 AB∥CD，道路
AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝
EF，则∠E的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．30°
6．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点
D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（ ）
A．39° B．40° C．49° D．51°
7．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D
作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．8．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
1．（2023•武威一模）一个等腰三角形的顶角是 50°，则它的底角的大小是（
）
A．50° B．65° C．100° D．130°
2．（2023春•广西期末）等腰三角形的两条边长分别为 15和7，则它的周长等
于（ ）
A．22 B．29 C．37 D．29或37
3．（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，
下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC4．（2023•碑林区一模）已知等腰△ABC 中，∠A＝50°，则∠B 的度数为（
）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或80°或65°
5．（2022 秋•天元区校级期末）等腰三角形的周长为 20cm，其中一边长为
5cm，则其腰长为（ ）
A．5cm B．5cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不对
6．（2023•蚌埠模拟）在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰
三角形，这样的点有几个（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2022秋•巴州区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平
分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2023•西湖区校级二模）如图，等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠A＝
40°，BD是△ABC的平分线，DE∥BC，则∠BDE的度数为（ ）A．20° B．35° C．40° D．70°
9．（2022秋•辉县市校级期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交
于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；
④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
10．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，
大于 的长为半径作弧，两弧交于点 D，作直线 AD 交 BC 于点 E．若
∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 度．
11．（2023•新疆）如图，在△ABC 中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，
则∠C＝ °．
12．（2023•沙依巴克区模拟）已知：一等腰三角形的两边长 x、y满足方程组，则此等腰三角形的周长为 ．
13．（2022秋•岳阳期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数．
15.（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，
CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若
AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
