文档内容
第 03 讲 等腰三角形
1. 了解等腰三角形的概念.
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相
等或两条线段相等.
4. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作
用。
知识点1 等腰三角形的概念与性质
1. 等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，
两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 是等腰三角
形，其中 AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C
是底角．
性质 1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等
角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三
角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说
成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论
是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【题型1：等腰三角形的性质】
【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（
）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【答案】A
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
【变式1-1】（2023春•湛江期末）等腰三角形的两边长分别为 5和11，则它的
周长为（ ）
A．27 B．21或27 C．21 D．25
【答案】A
【解答】解：当腰取 5，则底边为11，但5+5＜11，不符合三角形三边的关
系，所以这种情况不存在；
当腰取11，则底边为5，则三角形的周长＝11+11+5＝27．
故选：A．
【变式1-2】（2023春•渠县校级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、
8cm，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．12cm B．8cm C．4cm或8cm D．4cm
【答案】D
【解答】解：当腰长为4cm时，4+4＝8cm，不符合三角形三边关系，故舍去，
当腰长为8cm时，符合三边关系，底边长为4cm，
故该三角形的底边为4cm，
故选：D．
【变式 1-3】（2022秋•洞口县期末）已知等腰△ABC 的一边长为 4，周长为
16，则腰长为（ ）A．4 B．6 C．4或6 D．不确定
【答案】B
【解答】解：∵等腰△ABC的一边长为4，周长为16，
∴当4为等腰三角形的腰长时，
则另一腰长为4，底边长为16﹣4﹣4＝8，
而4+4＝8，
故这样的三角形不存在；
当4为等腰三角形的底边时，
则腰长为（16﹣4）÷2＝6，
而6+4＞6，
故这样的三角形存在；
故选B．
【典例2】（崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB
于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ ）
A．70° B．71° C．74° D．76°
【答案】B
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝ ∠BEC＝ ×76°＝38°，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝ ＝ ＝71°；
故选：B．
【变式2-1】（2023春•抚州期末）某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是
（ ）A．50° B．60° C．65° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵等腰三角形的顶角50°，
∴每个底角＝ （180°﹣50°）＝65°，
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•黄陂区校级期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它
的底角是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
【答案】C
【解答】解：当 80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是 80°，底角为
（180°﹣80°）＝50°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
∴等腰三角形的底角为50°或80°．
故选：C．
【变式2-3】（浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点
为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交
于点D，连接BD，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】D
【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝8+5＝13．故选：D．
【典例3】（河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝
BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【解答】解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．
【变式3-1】（铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，
且AD＝BD．
（1）求证：∠ADB＝∠BAC；
（2）求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝BD
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，
∴∠C＝∠1，∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1
∴∠ADB＝∠BAC；
（2）∵AC＝CD，
∴∠2＝∠ADC，
又∵∠ADC＝∠B+∠1，
∴∠2＝2∠B，
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午 8时从海岛A出发，以15
海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望
灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时
间，小船与灯塔C的距离最短？
【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）．
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．
∴∠ACB＝∠NAC．
∴AB＝BC＝30 （海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．
∴根据垂线段最短，线段 CP 的长为小船与灯塔 C 的最短距离，∠BPC＝
90°．
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，
∴ （海里），
∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．
∴航行的时间为45÷15＝3（时）．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15
海里/时的速度向北航行，11 时到达海岛 B 处，从 A、B 望灯塔 C，测得
∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
【解答】解：由题意得：
AB＝（11﹣8）×15＝3×15＝45（海里），∵∠NBC是△ABC的一个外角，∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，
∴∠C＝∠NAC＝40°，
∴AB＝BC＝45海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离为45海里．
【题型2：等腰三角形的判定】
【典例 5】（河北模拟）如图，在△ABC 中，∠A＝36°，AB＝AC，BD 平分
∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ×72°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形．
故选：D．
【变式5-1】（2021秋•邢台月考）如图，已知∠A＝36°，∠C＝72°，BE平分
∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（ ）A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°∠A﹣∠C＝72°，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝ ∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABE＝36°，
∴EA＝EB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等腰三角形，
又∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝36°，
∴∠DBE＝∠DEB＝36°，
∴DB＝DE，
∴△DBE是等腰三角形，
又∵∠EBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，
∴∠C＝∠BEC＝72°，
∴BE＝BC，∴△BEC是等腰三角形，
故选：C．
【变式5-2】（2022秋•保康县期末）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个 B．5个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，
根据三角形的外角的性质，得
∠AOB＝∠COD＝72°．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．
故选：B．
【变式5-3】（2022秋•张北县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝
45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则
图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵AD是边BC上的高线，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，
∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，
∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBE＝ ∠ABC＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD，
∴△ABF是等腰三角形，
则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，
而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，
故△ABE为等腰三角形，
故选：C．
【典例 6】（2023 春•渠县校级期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平
面直角坐标系，在坐标轴上取一点 M使△MAB为等腰三角形，符合条件的
M点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负
半轴相交，共两个交点，都符合条件；
（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，
负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；
②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相
交，共三个交点，都符合条件，
因此共有8个符合条件的点．
故选：D．
【变式6-1】（2023春•大田县期中）如图，已知点 A，B的坐标分别为（3，
0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条
件的C点共有（ ）个．A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：如图，
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点
除外），
当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点
除外），
当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有8个，
故选：C．
【变式6-2】（2022秋•路北区校级期末）如图，平面直角坐标系中，点 A，B
分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点 P，使得△PAB是等
腰三角形，则符合条件的P点共有（ ）个．A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解答】解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上
有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件
的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝
AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选：C．
【变式6-3】（2022秋•日照期末）如图，A，B两点在正方形网格的格点上，
每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，
在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．
所以符合条件的点C共有8个．
故选：B．【题型3：等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于
点O，过点O作DE∥BC，
分别交AB、AC于点D、E．
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．
【解答】解：（1）△BDO是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO＝∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO＝∠DOB，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴BD＝DO，
∴△BDO是等腰三角形．
（2）同理△CEO是等腰三角形，
∵BD＝OD，CE＝OE，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝10+6＝16．
【变式7-1】（集贤县期末）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平
分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；（2）EF＝BE+CF．
【解答】证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠BCD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴DF＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
由（1）得，DF＝FC，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF．
【变式7-2】（秋•阿鲁科尔沁旗期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝
36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若△BCD的周长是26，BC＝10，求△ACD的周长．【答案】（1）证明见解答；（2）36．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝ ＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，
∴∠B＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD＝CD＝CB＝10，△BCD的周长是26，
∴AB＝26﹣10＝16，
∵AB＝AC，
∴AC＝16，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝16+10+10＝36．
【变式 7-3】（2022 秋•文成县期中）已知：如图，在△ABC 中，BE 平分
∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形．
（2）若∠A＝65°，∠AED＝35°，求∠CBE的度数．【答案】（1）见解析；
（2）40°．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝65°，∠AED＝35°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣65°﹣35°＝80°，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ ∠ABC＝40°．
1．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为
（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝ ，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，
故选：C．
2．（2023•内蒙古）如图，直线 a∥b，直线 l与直线 a，b分别相交于点 A，
B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．32° B．58° C．74° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA＝74°．
故选：C．
3．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，
AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（ ）
A．30° B．n°
C．n°或180°﹣n° D．30°或150°
【答案】C
【解答】解：当BC＝B′C′时，△ABC≌△A′B′C′（SSS），
∴∠C′＝∠C＝n°，当BC≠B′C′时，如图，
∵A′C′＝A′C″，
∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，
∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，
∴∠C′＝n°或180°﹣n°，
故选：C．
4．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线 AC的长度随四边形
形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AC＝BC，
当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理，
当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理，
∴AC＝3．
故选：B．
5．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路 AB∥CD，道路
AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝
EF，则∠E的度数为（ ）A．23° B．25° C．27° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BAE＝50°，
∵CF＝EF，
∴∠C＝∠E，
∵∠DFE＝∠C+∠E，
∴∠C＝ ∠DFE＝ ×50°＝25°，
故选：B．
6．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点
D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（ ）
A．39° B．40° C．49° D．51°
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，
∴∠B＝∠ACB＝78°．
∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠D＝∠CAD＝ ∠ACB＝39°．
故选：A．
7．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D
作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）见证明；
（2）∠BDE的度数为30°．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
8．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）CD＝ED，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED
1．（2023•武威一模）一个等腰三角形的顶角是 50°，则它的底角的大小是（
）
A．50° B．65° C．100° D．130°
【答案】B
【解答】解：（180°﹣50°）÷2
＝130°÷2
＝65°．
故选：B．
2．（2023春•广西期末）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等
于（ ）A．22 B．29 C．37 D．29或37
【答案】C
【解答】解：当7是腰时，则7+7＜15，不能组成三角形，应舍去；
当15是腰时，则三角形的周长是7+15×2＝37．
故选：C．
3．（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，
下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，
∵D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
故选项A、B、C正确，AB＝BC不一定成立，
故选：D．
4．（2023•碑林区一模）已知等腰△ABC 中，∠A＝50°，则∠B 的度数为（
）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或80°或65°
【答案】D
【解答】解：当∠A为顶角时，则 ；
当∠B为顶角时，则∠B＝180°﹣2∠A＝80°；
当∠A、∠B为底角时，则∠B＝∠A＝50°．
故选：D．5．（2022 秋•天元区校级期末）等腰三角形的周长为 20cm，其中一边长为
5cm，则其腰长为（ ）
A．5cm B．5cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：若 5cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为：20﹣2×5＝10
（cm），此时三角形的三边长分别为5cm，5cm，10cm，不符合三角形的三
边关系；
若5cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（20﹣5）÷2＝7.5（cm），此时三
角形的三边长分别为7.5cm，7.5cm，5cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为7.5cm，
故选：C．
6．（2023•蚌埠模拟）在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰
三角形，这样的点有几个（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解答】解：如图，
∵AB＝ ＝2 ，∴①若BA＝BC，则符合要求的有：C ，C 共2个点；
1 2
②若AB＝AC，则符合要求的有：C ，C 共2个点；
3 4
③若CA＝CB，则符合要求的有：C ，C ，C ，C ，C ，C 共6个点．
5 6 7 8 9 10
∴这样的C点有10个．
故选：C．
7．（2022秋•巴州区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平
分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝ （180°﹣∠A）＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝
72°，
∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个，
故选：D．
8．（2023•西湖区校级二模）如图，等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠A＝
40°，BD是△ABC的平分线，DE∥BC，则∠BDE的度数为（ ）A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝ ×（180°﹣40°）＝70°，
∵BD是△ABC的平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝35°，
故选：B．
9．（2022秋•辉县市校级期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交
于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；
④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC，
①②④正确，
故选：B．
10．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，
大于 的长为半径作弧，两弧交于点 D，作直线 AD 交 BC 于点 E．若
∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 5 5 度．
【答案】55°．
【解答】解：∵AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形，
∵分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点D，作
直线AD交BC于点E．
∴AE垂直平分BC，
∴AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝55°．
故答案为：55°．
11．（2023•新疆）如图，在△ABC 中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，
则∠C＝ 5 2 °．【答案】52．
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，
∴180°﹣2∠C＝24°+∠C，
∴∠C＝52°，
故答案为：52．
12．（2023•沙依巴克区模拟）已知：一等腰三角形的两边长 x、y满足方程组
，则此等腰三角形的周长为 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：解方程组 得
所以，等腰三角形的两边长为2，1．
若腰长为1，底边长为2，由1+1＝2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以这个等腰三角形的周长为5．
故答案为：5．
13．（2022秋•岳阳期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数．【答案】（1）见解析；
（2）34°．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝37°
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣37°＝68°，
∵BD平分∠ABC，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠CBD＝34°．
15.（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，
CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若
AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
【答案】（1）130°；（2）见解答．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×（180°﹣
∠A）＝90°﹣ ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ ∠A＝90°+40°＝130°；
（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴MO＝BM，
同理可得，NO＝NC，
∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB+AC＝12，
∴△AMN的周长＝AB+AC＝12．
