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专题 13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等
腰三角形！
一．解答题（共50小题）
1．（2022秋•勃利县期末）如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC
于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．
2．（2022秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点
D，交AB于点E，求∠DBC的度数．
3．（2022秋•林州市期末）已知△ABC的两边长a和b满足√a-9+（b﹣4）2＝0．
（1）若第三边长为c，求c的取值范围．
（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．
4．（2022秋•河东区校级期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分
∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．
5．（2022秋•武冈市期中）已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于
O点．
（1）求证：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．
6．（2022秋•盘龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE
＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
1
7．（2022秋•大石桥市期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE= BC，若D是AC的
2
中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF＝3，求AD的长；
（2）证明：DE＝2DF．
8．（2022春•大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝
CE，F为BC中点，连接AF．
（1）直接写出∠BAE的度数为 ；
（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．
9．（2022秋•宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．
求证：△CEB为等边三角形．
10．（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧
作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 ；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 ；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 ．11．（2022秋•台江区期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
（1）求证：∠ACB＝∠ACD；
（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
12．（2022春•市南区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB
的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
13．（2022秋•平房区期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
14．（2022秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
15．（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发
以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时
出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
16．（2022秋•清江浦区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，
P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从
点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
17．（2022春•渠县校级期末）已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交
CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．18．（2022秋•北仑区期中）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O
作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC
与∠PAC的数量关系式．
19．（2022秋•余干县期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．
求证：BC＝DC．
20．（2022春•焦作期末）如图，在等边三角形 ABC中∠B，∠C的平分线相交于点O，作BO，CO的垂
直平分线分别交BC于点E和点F．小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明
理由．21．（2022秋•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中
点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD＝ °时，△BED是等边三角形．
22．（2022春•梅州校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°
角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使
DE始终与AB垂直．
（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；
（2）设AD＝x，CF＝y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）
（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．
23．（2022秋•阳新县校级期末）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°AC＝1点D为AC上
一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD＝n，
（1）当n＝1时，则AF＝ ；
（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH＝AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．24．（2022•宁德一模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交
AC，AB于点D，E，连接BD，ED．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．
25．（2022秋•平舆县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且
∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
26．（2022春•本溪县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，
且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．27．（2022秋•澧县期末）如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达
B处．分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84度．求B处与灯塔C距离．
28．（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为
17cm，求△ABC的周长．
29．（2022春•嵩县期末）如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对
称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．30．（2022秋•沂南县期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF
交AD于点O．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．
31．（2022秋•张家港市校级期末）如图：AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，用轴对称图形说明：CD＝
AB+BD．
32．（2022春•锦江区校级期末）操作实验：
如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．
所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C．
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：如图（4），在△ABC中，AB＝AC．试说明∠B＝∠C的理由；
探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为 B，DA⊥AB，垂足为 A．E 为 AB 的中点，AB＝BC，
CE⊥BD．
（1）BE与AD是否相等，为什么？
（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．
33．（2022•海丰县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE＝
CE（要求：不用三角形全等的方法）
34．（2022春•余杭区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，
1
E为BC延长线上一点，且CE= BC．
2
（1）求ME的长；
（2）求证：△DMC是等腰三角形．
35．（2022•白城校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为
一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ ；
（2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，请写出α，β之间的数量关系，
请说明理由．36．（2022秋•乐亭县期末）若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0
（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．
37．（2022秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板 ABC的斜边BC与含30°角的直角三角
板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．
求证：△CDO是等腰三角形．
38．（2022秋•龙门县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE
＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．39．（2022春•静安区校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
40．（2022秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂
足为E．求证：AC＝2BE．
41．（2022秋•滑县校级期末）已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB
于E，DF交直线BC于F．
（1）如图（1），求证：DE＝DF；
1
（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF= BC．
4
1
（3）如图（3），若 BE= AE，则 CF＝ BC；在图（1）中，若 BE＝4AE，则 CF＝
3
BC．
42．（2022春•峄城区期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过
点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若CD＝2，求DF的长．43．（2022秋•红山区期末）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P
从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不
变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则
∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
44．（2022•南京模拟）数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几对
全等三角形？丁图中有几对等边三角形？
45．（2022秋•五河县期末）如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上
一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）求证：PD＝DQ；
（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．46．（2022•南京模拟）如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC于D，PE∥AC交
AB于E，已知AE＝10cm，求PD的长度．
47．（2022春•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且
B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．
48．（2022秋•龙华区期末）如图，已知直线l∥l∥l ，点E、F分别在l 、l 上，Rt△ABC的直角顶点C
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在直线l 上，点B在直线l 上，点A在直线l 上，l 与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．
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（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．
49．（2022春•电白区期末）如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点
出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，
设点P的运动时间为t（s），则
（1）BP＝ cm，BQ＝ cm．（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
50．（2022•南京模拟）如图，在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF．
（1）试说明△DEF是等边三角形；
（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR为何种三角形？试说明理由．
