专题02矩形与等腰三角形、二倍角、动点、定值的交互问题(专项训练)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本

专题 02 矩形与等腰三角形、二倍角、动点、定值的交互问题（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)............................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:20)................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:20)......................................................................................................................14
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:32)(cid:20)..................................................................................................................................19
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:20)..................................................................................................................................26
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:34)(cid:25)(cid:42)(cid:43)(cid:20)......................................................................................................................................33
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:23)(cid:24)(cid:34)(cid:25)(cid:44)(cid:45)(cid:20)......................................................................................................................................38
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:23)(cid:24)(cid:34)(cid:25)(cid:46)(cid:45)(cid:20)......................................................................................................................................43
【题型1 矩形的翻折】
(cid:15)(cid:47)1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = =4(cid:63)(cid:43) (cid:63) (cid:38)(cid:65)(cid:64)(cid:66)
(cid:63) (cid:67)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:70)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:72) (cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:43) (cid:63) (cid:38)𝐴(cid:65)𝐵(cid:73)𝐶𝐷(cid:64)(cid:43) 𝐵(cid:63)𝐶 (cid:74)2(cid:75)𝐴𝐵(cid:76) (cid:25)(cid:45)𝑀(cid:35)(cid:48)𝑁 (cid:58)
𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑀𝑁 𝐶𝑀𝑁𝐷 𝑀𝑁 𝐶 𝐷 𝐴 𝐸 𝑀𝑁
8
A(cid:75)2 2 B(cid:75) 5 C(cid:75) 6 D(cid:75)
3
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)B
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:68)(cid:69) (cid:80) (cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:88) = + =2 5(cid:63)(cid:89)(cid:35)(cid:43) (cid:28)(cid:43) (cid:3)(cid:81)(cid:33)(cid:90) (cid:91)
2 2
(cid:92)(cid:63)(cid:61)(cid:93) = 𝐴𝐶 𝑀(cid:63)𝑁 (cid:94)𝐹(cid:33)(cid:95)(cid:38) (cid:63)(cid:76) = 𝐴𝐶 = 5(cid:63)𝐴(cid:96)𝐵 𝐵 + 𝐶 = (cid:63)(cid:88)2𝐶 +(𝐴 ) (cid:97) 𝑀𝑁 (cid:63)
2 2 2 2 2 2
𝐴𝑀5 𝐶𝑀 𝑀𝑁 𝐴𝐶 5 𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝑀 𝐴𝑀 5 4−𝐴𝑀 𝐴𝑀
(cid:87)(cid:88) = (cid:63)(cid:76) = = (cid:63)(cid:98)(cid:99) (cid:63)(cid:88)(cid:100) = = (cid:63)(cid:81)(cid:101)(cid:88)(cid:102)(cid:103)(cid:21)(cid:25)(cid:77)
2 2 2
2 2
(cid:78)(cid:75)𝐴𝑀 𝑀𝐹 𝐴𝑀 −𝐴𝐹 △𝐴𝑁𝐹≌△𝐶𝑀𝐹 𝑁𝐹 𝑀𝐹
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10)(cid:68)(cid:69) (cid:80) (cid:81)(cid:43) (cid:63)
𝐴𝐶 𝑀𝑁 𝐹= =4(cid:63)
∵𝐵𝐶 =22𝐴(cid:63)𝐵
∴(cid:71)𝐴𝐵(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∵ =9𝐴0𝐵°(cid:63)𝐶𝐷
∴∠𝐵
= + = 2 +4 =2 5(cid:63)
2 2 2 2
∴(cid:70)𝐴𝐶(cid:71)(cid:66)(cid:24)𝐴𝐵 𝐵(cid:72)𝐶 (cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:43) (cid:63) (cid:38)(cid:65)(cid:73)(cid:64)(cid:43) (cid:63) (cid:74)(cid:63)
∵(cid:43) (cid:28)(cid:43) 𝐶(cid:3)𝑀(cid:81)𝑁𝐷(cid:33)(cid:90)𝑀𝑁 (cid:91)(cid:92)(cid:63) 𝐶 𝐷 𝐴 𝐸
∴ 𝐶= 𝐴(cid:63) (cid:94)(cid:33)𝑀(cid:95)𝑁(cid:38) (cid:63)
∴𝐴𝑀 =𝐶𝑀 𝑀𝑁= (cid:63)𝐴𝐶 =90°(cid:63)
∴𝐵𝑀 𝐵𝐶−1𝐶𝑀 4−𝐴𝑀 ∠𝐴𝐹𝑀
= = = 5(cid:63)
2
𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝐴𝐶
+ = (cid:63)
2 2 2
∵𝐴2𝐵+(𝐵𝑀 )𝐴=𝑀 (cid:63)
2 2 2
∴ 45−𝐴𝑀 𝐴𝑀
= (cid:63)
2
∴𝐴𝑀
5 5
= = ( 5) = (cid:63)
2 2 2 2
2 2
∴(cid:64)𝑀𝐹(cid:23)(cid:24) 𝐴𝑀 −(cid:34)𝐴𝐹 (cid:63) −
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴(cid:63)𝐷∥𝐵𝐶 = (cid:63)
∴∠𝑁𝐴=𝐹 (cid:63)∠𝑀𝐶𝐹 ∠𝐴𝑁𝐹 ∠𝐶𝑀𝐹
∵𝐴𝐹 𝐶𝐹 (cid:63)
∴△𝐴𝑁𝐹≌△𝐶𝑀5 𝐹
= = (cid:63)
2
∴𝑁𝐹 =𝑀𝐹 = 5(cid:75)
∴(cid:106)𝑀(cid:107)𝑁(cid:10)B2(cid:75)𝑁𝐹
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:117)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:115)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:118)(cid:29)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:100)(cid:125)
(cid:126)(cid:90)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)(cid:15)(cid:116)(cid:128)1-1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)·(cid:57)(cid:133)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:135) (cid:34)(cid:63) = =3(cid:63)(cid:43) (cid:64) (cid:66)
(cid:67)(cid:75)(cid:70) (cid:72) (cid:26)(cid:27)(cid:88)(cid:102) (cid:63)(cid:136) = (cid:63)(cid:76) (cid:25)𝐴(cid:137)𝐵𝐶(cid:138)𝐷(cid:35) 𝐴 𝐵 2(cid:75),𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐶
△𝐴𝐸𝐵 𝐴𝐸 △𝐴𝐸𝐹 ∠𝐹𝐸𝐶 ∠𝐴𝐶𝐸 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20) 13 / + 13
−3 −3
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:139)(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63)(cid:87)(cid:88) = + = 13(cid:75)(cid:140)(cid:137) (cid:141)(cid:43)G(cid:63)(cid:142)(cid:88) = (cid:63)(cid:68)
2 2
(cid:69) (cid:63)(cid:143) = (cid:63)(cid:98)(cid:99) △𝐴𝐵𝐶 (SA𝐴S)𝐶(cid:63)(cid:88)(cid:102)𝐴𝐵 𝐵=𝐶 = (cid:63)(cid:144)(cid:145)𝐸𝐵 = =𝐵𝐺(cid:63)(cid:146)𝐵(cid:145)𝐸(cid:88)(cid:102)
𝐴𝐺 = ∠𝐺 =𝛼 △(cid:63)𝐴𝐵(cid:144)𝐺(cid:145)≌△𝐴𝐵𝐸= + ∠𝐴𝐸𝐵= (cid:63)∠𝐺(cid:88)(cid:102)𝛼 =∠𝐴𝐸(cid:63)𝐹(cid:82)(cid:83)∠𝐴(cid:29)𝐸(cid:32)𝐵(cid:91)(cid:29)𝛼 (cid:66)(cid:88)(cid:102)
∠𝐴𝐶=𝐵 ∠=𝐹𝐸1𝐶3(cid:63)1(cid:147)80(cid:96)°−(cid:90)2(cid:148)𝛼(cid:25)(cid:120)(cid:149)∠(cid:150)𝐺(cid:151)𝐴𝐶(cid:87)(cid:105)∠(cid:75)𝐺𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶 𝛼 ∠𝐺𝐴𝐶 ∠𝐺
(cid:15)𝐶𝐺(cid:104)(cid:105)𝐴(cid:20)𝐶(cid:105)(cid:10) (cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =90°(cid:63) =2(cid:63) =3(cid:63)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
在Rt (cid:34)(cid:63) = + = 2 +3 = 13(cid:75)
2 2 2 2
∴(cid:140)(cid:137) △(cid:141)𝐴(cid:43)𝐵𝐶G(cid:63)(cid:142)𝐴(cid:88)𝐶 =𝐴𝐵 (cid:63)𝐵(cid:68)𝐶(cid:69) (cid:63)
𝐸𝐵 𝐵𝐺 𝐵𝐸 𝐴𝐺
(cid:143) = (cid:63)
∠𝐺 =𝛼90°(cid:63)
∵∠𝐴𝐵𝐸= =90°= (cid:63)
∴∠𝐴𝐵=𝐺 1(cid:63)80°−=∠𝐴𝐵𝐸(cid:63) ∠𝐴𝐵𝐸
∵𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐺 (𝐵SA𝐸S)(cid:63)
∴△𝐴𝐵𝐺=≌△𝐴=𝐵𝐸(cid:63)
∴(cid:96)∠𝐴(cid:27)𝐸𝐵(cid:152)(cid:151)∠(cid:88)𝐺 𝛼 = = (cid:63)
∴ = ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐴𝐸𝐵 =𝛼 (cid:63)
∴∠𝐹𝐸𝐶=180°−(cid:63)∠𝐴𝐸𝐹−∠𝐴𝐸𝐵 180°−2𝛼
∵∠𝐹𝐸𝐶 =∠𝐴𝐶𝐸 = (cid:63)
∴∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐹𝐸𝐶 180°−2𝛼(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63) = = ( )= (cid:63)
∴(cid:64)Rt△𝐴𝐵𝐶(cid:34)(cid:63)∠𝐵𝐴𝐶 =90°−∠𝐴𝐶=𝐵 90°−(cid:63)180°−2𝛼 2𝛼−90°
∵ △=𝐴𝐵𝐺 +∠𝐺𝐴𝐵 =90°−∠𝐺+ 90°−𝛼 = (cid:63)
∴∠𝐺𝐴𝐶=∠𝐺𝐴(cid:63)𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶 90°−𝛼 2𝛼−90° 𝛼
∴∠𝐺𝐴=𝐶 ∠=𝐺 13(cid:63)
∴𝐶𝐺 =𝐴𝐶 = 13 (cid:63)
∴𝐵𝐺=𝐶𝐺−=𝐵𝐶13 (cid:75)−3
∴(cid:106)𝐵(cid:77)𝐸(cid:78)(cid:35)𝐵𝐺(cid:10) 13 −(cid:75)3
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)−(cid:111)3(cid:153)(cid:91)(cid:92)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:63)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:154)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)
(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:157)(cid:158)(cid:63)(cid:121)(cid:122)(cid:124)(cid:100)(cid:125)(cid:126)(cid:90)(cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)1-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:129)(cid:130)(cid:54)(cid:159)·(cid:57)(cid:133)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =1(cid:63)(cid:70) (cid:72)(cid:91)(cid:32)(cid:90) (cid:26)(cid:27)(cid:63)
(cid:88)(cid:102) (cid:63) (cid:80) (cid:81)(cid:43)F(cid:63)(cid:147)(cid:70) (cid:72) (cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:88)(cid:102) 𝐴𝐵𝐶(cid:63)𝐷 (cid:80)𝐴𝐵(cid:81)(cid:43) H(cid:63)𝐴(cid:136)𝐵𝐶 (cid:95)(cid:38) 𝐴𝐶(cid:63)(cid:76)
(cid:25)(cid:137)(cid:35)△ 𝐴 𝐸 𝐶 (cid:75)𝐶𝐸 𝐴𝐷 △𝐴𝐸𝐹 𝐴𝐹 △𝐴𝐺𝐹 𝐺𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐺 𝐹𝐻
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20) 2
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)2(cid:109)−(cid:21)(cid:160)(cid:161)(cid:110)(cid:111)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:117)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:121)(cid:162)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:43)(cid:63)(cid:165)(cid:166)(cid:90)
(cid:148)(cid:167)(cid:25)(cid:3)(cid:168)(cid:169)(cid:35)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:59)(cid:60)(cid:10)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:96)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:88) = = =90°(cid:63) = =1(cid:63)(cid:96)(cid:26)(cid:27)(cid:88) = = =1(cid:63)
= =𝐸𝐻 =90°(cid:63) = ∠𝐵 =∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐷 (cid:63)(cid:76) 𝐷𝐶= 𝐴𝐵 = 𝐴𝐺(cid:63)(cid:61)𝐴(cid:93)𝐸 𝐴𝐵
∠𝐺 ∠=𝐸 ∠𝐵= ∠𝐸𝐴𝐶(cid:63)(cid:87)∠𝐵(cid:88)𝐴𝐶 90=°−2∠2.𝐷5°𝐴(cid:63)𝐶(cid:76) ∠𝐺𝐴=𝐹 ∠𝐸𝐴=𝐹45°9(cid:63)0(cid:151)°−(cid:98)2∠(cid:99)𝐷(cid:71)𝐴𝐶(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:121)(cid:162)(cid:24)(cid:63)
∠𝐺𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐶 90°−3∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐺𝐴𝐹 ∠𝐸𝐴𝐹 𝐴𝐸𝐹𝐺1
(cid:76) = =1(cid:63)(cid:147)(cid:98)(cid:99) = =1(cid:63)(cid:87) = 2(cid:63)(cid:76) = 2+1(cid:63)(cid:151)(cid:98)(cid:99) = (cid:63)(cid:76) ×( 2+1)
2
𝐹𝐸 1 𝐴𝐸 𝐷𝐹 𝐷𝐶 𝐶𝐹 𝐶𝐸
𝑆△𝐸𝐻𝐶 𝑆△𝐴𝐹𝐶
= × 2×1(cid:63)(cid:170)(cid:171)(cid:87)(cid:105)(cid:150)(cid:151)(cid:75)
2
(cid:15)𝐹𝐻(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10)(cid:59)(cid:60)(cid:10)(cid:68)(cid:69) (cid:63)
𝐸𝐻(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63) =1(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷= =9𝐴0𝐵°(cid:63) = =1(cid:63)
∴(cid:96)∠(cid:26)𝐵(cid:27)(cid:88)∠𝐵(cid:10)𝐴𝐷 =∠𝐷 = =𝐷1𝐶(cid:63) 𝐴𝐵= = =90°(cid:63) = = (cid:63)
= 𝐴𝐺 =𝐴𝐸 𝐴𝐵 ∠=𝐺 ∠𝐸 ∠𝐵(cid:63) ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 90°−∠𝐷𝐴𝐶
∴∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐸𝐴𝐶=−∠𝐷𝐴𝐶 90°−(cid:63)2∠𝐷𝐴𝐶
∴∠𝐺(cid:95)𝐴𝐶(cid:38) ∠𝐺𝐴𝐹(cid:63)−∠𝐷𝐴𝐶 90°−3∠𝐷𝐴𝐶
∵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐺 (cid:63)
∴∠𝐺𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐶 (cid:63)
∴∠𝐷𝐴𝐶=9202°.5−°3(cid:63)∠𝐷𝐴𝐶
∴∠𝐷𝐴𝐶= = ×22.5°=45°(cid:63)
∴∠𝐺𝐴𝐹 =∠𝐸𝐴𝐹 =909°0−°(cid:63)2
∴∠𝐸𝐴=𝐺 2=∠𝐸𝐴𝐹=90°(cid:63) = =1(cid:63)
∵(cid:71)∠𝐺(cid:66)(cid:24)∠𝐴 ∠(cid:101)𝐸(cid:121)(cid:162)(cid:24)(cid:63)𝐴𝐺 𝐴𝐸
∴ = 𝐴𝐸=𝐹𝐺1(cid:63)
∴𝐹𝐸 𝐴=𝐸 = =45°(cid:63)
∵∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐸𝐹𝐴 =∠45𝐸°𝐴(cid:63)𝐹
∴∠𝐷𝐶=𝐹 ∠=𝐷1𝐹(cid:63)𝐶
∴𝐷𝐹 𝐷𝐶
= + = 1 +1 = 2(cid:63)
2 2 2 2
∴𝐶𝐹
= 2
𝐷
+
𝐹 1(cid:63)𝐷𝐶
∴𝐶𝐸 (cid:63)
∵𝐴𝐸∥𝐹𝐻= (cid:63)
∴𝑆△𝐸𝐹𝐻 = 𝑆△𝐴𝐹𝐻 + = + = (cid:63)
∴𝑆1△𝐸𝐻𝐶 𝑆△1𝐸𝐹𝐻 𝑆△𝐶𝐹𝐻 𝑆△𝐴𝐹𝐻 𝑆△𝐶𝐹𝐻 𝑆△𝐴𝐹𝐶
= (cid:63)
2 2
∴ 𝐶𝐸⋅𝐹𝐻 𝐶𝐹⋅𝐴𝐸1 1
×( 2+1) = × 2×1(cid:63)(cid:105)(cid:88)(cid:10) = 2(cid:75)
2 2
∴(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)2− 𝐹𝐻2(cid:75) 𝐹𝐻 2−
(cid:15)(cid:116)(cid:128)1-3(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:172)·(cid:57)(cid:133)(cid:58)(cid:59)(cid:60)1(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63)(cid:43) (cid:101)(cid:175)(cid:90) (cid:67)(cid:176)(cid:177)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69)
(cid:178)(cid:140)(cid:137)(cid:80)(cid:33)(cid:90) (cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:70) (cid:72)(cid:33)(cid:90) (cid:26)(cid:27)(cid:102) (cid:63)(cid:140)𝐴𝐵(cid:137)𝐶𝐷 (cid:28)(cid:33)(cid:90)𝐸 (cid:80)(cid:81)𝐵(cid:43)𝐶 (cid:75) 𝐴𝐸
′ ′
𝐷𝐶 𝐹 △𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸 △𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝑀
(1)(cid:87)(cid:98)(cid:10) = (cid:179)
(2)(cid:136) =𝐴6𝑀, 𝑀=𝐹8(cid:75)
(cid:48) (cid:58)𝐴(cid:59)𝐵(cid:60)2(cid:63) 𝐵(cid:43)𝐶 (cid:101)(cid:66) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:180)(cid:63)(cid:87) (cid:25)(cid:137)(cid:179)
(cid:48)𝑖 (cid:58)(cid:181)(cid:43) (cid:64)(cid:90)𝐸(cid:148) 𝐵(cid:67)𝐶(cid:63)(cid:182) =4(cid:180)(cid:63)𝐶𝑀(cid:87) (cid:25)(cid:137)(cid:75)
(cid:15)𝑖(cid:77)𝑖 (cid:78)(cid:20)(1𝐹)(cid:98)(cid:99)(cid:183)(cid:105)𝐶𝐷(cid:79) 𝐶𝐹 𝐶𝑀
8
(2)(cid:48) (cid:58) (cid:179)(cid:48) (cid:58)21
3
(cid:15)(cid:38)(cid:79)𝑖 (cid:20)(cid:48)1(cid:58)𝑖𝑖(cid:96)(cid:27)(cid:152)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:120)(cid:95)(cid:184)(cid:90)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:154)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:151)(cid:88)(cid:100)(cid:77)(cid:78)(cid:179)
(cid:48)2(cid:58)(cid:48) (cid:58)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:98)(cid:88) (AAS)(cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:88)(cid:102) = =6(cid:63)(cid:143)
= (cid:63)𝑖 (cid:76)(cid:96)(cid:48)1(cid:58)(cid:163) = △=𝐴𝐸+𝐵≌6(cid:63)△𝐹𝐸𝐶= (cid:63)(cid:64)Rt (cid:34)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)𝐴(cid:150)𝐵(cid:151)(cid:87)𝐶𝐹(cid:105)(cid:179)(cid:48) (cid:58)(cid:181)
𝐶(cid:64)𝑀(cid:90)(cid:148)𝑥 (cid:67)(cid:63)(cid:76)(cid:43) (cid:64)𝐴(cid:90)𝑀(cid:148) 𝑀(cid:25)𝐹(cid:140)(cid:137)𝑥(cid:90)(cid:67)(cid:63)𝐷(cid:181)𝑀 6=−4𝑥(cid:180)(cid:63)(cid:143) △𝐴=𝐷𝑀(cid:63)(cid:76) = = (cid:63) = 𝑖𝑖 (cid:63)𝐹(cid:64)
Rt 𝐶𝐷(cid:34)(cid:185)(cid:186)(cid:84)𝐸(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:150)𝐵(cid:151)𝐶(cid:87)(cid:105)(cid:75) 𝐶𝐹 𝐶𝑀 𝑥 𝐴𝑀 𝑀𝐹 𝑥−4 𝐷𝑀 𝑥−6
(cid:15)(cid:104)△(cid:105)𝐴𝐷(cid:20)𝑀(cid:48)1(cid:58)(cid:98)(cid:99)(cid:10) (cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
(cid:63) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:63)
(cid:96)∴∠(cid:27)𝐴𝐹(cid:152)𝐷(cid:151)(cid:163)∠(cid:63)𝐵𝐴𝐹 = (cid:63)
= ∠𝐵(cid:63)𝐴𝐹 ∠𝑀𝐴𝐹
∴∠𝐴𝐹=𝐷 ∠(cid:179)𝑀𝐴𝐹
(cid:48)∴𝐴2𝑀(cid:58)(cid:105)𝑀(cid:10)𝐹(cid:48) (cid:58) (cid:43) (cid:101)(cid:66) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:63)
𝑖 ∵ 𝐸 𝐵𝐶1
= = =4(cid:63)
2
∴(cid:71)𝐵𝐸(cid:66)(cid:24)𝐶𝐸 𝐵(cid:35)𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:63) =8(cid:63)
∵ 𝐴(cid:63)𝐵𝐶𝐷= =𝐵𝐶 =90°(cid:63) = =8(cid:63)
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷= ∠𝐵 (cid:63)∠𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:187)∴∠𝐴𝐹𝐷 =∠𝐵𝐴𝐹 (cid:63)
∵∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐹𝐸𝐶(AAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐸𝐵≌=△6𝐹(cid:63)𝐸𝐶
∴(cid:143)𝐴𝐵 =𝐶𝐹(cid:63)(cid:76)(cid:96)(cid:48)1(cid:58)(cid:163)(cid:63) = = +6(cid:63) = (cid:63)
(cid:64)𝐶R𝑀t 𝑥 (cid:34)(cid:63) + 𝐴𝑀= 𝑀𝐹(cid:63) 𝑥 𝐷𝑀 6−𝑥
2 2 2
8 +△(𝐴𝐷𝑀) =(𝐴𝐷+6)𝐷(cid:63)𝑀 𝐴𝑀
2 2 2
∴ 6−8𝑥 𝑥
(cid:105)(cid:88) = (cid:63)
3
𝑥 8
(cid:25)(cid:137)(cid:35) (cid:179)
3
∴(cid:48)𝐶𝑀(cid:58)(cid:181)(cid:43) (cid:64)(cid:90)(cid:148) (cid:67)(cid:63)(cid:76)(cid:43) (cid:64)(cid:90)(cid:148) (cid:25)(cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:67)(cid:63)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)
𝑖𝑖 𝐹 𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶
(cid:181) =4(cid:180)(cid:63)(cid:143) = (cid:63)(cid:76) = = (cid:63) = (cid:63)
(cid:64)𝐶R𝐹t (cid:34)(cid:63)𝐶𝑀 +𝑥 𝐴=𝑀 𝑀(cid:63)𝐹 𝑥−4 𝐷𝑀 𝑥−6
2 2 2
8 +△(𝐴𝐷𝑀) =(𝐴𝐷 ) 𝐷(cid:63)𝑀 𝐴𝑀
2 2 2
(cid:105)∴ (cid:88) =𝑥−216(cid:63) 𝑥−4
𝑥(cid:25)(cid:137)(cid:35)21(cid:75)
(cid:15)∴𝐶(cid:43)𝑀(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:95)(cid:184)(cid:90)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:118)(cid:29)
(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:188)(cid:189)(cid:23)(cid:24)(cid:120)(cid:27)(cid:152)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)【题型2 矩形与等腰三角形】
(cid:15)(cid:47)2(cid:20)(cid:48)23-24(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:129)(cid:130)(cid:54)(cid:159)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:137)(cid:162)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =3(cid:63)(cid:91)(cid:32)(cid:90) =5(cid:63) (cid:95)(cid:38)
(cid:80) (cid:81)(cid:43)E(cid:63) (cid:101)(cid:90)(cid:148) (cid:67)(cid:25)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:190)(cid:43)C(cid:124) 𝐴𝐵𝐶(cid:80)𝐷 (cid:25)𝐴(cid:140)𝐵(cid:137)(cid:90)(cid:81)(cid:43)P(cid:63)(cid:181)𝐴𝐶 𝐵(cid:35)𝐸(cid:29)(cid:30)(cid:31)∠𝐴(cid:32)𝐵𝐶
(cid:24)𝐴(cid:180)𝐷(cid:63) =(cid:48)𝑄(cid:191)(cid:191)(cid:58) 𝐵𝐸 𝐶𝑄 𝐶𝑃⊥𝐶𝑄 𝐴𝐷 △𝑃𝐶𝑄
𝐴𝑃
A(cid:75)4 B(cid:75)5 C(cid:75)6 D(cid:75)7
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)B
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:88)(cid:102) = = =90°(cid:63) = (cid:63) = =3(cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88)(cid:102)
(cid:25)(cid:137)(cid:63)(cid:87)(cid:88) = =4(cid:63)∠(cid:190)𝐴Q𝐵𝐶(cid:124) ∠𝐵𝐶𝐷 (cid:81)∠H𝐴(cid:63)𝐷𝐶(cid:82)(cid:83)(cid:29)(cid:30)(cid:33)𝐴𝐷(cid:32)(cid:31)𝐵(cid:32)𝐶(cid:24)(cid:25)𝐶𝐷(cid:113)(cid:114)𝐴(cid:88)𝐵(cid:102) = (cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:118)(cid:29)
𝐵(cid:31)𝐶(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:88)𝐴𝐷(cid:102) 𝐵𝐶= =3(cid:63)(cid:81)(cid:101)𝑄(cid:88)𝐻(cid:102)⊥𝐵(cid:103)𝐶(cid:21)(cid:77)(cid:78)(cid:75) 𝐵𝐻 𝑄𝐻
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20) (cid:71)(cid:66)(cid:24) 𝐶𝐻 (cid:101)𝐶(cid:23)𝐷(cid:24)(cid:63)
=∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63) = (cid:63) = =3(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐵𝐶𝐷 =∠90𝐴°𝐷(cid:63)𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐵
∵∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝑄𝐶𝑃(cid:63)
∴∠𝑄𝐶=𝐵3(cid:63)∠𝑃𝐶=𝐷5(cid:63)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶
= 5 3 =4(cid:63)
2 2
∴𝐵𝐶 = =−4(cid:63)
(cid:190)∴𝐴𝐷Q(cid:124)𝐵𝐶 (cid:81)H(cid:63)
𝑄𝐻⊥𝐵𝐶
= =90°(cid:63)
∴∠𝑄(cid:95)𝐻𝐵(cid:38) ∠𝑄𝐻(cid:80)𝐶 (cid:81)(cid:43)E(cid:63)
∵𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷=45°(cid:63)
∴∠𝑄𝐵𝐻 (cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)
∴△𝐵=𝑄𝐻 (cid:63)
∴𝐵𝐻 𝑄𝐻(cid:63)
∵𝐶𝑃⊥𝐶=𝑄90°(cid:63)
∴∠𝑄𝐶𝑃 (cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)
∵△𝑃=𝐶𝑄 (cid:63)
∴𝐶𝑄 𝐶=𝑃 =90°(cid:63) = (cid:63)
∵∠𝐶𝐷𝑃 ∠𝐶𝐻𝑄 (AAS)(cid:63)∠𝑄𝐶𝐻 ∠𝑃𝐶𝐷
∴△𝐶=𝑄𝐻≌=△3𝐶(cid:63)𝑃𝐷
∴𝐶𝐻 =𝐶𝐷 = =1(cid:63)
∴𝐵𝐻= 𝑄𝐻=14(cid:63)−3
∴𝑃𝐷= 𝑄𝐻+ =5(cid:63)
(cid:106)∴𝐴(cid:107)𝑃(cid:10)B𝐴(cid:75)𝐷 𝑃𝐷
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:160)(cid:161)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)
(cid:86)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:43)(cid:63)(cid:192)(cid:193)(cid:188)(cid:189)(cid:194)(cid:113)(cid:114)(cid:25)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:186)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)2-1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)·(cid:57)(cid:133)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =4(cid:63) =5(cid:63) (cid:35)(cid:66) (cid:67)(cid:25)(cid:176)
(cid:43)(cid:63) (cid:35) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:178)(cid:140)(cid:137)(cid:63)(cid:80) (cid:81)(cid:43) (cid:75)(cid:136) (cid:95)(cid:38)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:63)(cid:76)𝐵𝐶 = 𝐵 𝐷 (cid:75)𝑀 𝐴𝐷
𝑂 𝐵𝐷 𝑀𝑂 𝐵𝐶 𝑁 𝑀𝑁 ∠𝐴𝑀𝐶 𝐷𝑀
7
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)
8
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握这些
性质与判定是解题的关键．
由四边形 是矩形，得 = ， = =90°， ，结合 平分 ，得出
=𝐴𝐵𝐶𝐷 ，则 =𝐵𝑂，证𝐷𝑂明 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 ，得出𝐴𝐷∥=𝐵𝐶 ，则 𝑀𝑁= ∠𝐴𝑀，𝐶再求得 =
∠𝐶𝑀𝑁 ∠𝐶𝑁𝑀 𝐶𝑁 𝐶𝑀 △𝑀𝐷𝑂≌△𝑁𝐵𝑂 𝐷𝑀 𝐵𝑁 𝐶𝑀 4−𝐷𝑀 𝐶𝐷
=3，利用 =90°， + = ，列式求解即可．
2 2 2 2 2
𝐵𝐷 −𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐶𝐷 𝑀𝐷 𝐶𝑀(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)解： 四边形 是矩形，
= ，∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷=90°， ，
∴𝐵𝑂 𝐷=𝑂 ∠𝐵𝐶，𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶= ，𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∴∠𝐷𝑀平𝑂分 ∠𝑁𝐵𝑂， ∠𝐴𝑀𝑁 ∠𝐶𝑁𝑀
∴𝑀𝑁 =∠𝐴𝑀𝐶 ，
∴∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐶𝑀𝑁，
∴∠𝐶𝑀=𝑁 ，∠𝐶𝑁𝑀
在∴𝐶𝑁 𝐶𝑀与 中，
△𝑀𝐷=𝑂 △𝑁𝐵𝑂
= ，
∠𝐷𝑀𝑂= ∠𝑁𝐵𝑂
∠𝑀𝑂𝐷 ∠𝑁𝑂𝐵
𝐷𝑂 𝐵𝑂 AAS)，
∴△𝑀𝐷=𝑂≌△，𝑁𝐵𝑂(
∴𝐷𝑀=4𝐵，𝑁
∵𝐵𝐶 = = = ，
∴𝐶𝑀=4𝐶，𝑁 4=−𝐵5，𝑁 4−𝐷=𝑀90°，
∵𝐵𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷
= =3，
2 2
∴ 𝐶𝐷 =𝐵90𝐷°，−𝐵𝐶
∵∠ 𝐴𝐷𝐶+ = ，
2 2 2
∴ 𝐶3𝐷+ 𝑀𝐷= 𝐶𝑀 ，
2 2 2
∴ 𝑀𝐷 7 (4−𝐷𝑀)
解得： = ，
8
𝑀𝐷 7
故答案为： ．
8
1
(cid:15)(cid:116)(cid:128)2-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:130)(cid:203)(cid:204)(cid:132)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63)(cid:43)E(cid:64) (cid:67)(cid:63)(cid:182) = =
2
=1(cid:63)(cid:43)F(cid:101)(cid:90)(cid:148) (cid:67)(cid:25)(cid:176)(cid:177)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:43)F(cid:205)(cid:28)(cid:43)A(cid:63)D(cid:206)(cid:196)𝐴𝐵(cid:58)𝐶(cid:63)𝐷(cid:68)(cid:69) (cid:63) 𝐵(cid:63)𝐶 (cid:70) 𝐴𝐵(cid:72)(cid:33)𝐶𝐸(cid:90) (cid:26)(cid:27)
𝐵(cid:88)𝐸(cid:102) (cid:63)(cid:181)(cid:43)F(cid:64)𝐴𝐷(cid:207)(cid:42)(cid:190)(cid:208)(cid:34)(cid:63)(cid:102)(cid:142)(cid:43)G(cid:121)(cid:209)(cid:73)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:210)(cid:211)(cid:176)(cid:66)(cid:61)(cid:64)𝐴𝐸(cid:25)(cid:33)𝐸𝐹(cid:90)(cid:67)(cid:180)△(cid:63)𝐴(cid:76)𝐸(cid:61)𝐹 (cid:212)(cid:213)(cid:214)𝐸(cid:215)𝐹(cid:216)(cid:25)
(cid:90)(cid:148)△(cid:25)𝐺𝐸(cid:137)𝐹(cid:101) (cid:75)
𝐴𝐹5
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)2 (cid:217) 5(cid:217)
3
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:218)(cid:21)(cid:160)(cid:161)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:60)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:117)(cid:154)(cid:194)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:192)(cid:193)(cid:188)(cid:189)(cid:60)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:117)(cid:154)(cid:194)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:101)(cid:105)(cid:219)(cid:103)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:63)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:101)(cid:105)(cid:219)(cid:103)(cid:21)(cid:25)(cid:220)(cid:221)(cid:43)(cid:75)
(cid:139)(cid:87)(cid:100) = = = = = 5(cid:63)(cid:222)(cid:21)(cid:211)(cid:212)(cid:93)(cid:52)(cid:31)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:10)(cid:48)1(cid:58)(cid:181)(cid:43) (cid:73)(cid:64)(cid:33)(cid:90) (cid:67)(cid:180)(cid:63)(cid:76)(cid:43)
(cid:64) (cid:25)𝐴𝐵(cid:140)(cid:137)𝐶(cid:90)𝐸(cid:67)(cid:63)1,𝐵(cid:96)𝐸(cid:26)(cid:27)2(cid:25),𝐵𝐶(cid:113)(cid:114)3(cid:88),𝐴𝐸 = = (cid:63)(cid:146)(cid:145)(cid:88) (cid:63)(cid:96)(cid:218)(cid:151)(cid:119)𝐺(cid:46)(cid:71)(cid:66)(cid:24)𝐴𝐷 (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
𝐺(cid:76) 𝐴𝐷= =2(cid:179)(cid:48)2(cid:58)(cid:181)(cid:43) (cid:73)(cid:64)(cid:33)(cid:90)𝐴𝐹 (cid:67)𝐺(cid:180)𝐹,𝐴(cid:63)𝐸(cid:76)(cid:43)𝐺𝐸(cid:64) (cid:25)(cid:140)𝐸(cid:137)𝐹(cid:90)⊥(cid:67)𝐴𝐺(cid:63)(cid:96)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:88) 𝐴𝐵𝐸=𝐹 (cid:63)
(cid:82)𝐴(cid:83)𝐹 𝐵𝐸 (cid:88) = 𝐺(cid:63)(cid:96)(cid:218)(cid:88)𝐵𝐶 = 𝐺(cid:63)(cid:76)𝐵𝐶 = = 5(cid:75)(cid:48)3(cid:58)(cid:181)(cid:43) (cid:73)(cid:64)∠𝐴(cid:33)𝐸(cid:90)𝐹 ∠(cid:67)𝐺(cid:180)𝐸𝐹(cid:63)
(cid:76)(cid:43)𝐴(cid:64)𝐷∥𝐵𝐶(cid:25)(cid:140)∠(cid:137)𝐴𝐹(cid:90)𝐸(cid:67)(cid:63)∠(cid:59)𝐺𝐸(cid:60)𝐹 3(cid:61)(cid:62)(cid:63)∠(cid:82)𝐴(cid:83)𝐸𝐹(cid:26)(cid:27)∠(cid:25)𝐴(cid:113)𝐹𝐸(cid:114)(cid:120)(cid:84)𝐴𝐹(cid:85)(cid:46)𝐴(cid:86)𝐸(cid:150)(cid:151)(cid:105)(cid:77)(cid:179)(cid:195)(cid:67)(cid:61)(cid:226)𝐺(cid:150)(cid:151)(cid:88)(cid:100)𝐶(cid:77)𝐷(cid:78)(cid:75)
𝐺 𝐶𝐷 1
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10) (cid:43) (cid:64) (cid:67)(cid:63)(cid:182) = = =1(cid:63)
2
= =∵ 𝐸=𝐵2𝐶(cid:63) 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐵𝐸
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐸+ 1,𝐵=𝐸 3(cid:63)
∴𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐶𝐸
(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63)(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88)(cid:10) = + = 5(cid:63)
2 2
(cid:71)(cid:66)△(cid:24)𝐴𝐵𝐸 (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63) 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐸
∵ =𝐴𝐵𝐶=𝐷 = = = = = = (cid:63)
∴(cid:43)𝐶𝐷(cid:101)(cid:90)𝐴(cid:148)𝐵 1(cid:67),𝐴(cid:25)𝐷(cid:176)(cid:177)𝐵𝐶(cid:42)(cid:43)3(cid:48),∠(cid:43)𝐷𝐴𝐵(cid:205)(cid:28)∠(cid:43)𝐵 ∠(cid:206)𝐵(cid:196)𝐶𝐷(cid:58)(cid:63)∠𝐶𝐷𝐴 90°,𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∵(cid:181)(cid:43)𝐹 (cid:121)(cid:209)𝐴(cid:73)𝐷(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:210)(cid:211)(cid:176)(cid:66)(cid:61)(cid:64)𝐹(cid:25)(cid:33)(cid:90)𝐴(cid:67),𝐷(cid:180)(cid:63)(cid:212)(cid:93)(cid:52)(cid:31)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:10)
∴(cid:48)1(cid:58)(cid:181)𝐺 (cid:43) (cid:73)(cid:64)(cid:33)(cid:90) (cid:67)(cid:180)(cid:63)(cid:76)(cid:43) (cid:64) (cid:25)(cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:67)(cid:63)(cid:59)(cid:60) 1 (cid:61)(cid:62)(cid:10)
𝐺 𝐴𝐷 𝐺 𝐴𝐷
(cid:96)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:88)(cid:10) = = (cid:63)
(cid:63) 𝐴𝐹 𝐺𝐹,𝐴𝐸 𝐺𝐸
∴𝐸𝐹⊥𝐴=𝐺 = =90°(cid:63)
∴∠𝐷𝐴𝐵 ∠𝐵 ∠𝐸𝐹𝐴(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∴ = 𝐴𝐵𝐸=𝐹2(cid:179)
(cid:48)∴2𝐴(cid:58)𝐹(cid:181)(cid:43)𝐵𝐸 (cid:73)(cid:64)(cid:33)(cid:90) (cid:67)(cid:180)(cid:63)(cid:76)(cid:43) (cid:64) (cid:25)(cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:67)(cid:63)(cid:59)(cid:60)2(cid:61)(cid:62)(cid:10)
𝐺 𝐵𝐶 𝐺 𝐵𝐶
(cid:96)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:88)(cid:10) = (cid:63)
(cid:63) ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐺𝐸𝐹
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:63)
∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐺𝐸𝐹(cid:63)
∴∠𝐴𝐸=𝐹 ∠=𝐴𝐹𝐸5(cid:75)
(cid:48)∴3𝐴(cid:58)𝐹(cid:181)(cid:43)𝐴𝐸 (cid:73)(cid:64)(cid:33)(cid:90) (cid:67)(cid:180)(cid:63)(cid:76)(cid:43) (cid:64) (cid:25)(cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:67)(cid:63)(cid:59)(cid:60)3(cid:61)(cid:62)(cid:10)
𝐺 𝐶𝐷 𝐺 𝐶𝐷
(cid:82)(cid:83)(cid:27)(cid:152)(cid:151)(cid:88) = = 5 = (cid:63)
𝐸𝐺 𝐴𝐸 ,𝐴𝐹 𝐹𝐺
(cid:76) = =2(cid:63)
2 2
𝐶𝐺= 𝐸𝐺=−1𝐶(cid:63)𝐸
(cid:64)∴𝐺R𝐷t 2−1(cid:34)(cid:63) = + (cid:63)
2 2 2
(cid:76) △=𝐷𝐺1𝐹+( 𝐹𝐺 ) (cid:63)𝐷𝐺 𝐹𝐷
2 2 2
𝐴𝐹 5 3−𝐴𝐹
(cid:105)(cid:88)(cid:10) = (cid:179)
3
𝐴𝐹 5
(cid:195)(cid:67)(cid:61)(cid:226)(cid:10)(cid:61)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:25)(cid:90)(cid:148) (cid:25)(cid:137)(cid:101) 2 (cid:217) 5(cid:217) (cid:75)
3
5 𝐴𝐹
(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)2 (cid:217) 5(cid:217) (cid:75)
3
(cid:15)(cid:116)(cid:128)2-3(cid:20)(cid:48)22-23(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:130)(cid:203)(cid:227)(cid:228)·(cid:229)(cid:148)(cid:193)(cid:230)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =6(cid:63) =8(cid:63)P(cid:115)E(cid:38)(cid:65)(cid:101)
(cid:90)(cid:148) (cid:115) (cid:67)(cid:25)(cid:43)(cid:63)(cid:182)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)(cid:136) (cid:101)(cid:93) (cid:35)𝐴𝐵(cid:30)𝐶(cid:25)𝐷(cid:29)(cid:30)𝐴(cid:31)𝐵(cid:32)(cid:24)(cid:63)𝐴(cid:76)𝐷 (cid:25)(cid:137)(cid:101)(cid:48) (cid:58)
𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃𝐸𝐹𝐷 △𝑃𝐶𝐷 𝑃𝐷 𝐴𝑃A(cid:75)4(cid:217)5 B(cid:75)5(cid:217)6 C(cid:75)5(cid:217)2.8 D(cid:75)4(cid:217)2.7
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)C
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:139)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:113)(cid:114)(cid:120)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:88) (cid:63)(cid:147)(cid:38) = (cid:120) = (cid:155)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:105)(cid:150)(cid:151)(cid:75)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10) (cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =6(cid:63) 𝐴𝐶=8(cid:63) 𝑃𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐷 𝐶𝐷
= =6∵(cid:63) 𝐴𝐵𝐶=𝐷90°(cid:63)𝐴𝐵 𝐴𝐷
∴𝐶𝐷 𝐴𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶
= + = 8 +6 =10(cid:63)
2 2 2 2
∴𝐴𝐶 (cid:101)𝐴𝐷(cid:93) 𝐶(cid:35)𝐷(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)
∵(cid:38)△(cid:155)𝑃𝐶(cid:223)𝐷(cid:224)(cid:225)(cid:10)𝑃𝐷
∴(cid:181) = (cid:180)(cid:63) = (cid:63)
𝑃𝐷 +𝑃𝐶 ∠=𝑃𝐷𝐶 ∠+𝑃𝐶𝐷 =90°(cid:63)
∵∠𝑃𝐶𝐷 =∠𝑃𝐴𝐷(cid:63)∠𝑃𝐷𝐶 ∠𝑃𝐷𝐴
∴∠𝑃𝐴𝐷 ∠𝑃𝐷𝐴 1
= = (cid:63)(cid:76) = =5(cid:179)
2
∴(cid:181)𝑃𝐴 =𝑃𝐷 (cid:180)𝑃(cid:63)𝐶(cid:59)(cid:60)(cid:63)𝑃𝐴 𝐴𝐶
𝑃𝐷 𝐶𝐷
(cid:190)(cid:43)D(cid:124) (cid:81)Q(cid:63)(cid:76) = (cid:63) =90°(cid:63)
𝐷1𝑄⊥𝐴𝐶 1 𝑃𝑄 𝐶𝑄 ∠𝐷𝑄𝐶
= = (cid:63)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐷⋅8𝐶×𝐷6 24𝐴𝐶⋅𝐷𝑄
= = =
10 5
𝐴𝐷⋅𝐶𝐷
∴𝐷𝑄 𝐴𝐶
24 18
= = 6 = (cid:63)
5 2 5
2 2 2
∴𝐶𝑄 𝐶𝐷 −3𝐷6𝑄 −
= = (cid:63)
5
∴𝑃𝐶 2𝐶𝑄 36 14
= = = =2.8(cid:63)
5 5
∴𝐴𝑃 𝐴𝐶−𝑃𝐶 10−(cid:195)(cid:67)(cid:63)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:25) (cid:25)(cid:137)(cid:35)5(cid:217)2.8(cid:63)
(cid:106)(cid:107)(cid:10)C(cid:75) 𝐴𝑃
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:115)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:185)(cid:186)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:231)(cid:232)(cid:87)(cid:105)(cid:101)(cid:105)(cid:77)(cid:25)(cid:3)
(cid:127)(cid:75)
【题型3 矩形与等腰直角三角形】
(cid:15)(cid:47)3(cid:20)(cid:48)2022·(cid:129)(cid:130)·(cid:36)(cid:233)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:30) (cid:34)(cid:63) = (cid:101) (cid:25)(cid:234)(cid:90)(cid:63)E(cid:101)(cid:66) (cid:67)(cid:176)(cid:43)(cid:63)
(cid:38)(cid:65)(cid:124) (cid:81)(cid:43)F(cid:63) (cid:81)(cid:43)G(cid:63)𝑅(cid:235)𝑡(cid:236)△(cid:237)𝐴𝐵(cid:238)𝐶(cid:109)(cid:239)∠(cid:34)𝐵(cid:240)𝐴𝐶(cid:186)(cid:241)9(cid:60)0°(cid:98),𝐴(cid:99)𝐷(cid:112)△𝐴𝐵+𝐶 =2( +𝐴𝐶 )(cid:75)(cid:190)
2 2 2 2
(cid:43)B(cid:124)𝐸𝐹⊥𝐴𝐷(cid:81)(cid:43)H(cid:63)𝐸(cid:136)𝐺(cid:71)⊥(cid:66)𝐵𝐶(cid:24) (cid:25)(cid:242)(cid:137)(cid:35)20(cid:63)(cid:182)(cid:60)(cid:34)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:38)(cid:25)(cid:246)𝐵(cid:247)𝐺(cid:120)(cid:35)𝐶𝐺14(cid:63)(cid:76)(cid:71)𝐵𝐷(cid:66)(cid:24)𝐷𝐺 (cid:25)(cid:246)
(cid:247)(cid:35)(cid:48) 𝐵 𝐻 (cid:58)⊥.𝐸𝐹 𝐵𝐻𝐸𝐺 𝐵𝐻𝐸𝐺
A(cid:75)20 B(cid:75)22 C(cid:75)24 D(cid:75)28
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)B
1 1 1
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:38)(cid:35)(cid:155)(cid:177)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)(cid:139)(cid:248)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:38)(cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:249)(cid:62)(cid:100)(cid:250)(cid:10) = + =
阴 2 2 2
2
𝑆 𝐴𝐹·𝐸𝐹 𝐴𝐷·𝐵𝐷 (𝐸𝐹
1
+ )= + )=14 (cid:63)(cid:147)(cid:82)(cid:83)(cid:21)(cid:251)(cid:34)(cid:252)(cid:25)(cid:7)(cid:128) + =2( + )(cid:87)(cid:100) + =56(cid:63)(cid:253)(cid:196)
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(cid:71)𝐵(cid:66)𝐷(cid:24) (𝐷(cid:25)𝐺(cid:242)(cid:137)𝐵(cid:35)𝐷 20(cid:63)(cid:185)(cid:186)(cid:254)(cid:118)(cid:95)(cid:162)(cid:7)(cid:128)(cid:255)(cid:100)(cid:71)(cid:66)𝐵(cid:24)𝐺 𝐶𝐺(cid:25)(cid:246)(cid:247) 𝐵 (cid:75) 𝐷 𝐷𝐺 𝐵𝐺 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:104)(cid:105)𝐵(cid:20)𝐻(cid:64)𝐸(cid:29)𝐺 (cid:30) (cid:34)(cid:63) 𝐵𝐻𝐸𝐺
AD(cid:101) (cid:25)𝑅(cid:234)𝑡△(cid:90)𝐴(cid:63)𝐵𝐶
∵ △=𝐴𝐵𝐶 =45°, (cid:115) (cid:256)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)
∴A∠D𝐵𝐴(cid:101)𝐹 𝐶𝐴𝐷(cid:25)(cid:234)(cid:90)(cid:63)△(cid:182)𝐴𝐹𝐸 △𝐴(cid:63)𝐷𝐵
∵AD B△C(cid:63)𝐴𝐵E𝐶F BC(cid:63) 𝐸𝐹⊥𝐴𝐷
∴(cid:187) ⊥ (cid:63) ∥ (cid:63)
(cid:71)∵(cid:66)𝐸𝐺(cid:24)⊥B𝐵H𝐶EG𝐵(cid:35)𝐻(cid:23)⊥𝐸(cid:24)𝐹(cid:63)
∴(cid:82)(cid:83)(cid:21)(cid:211)(cid:88)(cid:10)
1 1 1 1
= + = + )= + )=14(cid:63)
阴 2 2 2 2
2 2 2 2
𝑆 + 𝐴𝐹·𝐸=𝐹 2( 𝐴𝐷 + ·𝐵𝐷 )=(5𝐸6 𝐹 (cid:63) 𝐵𝐷 (𝐷𝐺 𝐵𝐷
2 2 2 2
∴𝐵𝐺 𝐶𝐺 𝐵𝐷 𝐷𝐺(cid:23)(cid:24)BHEG(cid:25)(cid:242)(cid:137)(cid:35)(cid:10)2(cid:48)BG+GE(cid:58)=20(cid:63)
BG+GE=10(cid:63)
(cid:76)∴ + = + + =100(cid:63)
2 2 2
(𝐵𝐺 𝐺𝐸1) 𝐵𝐺 𝐺𝐸 2𝐵𝐺·𝐺𝐸
= =22(cid:63)
2
∴(cid:71)𝐵𝐺(cid:66)·𝐺(cid:24)𝐸 BH(E1G00(cid:25)−(cid:246)56(cid:247))(cid:35)22(cid:63)
∴(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:107)(cid:10)B(cid:75)
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:254)(cid:118)(cid:95)(cid:162)(cid:7)(cid:128)(cid:25)(cid:207)(cid:186)(cid:63)(cid:91)(cid:60)(cid:24)(cid:146)(cid:184)(cid:257)
(cid:122)(cid:119)(cid:46)(cid:63)(cid:178)(cid:258)(cid:259)(cid:207)(cid:186)(cid:254)(cid:118)(cid:95)(cid:162)(cid:7)(cid:128)(cid:146)(cid:184)(cid:87)(cid:105)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)3-1(cid:20)(cid:48)23-24(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:130)(cid:203)(cid:260)(cid:261)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:248)(cid:176)(cid:262)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:135) (cid:263)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:162)(cid:264)(cid:146)(cid:184)(cid:155)(cid:265)(cid:27)
(cid:152)(cid:63)(cid:88)(cid:102)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32) (cid:63)(cid:136) = 2(cid:63)(cid:76) (cid:25)(cid:137)(cid:138)(cid:35)(cid:48)(cid:191)(cid:191)(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷
△𝐵𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐵
4
A(cid:75)2 B(cid:75) 2 C(cid:75)2+ 2 D(cid:75)
3
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)A 2−
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:151)(cid:88) = = = = = = 2 = (cid:63)(cid:147)(cid:82)(cid:83)(cid:27)(cid:152)(cid:25)(cid:113)(cid:114)
′
(cid:88)(cid:100) = =45°(cid:63)(cid:146)∠(cid:145)𝐴𝐷(cid:88)𝐴(cid:102) ∠=𝐵 ∠=𝐶 2∠(cid:63)𝐴(cid:147)(cid:82)90(cid:83)°,(cid:84)𝐴𝐷(cid:85)(cid:46)𝐵(cid:86)𝐶(cid:120)(cid:27)(cid:152),𝐶(cid:25)𝐷(cid:113)(cid:114)𝐴𝐵(cid:87)(cid:105)(cid:150)(cid:151)(cid:75)
(cid:15)(cid:104)∠(cid:105)𝐴(cid:20)𝐷𝐸(cid:266)(cid:118)∠(cid:60)𝐴(cid:24)𝐸𝐷(cid:63)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) 𝐴𝐸 𝐴𝐷
(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∵ 𝐴=𝐵𝐶𝐷 = = = = = 2 = (cid:63)
′
∴∠𝐴𝐷𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴 90°,𝐴𝐷 𝐵𝐶 1 ,𝐶𝐷 𝐴𝐵
(cid:96)(cid:267)(cid:176)(cid:265)(cid:27)(cid:152)(cid:88) = = = =45°(cid:63)
2
′
= ∠=𝐷𝐴 45𝐸°(cid:63) ∠𝐴 90°,∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐶
∴∠𝐴𝐷=𝐸 ∠=𝐴𝐸𝐷2(cid:63)
∴(cid:82)𝐴(cid:83)𝐸(cid:84)(cid:85)𝐴𝐷(cid:46)(cid:86)(cid:88) = 2 =2,
(cid:96)(cid:267)(cid:36)(cid:265)(cid:27)(cid:152)(cid:88)𝐷𝐸= 𝐴=𝐷2(cid:63)
𝐶𝐷 𝐷𝐸= =2(cid:63)
∴(cid:106)𝐴(cid:107)𝐵(cid:10)A𝐶(cid:75)𝐷
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:27)(cid:152)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:120)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:165)(cid:166)(cid:268)(cid:27)(cid:152)(cid:34)(cid:90)(cid:148)(cid:25)(cid:269)(cid:270)(cid:3)(cid:168)(cid:101)(cid:105)(cid:219)(cid:109)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)3-2(cid:20)(cid:48)2023·(cid:129)(cid:130)(cid:271)(cid:272)·(cid:233)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:70)(cid:176)(cid:177)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:276) (cid:277)(cid:278)(cid:64)(cid:176)(cid:262)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:135)(cid:67)(cid:63)(cid:142)(cid:43)
G(cid:63)E(cid:63)F(cid:38)(cid:65)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:66) (cid:63) (cid:63) (cid:67)(cid:63)(cid:136) =70°(cid:63)(cid:76) (cid:25)(cid:138)𝐺𝐸(cid:269)𝐹(cid:35)(cid:48)(cid:191)(cid:191)(cid:58)
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐸𝐹𝐶 ∠𝐴𝐺𝐸
A(cid:75)130° B(cid:75)120° C(cid:75)110° D(cid:75)100°
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)C
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:95)(cid:184)(cid:90)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:192)(cid:193)(cid:188)(cid:189)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:157)(cid:158)(cid:101)
(cid:109)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:139)(cid:82)(cid:83)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:157)(cid:158)(cid:151)(cid:88) =20°(cid:63)(cid:44)(cid:171)(cid:96)(cid:95)(cid:184)(cid:90)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:151)(cid:88)(cid:253)(cid:41)(cid:75)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) ∠𝐶𝐸𝐹
= 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐶 9=0°7,𝐴0𝐷°,∥𝐵𝐶,
∵∠𝐸𝐹𝐶=20°,
∴∠𝐶𝐸𝐹 =90°,
∵∠𝐺𝐸𝐹=90°+20°=110°,
∴∠𝐶𝐸𝐺
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶=, =110°.
∴(cid:106)∠(cid:107)𝐴(cid:10)𝐺𝐸C(cid:75)∠𝐶𝐸𝐺
(cid:15)(cid:116)(cid:128)3-3(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:279)(cid:280)(cid:137)(cid:281)·(cid:57)(cid:133)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) (cid:25)(cid:95)(cid:38)(cid:90) (cid:80) (cid:81)(cid:43)E(cid:63)
= (cid:63) (cid:81)(cid:43)H(cid:63)(cid:68)(cid:253) (cid:178)(cid:140)(cid:137)(cid:63)(cid:80) (cid:81)(cid:43)F(cid:63)(cid:68)𝐴(cid:253)𝐵𝐶𝐷(cid:75)(cid:252)∠(cid:100)𝐴(cid:52)𝐷𝐶(cid:282)(cid:253)(cid:41)(cid:10) 𝐷𝐸 𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐷𝐶 𝐶𝐻⊥𝐷𝐸 𝐴𝐻 𝐶𝐵 𝐶𝐸① = 2 (cid:179)
②𝐴𝐵 =𝐴𝐷 (cid:179)
∠𝐶𝐸𝐵 ∠67.5° 1
③ (cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:101)(cid:23)(cid:24) (cid:246)(cid:247)(cid:25) (cid:179)
3
④△𝐷=𝐴𝐸 (cid:179) 𝐴𝐵𝐶𝐷
⑤𝐴𝐻 𝐶𝐻
(cid:194)(cid:34)△(cid:121)𝐶(cid:122)𝐵𝐸(cid:25)≌(cid:212)△ 𝐶 𝐻 𝐸 (cid:75)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)①②⑤
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:218)(cid:21)(cid:160)(cid:161)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:63)(cid:86)(cid:105)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)
(cid:114)(cid:63)(cid:192)(cid:193)(cid:188)(cid:189)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:101)(cid:105)(cid:219)(cid:103)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
①(cid:98)(cid:99) (cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88) = 2 (cid:63)(cid:147)(cid:82)(cid:83) = (cid:63) = (cid:150)(cid:151)(cid:91)(cid:241)(cid:253)(cid:41)(cid:146)
(cid:184)(cid:119)(cid:283)(cid:179)△𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐶
②(cid:82)(cid:83)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:284)(cid:32)(cid:120)(cid:46)(cid:86)(cid:120)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:87)(cid:105)(cid:150)(cid:151)(cid:179)
③(cid:82)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:120)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:105)(cid:150)(cid:151)(cid:179)
④(cid:98)(cid:99) (cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:88) = (cid:63)(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88) = 2 (cid:63)(cid:147)(cid:185)(cid:186)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:87)
(cid:105)(cid:150)(cid:151)(cid:179)△𝐷𝐶𝐻 𝐶𝐻 𝐷𝐻 𝐶𝐷 𝐶𝐻
⑤(cid:82)(cid:83) “AAS”(cid:98)(cid:99) (cid:120) (cid:118)(cid:29)(cid:63)(cid:96)(cid:218)(cid:150)(cid:151)(cid:91)(cid:241)(cid:253)(cid:41)(cid:146)(cid:184)(cid:119)(cid:283)(cid:63)(cid:195)(cid:67)(cid:61)(cid:226)(cid:150)(cid:151)(cid:88)(cid:100)(cid:77)(cid:78)(cid:75)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10)① (cid:71)△(cid:66)𝐶𝐵(cid:24)𝐸 △𝐶(cid:101)𝐻(cid:23)𝐸(cid:24)(cid:63)
= =∵ 𝐴=𝐵𝐶𝐷= =90°(cid:63)
∴𝐴𝐵 𝐷(cid:25)𝐶,(cid:95)∠𝐴(cid:38)𝐷(cid:90)𝐶 ∠(cid:80)𝐷𝐴𝐵(cid:81)(cid:43)∠𝐵E(cid:63)∠𝐷𝐶𝐵
∵∠𝐴𝐷𝐶 = 𝐷=𝐸45𝐴°(cid:63)𝐵
∴∠𝐴𝐷𝐸=9∠0𝐶°(cid:63)𝐷𝐸
∵∠𝐷𝐴𝐵 (cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)
∴△𝐴=𝐷𝐸 = =45°(cid:63)
∴𝐴𝐷 𝐴𝐸,∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐴𝐷𝐸
(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88)(cid:10) = + = 2 (cid:63)
2 2
= (cid:63) 𝐷=𝐸 (cid:63)𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷
∵𝐷𝐸= 𝐷2𝐶 𝐴(cid:63)𝐵 𝐷𝐶
∴(cid:106)𝐴(cid:253)𝐵(cid:41)①(cid:121)𝐴𝐷(cid:122)(cid:179)
②(cid:64) (cid:34)(cid:63) = =45°(cid:63)
△𝐷𝐶𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐶,∠𝐶𝐷𝐸1
= = =67.5°(cid:63)
2
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸 (180+°−∠𝐶𝐷𝐸)= +67.5°)=67.5°(cid:63)
∴(cid:106)∠(cid:253)𝐶𝐸(cid:41)𝐵②(cid:121)18(cid:122)0°(cid:179)−(∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐷𝐸𝐶) 180°−(45°
③ = (cid:63)
∵𝐴𝐷 1𝐴𝐸 1
= = (cid:63)
2 2
2
(cid:187)∴𝑆△𝐷𝐴𝐸
= 2
𝐴𝐷⋅(cid:63)𝐴𝐸 𝐴𝐷
∵𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 2 (cid:63)
2
∴𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴1𝐵⋅𝐴𝐷 𝐴𝐷
(cid:63)
3 矩形
∴(cid:106)𝑆(cid:253) △𝐷 (cid:41) 𝐴𝐸 ③ ≠(cid:205) 𝑆 (cid:121)(cid:122) 𝐴 (cid:179) 𝐵𝐶𝐷
④ = (cid:81)(cid:43)H(cid:63)
∵∠𝐶𝐷𝐸(cid:101)(cid:29)4(cid:30)5(cid:33)°,𝐶(cid:32)𝐻(cid:31)⊥(cid:32)𝐷𝐸(cid:24)(cid:63)
∴△𝐷𝐶=𝐻 (cid:63)
∴𝐶𝐻 𝐷𝐻
(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88)(cid:10) = + = 2 (cid:63)
2 2
= = 2
𝐶𝐷(cid:63) 𝐶𝐻 𝐷𝐻 𝐶𝐻
∵𝐶𝐷 =𝐴𝐵 = 𝐴(cid:63)𝐷
∴𝐶𝐻 𝐷𝐻 𝐴𝐷 1
(cid:64) (cid:34)(cid:63) = = =67.5°(cid:63)
2
∴ <△𝐴𝐷(cid:63)𝐻 ∠𝐷𝐴𝐻 ∠𝐷𝐻𝐴 (180°−∠𝐴𝐷𝐸)
∴𝐴𝐻<𝐴𝐷(cid:63)
(cid:106)∴𝐴(cid:253)𝐻(cid:41)④𝐶𝐻(cid:205)(cid:121)(cid:122)(cid:63)
⑤ (cid:81)(cid:43)H(cid:63) =90°(cid:63)
∵𝐶=𝐻⊥𝐷𝐸 =90°(cid:63)∠𝐵
∴∠𝐵 ∠=𝐴𝐻𝐸 =67.5°(cid:63)
∵∠𝐶𝐸𝐵=67.5°,∠=𝐷𝐶6𝐸7.5°(cid:63)
∴(cid:64)∠𝐶𝐵𝐸 (cid:120)∠𝐶𝐸𝐻 (cid:34)(cid:63)
△=𝐶𝐵𝐸 △=𝐶𝐻90𝐸°
= (cid:63)
∠𝐵 ∠𝐴=𝐻𝐸
∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐶𝐸𝐻
𝐶𝐸 𝐶𝐸 (cid:48)AAS(cid:58)(cid:63)
∴△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐻𝐸(cid:106)(cid:253)(cid:41)⑤(cid:121)(cid:122)(cid:63)
(cid:195)(cid:67)(cid:61)(cid:226)(cid:10)(cid:121)(cid:122)(cid:25)(cid:253)(cid:41)(cid:212)①②⑤(cid:75)
(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)①②⑤(cid:75)
【题型4 矩形中为二倍角】
(cid:15)(cid:47)4(cid:20)(cid:48)2024·(cid:130)(cid:203)(cid:285)(cid:132)·(cid:36)(cid:233)(cid:58)(cid:181)(cid:236)(cid:237)(cid:60)(cid:24)(cid:34)(cid:63)(cid:155)(cid:177)(cid:286)(cid:287)(cid:43)(cid:25)(cid:32)(cid:61)(cid:64)(cid:32)(cid:138)(cid:101)(cid:7)(cid:286)(cid:18)(cid:32)(cid:176)(cid:288)(cid:25)(cid:3)(cid:168)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:92)
(cid:291)(cid:35)“(cid:288)(cid:32)(cid:233)(cid:22)”(cid:63)(cid:261)(cid:204)(cid:186)“(cid:292)(cid:293)(cid:25)(cid:294)(cid:43)”(cid:295)(cid:296)(cid:60)(cid:24)(cid:25)(cid:236)(cid:237)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:142)(cid:88)(cid:155)(cid:177)(cid:38)(cid:297)(cid:25)(cid:32)(cid:116)(cid:117)(cid:169)(cid:35)(cid:176)(cid:177)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)(cid:298)(cid:181)
(cid:81)(cid:299)(cid:300)(cid:100)(cid:155)(cid:177)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:118)(cid:29)(cid:75)
(cid:15)(cid:103)(cid:21)(cid:301)(cid:302)(cid:20)
(cid:48)1(cid:58)(cid:59)(cid:60)1(cid:63)(cid:64)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = (cid:63) = = =90°(cid:63) (cid:115) (cid:38)(cid:65)(cid:101) (cid:115) (cid:66)(cid:67)(cid:25)(cid:43)(cid:63)
(cid:182) =45°(cid:63)(cid:87)(cid:100)(cid:60)𝐴(cid:34)𝐵(cid:90)𝐶𝐷(cid:148) (cid:63)𝐴𝐷 (cid:63)𝐶𝐷 (cid:291)∠(cid:167)𝐴(cid:25)(cid:269)∠𝐴(cid:270)𝐷(cid:3)𝐶(cid:168)(cid:75)∠𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶
①∠(cid:59)𝐸𝐷(cid:60)𝐹1(cid:63)(cid:144)(cid:215)(cid:216)(cid:100)(cid:303)(cid:10)(cid:70) 𝐸𝐹 (cid:304)𝐴𝐸(cid:305)(cid:43)𝐹𝐶(cid:306)(cid:180)(cid:307)(cid:292)(cid:293)90°(cid:102) (cid:308)(cid:278)(cid:63)(cid:82)(cid:83)“(cid:292)(cid:293)(cid:25)(cid:113)(cid:114)”(cid:38)(cid:79) (cid:28)
(cid:291)(cid:167)(cid:25)(cid:3)(cid:168)(cid:63)(cid:147)(cid:261)(cid:190)(cid:118)(cid:29)(cid:25)(cid:113)△(cid:114)𝐴𝐷(cid:88)𝐸(cid:102)(cid:90)(cid:148)(cid:291)𝐷(cid:167)(cid:25)(cid:269)(cid:270)(cid:3)(cid:168)(cid:63)(cid:151)△(cid:98)𝐶(cid:88)𝐷(cid:253)𝑀(cid:41)(cid:75) 𝐶𝑀 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:39)(cid:309)(cid:38)(cid:79)(cid:20)
(cid:48)2(cid:58)(cid:59)(cid:60)2(cid:63)(cid:64)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = (cid:63) = =90°(cid:63) =45°(cid:63)(cid:182) =7(cid:63) =13(cid:63)
=5(cid:63)(cid:87) (cid:25)(cid:137)(cid:75) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐸𝐴𝐹 𝐵𝐶 𝐷𝐶
𝐶(cid:15)𝐹(cid:11)(cid:93)(cid:310)(cid:186)(cid:20)𝐵𝐸
(cid:48)3(cid:58)(cid:59)(cid:60)3(cid:63)(cid:64)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = (cid:63) (cid:28) (cid:157)(cid:266)(cid:63)(cid:43) (cid:115) (cid:38)(cid:65)(cid:64)(cid:175)(cid:90) (cid:115) (cid:67)(cid:63)(cid:182)
1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐸 𝐹 𝐶𝐵 𝐷𝐶
= (cid:75)(cid:181) =4(cid:63) =7(cid:63) =1(cid:180)(cid:63)(cid:87)(cid:100) (cid:25)(cid:242)(cid:137)(cid:75)
2
∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐶 𝐶𝐹 △𝐶𝐸𝐹
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)(cid:48)1(cid:58) = + (cid:63)(cid:86)(cid:96)(cid:183)(cid:105)(cid:77)(cid:179)(cid:48)2(cid:58) =5(cid:179)(cid:48)3(cid:58)13
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)𝐸(cid:111)𝐹(cid:31)(cid:32)𝐹𝐶(cid:24)(cid:25)𝐴(cid:163)𝐸 (cid:164)(cid:63)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:101)(cid:188)(cid:189)𝐵𝐸(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)
(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:292)(cid:293)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:11)(cid:311)(cid:186)(cid:292)(cid:293)(cid:264)(cid:312)(cid:313)(cid:125)(cid:126)(cid:90)(cid:63)(cid:299)(cid:300)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)(cid:150)(cid:151)(cid:75)
(cid:48)1(cid:58) (cid:304)(cid:43) (cid:292)(cid:293)90°(cid:88)(cid:102) (cid:63)(cid:76) (cid:63)(cid:314)(cid:100) = (cid:63) = (cid:63)
= △𝐴(cid:63)𝐷(cid:82)𝐸(cid:83) 𝐷 =45°(cid:63) △𝐷+𝐶𝑀 △=𝐴45𝐷°𝐸(cid:63)≌(cid:118)△(cid:29)𝐷(cid:31)𝐶𝑀(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)∠(cid:46)𝐴(cid:120)𝐷𝐸(cid:113)(cid:114)∠(cid:63)𝑀(cid:76)𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝑀 (cid:63)(cid:150)(cid:151)(cid:179)
𝐴(cid:48)𝐸2(cid:58)(cid:64)𝐶𝑀 (cid:67)(cid:315)(cid:43)∠𝐸𝐷(cid:63)𝐹(cid:142)(cid:88) ∠=𝐴𝐷𝐸(cid:63)(cid:82)∠(cid:83)𝐶𝐷(cid:71)𝐹(cid:66)(cid:24)(cid:25)(cid:284)(cid:32)(cid:120)360°(cid:63)(cid:76) + △=𝐷18𝐸0𝐹°≌(cid:63)△(cid:88)𝐷(cid:102)𝑀𝐹
𝐷𝐶 𝐺 𝐷𝐺 𝐵𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷+ =180°(cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:76) (cid:63)(cid:88)(cid:102) = (cid:63) = (cid:63)
∠(cid:147)𝐴(cid:82)𝐵𝐶(cid:83)(cid:118)∠(cid:29)𝐷(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:76) (cid:63)(cid:143)△𝐴𝐵=𝐸≌(cid:63)△(cid:88)𝐴(cid:102)𝐷𝐺 =7+𝐴𝐸(cid:63)𝐴𝐺=∠𝐵𝐴=𝐸 ∠𝐷(cid:63)𝐴𝐺(cid:82)
(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:105)(cid:100) (cid:150)(cid:151)(cid:179) △𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹 𝐵𝐸 𝑥 𝐸𝐶 𝑥 𝐸𝐹 𝐹𝐺 18−𝑥
(cid:48)3(cid:58)(cid:48)3(cid:58)(cid:64) 𝑥(cid:67)(cid:315)(cid:43) (cid:63)(cid:142)(cid:88) = (cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:25)(cid:284)(cid:32)(cid:120)360°(cid:63) (cid:28) (cid:157)(cid:266)(cid:63)(cid:88)(cid:102)
+ 𝐷=𝐶 180°(cid:63)𝐺(cid:82)(cid:83)(cid:29)(cid:270)𝐷𝑀(cid:316)(cid:117)(cid:63)𝐵𝐸(cid:314)(cid:100) = (cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:118)(cid:29)∠(cid:31)𝐴(cid:32)𝐵𝐶(cid:24)(cid:25)∠(cid:119)𝐴𝐷(cid:46)𝐶(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:76)
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 (cid:63)(cid:314)(cid:100) = (cid:63) = ∠𝐴𝐷(cid:63)𝐶(cid:147)(cid:82)∠𝐴(cid:83)𝐵(cid:32)𝐸 (cid:291)(cid:167)(cid:25)(cid:207)(cid:255)(cid:63)(cid:88)(cid:102) = (cid:63)(cid:147)(cid:82)(cid:83)(cid:118)
(cid:29)△(cid:31)𝐴𝐵(cid:32)𝐸(cid:24)≌(cid:25)△(cid:119)𝐴𝐷(cid:46)𝐺(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)𝐴𝐸(cid:76) 𝐴𝐺 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠(cid:63)𝐷𝐴𝐺 = (cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:242)(cid:137)(cid:63)(cid:150)∠𝐸(cid:151)𝐴(cid:75)𝐹 ∠𝑀𝐴𝐹
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:48)1(cid:58) = + △(cid:63)𝐸(cid:86)𝐴𝐹(cid:96)≌(cid:59)△(cid:52)𝑀(cid:10)𝐴𝐹 𝐸𝐹 𝑀𝐹
(cid:64)(cid:71)(cid:66)(cid:24) 𝐸𝐹(cid:34)(cid:63)𝐹𝐶 =𝐴𝐸 (cid:63) = = =90°(cid:63)
∵ (cid:304)𝐴(cid:43)𝐵𝐶𝐷(cid:292)(cid:293)90𝐴°𝐷(cid:88)(cid:102)𝐶𝐷 ∠𝐴(cid:63)∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷
∴△𝐴𝐷𝐸 𝐷 (cid:63) △𝐷𝐶𝑀
∴△𝐴𝐷𝐸=≌△𝐷𝐶𝑀(cid:63) = (cid:63) = (cid:63) (cid:63) (cid:63) (cid:31)(cid:43)(cid:286)(cid:90)(cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐸=4∠5𝑀°(cid:63)𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝑀 𝐴𝐸 𝐶𝑀 𝐵 𝐶 𝐷
∵∠𝐸𝐷𝐹+ =45°(cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐸 +∠𝐶𝐷𝐹 = =45°(cid:63)
∴(cid:64)∠𝑀𝐷𝐶 ∠(cid:120)𝐶𝐷𝐹 ∠𝑀(cid:34)𝐷(cid:63)𝐹
∴ △𝐷=𝐸𝐹 △𝐷𝑀𝐹
= (cid:63)
𝐷𝐸 =𝐷𝑀
∠𝐸𝐷𝐹 ∠𝑀𝐷𝐹
𝐷𝐹 𝐷𝐹 (cid:63)
∴△𝐷=𝐸𝐹≌=△𝐷𝑀+𝐹 = + (cid:179)
∴(cid:48)𝐸2𝐹(cid:58)(cid:64)𝐹𝐹 (cid:67)𝐹(cid:315)𝐶(cid:43)𝐶(cid:63)𝑀(cid:142)(cid:88)𝐹𝐶 =𝐴𝐸 (cid:63)
=𝐷𝐶 =𝐺90°(cid:63) 𝐷𝐺 𝐵𝐸
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷=180°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶=𝐷180°(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷 =180°(cid:63)
∵∠𝐴𝐵=𝐶 ∠𝐴𝐵(cid:63)𝐸
∴(cid:64)∠𝐷 ∠𝐴(cid:120)𝐵𝐸 (cid:34)(cid:63)
△𝐴=𝐵𝐸 △𝐴𝐷𝐺
= (cid:63)
𝐴𝐵=𝐴𝐷
∠𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸
𝐵𝐸 𝐷𝐺(cid:63)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:63)△𝐴𝐷𝐺 = (cid:63)
∴𝐴𝐸 𝐴=𝐺45∠°(cid:63)𝐵𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐺
∵∠𝐸𝐴𝐹+ = + =45°(cid:63)
∴∠𝐸𝐴𝐵 =∠9𝐵0°𝐴(cid:63)𝐹 ∠𝐷𝐴𝐺 ∠𝐵𝐴𝐹
∵∠𝐵𝐴𝐷= =45°(cid:63)
∴∠𝐹𝐴=𝐺 (cid:63)∠𝐹𝐴𝐸= (cid:63)
∵𝐴𝐸 𝐴𝐺 𝐴𝐹 (cid:63)𝐴𝐹
∴△𝐴=𝐸𝐹≌(cid:63)△𝐴𝐺𝐹
(cid:143)∴𝐸𝐹 =𝐹𝐺(cid:63)
𝐵𝐸=7𝑥(cid:63) =13(cid:63) =5(cid:63)
∵𝐵𝐶=7+𝐷(cid:63)𝐶 = 𝐶𝐹= (cid:63)
∴(cid:64)𝐸𝐶Rt 𝑥(cid:34)𝐸(cid:63)𝐹 𝐹𝐺= 18−+𝑥 (cid:63)
2 2 2
∴( △)𝐸𝐹=𝐶5 +𝐸(7𝐹+ )𝐹𝐶(cid:63) 𝐸𝐶
2 2 2
∴(cid:105)1(cid:88)8(cid:10)−𝑥 =5(cid:63) 𝑥
=𝑥5(cid:75)
∴𝐵𝐸
(cid:48)3(cid:58)(cid:64) (cid:67)(cid:315)(cid:43) (cid:63)(cid:142)(cid:88) = (cid:63)
(cid:28)𝐷𝐶 (cid:157)(cid:266)𝑀(cid:63) 𝐷𝑀 𝐵𝐸
∵∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶 =180°(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°(cid:63)
∵∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐴𝐵𝐸(cid:63)
(cid:64)∴∠𝐴𝐷𝐶 (cid:120)∠𝐴𝐵𝐸 (cid:34)(cid:63)
△𝐴𝐵=𝐸 △𝐴𝐷𝑀
= (cid:63)
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐵𝐸
𝐵𝐸 𝐵𝑀 (cid:63)
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝑀= (cid:63) = (cid:63)
∴𝐴𝑀 𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝑀 ∠𝐸𝐴𝐵1
= + = (cid:63)
2
∵∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷
1
+ = = (cid:63)
2
∴∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐹(cid:63) ∠𝑀𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷
∴(cid:64)∠𝐸𝐴𝐹 (cid:120)∠𝑀𝐴𝐹 (cid:34)(cid:63)
△𝐸𝐴=𝐹 △𝑀𝐴𝐹
= (cid:63)
𝐴𝐸 =𝐴𝑀
∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝑀𝐴𝐹
𝐴𝐹 𝐴𝐹 (cid:63)
∴△𝐸=𝐴𝐹≌(cid:63)△𝑀𝐴𝐹
∴𝐸𝐹 =𝑀𝐹 = (cid:63)
∵𝑀𝐹= 𝐹𝐷−𝐷𝑀(cid:63) 𝐹𝐷−𝐵𝐸
∴𝐸𝐹 𝐹=𝐷−𝐵𝐸+ + = + + + + = + + (cid:63)
∴𝐶△𝐸=𝐶𝐹4(cid:63)𝐶𝐸 =𝐸7𝐹(cid:63) 𝐶𝐹=1𝐵(cid:63)𝐶 𝐵𝐸 𝐷𝐶 𝐶𝐹−𝐵𝐸 𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐷 2𝐶𝐹
∵𝐵𝐶 = 𝐷𝐶+ +𝐶𝐹 =4+7+2=13(cid:75)
∴𝐶△𝐸𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐷 2𝐶𝐹
(cid:15)(cid:116)(cid:128)4-1(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)(cid:43)E(cid:64)(cid:90)(cid:148) (cid:25)(cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:67)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:80) (cid:81)(cid:43)F(cid:63)
= (cid:63)(cid:43)G(cid:101) 𝐴𝐵(cid:25)𝐶𝐷(cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:136) =1(cid:63) 𝐶=𝐵3(cid:63)(cid:76) (cid:25)(cid:137)(cid:35)(cid:48)(cid:191)𝐷(cid:191)𝐸 (cid:58)𝐴𝐵
∠𝐴𝐸𝐷 2∠𝐶𝐸𝐷 𝐷𝐹 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐷𝐹
A(cid:75)8 B(cid:75)9 C(cid:75)4 2 D(cid:75)2 10
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)D
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:151)(cid:88) = = (cid:63)(cid:144)(cid:145)(cid:88)(cid:102) = (cid:63)(cid:146)(cid:145)(cid:88)(cid:102) = (cid:63)(cid:147)(cid:96)(cid:84)
(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:100) (cid:63)(cid:150)(cid:151)(cid:87)(cid:105)(cid:75) 𝐴𝐺 𝐹𝐺 𝐷𝐺 ∠𝐴𝐸𝐺 ∠𝐴𝐺𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐺
𝐴𝐸(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10) (cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
= ∵ =90°𝐴(cid:63)𝐵𝐶𝐷 (cid:63) = =3(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐵𝐴𝐷(cid:63) 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷
∴G∠𝐴(cid:101)𝐷𝐺 (cid:25)∠(cid:34)𝐷𝐸(cid:43)𝐶(cid:63)(cid:63)
∵ 𝐷𝐹 1
= = = (cid:63)
2
∴𝐴𝐺 𝐹=𝐺 𝐷𝐺 = 𝐷𝐹 (cid:63)
∴∠𝐺𝐴𝐷= ∠𝐺𝐷𝐴+ ∠𝐷𝐸𝐶= (cid:63) = (cid:63)
∵∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐺𝐴𝐷(cid:63)∠𝐺𝐷𝐴 2∠𝐷𝐸𝐶 ∠𝐴𝐸𝐷 2∠𝐷𝐸𝐶
∴∠𝐴𝐸=𝐺 (cid:63)∠𝐴𝐺𝐸
∴𝐴𝐸 𝐴𝐺
(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63)(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88) = + = 10(cid:63)
2 2
= △𝐴𝐵𝐸 = =2 10(cid:75) 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐸𝐵
∴(cid:106)𝐷(cid:107)𝐹(cid:10)D2(cid:75)𝐴𝐸 2𝐴𝐺
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:317)(cid:66)(cid:34)(cid:90)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:28)(cid:119)(cid:283)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:63)
(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:101)(cid:258)(cid:259)(cid:197)(cid:186)(cid:318)(cid:319)(cid:163)(cid:164)(cid:105)(cid:219)(cid:103)(cid:21)(cid:63)(cid:320)(cid:81)(cid:34)(cid:110)(cid:204)(cid:110)(cid:21)(cid:22)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)4-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:321)(cid:322)(cid:130)(cid:323)(cid:324)(cid:325)·(cid:229)(cid:148)(cid:193)(cid:230)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64) (cid:34)(cid:63) =90°(cid:63) (cid:94)(cid:33)(cid:95)(cid:38)
(cid:63) (cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:182) = (cid:63)(cid:136) =2 3(cid:63)△𝐴𝐵=𝐶2(cid:63)(cid:76)∠𝐴𝐶(cid:25)𝐵 (cid:137)(cid:35) 𝐷𝐹(cid:75)
𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 2∠𝐸𝐷𝐴 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)4
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:28)(cid:119)(cid:46)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:94)(cid:33)(cid:95)(cid:38)(cid:90)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:179)(cid:143)
(cid:80)(cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:190)(cid:43) (cid:124) (cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:76)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)(cid:139)(cid:98)(cid:99) = (cid:63)(cid:143) = (cid:63)(cid:146)(cid:145)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)𝐴(cid:249)𝐵,𝐷𝐹
(cid:62)(cid:100) 𝐺(cid:63)(cid:82)(cid:83)𝐴 +𝐴𝐻⊥=𝐹𝐷 (cid:326)(cid:327)𝐻(cid:162)(cid:208)(cid:63)(cid:105)(cid:162)𝐴(cid:208)𝐶(cid:63)𝐹𝐻(cid:150)(cid:151)(cid:87)(cid:105)(cid:75) 𝐴𝐺 𝐷𝐺 𝐴𝐺 𝑥
(cid:15)(cid:104)𝐷(cid:105)𝐻(cid:20)(cid:105)(cid:10)(cid:59)𝐷(cid:60)𝐻(cid:63)(cid:143)𝐻𝐺 𝐴𝐺(cid:80)(cid:81)(cid:43)
𝐴𝐵,𝐷𝐹 𝐺= (cid:63)
(cid:143)∵∠𝐵𝐴𝐶 =2∠(cid:63)𝐸𝐷(cid:76)𝐴 =
(cid:64)∠Rt𝐸𝐷𝐴 𝛼(cid:34)(cid:63) ∠𝐵=𝐴𝐶 2𝛼 =
△𝐴=𝐵9𝐶0°(cid:63)∠𝐵(cid:94)(cid:33)9(cid:95)0°(cid:38)−∠𝐵𝐴(cid:63)𝐶 90°−2𝛼
∵∠𝐴𝐶𝐵 (cid:63) =𝐷𝐹 𝐵𝐶
∴𝐷𝐹∥𝐴𝐶= 𝐵𝐹 𝐹=𝐶 =
∴∠𝐷𝐺𝐸 (cid:63)∠𝐴𝐺𝐹 =∠𝐵𝐴(cid:63)𝐶 2𝛼
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐵 ∠𝐸𝐷𝐴(cid:63) 𝛼 = =
∴∠𝐷𝐴𝐸=90°−𝛼+∠𝐺𝐷𝐸= 90+°−𝐷𝐺𝐸 =90°−2𝛼
∴∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐺𝐷𝐸 𝛼 90°−2𝛼 90°−𝛼
∴∠𝐷𝐴=𝐺 ∠𝐺𝐷𝐴
∴(cid:190)𝐴(cid:43)𝐺 (cid:124)𝐷𝐺 (cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:76)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
𝐴= 𝐴𝐻(cid:63)⊥𝐹𝐷= 𝐻=2 𝐴𝐶𝐹𝐻
∴(cid:187)𝐴𝐻 𝐶𝐹(cid:63)𝐻𝐹 =𝐴𝐶
∵𝐷=𝐹∥𝐴𝐶 𝐵𝐹 𝐹𝐶
∴𝐴𝐺 1𝐵𝐺
= =1(cid:63)
2
∴𝐹𝐺 = 𝐴𝐶=1
∴(cid:143)𝐻𝐺 =𝐶𝐹(cid:63)
(cid:64)𝐴Rt𝐺 𝑥 (cid:34)(cid:63) = =
2 2 2 2
△𝐴𝐻𝐺 𝐴𝐻 𝐴𝐺 −𝐻𝐺 𝑥 −1
(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63) = =(2 3) ( )=
2
2 2 2 2 2
△+𝐴𝐷𝐻= 𝐷=𝐻 𝐴𝐷 −𝐴𝐻 − 𝑥 −1 13−𝑥
∵𝐷𝐻 𝐻𝐺 𝐴𝐺 𝑥
+1=
2
∴(cid:105)(cid:88)13(cid:10)−𝑥=3 𝑥
𝑥= =3
∴𝐷𝐺= 𝐴𝐺+ =3+1=4
∴(cid:106)𝐷(cid:77)𝐹(cid:78)(cid:35)𝐷𝐺(cid:10)4(cid:75)𝐺𝐹
(cid:15)(cid:116)(cid:128)4-3(cid:20)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63)E(cid:35) (cid:66)(cid:67)(cid:176)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:64) (cid:67)(cid:315)(cid:176)(cid:43)F(cid:63) = (cid:63)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐵𝐶𝐸
= (cid:63)(cid:136) = (cid:63)(cid:87) (cid:25)(cid:45)(cid:75)
𝐴𝐸 𝑚 𝐴𝐸
∠𝐵𝐸𝐶 2∠𝐷𝐴𝐶 𝐶𝐹 𝑛 𝐸𝐵
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20) (cid:75)
2𝑚
𝑛
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:96)“SAS”(cid:151)(cid:98) (cid:63)(cid:151)(cid:88) = (cid:63) = (cid:63) = (cid:63)(cid:96)(cid:32)(cid:25)(cid:269)(cid:270)(cid:3)(cid:168)(cid:151)
(cid:98) = (cid:63) = △(cid:63)(cid:150)𝐴𝐵(cid:151)𝐶≌(cid:87)△(cid:105)𝐻(cid:75)𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐶𝐻 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐻𝐶𝐵 ∠𝐻 ∠𝐶𝐴𝐵
(cid:15)𝐸(cid:104)𝐶(cid:105)(cid:20)𝐸(cid:105)𝐻(cid:10)𝐴(cid:59)𝐸(cid:60)(cid:63)𝐸(cid:140)𝐹 (cid:137) (cid:141)H(cid:63)(cid:142) = (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)
𝐴𝐵 𝐵𝐻 𝐴𝐵 𝐶𝐻
(cid:63)
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:63)
∴∠𝐷𝐴=𝐶 ∠(cid:63)𝐴𝐶𝐵 = (cid:63) = (cid:63)
∵𝐴𝐵 𝐵𝐻 ∠𝐴𝐵𝐶(SAS∠)𝐶(cid:63)𝐵𝐻 𝐵𝐶 𝐵𝐶
∴△𝐴=𝐵𝐶≌(cid:63)△𝐻𝐵𝐶 = (cid:63) = (cid:63)
∴𝐴𝐶 𝐶=𝐻 ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐻𝐶(cid:63)𝐵 ∠𝐻 =∠𝐶𝐴𝐵 (cid:63)
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐻𝐶𝐵 (cid:63)∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐻 2∠𝐷𝐴𝐶
∵∠𝐵𝐸𝐶 =2∠𝐷𝐴𝐶(cid:63)
(cid:187)∴∠𝐴𝐶𝐻= ∠𝐵(cid:63)𝐸𝐶
∵∠𝐻 ∠𝐻= = (cid:63)
∴∠𝐻𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐻 + (cid:63) = (cid:63)
∴∠𝐻𝐴𝐹= ∠𝐹𝐴𝐶(cid:63)∠𝐸𝐶𝐵 ∠𝐻𝐶𝐵 𝐸𝐻 𝐸𝐶
∵∠𝐶𝐴𝐹 =∠𝐵𝐶𝐸(cid:63)
∴∠𝐻𝐶𝐵= ∠𝐸𝐴𝐹 = = = + (cid:63)
∵∠𝐵𝐸𝐶= 2∠𝐷𝐴(cid:63)𝐶 2∠𝐻𝐶𝐵 2∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐸
∴∠𝐸𝐴=𝐹 (cid:63)∠𝐴𝐹𝐸
∴𝐴𝐸 𝐸𝐹
= (cid:63)
𝐴𝐸 𝑚
∵(cid:143)𝐶𝐹 𝑛 = = (cid:63) = (cid:63)
∴ 𝐴=𝐸( 𝑚+𝑥 )𝐸=𝐹 𝐹𝐶(cid:63) 𝑛𝑥
∴𝐸𝐶 = 𝑚 𝑛 𝑥 =𝐸2(𝐻 + ) =( + ) (cid:63)
∵𝐸𝐻 2𝐴𝐵−𝐴𝐸 𝑚𝑥 𝐸𝐵 −𝑚𝑥 𝑚 𝑛 𝑥
= (cid:63)
2
𝑛𝑥
∴𝐸𝐵
= = (cid:75)
𝐴𝐸 𝑚2𝑥 2𝑚
𝑛𝑥
∴𝐵𝐸 𝑛
【题型5 矩形与分类讨论】
(cid:15)(cid:47)5(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:321)(cid:322)(cid:130)(cid:328)(cid:199)·(cid:57)(cid:133)(cid:58)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =4(cid:63) =9(cid:63)(cid:43) (cid:64) (cid:67)(cid:63) =4(cid:63)
(cid:101) (cid:67)(cid:25)(cid:176)(cid:177)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:136)(cid:70)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:72) 𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:152)𝐷(cid:63)(cid:43)𝐴(cid:63)𝐵 (cid:38)(cid:65)𝐴(cid:73)𝐷(cid:64)(cid:43) (cid:63)𝐸(cid:74)𝐵(cid:63)𝐶(cid:76)(cid:181)(cid:43)𝐶𝐸 (cid:329)(cid:209)(cid:73)𝐹
′ ′
(cid:64)𝐴(cid:23)𝐷(cid:24) (cid:25)(cid:176)(cid:66)(cid:67)(cid:180)(cid:63)𝐸𝐹(cid:25)(cid:137)(cid:35) (cid:75)𝐴𝐵𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐵
𝐴𝐵𝐶𝐷11 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)3(cid:217)
3
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:160)(cid:161)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:152)(cid:103)(cid:21)(cid:115)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:43)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:207)(cid:186)(cid:298)(cid:3)
(cid:163)(cid:164)(cid:169)(cid:35)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:38)(cid:43) (cid:73)(cid:64) (cid:120) (cid:66)(cid:67)(cid:155)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:38)(cid:65)(cid:207)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:152)(cid:103)(cid:21)(cid:115)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:105)(cid:150)
′
(cid:151)(cid:75)𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10)(cid:59)(cid:60)1(cid:63)(cid:181)(cid:43) (cid:73)(cid:64) (cid:66)(cid:67)(cid:180)(cid:63)
′
𝐵 𝐴𝐷(cid:96)(cid:27)(cid:152)(cid:163)(cid:63) (cid:63)
′
= △𝐵𝐸(cid:63)𝐹≌△𝐵 𝐸𝐹
′
∴(cid:71)∠𝐵(cid:66)𝐹𝐸(cid:24) ∠𝐵 𝐹(cid:101)𝐸(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∵ 𝐴(cid:63)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:63)
′
∴∠𝐹𝐸𝐵=∠𝐵 𝐸𝐹(cid:63)
∴∠𝐹𝐸=𝐵 (cid:63)∠𝐵𝐹𝐸
∴𝐵𝐹 =𝐵𝐸 = =5(cid:63)
∵𝐵𝐸=5𝐵(cid:63)𝐶−𝐸𝐶 9−4
∴𝐵𝐹
(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63) = = 5 4 =3(cid:179)
2 2 2 2
(cid:59)(cid:60)△2(cid:63)𝐴(cid:181)𝐵𝐹(cid:43) (cid:73)𝐴(cid:64)𝐹 (cid:66)𝐵(cid:67)𝐹 (cid:180)−𝐴(cid:63)𝐵 −
′
𝐵 𝐶𝐷
(cid:96)(cid:27)(cid:152)(cid:163)(cid:63) (cid:63) (cid:63)
′ ′ ′
= =△5𝐵(cid:63)𝐸𝐹≌△=𝐵 𝐸𝐹= △𝐴=𝐵4𝐹(cid:63)≌△𝐴 𝐵 𝐹
′ ′
∴(cid:71)𝐸𝐵(cid:66)(cid:24)𝐸𝐵 (cid:101)(cid:23)𝐴(cid:24)𝐵(cid:63) 𝐴𝐵 𝐶𝐷
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷90°(cid:63)
∴∠𝐷 ∠𝐶
(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63) = = 5 4 =3
′ ′ ′2 2 2 2
△=𝐸𝐶𝐵 𝐶=𝐵 =𝐸1𝐵(cid:63)−𝐶𝐸 −
′ ′
∴(cid:143)𝐷𝐵 = 𝐶𝐷−=𝐶𝐵(cid:63) 4−3
′
𝐴𝐹 𝐴 𝐹 𝑥(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63) = + = +42(cid:63)
′ ′ ′2 ′2 ′ ′2 2
(cid:64)Rt△𝐹𝐴 𝐵(cid:34)(cid:63) 𝐹𝐵 = 𝐹𝐴 + 𝐴 𝐵=( 𝑥 ) +1 (cid:63)
′ ′2 2 ′2 2 2
△𝐹𝐷𝐵 𝐹𝐵 𝐹𝐷 𝐷𝐵 11 9−𝑥
+4 =( ) +1 (cid:63)(cid:105)(cid:88)(cid:10) = (cid:75)
3
2 2 2 2
∴𝑥 11 9−𝑥 𝑥
= (cid:75)
3
∴𝐴𝐹 11
(cid:195)(cid:67)(cid:63) (cid:25)(cid:137)(cid:35)3(cid:217) (cid:75)
3
𝐴𝐹 11
(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)3(cid:217) (cid:75)
3
(cid:15)(cid:116)(cid:128)5-1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:330)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:334)·(cid:57)(cid:133)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =3(cid:63)(cid:91)(cid:32)(cid:90) =5(cid:63)(cid:43) (cid:63) (cid:38)
(cid:65)(cid:101)(cid:90)(cid:148) (cid:63) (cid:67)(cid:25)(cid:43)(cid:63)(cid:70) (cid:72)(cid:33)(cid:90) (cid:27)(cid:152)(cid:63)(cid:43) (cid:63) (cid:38)𝐴𝐵(cid:65)𝐶(cid:73)𝐷(cid:64)(cid:43)𝐶𝐷(cid:63) (cid:74)(cid:75)(cid:181)(cid:43) (cid:73)𝐴𝐶(cid:64)(cid:27)(cid:90) 𝐺(cid:67)𝐻(cid:63)
(cid:182) =1𝐴(cid:180)𝐷(cid:63)𝐴𝐶(cid:25)(cid:137)(cid:35) △(cid:75)𝐴𝐶𝐷 𝐺𝐻 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐸 𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐸 𝐶𝐻
15
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)2(cid:217)
7
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:27)(cid:152)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:63)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:282)(cid:100)(cid:162)(cid:208)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)(cid:38)
(cid:155)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:181)(cid:43) (cid:73)(cid:64) (cid:67)(cid:180)(cid:63)(cid:181)(cid:43) (cid:73)(cid:64) (cid:67)(cid:180)(cid:63)(cid:96)(cid:27)(cid:152)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:120)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:151)(cid:87)(cid:105)(cid:75)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10) (cid:71)(cid:66)(cid:24)𝐸 𝐴(cid:101)𝐶 (cid:23)(cid:24)(cid:63) 𝐸 𝐴𝐷
=90°(cid:63)∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐴𝐷=𝐶 5(cid:63) =3(cid:63)
∵𝐴𝐶 𝐶𝐷
= = =4(cid:63)
2 2
(cid:181)∴(cid:43)𝐴𝐷 (cid:73)(cid:64)𝐴𝐶(cid:67)−(cid:180)𝐶𝐷(cid:63) 25−9
𝐸 𝐴𝐶
(cid:70) (cid:72)(cid:33)(cid:90) (cid:27)(cid:152)(cid:63)
∵ △=𝐴𝐶𝐷(cid:63) 𝐺𝐻
∴𝐶𝐻=1𝐸(cid:63)𝐻
∵𝐴𝐸=4(cid:63)
∴𝐸𝐶 =2(cid:179)
(cid:181)∴(cid:43)𝐶𝐻 (cid:73)(cid:64) (cid:67)(cid:180)(cid:63)(cid:59)(cid:60)2(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:190)(cid:43) (cid:124) (cid:81) (cid:63)
𝐸 𝐴𝐷 𝐸𝐶 𝐸 𝐸𝑁⊥𝐴𝐶 𝑁
1 1
= × × = × × (cid:63)
2 2
∵1 𝑆△ × 𝐴𝐸 3 𝐶 =5× 𝐴𝐸(cid:63)𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐸𝑁
∴ 3 𝐸𝑁
= (cid:63)
5
∴𝐸𝑁 9 4
= = = (cid:63)
25 5
2 2
∴𝐴𝑁 21𝐴𝐸 −𝐸𝑁 1−
= (cid:63)
5
∴𝑁(cid:70)𝐶 (cid:72)(cid:33)(cid:90) (cid:27)(cid:152)(cid:63)
∵ △=𝐴𝐶𝐷(cid:63) 𝐺𝐻
∴𝐶𝐻 +𝐸𝐻 = (cid:63)
2 2 2
∵𝐸𝑁9 𝑁21𝐻 𝐸𝐻
+ = (cid:63)
25 5 2
2
∴ 15 −𝐻𝐶 𝐻𝐶
= (cid:63)
7
∴𝐻𝐶 15
(cid:195)(cid:67)(cid:61)(cid:226)(cid:10) (cid:25)(cid:137)(cid:35)2(cid:217) (cid:75)
7
𝐶𝐻 15
(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)2(cid:217) (cid:75)
7
(cid:15)(cid:116)(cid:128)5-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:130)(cid:199)(cid:335)(cid:132)·(cid:57)(cid:133)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = =3(cid:63)(cid:43) (cid:63)(cid:43) (cid:38)(cid:65)(cid:64)
(cid:67)(cid:63) = = (cid:63)(cid:136) (cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:176)(cid:43)(cid:63)(cid:181) (cid:35)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)𝐴𝐵(cid:24)𝐶(cid:180)𝐷(cid:63) 𝐴(cid:25)𝐵(cid:137)(cid:35)2,𝐵 𝐶 (cid:75) 𝐸 𝐹 𝐴𝐵,𝐵𝐶
𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐹 𝑃 △𝐸𝐹𝑃 𝐴𝑃
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)2(cid:217)1(cid:217)3(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:43)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:207)(cid:186)(cid:298)(cid:3)(cid:163)(cid:164)
(cid:169)(cid:35)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:139)(cid:82)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:93)(cid:154)(cid:336)(cid:163)(cid:215)(cid:216)(cid:151)(cid:88) = =2(cid:115) = =3(cid:115) = =1(cid:115) =2= (cid:63)(cid:170)(cid:171)(cid:38)(cid:31)
(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:29)(cid:30)𝐴(cid:33)𝐵(cid:32)(cid:31)𝐶(cid:32)𝐷(cid:24)(cid:25)(cid:119)𝐵(cid:46)𝐶(cid:120)(cid:113)𝐴𝐷(cid:114)(cid:87)(cid:105)(cid:150)𝐴𝐸(cid:151)(cid:75)𝐵𝐸 𝐶𝐹 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10) (cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = =3(cid:63)
= =2∵(cid:63) 𝐴=𝐵𝐶𝐷 =3(cid:63)𝐴𝐵 2,𝐵𝐶
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷= (cid:63)𝐵𝐶 𝐴𝐷
∵𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐵1(cid:63)𝐹 = =2= (cid:63)
∴①𝐴𝐸 𝐵𝐸 (cid:101)(cid:29)(cid:30)𝐶𝐹(cid:33)(cid:32)3(cid:31)−(cid:32)1 (cid:24)(cid:63) 𝐶𝐷
∵△𝐸𝐹𝐵
= + = 2(cid:63)
2 2
∴(cid:43)𝐸𝐹P(cid:28)(cid:43)𝐵𝐸B(cid:206)(cid:196)𝐵𝐹(cid:180)(cid:63) (cid:35)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)(cid:150) = =2(cid:179)
∴②(cid:59)(cid:60)(cid:10)(cid:181)(cid:43)E(cid:35)(cid:33)(cid:32)△(cid:287)𝐸(cid:43)𝐹𝑃(cid:180)(cid:63) (cid:35)(cid:33)(cid:32)(cid:31)𝐴𝑃(cid:32)(cid:24)𝐴(cid:63)𝐵
△𝐸𝐹𝑃
= =45°(cid:63)
∴∠𝐴𝐸𝑃 (cid:101)1(cid:29)80(cid:30)°−(cid:33)9(cid:32)0°−(cid:31)4(cid:32)5°(cid:24)(cid:63)(cid:150) = =1(cid:63)
∴③△(cid:59)𝐴(cid:60)𝐸𝑃(cid:10)(cid:181)(cid:43)F(cid:35)(cid:33)(cid:32)(cid:287)(cid:43)(cid:180)(cid:63)𝐴𝑃 𝐴𝐸(cid:35)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)
△𝐸𝐹𝑃
= (cid:63)
∵𝐵𝐸 𝐵=𝐹45°
∴∠𝐵𝐹𝐸= =45°(cid:63)
∴∠𝑃𝐹𝐺 (cid:35)1(cid:29)80(cid:30)°−(cid:33)9(cid:32)0°−(cid:31)4(cid:32)5°(cid:24)(cid:63)(cid:150) = =2(cid:63)
∴(cid:43)△P𝑃𝐶(cid:120)𝐹(cid:43)D(cid:206)(cid:196)(cid:63)(cid:150) = 𝐶=𝑃3(cid:75)𝑃𝐶
∴(cid:195)(cid:67)(cid:63) (cid:25)(cid:137)(cid:35)2(cid:217)1𝐴(cid:217)𝑃 3(cid:75)𝐴𝐷
𝐴𝑃(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)2(cid:217)1(cid:217)3(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)5-3(cid:20)(cid:48)24-25(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:130)(cid:199)·(cid:229)(cid:148)(cid:193)(cid:230)(cid:58)(cid:336)(cid:163)Rt (cid:34)(cid:63) =90°(cid:63) = =4(cid:63) (cid:63) (cid:38)(cid:65)(cid:101)
(cid:63) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:70) (cid:304)(cid:287)(cid:43) (cid:292)(cid:293)(cid:63)(cid:181)(cid:43)△𝐴(cid:102)𝐵𝐶(cid:33)(cid:90) ∠𝐴(cid:25)(cid:337)(cid:338)(cid:35)𝐴1𝐶(cid:180)(cid:63)2𝐴𝐵(cid:25)(cid:137)(cid:35) 𝐷 𝐸(cid:75)
𝐴(cid:15)𝐵(cid:77)(cid:78)𝐵𝐶(cid:20)3(cid:63)5(cid:217) 41 𝐷𝐸 △𝐵𝐷𝐸 𝐵 𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:34)(cid:308)(cid:90)(cid:87)(cid:88) (cid:63)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:88) (cid:25)(cid:137)(cid:138)(cid:63)(cid:147)(cid:185)(cid:186)(cid:292)(cid:293)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:43) (cid:102)(cid:33)(cid:90)
(cid:25)(cid:337)(cid:338)(cid:35)1(cid:63)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:105)(cid:150)(cid:151)(cid:75)𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐸 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105) Rt (cid:34)(cid:63) =90°(cid:63) (cid:63) (cid:38)(cid:65)(cid:101) (cid:63) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:63)
(cid:35)(cid:33)∵(cid:32)△(cid:31)𝐴(cid:32)𝐵(cid:24)𝐶 ∠𝐴 𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐶
∴△𝐵𝐷𝐸
= =4
∵𝐴𝐶 =22𝐴(cid:63)𝐵 =1(cid:63) =2
∴𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐷𝐸
= 1 +2 = 5
2 2
∴(cid:136)𝐵(cid:43)𝐸 (cid:102)(cid:33)(cid:90) (cid:25)(cid:337)(cid:338)(cid:35)1(cid:63)(cid:76)(cid:151)(cid:38)(cid:71)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:146)(cid:184)(cid:40)(cid:41)(cid:63)
①(cid:181)𝐸(cid:43) (cid:64)(cid:33)𝐴(cid:90)𝐵 (cid:25)(cid:339)(cid:340)(cid:63)(cid:43) (cid:64)(cid:67)(cid:162)(cid:180)(cid:63)(cid:59)(cid:60)(cid:48)1(cid:58)(cid:190)(cid:43) (cid:124) (cid:63)
𝐸 𝐴𝐵 𝐸 𝐷 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶
(cid:43) (cid:102)(cid:33)(cid:90) (cid:25)(cid:337)(cid:338)(cid:35)1(cid:63) =1
∵ 𝐸 (cid:63) 𝐴(cid:115)𝐵 (cid:115) (cid:31)(cid:43)(cid:286)(cid:90)𝐵(cid:63)𝐷
∴𝐷𝐸∥𝐴𝐵 (cid:63)𝐸 𝐷 𝐹
∵(cid:71)𝐷𝐹(cid:66)⊥(cid:24)𝐴𝐶 𝐵𝐷(cid:101)⊥(cid:23)𝐷(cid:24)𝐸
∴ = 𝐵𝐷=𝐹𝐴2(cid:63) = = =3(cid:63)
∴𝐷𝐹=4𝐴𝐵 𝐶𝐹 𝐴𝐶−𝐴𝐹 𝐴𝐶−𝐵𝐷
∴𝐸𝐹
= + =5(cid:179)
2 2
∴ ② 𝐶𝐸(cid:181)(cid:43) 𝐶(cid:64)𝐹(cid:33)(cid:90)𝐸𝐹(cid:25)(cid:341)(cid:340)(cid:63)(cid:43) (cid:64)(cid:67)(cid:162)(cid:180)(cid:63)(cid:59)(cid:60)(cid:48)2(cid:58)(cid:190)(cid:43) (cid:124) (cid:80) (cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:190)(cid:43) (cid:124)
𝐸 𝐴𝐵 𝐸 𝐸 𝐸𝐺⊥𝐴𝐶 𝐶𝐴 𝐺 𝐵(cid:63)(cid:76)
𝐵𝐻⊥𝐸𝐺 𝐸𝐺∥𝐴𝐵
(cid:43) (cid:102)(cid:33)(cid:90) (cid:25)(cid:337)(cid:338)(cid:35)1(cid:63)
∵ 𝐸=1 𝐴𝐵
∴𝐵𝐻
= =2
2 2
∴(cid:96)𝐸(cid:21)𝐻(cid:211)(cid:151)𝐵(cid:88)𝐸(cid:10)−(cid:71)𝐵(cid:66)𝐻(cid:24) (cid:35)(cid:23)(cid:24)
= =1(cid:63) =𝐴𝐵𝐻𝐺=2
∴𝐴𝐺=5𝐵𝐻 𝐴𝐵 𝐻𝐺
∴𝐶𝐺
= + = 41(cid:179)
2 2
∴ ③ 𝐶𝐸(cid:181)(cid:43) 𝐶(cid:64)𝐺(cid:33)(cid:90)𝐸𝐺(cid:25)(cid:341)(cid:340)(cid:63)(cid:43) (cid:64)(cid:52)(cid:162)(cid:180)(cid:63)(cid:59)(cid:60)(cid:48)3(cid:58)
𝐸 𝐴𝐵 𝐸
(cid:43) (cid:102)(cid:33)(cid:90) (cid:25)(cid:337)(cid:338)(cid:35)1(cid:63) =1
∵ 𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐷
∴(cid:71)𝐵𝐷(cid:66)⊥(cid:24)𝐴𝐵 (cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∴ = 𝐴𝐵=𝐷𝐸1(cid:63) (cid:115)(cid:115) (cid:31)(cid:43)(cid:286)(cid:90)
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐷+ =𝐸5(cid:179)𝐴 𝐶
∴④𝐶𝐸(cid:59)(cid:60)𝐴(cid:48)𝐶4(cid:58)𝐴(cid:181)𝐸(cid:43) (cid:64)(cid:33)(cid:90) (cid:25)(cid:339)(cid:340)(cid:63)(cid:43) (cid:64)(cid:52)(cid:162)(cid:180)(cid:63)
𝐸 𝐴𝐵 𝐸
= 5(cid:63) =2(cid:63)(cid:43) (cid:102)(cid:33)(cid:90) (cid:25)(cid:337)(cid:338)(cid:35)1
(cid:151)(cid:93)(cid:122)(cid:46)(cid:43) (cid:64)(cid:90)(cid:148) (cid:67) 𝐵 (cid:63) 𝐸 (cid:182) =𝐴1𝐵 𝐸 𝐴𝐵
(cid:76) =3 𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐸
𝐶𝐸(cid:195)(cid:67)(cid:63) (cid:25)(cid:137)(cid:35)3(cid:63)5(cid:217) 41,
(cid:106)(cid:77)(cid:78)𝐶(cid:35)𝐸(cid:10)3(cid:63)5(cid:217) 41
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:218)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:292)(cid:293)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:93)(cid:154)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:34)(cid:308)(cid:90)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:101)
(cid:192)(cid:193)(cid:188)(cid:189)(cid:178)(cid:258)(cid:259)(cid:207)(cid:186)(cid:298)(cid:3)(cid:113)(cid:114)(cid:146)(cid:184)(cid:87)(cid:105)(cid:75)
【题型6 矩形中的动点】
(cid:15)(cid:47)6(cid:20)(cid:48)23-24(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:331)(cid:332)(cid:342)(cid:198)·(cid:229)(cid:148)(cid:193)(cid:230)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =4(cid:63) =30°(cid:63)(cid:176)(cid:42)(cid:43)P(cid:144)B
(cid:43)(cid:100)(cid:303)(cid:72)(cid:91)(cid:32)(cid:90) (cid:162)(cid:343)(cid:93)(cid:344)(cid:345)2(cid:177)(cid:346)(cid:308)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:347)(cid:138)(cid:343)(cid:43)D(cid:348)𝐴𝐵(cid:347)𝐶(cid:207)𝐷(cid:42)(cid:63)𝐶(cid:349)𝐷(cid:180)(cid:350)(cid:176)∠(cid:42)𝐶(cid:43)𝐵𝐷Q(cid:144)D(cid:43)(cid:100)(cid:303)(cid:72) (cid:162)
(cid:343)(cid:93)(cid:344)(cid:345)1(cid:177)(cid:346)𝐵(cid:308)𝐷(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:347)(cid:138)(cid:343)(cid:43)C(cid:348)(cid:347)(cid:207)(cid:42)(cid:63)(cid:181)(cid:194)(cid:34)(cid:176)(cid:177)(cid:43)(cid:102)(cid:351)(cid:352)(cid:43)(cid:180)(cid:63)(cid:350)(cid:176)(cid:177)(cid:43)(cid:353)(cid:354)(cid:291)(cid:355)(cid:356)(cid:207)(cid:42)𝐷(cid:75)𝐶(cid:143)
(cid:43)P(cid:115)Q(cid:207)(cid:42)(cid:25)(cid:180)(cid:167)(cid:35)t(cid:345)( >0)(cid:75)(cid:190)(cid:43)P(cid:124) (cid:81)(cid:43)E(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63) (cid:75)(cid:181) = (cid:180)(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24)
(cid:101)(cid:357)(cid:24)(cid:75) 𝑡 𝑃𝐸⊥𝐵𝐶 𝐸𝑄 𝑃𝑄 𝑡 𝑃𝐸𝑄𝐷
8 2
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20) /2
3 3
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:96)(cid:94)(cid:33)(cid:88) =90°(cid:63)(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63) = (cid:63)(cid:96) =30°(cid:63)(cid:151)(cid:88) = (cid:63)(cid:147)(cid:98)(cid:99)(cid:71)(cid:66)(cid:24)
(cid:101)(cid:95)(cid:184)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:63)(cid:181)∠𝐵𝐸=𝑃 (cid:180)(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24)△𝐵𝐸𝑃(cid:35)(cid:357)𝐵(cid:24)𝑃(cid:63)(cid:147)2(cid:326)𝑡 (cid:327)(cid:162)∠(cid:208)𝐶𝐵(cid:150)𝐷(cid:151)(cid:87)(cid:105)(cid:179) 𝑃𝐸 𝑡 𝑃𝐸𝑄𝐷
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10) 𝑃𝐷 (cid:63)𝐷 𝑄 𝑃𝐸𝑄𝐷
=90°(cid:63)∵𝑃 𝐸⊥𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐸=𝑃 (cid:63) =30°(cid:63)
∵𝐵𝑃= 2(cid:63)𝑡 ∠𝐶𝐵𝐷
∴(cid:187)𝑃𝐸 𝑡= (cid:63)
∵𝐷=𝑄 𝑡(cid:179)
∴(cid:71)𝑃𝐸(cid:66)(cid:24)𝐷𝑄 (cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:63) (cid:63) = =90°(cid:63)
∵ 𝐴(cid:63)𝐵 𝐶𝐷 𝑃𝐸⊥𝐵𝐶 ∠𝐵𝐸𝑃 ∠𝐶
∴(cid:71)𝑃𝐸(cid:66)∥𝐷(cid:24)𝑄 (cid:35)(cid:95)(cid:184)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:63)
∴(cid:181) =𝑃𝐸𝑄(cid:180)𝐷(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:35)(cid:357)(cid:24)(cid:63)
𝑃𝐷=4𝑄(cid:63)𝐷 =30°𝑃(cid:63)𝐸𝑄𝐷
∵𝐶𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷= =8(cid:63) = (cid:63)
∴𝐵𝐷 =2𝐶𝐷(cid:63) 𝑃𝐷 8−2𝑡
∴8−28𝑡 𝑡
= (cid:63)
3
∴𝑡 8
(cid:150)(cid:181) = (cid:180)(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:35)(cid:357)(cid:24)(cid:179)
3
𝑡 8 𝑃𝐸𝑄𝐷
(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)
3
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:42)(cid:43)(cid:103)(cid:21)(cid:115)(cid:357)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:154)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:358)(cid:102)(cid:42)(cid:43)(cid:207)(cid:42)(cid:25)(cid:359)(cid:360)(cid:120)(cid:361)(cid:90)(cid:115)(cid:347)(cid:138)(cid:115)(cid:93)(cid:154)
(cid:101)(cid:362)(cid:355)(cid:356)(cid:120)(cid:212)(cid:227)(cid:315)(cid:45)(cid:363)(cid:364)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)6-1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:130)(cid:203)(cid:227)(cid:228)·(cid:57)(cid:133)(cid:58)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =8cm(cid:63) =6cm(cid:63)(cid:42)(cid:43) (cid:144)(cid:43) (cid:100)(cid:303)(cid:63)
(cid:93)3cm/s(cid:25)(cid:347)(cid:138)(cid:72) (cid:348)(cid:347)(cid:207)(cid:42)(cid:179)(cid:349)(cid:180)(cid:42)(cid:43) 𝐴(cid:144)𝐵(cid:43)𝐶𝐷 (cid:100)(cid:303)𝐴(cid:63)𝐵(cid:93)1cm/s(cid:25)𝐵𝐶(cid:347)(cid:138)(cid:72) (cid:343)(cid:43) 𝑃(cid:348)(cid:347)(cid:207)𝐶(cid:42)(cid:63)(cid:181)
(cid:43) (cid:207)(cid:42)(cid:141)(cid:352)(cid:43)(cid:180)(cid:63)𝐶𝐷(cid:365)→(cid:177)𝐷(cid:207)𝐴→(cid:42)𝐴(cid:355)𝐶(cid:356)(cid:75)(cid:143)(cid:207)(cid:42)(cid:180)(cid:167)(cid:35) s𝑄(cid:75)(cid:136)(cid:42)𝐵(cid:43) (cid:115) (cid:61)(cid:64)(cid:25)(cid:33)(cid:90)(cid:95)(cid:38)(cid:23)𝐵(cid:24)𝐴 𝐴(cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:63)(cid:76) (cid:25)
(cid:45)𝑃(cid:35) (cid:75) 𝑡 𝑃 𝑄 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑡
19
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)2(cid:217) (cid:217)8
3
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:161)(cid:142)(cid:43) (cid:115) (cid:61)(cid:64)(cid:25)(cid:33)(cid:90)(cid:95)(cid:38)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:63)(cid:76)(cid:366) (cid:115) (cid:61)(cid:64)(cid:25)(cid:33)(cid:90)(cid:367)(cid:190)(cid:43) (cid:63)(cid:76)(cid:38) (cid:181) (cid:64) (cid:67)(cid:180)(cid:63) (cid:181) (cid:28) (cid:206)𝑃(cid:196)𝑄(cid:180)(cid:63) (cid:181) (cid:28) (cid:206)(cid:196)(cid:63)
𝐴(cid:28)𝐵𝐶(cid:206)𝐷(cid:196)(cid:180)(cid:31)(cid:223)(cid:224)(cid:225)𝑃(cid:38)(cid:79)𝑄(cid:150)(cid:151)(cid:63)(cid:188)(cid:189)(cid:163)(cid:164)(cid:43)(cid:25)𝑂(cid:197)(cid:186)(cid:101)①(cid:105)(cid:21)𝑃(cid:25)(cid:3)𝐶(cid:127)𝐷(cid:75) ② 𝑃 𝑂 ③ 𝑃 𝐶 𝑄
(cid:15)𝐴(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10)(cid:161)(cid:142)(cid:43) (cid:115) (cid:61)(cid:64)(cid:25)(cid:33)(cid:90)(cid:95)(cid:38)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:63)(cid:76)(cid:366) (cid:115) (cid:61)(cid:64)(cid:25)(cid:33)(cid:90)(cid:367)(cid:190)(cid:43) (cid:63)
(cid:181) (cid:64) (cid:67)(cid:180)(cid:63) 𝑃 𝑄 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃 𝑄 𝑂
① 𝑃 𝐶𝐷
(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∵ 𝐴(cid:63)𝐵𝐶𝐷= (cid:63) = =8cm(cid:63)
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷= 𝑂𝐵 (cid:63)𝑂𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷
∴∠𝑂𝐵𝑄= ∠𝑂𝐷𝑃(cid:63)
∵∠𝐷𝑂𝑃 ∠𝐵𝑂𝑄 (ASA)(cid:63)
∴△𝐷=𝑂𝑃≌(cid:63)△𝐵𝑂𝑄
∴(cid:96)𝐵(cid:21)𝑄(cid:211)(cid:88)𝐷𝑃(cid:10) = (cid:63) = cm(cid:63)
𝐵𝑄 𝑡 𝐶𝑃 3𝑡= = (cm)(cid:63)
∴𝐷=𝑃 𝐶𝐷−(cid:63)𝐶(cid:105)𝑃(cid:88)(cid:10)8−3=𝑡2(cid:179)
∴𝑡(cid:181)8(cid:28)−3𝑡(cid:206)(cid:196)(cid:180)(cid:63)(cid:59)𝑡 (cid:60)(cid:63)
② 𝑃 𝑂
(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷1
= = (cid:63) = =6cm(cid:63) = =8cm(cid:63) =90°(cid:63)
2
∴𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88)(cid:10) = + = 6 +8 =10(cm)(cid:63)
2 2 2 2
= =5cm𝐴(cid:63)𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐷
∴𝑂𝐴 𝑂𝐶 19
(cid:207)(cid:42)(cid:180)(cid:167) =(8+6+5)÷3= (s)(cid:179)
3
∴ (cid:181) (cid:28) (cid:206)𝑡 (cid:196)(cid:63) (cid:28) (cid:206)(cid:196)(cid:180)(cid:63)(cid:59)(cid:60)(cid:63)
③ 𝑃 𝐶 𝑄 𝐴
(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷6cm(cid:63) = =8cm(cid:63) =90°(cid:63)
∴𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88)(cid:10) = + = 6 +8 =10(cm)(cid:63)
2 2 2 2
(cid:207)(cid:42)(cid:180)(cid:167) =(8𝐴+𝐶6+1𝐴0𝐷)÷3𝐶=𝐷8(s)(cid:179)
∴ 𝑡 19
(cid:195)(cid:67)(cid:151)(cid:88)(cid:10) (cid:25)(cid:45)(cid:35)2(cid:217) (cid:217)8(cid:63)
3
𝑡 19
(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)2(cid:217) (cid:217)8(cid:75)
3
(cid:15)(cid:116)(cid:128)6-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:118)(cid:368)·(cid:369)(cid:57)(cid:124)(cid:370)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = 4cm(cid:63) =12cm(cid:63)(cid:43) (cid:144)(cid:43)
(cid:100)(cid:303)(cid:63)(cid:343)(cid:43) (cid:93)1cm/s(cid:25)(cid:347)(cid:138)(cid:348)(cid:347)(cid:207)(cid:42)(cid:63)(cid:43) (cid:93)4cm/s(cid:25)(cid:347)(cid:138)(cid:144)𝐴𝐵(cid:43)𝐶𝐷(cid:100)(cid:303)(cid:63)𝐴𝐵(cid:64) (cid:115) (cid:155)(cid:43)𝐴(cid:291)𝐷(cid:167)(cid:371)(cid:372)(cid:348)(cid:347)(cid:207)𝑃(cid:42)(cid:63)
𝐴(cid:155)(cid:43)(cid:349)(cid:180)(cid:100)(cid:303)𝐷(cid:63)(cid:43) (cid:102)(cid:351)(cid:43) (cid:180)(cid:355)(cid:356)(cid:207)(cid:42)(cid:48)(cid:349)𝑄(cid:180)(cid:43) (cid:353)(cid:355)(cid:356)(cid:207)(cid:42)(cid:58)(cid:75)𝐶(cid:143)(cid:207)(cid:42)(cid:180)(cid:167)𝐵(cid:35)𝐶s(cid:63)(cid:318)(cid:148)(cid:180)(cid:167)(cid:284)(cid:63)(cid:181) (cid:25)(cid:45)
𝑃 𝐷 𝑄 𝑡 𝑡(cid:35) (cid:180)(cid:63)(cid:93) (cid:115) (cid:115) (cid:115) (cid:35)(cid:287)(cid:43)(cid:25)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:75)
𝑃 𝑄 𝐶 𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)2.4(cid:217)4(cid:217)7.2
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:373)(cid:139)(cid:96)(cid:23)(cid:24)(cid:88)(cid:102) (cid:63) =90°(cid:63)(cid:170)(cid:171)(cid:88)(cid:102) = (cid:63)(cid:76)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)(cid:170)(cid:171)(cid:82)(cid:83)(cid:21)(cid:211)
(cid:38)(cid:224)(cid:225)(cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:38)(cid:65)(cid:282)(cid:162)(cid:208)𝐴(cid:87)𝐷(cid:105)∥(cid:150)𝐵𝐶(cid:151)(cid:75)∠𝐷 𝐷𝑃 𝐶𝑄 𝑃𝐷𝐶𝑄
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:21)(cid:211)(cid:63)(cid:181)(cid:43) (cid:144)(cid:43) (cid:207)(cid:42)(cid:102)(cid:43) (cid:25)(cid:190)(cid:208)(cid:34)(cid:63)(cid:43) (cid:70)(cid:263)(cid:374) (cid:207)(cid:42)(cid:75)
(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63) 𝑃 𝐴 𝐷 𝑄 𝐶→𝐵→𝐶→𝐵→𝐶
∵ 𝐴(cid:63)𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:75)
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶(cid:75)∠𝐷
(cid:136)∴𝑃𝐷∥=𝐶𝑄 (cid:63)(cid:76)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:75)
(cid:82)𝐷(cid:83)𝑃(cid:21)(cid:211)𝐶(cid:63)𝑄(cid:88) =( 𝑃𝐷𝐶)c𝑄m(cid:75)
(cid:181)0 3(cid:180)𝐷(cid:63)𝑃 =12−c𝑡m(cid:63)
≤𝑡=≤ (cid:63) 𝐶𝑄 4𝑡
∴(cid:105)1(cid:88)2−𝑡=24.4𝑡(cid:75)
(cid:181)3<𝑡 6(cid:180)(cid:63) = cm(cid:63)
𝑡=≤ (cid:63)𝐶𝑄 (24− 4𝑡)
(cid:105)∴1(cid:88)2−𝑡=42(cid:75)4−(cid:181)46𝑡< 9(cid:180)(cid:63) = ( )cm(cid:63)
𝑡= (cid:63) 𝑡≤ 𝐶𝑄 4𝑡−24
1(cid:105)2(cid:88)−𝑡 =47𝑡.2−(cid:75)24
(cid:181)9<𝑡 12(cid:180)(cid:63) =( )cm(cid:63)
=𝑡≤ (cid:63) 𝐶𝑄 48−4𝑡
1(cid:105)2(cid:88)−𝑡 =4182−(cid:63)4(cid:218)𝑡 (cid:180)(cid:227)(cid:264)(cid:299)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:63)(cid:106)(cid:375)(cid:376)(cid:75)
(cid:195)(cid:67)𝑡(cid:61)(cid:226)(cid:63)(cid:181) =2.4(cid:217)4(cid:217)7.2(cid:180)(cid:63)(cid:93) (cid:115) (cid:115) (cid:115) (cid:35)(cid:287)(cid:43)(cid:25)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:75)
(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)2.4𝑡(cid:217)4(cid:217)7.2(cid:75) 𝑃 𝑄 𝐶 𝐷
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:218)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:103)(cid:21)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:120)(cid:119)(cid:46)(cid:63)(cid:176)(cid:377)(cid:176)(cid:265)(cid:162)(cid:208)(cid:25)(cid:197)(cid:186)(cid:63)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:101)(cid:38)(cid:224)(cid:225)(cid:40)(cid:41)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)6-3(cid:20)(cid:48)2023·(cid:130)(cid:203)(cid:204)(cid:132)·(cid:36)(cid:233)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =5(cid:63) =8(cid:75)(cid:42)(cid:43)M(cid:144)(cid:43)A(cid:100)(cid:303)(cid:63)(cid:72)(cid:66)
(cid:343)(cid:43)D(cid:348)(cid:347)(cid:207)(cid:42)(cid:63)(cid:347)(cid:138)(cid:35)(cid:344)(cid:38)(cid:378)x(cid:177)(cid:346)(cid:308)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:42)𝐴(cid:43)𝐵𝐶N𝐷(cid:144)(cid:43)B𝐴𝐵(cid:100)(cid:303)(cid:63)(cid:72)𝐵𝐶(cid:66) (cid:343)(cid:43)C(cid:348)(cid:347)(cid:207)(cid:42)(cid:63)(cid:347)(cid:138)(cid:35)(cid:344)(cid:38)𝐴𝐷
𝐵𝐶(cid:378)5(cid:177)(cid:346)(cid:308)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:181)(cid:43)N(cid:102)(cid:351)(cid:43)C(cid:180)(cid:63)M(cid:63)N(cid:155)(cid:43)(cid:349)(cid:180)(cid:355)(cid:356)(cid:207)(cid:42)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:64)(cid:207)(cid:42)(cid:190)(cid:208)(cid:34)(cid:63)(cid:70)(cid:71)(cid:66)(cid:24)
(cid:72)MN(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:88)(cid:102)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:63)(cid:136)(cid:64)(cid:379)(cid:176)(cid:180)(cid:380)(cid:63)(cid:43)B(cid:25)(cid:91)(cid:197)(cid:43) (cid:329)(cid:209)𝑀(cid:73)𝑁(cid:64) (cid:25)(cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:67)(cid:63)(cid:182) =𝑀1𝐴(cid:63)𝐵𝑁
′ ′ ′ ′
(cid:76) = (cid:75) 𝑀𝐴 𝐵 𝑁 𝐵 𝐶𝐷 𝐵 𝐷
𝑥
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)2
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:120)(cid:42)(cid:381)(cid:35)(cid:382)(cid:383)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:165)(cid:166)(cid:384)(cid:90)(cid:148)(cid:167)(cid:3)(cid:168)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:207)(cid:186)
(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:385)(cid:100)(cid:60)(cid:24)(cid:63)(cid:139)(cid:64)Rt (cid:34)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:100)(cid:207)(cid:42)(cid:25)(cid:180)(cid:167)(cid:63)(cid:147)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:185)(cid:186) = + =
′ ′ 2 ′ 2 ′ ′2
+ (cid:282)(cid:162)(cid:208)(cid:87)△(cid:100)𝑁𝐵x(cid:150)𝐶(cid:151)(cid:75) 𝐵 𝑀 𝐴 𝑀 𝐴 𝐵 𝐷
2 ′2
𝑀(cid:15)(cid:104)(cid:105)𝐷(cid:20)𝐵 (cid:105)(cid:10)(cid:68)(cid:69) (cid:63) (cid:63) (cid:63)(cid:143)(cid:367)(cid:190)t(cid:345)(cid:43)B(cid:25)(cid:91)(cid:197)(cid:43)B′(cid:329)(cid:209)(cid:73)(cid:64) (cid:25)(cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:67)(cid:63)(cid:182) =1(cid:63)
′ ′ ′
𝐵𝐵 𝑀𝐵 𝑀𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐷
=5(cid:63) =8(cid:63)
= (cid:63) = (cid:63)
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶
∴𝐵(cid:71)𝑁(cid:66)(cid:24)5𝑡 𝐶𝑁(cid:101)(cid:23)8(cid:24)−(cid:63)5𝑡
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷5(cid:63) = + =5+1=6(cid:63) = =8(cid:63)
′ ′
∴𝐶(cid:71)𝐷(cid:66)(cid:24)𝐴𝐵 (cid:96)𝐶𝐵(cid:71)(cid:66)(cid:24)𝐶𝐷 𝐷𝐵(cid:27)(cid:152)(cid:88)(cid:102)(cid:63) 𝐴𝐷 𝐵𝐶
′ ′
∵ =𝐴 𝐵=𝑁𝑀(cid:63) =𝐴𝐵𝑁=𝑀5(cid:63) = = (cid:63) = = (cid:63)
′ ′ ′ ′
(cid:64)∴R𝐵t𝑁 𝐵𝑁(cid:34)(cid:63)5𝑡 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐴 𝑀 𝐴𝑀 𝑥𝑡 𝐷𝑀 𝐴𝐷−𝐴𝑀 8−𝑥𝑡
′
(cid:96)(cid:84)(cid:85)△(cid:46)𝑁𝐵(cid:86)𝐶(cid:63)(cid:88) = + (cid:63)
′ 2 2 ′2
𝐵 𝑁 𝐶𝑁 𝐶𝐵
(cid:150)( ) = 8﹣ +6 (cid:63)
2
2 2
5𝑡 5 5𝑡
(cid:105)(cid:88) = (cid:63)
4
𝑡5 5
= = (cid:63) = (cid:63)
4 4
′
(cid:64)∴R 𝐴 t𝑀 𝐴𝑀 (cid:34)(cid:63)𝑥 𝐷𝑀 8− 𝑥
′ ′
△𝐴 𝐵 𝑀 5
= + = +5 (cid:63)
4 2
′ 2 ′ 2 ′ ′2 2
(cid:64)𝐵 R𝑀t 𝐴 𝑀(cid:34)(cid:63)𝐴 𝐵 𝑥
′
△𝐷𝐵 𝑀 5
= + = +1 (cid:63)
4 2
′ 2 2 ′2 2
𝐵 𝑀 𝐷𝑀 𝐷𝐵 8− 𝑥
5 5
+5 = +1 (cid:63)
4 2 4 2
2 2
(cid:105)∴(cid:88)𝑥=2(cid:63) 8− 𝑥
(cid:106)(cid:77)𝑥(cid:78)(cid:35)(cid:10)2(cid:75)
【题型7 矩形中的最值】
(cid:15)(cid:47)7(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:130)(cid:203)(cid:260)(cid:386)·(cid:229)(cid:148)(cid:193)(cid:230)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =3(cid:63) =6(cid:63)(cid:43) (cid:115)(cid:115)(cid:115) (cid:38)
(cid:65)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:384)(cid:66)(cid:67)(cid:63)(cid:182) = (cid:63) = (cid:63)(cid:76)(cid:71)(cid:66)(cid:24) 𝐴(cid:242)𝐵𝐶(cid:137)𝐷(cid:25)(cid:44)(cid:387)𝐴𝐵(cid:45)(cid:35)(cid:48)(cid:191)𝐵𝐶(cid:191)(cid:58) 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻
𝐴𝐸 𝐶𝐺 𝐵𝐹 𝐷𝐻 𝐸𝐹𝐺𝐻
A(cid:75)3 3 B(cid:75)6 3 C(cid:75)6 5 D(cid:75)9 3
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)C
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:139)(cid:98)(cid:99)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:95)(cid:184)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:63)(cid:140)(cid:137) (cid:63)(cid:142)(cid:88) = (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63) (cid:63)(cid:76) (cid:120) (cid:3)(cid:81) (cid:91)(cid:92)(cid:63)
(cid:96) + = + 𝐸𝐹𝐺𝐻(cid:88)(cid:63)(cid:181) (cid:115) (cid:115) (cid:286)(cid:90)𝐸(cid:180)𝐵(cid:315)(cid:29)(cid:9)𝐵(cid:63)𝐸(cid:218)′ (cid:180)𝐵(cid:63)𝐸 + 𝐹𝐸(cid:44)′ (cid:387)𝐺(cid:63)𝐸′(cid:44)(cid:387)𝐸(cid:45)(cid:35)𝐸′ (cid:25)𝐵(cid:137)𝐶(cid:63)(cid:190)
(cid:124)𝐸𝐹 𝐹𝐺(cid:94)(cid:214)𝐸𝐹(cid:101) (cid:63)𝐹𝐺(cid:76)≥(cid:71)𝐸(cid:66)′𝐺(cid:24) 𝐸(cid:101)′ (cid:23)𝐹(cid:24)(cid:63)𝐺(cid:146)(cid:145)(cid:151)(cid:88) = = 𝐸(cid:63)𝐹 𝐹𝐺= =6(cid:63)(cid:96)(cid:84)(cid:85)𝐺(cid:46)𝐸′(cid:86)(cid:87)(cid:88) 𝐺
𝐺𝑃=⊥3𝐴𝐵5(cid:63)(cid:76) 𝑃+ (cid:44)(cid:387)(cid:45)(cid:35)𝐵𝐶3𝐺𝑃5(cid:63)(cid:96)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:242)(cid:137)(cid:35)𝐵(cid:87)𝑃(cid:105)(cid:150)𝐶𝐺(cid:151)(cid:75)𝐴𝐸 𝐺𝑃 𝐵𝐶
𝐸(cid:15)′𝐺(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10) (cid:71)𝐸𝐹(cid:66)(cid:24)𝐹𝐺 (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
= (cid:63) ∵ = (cid:63)𝐴𝐵𝐶𝐷= = = =90°(cid:63)
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶(cid:63)𝐴𝐵= 𝐶𝐷(cid:63)∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐷
∵𝐴𝐸 𝐶𝐺 𝐵𝐹 𝐷(𝐻 )(cid:63) ( )(cid:63)
∴△𝐴=𝐸𝐻≌(cid:63)△𝐶𝐺=𝐹 𝑆𝐴(cid:63)𝑆 △𝐵𝐸𝐹≌△𝐷𝐺𝐻 𝐴𝑆𝐴
∴(cid:71)𝐸𝐻(cid:66)(cid:24)𝐺𝐹 𝐸𝐹(cid:101)(cid:95)𝐺(cid:184)𝐻(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:63)
∴ 𝐸𝐹𝐺𝐻(cid:140)(cid:137) (cid:63)(cid:142)(cid:88) = (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63) (cid:63)(cid:76) (cid:120) (cid:3)(cid:81) (cid:91)(cid:92)(cid:63)
𝐸𝐵 𝐵𝐸′ 𝐵𝐸 𝐹𝐸′ 𝐺𝐸′ 𝐸 𝐸′ 𝐵𝐶
= (cid:63)
∴𝐸𝐹+ 𝐸′𝐹 (cid:63)
∴(cid:181)𝐸𝐹 (cid:115)𝐹𝐺(cid:115)≥𝐸(cid:286)′𝐺(cid:90)(cid:180)(cid:315)(cid:29)(cid:9)(cid:63)(cid:218)(cid:180)(cid:63) + (cid:44)(cid:387)(cid:63)(cid:44)(cid:387)(cid:45)(cid:35) (cid:25)(cid:137)(cid:63)
∴(cid:190) 𝐸(cid:124)′ 𝐹 𝐺 (cid:94)(cid:214)(cid:101) (cid:63)(cid:76) =𝐸𝐹 =𝐹𝐺 =90°(cid:63) 𝐺𝐸′
(cid:71)𝐺(cid:66)(cid:24)𝐺𝑃⊥𝐴𝐵(cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)𝑃 ∠𝐺𝑃𝐵 ∠𝐵 ∠𝐶
∴ = 𝐵𝐶=𝐺𝑃 (cid:63) = =6(cid:63)
∴(cid:64)𝐵𝑃 𝐶𝐺 (cid:34)𝐴𝐸(cid:63) 𝐺𝑃= 𝐵𝐶+ = + = =3(cid:63)
𝑅𝑡△𝐺𝑃𝐸′ 𝐸′𝑃 𝐵𝑃 𝐵𝐸′ 𝐵𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐵
(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88) = + = 3 +6 =3 5(cid:63)
2 2 2 2
+
(cid:44)(cid:387)𝐸(cid:45)′𝐺(cid:35)3
5
𝐸(cid:63)′𝑃 𝐺𝑃
∴(cid:76)𝐸(cid:71)𝐹(cid:66)𝐹(cid:24)𝐺 (cid:242)(cid:137)(cid:25)(cid:44)(cid:387)(cid:45)(cid:35)2( + )=6 5(cid:63)
(cid:106)(cid:107)(cid:10)C(cid:75)𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐸𝐹 𝐹𝐺
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:95)(cid:184)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:44)(cid:388)(cid:361)(cid:389)(cid:103)
(cid:21)(cid:115)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:95)(cid:184)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:63)(cid:93)(cid:154) (cid:35) + (cid:25)(cid:44)(cid:387)(cid:45)(cid:101)(cid:105)(cid:77)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)7-1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:130)(cid:203)𝐸(cid:285)𝐹𝐺(cid:132)𝐻·(cid:229)(cid:148)(cid:193)(cid:230)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)𝐺(cid:23)𝐸(cid:24)′ 𝐸𝐹 (cid:34)𝐹𝐺(cid:63) =3(cid:63) =4(cid:63)(cid:43) (cid:101)(cid:95)(cid:246)
(cid:284)(cid:176)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:182)(cid:213)(cid:214) =2(cid:63) (cid:35) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:43) (cid:207)(cid:42)(cid:190)(cid:208)(cid:34)(cid:90)(cid:148)𝐴𝐵(cid:137)𝐶𝐷(cid:138)(cid:25)(cid:44)𝐴(cid:18)𝐵(cid:45)(cid:101) 𝐵 𝐶 (cid:75) 𝑀
𝐵𝑀 𝑁 𝑀𝐷 𝑀 𝐶𝑁
7
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)
2
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:34)(cid:308)(cid:90)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:317)(cid:66)(cid:67)(cid:34)(cid:90)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:315) (cid:25)
(cid:34)(cid:43)(cid:185)(cid:186)(cid:34)(cid:308)(cid:90)(cid:46)(cid:86)(cid:154)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:179)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:315) (cid:194)(cid:34)(cid:43)E(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:115) (cid:63)(cid:76)𝐵𝐷
𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝑁𝐸+ (cid:63)(cid:181)(cid:43)E(cid:64)(cid:90)(cid:148) (cid:67)(cid:180)(cid:63) (cid:315)(cid:88)(cid:44)(cid:18)(cid:45)(cid:179)(cid:96)(cid:34)(cid:308)(cid:90)(cid:46)(cid:86)(cid:154)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:151)(cid:38)(cid:65)(cid:87)(cid:88)
𝐶𝑁(cid:115)≤𝐸𝑁(cid:25)(cid:137)𝐶(cid:63)𝐸(cid:144)(cid:145)(cid:87)(cid:88) (cid:25)(cid:44)𝐶(cid:18)𝑁(cid:45)(cid:75) 𝐶𝑁
𝑁(cid:15)𝐸(cid:104)(cid:105)𝐶𝐸(cid:20)(cid:105)(cid:10)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:68)(cid:69)𝐶𝑁 (cid:63)(cid:315) (cid:34)(cid:43)E(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:115) (cid:63)
(cid:76) + (cid:63)(cid:181)(cid:43)E𝐵(cid:64)𝐷(cid:90)(cid:148)𝐵𝐷(cid:67)(cid:180)(cid:63) (cid:315)(cid:88)𝐶𝐸(cid:44)(cid:18)𝑁(cid:45)𝐸(cid:63)(cid:182)(cid:44)(cid:18)(cid:45)(cid:35) + (cid:179)
(cid:71)𝐶(cid:66)𝑁(cid:24)≤𝐸𝑁 (cid:101)𝐶𝐸(cid:23)(cid:24)(cid:63) 𝐶𝑁 𝐶𝑁 𝐸𝑁 𝐶𝐸
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷3(cid:63) =90°(cid:179)
∴𝐶𝐷 =𝐴2𝐵(cid:63) ∠𝐵𝐶𝐷
∵𝐵𝑀 1
= =1(cid:179)
2
∴𝑁𝐸 𝐵𝑀
(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63)(cid:96)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:88)(cid:10) = + =5(cid:63)
2 2
(cid:101)△𝐵(cid:25)𝐶𝐷(cid:34)(cid:43)(cid:63) =90°(cid:63)𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
∵𝐸 𝐵𝐷1 5 ∠𝐵𝐶𝐷
= = (cid:63)
2 2
∴𝐶𝐸 𝐵𝐷 5 7
+ =1+ =
2 2
∴𝐸𝑁 𝐶𝐸 7
(cid:25)(cid:44)(cid:18)(cid:45)(cid:35) (cid:75)
2
∴𝐶𝑁
7
(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10) (cid:75)
2
(cid:15)(cid:116)(cid:128)7-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:67)(cid:390)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =10(cid:63) =12(cid:63) (cid:95)(cid:38) (cid:80)
(cid:81)(cid:43) (cid:63) (cid:35)(cid:90)(cid:148) (cid:67)(cid:176)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:42)(cid:43) (cid:63) (cid:38)(cid:65)(cid:64)(cid:66) (cid:63)𝐴𝐵(cid:67)𝐶𝐷(cid:63)(cid:182) 𝐴𝐵+ =𝐵5(cid:63)𝐶 (cid:68)(cid:69) 𝐴(cid:63)𝐸 (cid:75)∠(cid:76)𝐵𝐴𝐷 +𝐵𝐶
(cid:25)(cid:44)𝐸(cid:387)(cid:45)𝑃(cid:101) (cid:75)𝐴𝐸 𝑀 𝑁 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝑀 𝐶𝑁 𝑃𝑀 𝑃𝑁 𝑃𝑀 𝑃𝑁
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)13
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:31)(cid:66)(cid:3)(cid:168)(cid:63)(cid:32)(cid:95)(cid:38)(cid:90)(cid:25)(cid:46)(cid:391)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:121)(cid:122)(cid:188)(cid:189)(cid:298)(cid:3)(cid:113)(cid:114)(cid:284)(cid:392)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64) (cid:67)(cid:315)(cid:176)(cid:43) (cid:63)(cid:142)(cid:88) = (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63) (cid:63)(cid:190)(cid:43)N(cid:124) (cid:81)(cid:43)H(cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:71)(cid:66)(cid:24)
′ ′ ′ ′
(cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)𝐴(cid:253)𝐵(cid:196)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)𝑀(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)𝐴(cid:28)𝑀(cid:113)(cid:114)𝐴(cid:88)𝑀 = 𝑃𝑀(cid:63)(cid:185)𝑁𝑀(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:100)𝑁𝐻⊥𝐴(cid:63)𝐵(cid:147)(cid:82)(cid:83) + = 𝐻𝐵𝐶𝑁
′ ′ ′
+ > (cid:151)(cid:88)(cid:253)(cid:41) 𝑃𝑀 𝑃𝑀 𝑁𝑀 𝑃𝑀 𝑃𝑁 𝑃𝑀
′
(cid:15)𝑃(cid:104)𝑁(cid:105)(cid:20)𝑁(cid:105)𝑀(cid:10)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64) (cid:67)(cid:315)(cid:176)(cid:43) (cid:63)(cid:142)(cid:88) = (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63) (cid:63)(cid:190)(cid:43)N(cid:124) (cid:81)(cid:43)H(cid:63)
′ ′ ′ ′
𝐴𝐵 𝑀 𝐴𝑀 𝐴𝑀 𝑃𝑀 𝑁𝑀 𝑁𝐻⊥𝐴𝐵
(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷90°(cid:63)
∴∠𝐵 ∠𝐶(cid:63)
∵𝑁𝐻⊥𝐴=𝐵90°(cid:63)
∴(cid:71)∠𝐵(cid:66)𝐻(cid:24)𝑁 (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∴ = 𝐻𝐵=𝐶𝑁 =
∴𝑁𝐻(cid:95)(cid:38)𝐵𝐶 12(cid:80),𝐵𝐻(cid:81)(cid:43)𝐶𝑁(cid:63)
∵𝐴𝐸 ∠=𝐵𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐸
′
∴∠𝑀 𝐴=𝐸 ∠(cid:63)𝑀𝐴𝑃=
′
∵𝐴𝑀 𝐴𝑀 𝐴𝑃 𝐴𝑃
′
∴△𝑀=𝐴𝑃≌△𝑀𝐴𝑃
′
∴(cid:76)𝑃𝑀 +𝑃𝑀 = +
′ ′
𝑃𝑀+ 𝑃𝑁=5𝑃𝑀 𝑃𝑁≥𝑁𝑀
∵𝐴𝑀 +𝐶𝑁 = + =5
′ ′
∴𝐴𝑀=1𝐶0𝑁(cid:63) 𝐴𝑀=12𝐵(cid:63)𝐻
∵𝐴𝐵 = 𝐵(𝐶 + )= =5
′ ′
∴𝐻𝑀 𝐴𝐵− 𝐴𝑀 𝐵𝐻 10−5
(cid:76) = + = 5 +12 =13
′ ′2 2 2 2
𝑁𝑀 + =𝐻𝑀 +𝑁𝐻 =13
′ ′
∴(cid:106)𝑃𝑀 +𝑃𝑁 (cid:25)𝑃(cid:44)𝑀(cid:387)(cid:45)𝑃(cid:35)𝑁1≥3(cid:63)𝑁𝑀
(cid:106)(cid:77)𝑃𝑀(cid:78)(cid:35)𝑃(cid:10)𝑁13(cid:75)(cid:15)(cid:116)(cid:128)7-3(cid:20)(cid:48)2024·(cid:279)(cid:280)(cid:137)(cid:281)·(cid:233)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:43) (cid:35)(cid:90)(cid:148) (cid:67)(cid:25)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:43) (cid:205)(cid:28)(cid:43) (cid:115) (cid:206)(cid:196)(cid:58)(cid:63)(cid:38)(cid:65)(cid:93)
(cid:115) (cid:35)(cid:317)(cid:66)(cid:299)(cid:300)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24) (cid:115)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)𝑃(cid:31)(cid:32)(cid:24)𝐴𝐵 (cid:63)(cid:43) (cid:28)(cid:43) (cid:64)𝑃 (cid:25)(cid:349)𝐴(cid:340)(cid:63)𝐵 (cid:81)(cid:43) (cid:63)
𝐴𝑃 𝐵𝑃(cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:43) (cid:35) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:75)(cid:136)𝐴𝐷𝑃=8(cid:63)(cid:76)(cid:52)(cid:282)(cid:253)(cid:41)(cid:121)𝐵𝐶(cid:122)𝑃(cid:25)(cid:212) 𝐶 𝐷(cid:75)(cid:48)𝐴𝐵(cid:393)(cid:394)(cid:9)(cid:58) 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
𝐶𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 𝑄 𝐶𝐷 𝐴𝐵
①(cid:90)(cid:148) (cid:25)(cid:137)(cid:35)(cid:46)(cid:45)(cid:179)②(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:35)(cid:46)(cid:45)(cid:179)③(cid:90)(cid:148) (cid:25)(cid:137)(cid:35)(cid:46)(cid:45)(cid:179)④ (cid:242)(cid:137)(cid:25)(cid:44)(cid:387)(cid:45)(cid:35)
4+4 2𝐸(cid:75)𝐹 𝐶𝐷𝐸𝐹 𝑃𝑄 △𝐶𝐷𝑃
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)①②④
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)①(cid:82)(cid:83)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:154)(cid:90)(cid:148)(cid:25)(cid:120)(cid:149)(cid:87)(cid:105)(cid:179)②(cid:82)(cid:395)(cid:24)(cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:7)(cid:128)(cid:87)(cid:105)(cid:179)②(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)
(cid:87)(cid:105)(cid:179)④(cid:139)(cid:358)(cid:102)(cid:44)(cid:387)(cid:45)(cid:63)(cid:147)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:105)(cid:75)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10) (cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24) (cid:115)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24) (cid:63) (cid:81)(cid:43) (cid:63) (cid:63)
∵ 𝐴𝐷𝑃 1 1 𝐵𝐶𝑃 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐶𝐹⊥𝐴𝐵
= =45°(cid:63) (cid:63) = (cid:63) = (cid:63)
2 2
∴∠𝐷𝑃𝐴 ∠𝐶𝑃𝐹 𝐷𝐸∥𝐶𝐹 𝐸𝑃 𝐴𝑃 𝐶𝐹 𝐵𝑃
1 1 1 1
=90°(cid:63) = + = + = + = =4(cid:63)(cid:106)①(cid:101)(cid:121)(cid:122)(cid:25)(cid:179)
2 2 2 2
∴∠𝐶𝑃𝐷 (cid:81)(cid:43) (cid:63)𝐸𝐹 𝐸𝑃 (cid:63)𝑃𝐹 𝐴=𝑃 𝐵𝑃=4(5𝐴°(cid:63)𝑃 𝐵𝑃) 𝐴𝐵
∵𝐷𝐸⊥=𝐴𝐵(cid:63) 𝐸=𝐶𝐹(cid:63)⊥𝐴𝐵 ∠𝐷𝑃𝐴 ∠𝐶𝑃𝐹
∴𝐷𝐸 𝐸𝑃 𝐶𝐹 𝐹𝑃 1 1
(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:35)(cid:10) + = =8(cid:63)(cid:106)②(cid:101)(cid:121)(cid:122)(cid:25)(cid:179)
2 2
2
∴(cid:43) (cid:35) 𝐶𝐷(cid:25)𝐸𝐹(cid:34)(cid:43)(cid:63) (𝐷𝐸 𝐶𝐹)𝐸𝐹 𝐸𝐹
∵ 𝑄 1𝐶𝐷
= (cid:63)
2
(cid:190)∴𝑃𝑄(cid:124) 𝐶𝐷 (cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:140)(cid:137) (cid:102) (cid:63)(cid:142)(cid:88) = (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:80) (cid:81) (cid:63)
𝐷 𝐷𝑀⊥𝐶𝐹 𝑀 𝐶𝐹 𝑁 𝐹𝑁 𝐶𝐹 𝐷𝑁 𝐴𝐵 𝑃
(cid:76)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63) = =4(cid:63) = (cid:63)
= 𝐷𝐸𝐹𝑀 = 𝑀𝐷(cid:63) 𝐸𝐹 𝑀𝐹 𝐷𝐸
∴𝐶𝑀 𝐶𝐹−𝐹𝑀 𝐶𝐹−𝐷𝐸= + = 16+ 4(cid:63)(cid:48)(cid:181) = (cid:180)(cid:315)(cid:29)(cid:9)(cid:58)
2 2 2
∴𝐶𝐷(cid:35)(cid:42)(cid:43)𝐷(cid:63)𝑀 𝐶𝑀 (𝐶𝐹−𝐷𝐸) ≥ 𝐶𝐹 𝐷𝐸
∵𝑃 (cid:35)(cid:116)(cid:270)(cid:63)
∴𝐶𝐷(cid:35)(cid:116)(cid:270)(cid:63)(cid:106)③(cid:101)(cid:221)(cid:396)(cid:25)(cid:179)
(cid:96)∴(cid:124)𝑃𝑄(cid:60)(cid:88)(cid:63) (cid:94)(cid:33)(cid:95)(cid:38) (cid:63)
= (cid:63)𝐴𝐵 𝐶𝑁
∴𝐶𝑃+ 𝑃𝑁= + (cid:63)
∴𝐶𝑃 𝐷𝑃 𝑃𝑁 𝐷𝑃≥𝐷𝑁
= + =4 2(cid:63)
2 2
∵𝐷𝑁 (cid:242)𝐷(cid:137)𝑀(cid:35)(cid:10)𝑀𝑁 + + 4+ =4+4 2(cid:63)(cid:106)④(cid:101)(cid:121)(cid:122)(cid:25)(cid:63)
(cid:106)∴△(cid:77)𝐶(cid:78)𝐷(cid:35)𝑃(cid:10)①②④𝐶𝐷(cid:75)𝐷𝑃 𝐶𝑃≥ 𝐷𝑁
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:153)(cid:91)(cid:92) (cid:44)(cid:387)(cid:361)(cid:389)(cid:103)(cid:21)(cid:63)(cid:188)(cid:189)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:115)(cid:153)(cid:91)(cid:92)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:154)(cid:395)(cid:24)
(cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:7)(cid:128)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)−
【题型8 矩形中的定值】
(cid:15)(cid:47)8(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:129)(cid:130)(cid:54)(cid:159)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63)(cid:43) (cid:35)(cid:91)(cid:32)(cid:90) (cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:253) (cid:63)(cid:190)(cid:43)
(cid:124) (cid:80) (cid:81)(cid:43) (cid:63) (cid:95)(cid:38) (cid:80) (cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:136)(cid:336)(cid:163)𝐴(cid:23)𝐵𝐶(cid:24)𝐷(cid:25)(cid:242)(cid:137)(cid:35)𝐸 (cid:46)(cid:45)(cid:63)(cid:76)𝐵(cid:52)𝐷(cid:282)(cid:90)(cid:148)(cid:137)(cid:35)(cid:46)𝐶𝐸(cid:45)(cid:25)(cid:101)𝐸
(cid:48)𝐸 𝐺(cid:58)⊥𝐶𝐸 𝐵𝐶 𝐺 𝐸𝐻 ∠𝐵𝐸𝐺 𝐵𝐶 𝐻
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)𝐵𝐻B 𝐶𝐻 𝐶𝐺 𝐸𝐻
1 1
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:190)(cid:43) (cid:124) (cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:314)(cid:100) (cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)(cid:76)(cid:212) = (cid:63)(cid:253)(cid:196) = (cid:63)(cid:150)(cid:151)(cid:88)(cid:102)
2 2
(cid:253)(cid:397)(cid:75) 𝐸 𝐸𝑀⊥𝐵𝐶 𝑀 △𝐸𝐻𝑀 𝐻𝑀 𝐶𝐷 𝐶𝑀 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10)(cid:190)(cid:43) (cid:124) (cid:81)(cid:43) (cid:63)
𝐸 𝐸𝑀⊥𝐵𝐶 𝑀(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷°(cid:63)
∴(cid:43)∠𝐵𝐶(cid:35)𝐷(cid:91)(cid:32)(cid:90) (cid:34)(cid:43)(cid:63)
∵ 𝐸 1 𝐵𝐷
= = = (cid:63)
2
∴𝐸𝐶 𝐵𝐷(cid:63) 𝐸𝐵 𝐸𝐷
∵𝐸𝑀⊥𝐵𝐶 1
= = (cid:63)(cid:150)(cid:43) (cid:101) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:63)
2
∴𝐵𝑀(cid:101) 𝐶𝑀 (cid:25)𝐵𝐶(cid:34)(cid:308)(cid:90)(cid:63)𝑀 𝐵𝐶
∴𝐸𝑀 △1 𝐵𝐶𝐷
= (cid:63)
2
(cid:143)∴𝐸𝑀 𝐶=𝐷 (cid:63)
∠𝐸𝐺𝐶 (cid:63)𝛼
∵𝐸𝐺⊥𝐶=𝐸 (cid:63)
∴∠𝐸𝐶=𝐺 (cid:63)90°−𝛼
∵𝐸𝐵 𝐸=𝐶 = (cid:63)
∴∠𝐸𝐵𝐺=∠𝐸𝐶𝐺 90°−𝛼= ( )= (cid:63)
∴∠𝐵𝐸(cid:95)𝐺(cid:38) ∠𝐸𝐺𝐶(cid:63)−∠𝐸𝐵𝐺 𝛼− 90°−𝛼 2𝛼−90°
∵𝐸𝐻 ∠1𝐵𝐸𝐺 1
= = ×( )= (cid:63)
2 2
∴∠𝐻𝐸𝐺 = ∠𝐵𝐸𝐺 2 = 𝛼−90(° 𝛼−)=454°5°(cid:63)
∴∠𝐸𝐻𝑀 (cid:63)∠𝐸𝐺𝐶−∠𝐻𝐸𝐺 𝛼− 𝛼−45°
∵𝐸𝑀⊥𝐵=𝐶 = =45°= (cid:63)
∴∠𝐻𝐸𝑀 90°−1 ∠𝐸𝐻𝑀 90°−45° ∠𝐸𝐻𝑀
= = (cid:63)
2
∴𝐻𝑀 𝐸𝑀 𝐶𝐷
1 1 1 1
= + = + = ( + )= ×2( + )(cid:63)
2 2 2 4
∴𝐶𝐻 𝐻𝑀 𝐶𝑀 𝐶𝐷 𝐵𝐶 1 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐶
(cid:150) (cid:25)(cid:137)(cid:29)(cid:81)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:242)(cid:137)(cid:25) (cid:63)
4
(cid:181)𝐶(cid:23)𝐻(cid:24)(cid:25)(cid:242)(cid:137)(cid:35)(cid:46)(cid:45)𝐴𝐵(cid:180)𝐶(cid:63)𝐷 (cid:35)(cid:46)(cid:45)(cid:75)
𝐶𝐻(cid:106)(cid:107)(cid:10)B(cid:75)
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:317)(cid:66)(cid:67)(cid:25)(cid:34)(cid:90)(cid:29)(cid:81)(cid:317)(cid:66)(cid:25)(cid:176)(cid:288)(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:34)(cid:308)(cid:90)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:398)(cid:32)(cid:25)(cid:46)(cid:391)(cid:154)(cid:113)(cid:114)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:43)(cid:75)(cid:122)(cid:46) (cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)8-1(cid:20)(cid:48)22-23(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:331)(cid:332)(cid:399)(cid:132)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24)△𝐸𝐻𝑀(cid:34)(cid:63)(cid:43)E(cid:101)(cid:91)(cid:32)(cid:90) (cid:67)(cid:176)(cid:43)(cid:63)(cid:212)
= = 3 (cid:182) = (cid:63)(cid:43)P(cid:101) (cid:67)(cid:176)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:76)(cid:43)P(cid:102)(cid:66)𝐴𝐵𝐶(cid:63)𝐷 (cid:25)(cid:337)(cid:338)(cid:291)(cid:120) 𝐴+𝐶 (cid:25)(cid:45)(cid:48) (cid:58)
𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑎 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑃𝑀 𝑃𝑁
3 1 3
A(cid:75)(cid:212)(cid:44)(cid:18)(cid:45)a B(cid:75)(cid:212)(cid:44)(cid:387)(cid:45) C(cid:75)(cid:101)(cid:46)(cid:45) D(cid:75)(cid:101)(cid:46)(cid:45)
2 2 2
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)D 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:190)(cid:43) (cid:124) (cid:63)(cid:185)(cid:186) = + (cid:63)(cid:150)(cid:151)(cid:88)(cid:105)(cid:75)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10)𝐴(cid:68)𝑃(cid:69) (cid:63)𝐵(cid:190)(cid:43)𝐵𝐹(cid:124)⊥𝐴𝐶 (cid:63)𝑆(cid:80)△𝐴𝐵𝐸(cid:81)(cid:43)𝑆△(cid:63)𝐴𝑃𝐸 𝑆△𝐴𝑃𝐵
𝐴𝑃 𝐵 𝐵𝐹⊥𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐹
(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = = 3 (cid:63) = (cid:63)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑎
= 3 = + = (cid:63)
2 2
∴𝐴𝐵 𝑎1,𝐴𝐶 𝐴𝐵1 𝐵𝐶 2𝑎
= =
2 2
∵(cid:150) 𝑆 (cid:10) △𝐴𝐵 3 𝐶 𝐴 = 𝐵⋅𝐵𝐶 × 𝐴(cid:63)𝐶⋅𝐵𝐹
𝑎3⋅𝑎 2𝑎 𝐵𝐹
= (cid:179)
2
𝑎
∴𝐵𝐹 = + (cid:63)
∵𝑆1△𝐴𝐵𝐸 𝑆△1𝐴𝑃𝐸 𝑆△𝐴𝑃𝐵 1 1
= + = ( + )(cid:63)
2 2 2 2
∴ 𝐴𝐸⋅𝐵𝐹 𝐴𝐸⋅𝑃𝑀 𝐴𝐵⋅𝑃𝑁 𝐴𝐸 𝑃𝑀 𝑃𝑁
3
+ = = (cid:179)
2
𝑎
∴(cid:106)𝑃(cid:107)𝑀D(cid:75)𝑃𝑁 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:120)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:93)(cid:154)(cid:29)(cid:247)(cid:264)(cid:87)(cid:90)(cid:148)(cid:75)(cid:192)(cid:193)(cid:188)(cid:189)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:93)(cid:154)(cid:29)(cid:247)(cid:264)(cid:87)(cid:90)(cid:148)(cid:25)(cid:137)(cid:138)(cid:101)(cid:105)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)8-2(cid:20)(cid:48)2025·(cid:129)(cid:130)(cid:400)(cid:198)·(cid:176)(cid:233)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24) (cid:242)(cid:137)(cid:35)8(cid:63)(cid:182) > (cid:75)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:124)(cid:43)C(cid:3)(cid:81) (cid:25)
(cid:91)(cid:92)(cid:43)E(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:80) (cid:81)(cid:43)P(cid:63)(cid:124) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:80) (cid:81)(cid:43)G(cid:63)𝐵(cid:52)𝐶(cid:282)(cid:401)𝐶(cid:264)𝐷(cid:34)(cid:121)(cid:122)𝐵(cid:25)𝐷(cid:212)(cid:48) (cid:58)(cid:177)(cid:75) 𝐵𝐷
𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝑃𝐺⊥𝐵𝐷 𝐵𝐶
①2< <4(cid:179)②(cid:31)(cid:32)(cid:24) (cid:25)(cid:242)(cid:137)(cid:35)(cid:46)(cid:45)4
③(cid:181) 𝐵(cid:116)𝐶(cid:18)(cid:180)(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24) 𝐴𝐵𝑃(cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:139)(cid:116)(cid:18)(cid:171)(cid:116)(cid:387)(cid:179)④(cid:181) (cid:116)(cid:18)(cid:180)(cid:63) (cid:402)(cid:145)(cid:116)(cid:387)
A𝐵(cid:75)𝐶1 B(cid:75)𝑃𝐴2𝐵𝐺 C(cid:75)3 𝐵𝐶 D(cid:75)𝐴4𝑃
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)C
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:151)(cid:88) + =4(cid:63)(cid:147)(cid:253)(cid:196) > (cid:63)(cid:151)(cid:88)2< <4(cid:63)(cid:146)(cid:145)(cid:119)(cid:283)①(cid:121)(cid:122)(cid:63)(cid:68)(cid:69)
(cid:63)(cid:403) (cid:28) (cid:80)(cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:147)(cid:98)𝐶𝐷 =𝐵𝐶 (cid:63)(cid:151)(cid:98)(cid:88)(cid:76)𝐵𝐶 𝐶(cid:25)𝐷(cid:242)(cid:137)= 𝐵+𝐶 + = + =4(cid:63)(cid:146)(cid:145)
𝐷(cid:119)𝐺(cid:283)②𝑃(cid:121)𝐺(cid:122)(cid:63)𝐵𝐷(cid:147)(cid:98)(cid:71)(cid:66)𝑂(cid:24) 𝐵(cid:101)𝑃(cid:357)(cid:24)𝐷𝑃(cid:63)(cid:76) = △(cid:63)𝐴𝐵𝑃 = 𝐴(cid:63)𝐵Rt𝐴𝑃 𝐵𝑃Rt 𝐵𝐶 𝐶(𝐷HL)(cid:63)(cid:88)
𝑃𝐵𝐺𝐷 𝐵1𝑃 𝐷𝐺
𝑆△𝐵
1
𝑃𝐺 𝑆△𝐷𝑃𝐺
1△𝐴𝐵𝑃≌ △𝐶𝐷𝐺
= (cid:63)(cid:151)(cid:163)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:25)(cid:246)(cid:247)= = ( )= ( ) +2(cid:63)(cid:146)(cid:145)(cid:151)(cid:163)(cid:181)
2 矩形 2 2
2
𝑆 2 △ < 𝐴𝐵𝑃 < 𝑆 4 △ (cid:180) 𝐶𝐷𝐺 (cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24) 𝑃(cid:25)𝐴(cid:246)𝐵𝐺(cid:247)(cid:354)(cid:305) (cid:404)𝑆(cid:18)(cid:145) 𝐴 (cid:405) 𝐵𝐶 (cid:387) 𝐷 (cid:63)(cid:146)𝐵(cid:145)𝐶(cid:119)4−(cid:283)𝐵 ③ 𝐶 (cid:121)(cid:122)−(cid:179)𝐵(cid:96)𝐶(cid:21)−2(cid:211)(cid:88) = (cid:63)
𝐵𝐶 𝑃𝐴𝐵𝐺 𝐵𝐶 𝐵𝑃 𝐵𝐶−𝐴𝑃8
= = (cid:63)(cid:76)(cid:64)Rt (cid:34)(cid:63) = =( ) ( ) (cid:63)(cid:365)(cid:86)(cid:88) = (cid:63)(cid:146)(cid:145)
2 2 2 2 2
𝐴(cid:119)𝐵(cid:283)④𝐶𝐷(cid:221)(cid:396)4(cid:75)−𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃 𝐵𝑃 −𝐴𝐵 𝐵𝐶−𝐴𝑃 − 4−𝐵𝐶 𝐴𝑃 4−𝐵𝐶
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)(cid:105)(cid:10)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = (cid:63) = (cid:63) (cid:63)
(cid:23)(cid:24) (cid:242)(cid:137)(cid:35)8(cid:63)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∵ +𝐴𝐵𝐶𝐷=4(cid:63)(cid:76) = (cid:63) <4(cid:63)
∴𝐶𝐷>𝐵𝐶(cid:63) 𝐶𝐷 4−𝐵𝐶 𝐵𝐶
∵𝐵𝐶>𝐶𝐷 (cid:63)(cid:76) >2(cid:63)
∴𝐵2𝐶< 4−<𝐵4𝐶(cid:63)(cid:106)①𝐵𝐶(cid:121)(cid:122)(cid:179)
∴(cid:68)(cid:69) 𝐵𝐶(cid:63)(cid:403) (cid:28) (cid:80)(cid:81)(cid:43) (cid:63)
𝐷𝐺 𝑃𝐺 𝐵𝐷 𝑂(cid:96)(cid:27)(cid:152)(cid:151)(cid:163)(cid:63) = (cid:63)
∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐸𝐵𝐷
∵𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 (cid:63)(cid:76) =
∴∠𝐶𝐵=𝐷 (cid:63)∠𝑃𝐷𝐵 ∠𝐸𝐵𝐷 ∠𝑃𝐷𝐵
∴(cid:76)𝐵𝑃 𝐷𝑃(cid:25)(cid:242)(cid:137)= + + = + + = + = + =4(cid:63)(cid:106)②(cid:121)(cid:122)(cid:179)
△𝐴𝐵𝑃(cid:63) 𝐴𝐵 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝑃 𝐷𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
∵𝑃𝐺⊥𝐵=𝐷 (cid:63)
(cid:187)∴∠𝐵𝑂𝑃= ∠𝐵(cid:63)𝑂𝐺
∵𝐵𝑂 𝐵𝑂 (cid:63)
∴△𝐵=𝑂𝑃≌(cid:63)△(cid:76)𝐵𝑂𝐺=
∴(cid:71)𝐵𝑃(cid:66)(cid:24)𝐵𝐺 (cid:101)𝐵𝐺(cid:95)(cid:184)𝐷(cid:71)𝑃(cid:66)(cid:24)(cid:63)
(cid:187)∴ =𝑃𝐵𝐺(cid:63)𝐷
(cid:71)∵(cid:66)𝐵𝑃(cid:24) 𝐵𝐺 (cid:101)(cid:357)(cid:24)(cid:63)(cid:76) = (cid:63) =
∴Rt 𝑃𝐵𝐺R𝐷t (HL𝐵)(cid:63)𝑃 𝐷𝐺 𝑆△𝐵𝑃𝐺 𝑆△𝐷𝑃𝐺
∴ △𝐴𝐵=𝑃≌ △(cid:63)𝐶𝐷𝐺
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐶𝐷𝐺 1 1 1
(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:25)(cid:246)(cid:247)= = ( )= ( ) +2(cid:63)
2 矩形 2 2
2
(cid:181)∴ 2< 𝑃𝐴<𝐵4𝐺(cid:180)(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24)𝑆 𝐴𝐵 (cid:25) 𝐶𝐷 (cid:246)(cid:247)𝐵(cid:354)𝐶(cid:305)4−𝐵(cid:404)𝐶(cid:18)(cid:145)−(cid:405)(cid:387)𝐵𝐶(cid:63)−(cid:106)2 ③(cid:121)(cid:122)(cid:179)
=𝐵𝐶 = = 𝑃𝐴𝐵𝐺(cid:63) = 𝐵=𝐶 (cid:63)
(cid:76)∵𝐵(cid:64)𝑃Rt𝑃𝐷 𝐴(cid:34)𝐷−(cid:63)𝐴𝑃 =𝐵𝐶−𝐴𝑃 𝐴𝐵=(𝐶𝐷 4−)𝐵𝐶( ) (cid:63)
2 2 2 2 2
△𝐴𝐵𝑃 8𝐴𝑃 𝐵𝑃 −𝐴𝐵 𝐵𝐶−𝐴𝑃 − 4−𝐵𝐶
(cid:365)(cid:86)(cid:88)(cid:10) = (cid:63)
(cid:181)
(cid:116)(cid:18)𝐴𝑃(cid:180)(cid:63)4−𝐵
(cid:353)
𝐶
(cid:116)(cid:18)(cid:63)(cid:106)④(cid:221)(cid:396)(cid:63)
∴(cid:195)(cid:67)𝐵(cid:63)𝐶(cid:121)(cid:122)(cid:25)(cid:212)𝐴①𝑃②③(cid:63)(cid:286)3(cid:177)(cid:63)
(cid:106)(cid:107)(cid:10)C(cid:75)
(cid:15)(cid:43)(cid:108)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:27)(cid:152)(cid:103)(cid:21)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:357)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:154)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:118)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:43)(cid:63)(cid:86)(cid:105)(cid:178)(cid:188)(cid:189)(cid:298)(cid:3)(cid:60)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:101)(cid:105)(cid:219)(cid:103)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:127)(cid:75)
(cid:15)(cid:116)(cid:128)8-3(cid:20)(cid:48)23-24(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:198)(cid:332)(cid:406)(cid:54)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:43) (cid:101)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:91)(cid:32)(cid:90)(cid:67)(cid:176)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:190)(cid:43) (cid:124) (cid:25)(cid:94)
(cid:90)(cid:63)(cid:38)(cid:65)(cid:80)(cid:66) (cid:81)(cid:43) (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:212)(cid:52)(cid:282)(cid:253)(cid:41)(cid:10)𝑃①(cid:71)(cid:66)(cid:24)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:25)(cid:246)(cid:247)(cid:101)(cid:46)(cid:45)(cid:179)② +𝑃 𝐴(cid:25)𝐶(cid:45)(cid:205)
(cid:116)(cid:179)③ + 𝐴𝐷(cid:25),𝐵(cid:45)𝐶(cid:205)(cid:116)𝐸(cid:179),𝐹④ 𝐶+𝐸,𝐴𝐹= + (cid:63)(cid:76)(cid:52)(cid:282)(cid:253)(cid:41)𝐴(cid:176)𝐹𝐶(cid:46)𝐸(cid:169)(cid:327)(cid:25)(cid:394)(cid:9)(cid:212) 𝐴(cid:75)𝐸 𝐶𝐹
2 2 2 2
𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐹 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:20)①②④
(cid:15)(cid:38)(cid:79)(cid:20)(cid:109)(cid:21)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:246)(cid:247)(cid:63)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:86)(cid:63)(cid:95)(cid:184)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:46)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:29)(cid:63)(cid:190)(cid:43)C(cid:124)
(cid:63)(cid:80) (cid:25)(cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:81)(cid:43)G(cid:63)(cid:151)(cid:88)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:95)(cid:184)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:63) = (cid:63)(cid:314)(cid:100) = (cid:63)(cid:150)(cid:151)(cid:119)
(cid:283)𝐶𝐺(cid:253)∥(cid:41)𝐸𝐹①(cid:179)(cid:96)𝐴𝐷 + = + = (cid:63)(cid:151)(cid:119)𝐸𝐹(cid:283)𝐶𝐺(cid:253)(cid:41)②(cid:179)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)𝐶𝐹(cid:46)(cid:86)𝐸(cid:150)𝐺(cid:151)(cid:119)(cid:283)(cid:253)𝑆△(cid:41)𝐴𝐶 ③ 𝐹 (cid:179)𝑆(cid:82)△𝐶(cid:83)𝐸𝐺(cid:407)(cid:212)(cid:215)(cid:216)
(cid:227)(cid:264)(cid:98)(cid:99) +𝐴𝐸(cid:25)(cid:45)𝐶𝐹(cid:205)(cid:116)𝐴(cid:63)𝐸(cid:150)(cid:151)𝐸𝐺(cid:119)(cid:283)𝐴④𝐺 (cid:75)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:20)𝐶(cid:105)𝐸(cid:10)(cid:190)𝐴(cid:43)𝐹 C(cid:124) (cid:63)(cid:80) (cid:25)(cid:140)(cid:137)(cid:90)(cid:81)(cid:43)G(cid:63)
𝐶𝐺∥𝐸𝐹 𝐴𝐷
(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
∵ 𝐴(cid:63)𝐵𝐶𝐷
∴(cid:71)𝐴𝐷(cid:66)∥𝐵(cid:24)𝐶 (cid:101)(cid:95)(cid:184)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:63)
∴ = 𝐸𝐹(cid:63)𝐶𝐺
∴𝐶𝐹 𝐸=𝐺 (cid:63)
∴𝑆△𝐴𝐶𝐹+ 𝑆△𝐶𝐸𝐺 = + (cid:63)(cid:150) = (cid:63)
四边形
∴(cid:71)𝑆△(cid:66)𝐴𝐶(cid:24)𝐹 𝑆△𝐴𝐶(cid:25)𝐸(cid:246)(cid:247)𝑆△(cid:101)𝐶𝐸(cid:46)𝐺 (cid:45)𝑆(cid:63)△𝐴(cid:106)𝐶𝐸 ①(cid:121)(cid:122)𝑆 (cid:179) 𝐴𝐹𝐶𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐺
∴ + 𝐴𝐹=𝐶𝐸 + = (cid:63)
∵𝐴𝐸+𝐶𝐹(cid:25)(cid:45)𝐴𝐸(cid:205)(cid:116)𝐸(cid:63)𝐺(cid:106)②𝐴𝐺(cid:121)(cid:122)(cid:179)
∴𝐴𝐸 +𝐶𝐹 = + + + (cid:63) + = + + + (cid:63)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝑃 𝑃𝐸 𝐶𝑃 𝑃𝐹 𝐴𝐹 𝐶𝐸 𝐴𝑃 𝑃𝐹 𝑃𝐸 𝐶𝑃+ = + (cid:63)(cid:106)④(cid:121)(cid:122)(cid:179)
2 2 2 2
∴(cid:82)𝐴(cid:83)𝐸(cid:407)(cid:212)𝐶𝐹(cid:215)(cid:216)(cid:227)𝐴𝐹(cid:264)(cid:98)(cid:99)𝐶𝐸 + (cid:25)(cid:45)(cid:205)(cid:116)(cid:63)(cid:106)③(cid:221)(cid:396)(cid:63)
(cid:106)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:10)①②④(cid:75)𝐶𝐸 𝐴𝐹